湖南省长沙市2017届高三上学期统一模拟考试(期末)数学(理)试题 Word版含答案
湖南省益阳市箴言中学2017届高三上学期第二次模拟考试(10月)数学(理) 含答案
2016年下学期高三第二次模拟考试理科数学试卷命题人：曹兵辉 审题人：杨超群 时间：120分钟 满分：150分一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的）1.设集合A={x|x 2﹣3x ﹣4＞0}，集合B=｛x|﹣2＜x ＜5｝，则A ∩B=（ )A ．{x ｜﹣1＜x ＜4｝B ．｛x|﹣2＜x ＜﹣1或4＜x ＜5｝C ．{x ｜x ＜﹣1或x ＞4｝D ．{x|﹣2＜x ＜5}2.下列说法错误的是（ )A ．“ac 2＞bc 2"是“a ＞b ”的充分不必要条件B ．若p ∨q 是假命题，则p ∧q 是假命题C ．命题“存在x 0∈R ，02x ≤0”的否定是“对任意的x ∈R ，2x ＞0"D ．命题“对任意的x ∈R ”，2x ＞x 2”是真命题3. 指数函数,0()(>=a a x f x且)1≠a 在R 上是减函数，则函数3)2()(x a x g -=在R 上的单调性为（ )A 。
单调递增 B.单调递减 C.在),0(+∞上递增，在)0,(-∞上递减 D 。
在),0(+∞上递减，在)0,(-∞上递增4.若1sin()63πα-=，则cos()3πα+的值为 （) A.13- B 。
13C 22 D 。
225. 已知三个向量)2cos ,(A a m =，)2cos ,(B b n =,)2cos ,(C c p =共线，其中C B A c b a ,,,,,分别是ABC ∆的三条边和三个角,则ABC ∆的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6。
函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示,将()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到函数)(x g y =的图像，则)(x g 的单调递增区间为（ ） A.]32,62[ππππ+-k k B 。
(完整版)2017年湖南高考数学试题(含详解)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，学科网然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168．下面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期调研考试(一)数学试题(解析版)
2025届高三第一次调研考试数学（答案在最后）本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}320,20A x x xB x x x =-==--<∣∣，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,0- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-【答案】A 【解析】【分析】由因式分解分别求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的运算得出两个集合的交集。
【详解】∵()()3110x x x x x -=+-=∴{}1,0,1A =-∵()()22210x x x x --=-+<∴()1,2B =-∴{}0,1A B = 故选：A2.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m ∥α的一个充分条件是（）A.m ∥,n n ∥αB.m ∥,βα∥βC.,,m n n m αα⊥⊥⊄D.,m n A n ⋂=∥,m αα⊄【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，由m ∥,n n ∥α可得m α⊂或m ∥α，故A 错误；对于B ，由m ∥,βα∥β可得m α⊂或m ∥α，故B 错误；对于C ，由,,m n n m αα⊥⊥⊄可得m ∥α，故C 正确；对于D ，由,m n A n ⋂=∥,m αα⊄可得,m α相交或m ∥α，故D 错误；故选：C3.20252x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项是（）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解.【详解】由二项式20252x ⎫-⎪⎭的展开式为20253202521202520252C ()(2)C rrrr r rr T x x--+=-=-⋅，令202530r -=，解得675r =，此时()67567567620252C T =-⋅，所以二项式20252x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为第676项.故选：D.4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g /cm ，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：π 3.14≈）A .1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据圆台的体积公式计算求解铜鼓的体积，然后根据材料体积求解即可.【详解】依题意圆台的上底面半径为15cm ，下底面半径为25cm ，高为15cm ，所以铜鼓的体积()221215251525π153V =⨯⨯++⨯⨯≈38465()3cm，又10000003.25384658≈⨯，故可以打造这样的实心铜鼓的个数为3.故选：C5.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1f x x f x <-'（()f x '为()f x 的导函数），且()10f =，则（）A.()22f <B.()22f >C.()33f <D.()33f >【答案】D 【解析】【分析】由已知可得()()21xf x f x x x ->'，令()()ln f x g x x x=-，可得()g x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得()n 33l 3f >，()n 22l 2f >，可得结论.【详解】由题意可得()()xf x f x x '->，即()()21xf x f x x x->'，令()()ln f x g x x x=-，则()()()210xf x f x g x x x-'=->'，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()10f =，所以()()11ln10g f =-=，所以()()310g g >=，所以()3ln 303f ->，所以()3ln 333f >>，所以()()210g g >=，所以()2ln 202f ->，所以()n 22l 2f >，又2ln 22<，故()2f 与2的大小关系不确定.故选：D.6.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于,A B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线:3230l x y ++=，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为（）A.26 B.26C.13D.26【答案】D 【解析】【分析】首先联立AB 与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得p ，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.【详解】由题得C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设倾斜角为π4的直线AB 的方程为2p y x =-，与C 的方程22(y px =联立得2220y py p --=，设1,1,2,2，则1222,1y y p p +===，故C 的方程为212,,02y x F ⎛⎫=⎪⎝⎭.由抛物线定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，联立抛物线2:2C y x =与直线:3230l x y ++=，化简得291090x x ++=，由Δ1004992240=-⨯⨯=-<得C 与l 相离.,,Q S R 分别是过点P 向准线、直线:3230l x y ++=以及过点F 向直线:3230l x y ++=引垂线的垂足，连接,FP FS ，所以点P 到C 的准线的距离与点P 到直线l 的距离之和PQ PS PF PS FS FR +=+≥≥,等号成立当且仅当点P 为线段FR 与抛物线的交点，所以P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭到直线:323l x y ++=0的距离，即26FR ==.故选：D.7.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，对于任意的x ∈R ，ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭都恒成立，且函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的值为（）A.3B.9C.3或9D.【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小ω的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的ω的取值为3ω=或9，分类讨论验证单调性即可得结论.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以π0102T⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，得2ππ5T ω=≥，因此010ω<≤．由ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 的图象关于直线π12x =对称，则11πππ,122k k ωϕ⋅+=+∈Z ①．由()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭知()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则22ππ,4k k ωϕ⋅+=∈Z ②．②-①得()2112πππ,,62k k k k ω⋅=--∈Z ，令21k k k =-，则63,k k ω=-∈Z ，结合010ω<≤可得3ω=或9．当3ω=时，代入①得11ππ,4k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=，此时()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为πππ32044x -<+<，故()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，符合题意；当9ω=时，代入①得1ππ4k ϕ=-+，1k ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，此时()π2sin 94f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为23πππ92044x -<-<-，故()f x 在π,010⎛⎫-⎪⎝⎭上不是单调递增的，所以9ω=不符合题意，应舍去．综上，ω的值为3．故选：A .8.如图，已知长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD A B C D -''''绕直线OD '进行旋转．若平面α满足直线OD '与α所成的角为53︒，直线l α⊥，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈）A.310B.410- C.310+ D.310+【答案】A 【解析】【分析】求出直线OD '与C D ''的夹角，可得C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，求直线OD '与l 的夹角，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，利用三角函数知识求解即可.【详解】在长方体ABCD A B C D -''''中，//AB C D ''，则直线AB 与l 的夹角等于直线C D ''与l 的夹角．长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，则2OD OC ==''，又2C D ''=，所以OC D '' 是等边三角形，故直线OD '与C D ''的夹角为60︒．则C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，如图所示，60C D O ∠=''︒．因为直线OD '与α所成的角为53︒，l α⊥，所以直线OD '与l 的夹角为37︒．在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒．结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒，易知603797C D F ∠=︒+︒=''︒．设直线C D ''与l 的夹角为ϕ，则2390ϕ︒≤≤︒，故当23ϕ=︒时sin ϕ最小，而()sin23sin 6037sin60cos37cos60sin37︒=︒-︒=︒︒-︒︒433sin60sin53cos60cos5310-=︒︒-︒︒≈，故直线AB 与l 的夹角的正弦值的最小值为43310-.故选：A【点睛】关键点点睛：解题中在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒是关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,A B 两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A 组偏向于智能自动化方向，B 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73，B 组性能得分为：737096799488，，，，，，则（）A.A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高B.A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数小C.A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差大D.B 组性能得分的第75百分位数比A 组性能得分的平均数大【答案】AD 【解析】【分析】根据计算公式分别计算,A B 两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选项逐一判断即可.【详解】由题意可得A 组性能得分的平均数为91818296897385.36+++++≈，B 组性能得分的平均数为73709679948883.36+++++≈，所以A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高，A 说法正确；A 组性能得分738182899196，，，，，的中位数为828985.52+=，B 组性能得分707379889496，，，，，的中位数为798883.52+=，所以A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数大，B 说法错误；A 组性能得分的极差为967323-=，B 组性能得分的极差为967026-=，所以A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差小，C 说法错误；B 组性能得分707379889496，，，，，共6个数据，60.75 4.5⨯=，所以B 组性能得分的第75百分位数为94，比A 组性能得分的平均数大，D 说法正确；故选：AD10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,AC BD 分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,A C B D 都位于圆柱的同一个轴截面上，AD 是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为12,e e ，则能够保证CD ≥的12,e e 的值可以是（）A.12,32e e == B.121,25e e == C.12340,27e e == D.1232,34e e ==【答案】AD 【解析】【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得22222212111,1r r e n e m -=-=，即可根据n ≥得222111211e e -≥-，逐一代入即可求解.【详解】设2,2,2,AD r AB m CD n ===且n ≥，故BD AC ===故12e e ==，故22222212111,1r r e n e m-=-=，由于n ≥，故222n m ≥，故222222222111211r e n m r m e n -==≥-，即222111211e e -≥-，对于A，12,32e e ==，满足2221112211e e -=≥-，故A 正确，对于B，121,25e e ==，22211142131e e -=<-，故B 错误，对于B，12,27e e ==，2221112721401e e -=<-，故C 错误，对于D，12,34e e ==，22211172121e e -=>-，故D 正确，故选：AD11.对于任意实数,x y ，定义运算“⊕”x y x y x y ⊕=-++，则满足条件a b b c ⊕=⊕的实数,,a b c 的值可能为（）A.0.5log 0.3a =-，0.30.4b =，0.5log 0.4c =B.0.30.4a =，0.5log 0.4b =，0.5log 0.3c =-C.0.09a =，0.10.1b =e ，10ln 9c =D.0.10.1e a =，10ln 9b =，0.09c =【答案】BD 【解析】【分析】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可，利用函数函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数可判断AB ；构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，利用单调性可得0.10.10.09e <，进而再构造函数()()[)ln 1,0,1ex x h x x x =+-∈，求导可得()()()21e e 1x xx h x x --'=-，再构造函数()()21e xx x ω=--，利用单调性可判断CD ．【详解】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，即a b b c c a ---=-，若,a b c b ≤≤，可得a b b c c a ---=-，符合题意，若,a b c b ≤>，可得2a b b c b a c ---=--，不符合题意，若,a b c b >≤，可得a b b c a c ---=-，不符合题意，若a b c b >>,，可得2a b b c c a b ---=+-，不符合题意，综上所述0a b -≤，0b c -≥，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可．对于A ，B ，由题知0.50.50.510log 0.3log log 103-=<=，而0.3000.40.41<<=，0.50.5log 0.4log 0.51>=，所以0.30.50.5log 0.30.4log 0.4-<<．（点拨：函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数），对于A ，a b c <<；对于B ，c a b <<，故A 错误，B 正确．对于C ，D ，()0.10.10.10.090.9e 10.1e 0.1e ==-，（将0.9转化为10.1-，方便构造函数）构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，则()e xf x x '=-，因为[)0,1x ∈，所以()()0,f x f x '≤单调递减，因为()01f =，所以()0.11f <，即0.10.9e 1<，所以0.10.10.09e <．（若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e 与10ln 9的大小即可）()10.10.10.10.10.1100.190.190.1ln ln ln ln 10.1e 9e 10e 10e -⎛⎫-=-=+=+- ⎪⎝⎭，构造函数()()[)ln 1,0,1e x x h x x x =+-∈，则()()()21e 11e 1e 1x x xx x h x x x ---=--'=-，因为[)0,1x ∈，所以()e 10xx ->，令()()21e x x x ω=--，则()()21e xx x ω=---'，当[)0,1x ∈时，()()0,x x ωω'<单调递减，因为()00ω=，所以()0x ω≤，即()()0,h x h x '≤单调递减，又()00h =，所以()0.10h <，即()0.10.1ln 10.10e+-<，所以0.10.110ln e 9<．综上，0.10.1100.09ln e 9<<．对于C ，a b c <<；对于D ，c a b <<，故C 错误，D 正确．（提醒：本题要比较0.09与10ln 9的大小关系的话可以利用作差法判断，即()11090.09ln 0.10.9ln 10.90.9ln0.9910-⎛⎫-=⨯-=-⨯+ ⎪⎝⎭，构造函数()()(]1ln ,0,1g x x x x x =-+∈，则()()()221112112x x x x g x x x x x+-+-++='=-+=，因为(]0,1x ∈，所以()()0,g x g x '≥单调递增，因为()10g =，所以()0.90g <，即100.09ln 09-<，所以100.09ln 9<）故选：BD.【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z 对应的点为()1,1，则21zz-=+______．【答案】13i 55-【解析】【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+，即可由复数除法运算求解.【详解】由于复数z 对应的点为()1,1，所以1i z =+，故()()()()1i 2i 21i 13i 13i12i 2i 2i 555z z -----=+++-===-，故答案为：13i55-13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式n a =______.①m na a m n--是常数，*,m n ∈N 且m n ≠；②652a a =；③的前n 项和存在最小值.【答案】4n -（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列的特征，不妨选择等差数列，然后根据题目条件利用等差基本量的运算求解通项公式，即得解.【详解】由题意，不妨取数列为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，由②可知()61515224a a d a a d =+==+，则13a d =-，又m na a d m n-=-是常数，满足①，由③的前n 项和存在最小值，故等差数列单调递增，取1d =，则13a =-，故4n a n =-，此时当3n =或4n =时，的前n 项和取到最小值为6-，所以同时满足条件①②③的数列的一个通项公式4n a n =-.故答案为：4n -（答案不唯一）14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在n n ⨯的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数122C C nn n n --.如图，现有34⨯的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A 走到右上角B 共有__________种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方，但可以到达直线AC ，则有__________种不同的走法.【答案】①.35②.14【解析】【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果.【详解】从左下角A 走到右上角B 共需要7步，其中3步向上，4步向右，故只需确定哪3步向上走即可，共有37C 35=种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则由卡特兰数可知共有4388C C 14-=种不同的走法，又到达右上角D 必须最后经过B ，所以满足题目条件的走法种数也是14.故答案为：35；14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知M 为圆229x y +=上一个动点，MN 垂直x 轴，垂足为N ，O 为坐标原点，OMN 的重心为G .（1）求点G 的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，点(0,1)Q ，若点)3,0H 恰好是ABQ的垂心，求直线l 的方程.【答案】（1）()22104x y xy +=≠（2）1635y x =-【解析】【分析】（1）设()()00,,,G x y M x y ，根据G 为OMN 的重心，得00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22009x y +=，化简即可求解.（2）根据垂心的概念求得l k =l 方程，与椭圆联立韦达定理，利用AH BQ ⊥得2211y x -=-，将韦达定理代入化简即可求解.【小问1详解】设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心，故有：00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104x y xy +=≠.【小问2详解】因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又33HQ k ==-，所以l k =，故设直线l的方程为()1y m m =+≠，与2214x y +=联立消去y得：2213440++-=x m ，由2Δ208160m =->得213m <，设()()1122,,,A x y B x y，则2121244,1313m x x x x --+==，由AH BQ ⊥2211y x -=-，所以()211210x x mm -+++-=，所以)()21212410x x m x x m m +-++-=，所以()()()22444241130m m m m m ---+-=，化简得2511160m m +-=，解得1m =（舍去）或165m =-（满足Δ0>），故直线l 的方程为165y =-.16.如图，四边形ABDC 为圆台12O O 的轴截面，2AC BD =，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长，E 是 BD的中点．（1）已知圆2O 内存在点G ，使得DE ⊥平面BEG ，作出点G 的轨迹（写出解题过程）；（2）点K 是圆2O 上的一点（不同于A ，C ），2CK AC =，求平面ABK 与平面CDK 所成角的正弦值．【答案】（1）答案见解析（2）47035【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面ABK 和平面CDK ，利用面面角的向量法，即可求出结果.【小问1详解】E 是 BD的中点，DE BE ∴⊥．要满足DE ⊥平面BEG ，需满足DE BG ⊥，又DE ⊂ 平面BDE ，∴平面BEG ⊥平面BDE 如图，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，则线段12G G 即点G 的轨迹．【小问2详解】易知可以2O 为坐标原点，2O C ，21O O 所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系2O xyz -，，母线与底面所成角为45°，2AC BD =，22O A ∴=，11O B =，121O O =，取K 的位置如图所示，连接2O K，2CK AC = ，260CO K ∴∠=︒，即230xO K ∠=︒，则)K，()0,2,0A -，()0,1,1B -，()0,2,0C ，()0,1,1D ，则)AK =，)2,1BK =-，)1,0CK =-，)1DK =-．设平面ABK 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AK n BK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113020y y z +=+-=，令1x =11z =，11y =-，)1,1n ∴=-．设平面CDK 的法向量为()222,,m x y z =，则00m CK m DK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y z -=-=，令2x =，则23z =，23y =，)m ∴=．设平面ABK 与平面CDK 所成的角为θ，则cos 35n mn mθ⋅===⋅ ，470sin 35θ∴==．17.素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的．（1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为p （01p <<），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()fp ，求()f p 的极大值点0p ．（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为ζ，求ζ的分布列及数学期望．【答案】（1）18（2）分布列见解析，()127E ζ=【解析】【分析】（1）根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值；（2）先借助分层抽样确定随机变量ζ的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.【小问1详解】24名学生中恰有3名通过测试的概率()()213324C 1f p p p =⋅-，则()()()()()212020323322424C 31211C 3118f p p p p p p pp '⎡⎤=---=⋅--⎣⋅⎦，01p <<，令()0f p '=，得18p =，所以当108p <<时，()0f p '>，()f p 单调递增；当118p <<时，()0f p '<，()f p 单调递减，故()f p 的极大值点018p =．【小问2详解】利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以ζ的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P ζ===，()213437C C 121C 35P ζ===，()123437C C 182C 35P ζ===，()3437C 43C 35P ζ===，则随机变量ζ的分布列为ζ0123P13512351835435()112184120123353535357E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18.已知数列为等比数列，为等差数列，且112a b ==，858a a =，48a b =.（1）求，的通项公式；（2）数列()1122241n n b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，集合*422N n n n S b A nt n n a ++⎧⎫⋅⎪⎪=≥∈⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭，共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列{}n c 中，11c =，()22log 2114nn n a c n b =≥-，求证：1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅< .【答案】（1）2n n a =，2n b n =（2）147(25,]4.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设数列的公比为q ，数列的公差为d ，由已知易得38q =，82716b d =+=，可求n a ，n b ；（2）设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，可求得441424312848n n n n d d d d n ---+++=-，4nS =(6416)n n +，进而可得422(328)(2)2n n nn S b n n na ++++= ，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，可求t 的取值范围为147(25,]4.（3）123n c c c c ⋅⋅ 112[]!(1)!n n =-+，进而计算可得不等式成立.【小问1详解】设数列的公比为q ，数列的公差为d ，则由858a a =，38q =，所以2q =，所以112n nn a a q -==，416a =，即82716b d =+=，所以2=d ，所以1(1)2(1)22n b b n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，则22224414243441424312848n n n n n n n n d d d d b b b b n ------+++=+--=-，所以412344342314(1284880)()()2n n n n n n n S d d d d d d d d ----+=++++++++=(6416)n n =+，4222(6416)2(2)(328)(2)22n n n nn S b n n n n na +++++++== ，令(328)(2)()2n n n f n ++=，1(3240)(3)(328)(2)(1)()22n nn n n n f n f n ++++++-=-()22144113288822n nn n n n +--+---==，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，故当2n =时，()f n 最大，且147(1)60(5)(6)254f f f ===，，所以147254t <≤，即t 的取值范围为147(25,4.【小问3详解】由11,c =222log (2)11(1)(1)14n n n a n nc n n n n b ===≥-+--，则当2n ≥时，()()()1232311324113451n n n c c c c n n n n ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯⨯+ 211112[]2[](1)!(1)!!(1)!n n n n n n +-===-+++，当1n =时，11c =也满足上式，所以12*3112[](N )!(1)!n n n c n c c c =-⋅⋅∈+ ，1121231231111112[1]222!2!3!!(1)!(1)!n c c c c c c c c c c n n n =-+-++-=-⋅<++⋅+⋅⋅+⋅++ ，所以原不等式成立.19.设有n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，称1122,n n a b a b a b a b ⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎣⎦ 为向量a 和b 的内积，当,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，称向量a 和b 正交．设n S 为全体由1-和1构成的n 元数组对应的向量的集合．（1）若1234a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，写出一个向量b ，使得,0a b ⎡⎤=⎣⎦．（2）令[]{},,n B x y x y S =∈．若m B ∈，证明：m n +为偶数．（3）若4n =，()4f 是从4S 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，猜测()4f 的值，并给出一个实例．【答案】（1）1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）（2）证明见解析（3）()44f =，答案见解析.【解析】【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可；（2）根据,n x y S ∈，结合定义，求出[],x y ，即可得证；（3）利用反证法求证.【小问1详解】由定义，只需满足13420234b b b b +++=，不妨取1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）．【小问2详解】对于m B ∈，1i =，2，⋅⋅⋅，n ，存在12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，{}1,1i x ∈-，12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，{}1,1i y ∈-，使得[],x y m = ．当=i i x y 时，1i i x y =；当≠i i x y 时，1=-i i x y ．令1,0,i i i ii x y x y λ=⎧=⎨≠⎩，1λ==∑n i i k ．所以[]()1,2n i i i x y x y k n k k n ===--=-∑ ．所以22+=-+=m n k n n k 为偶数．【小问3详解】当4n =时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即()44f =．不妨取11111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，21111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ ，31111a -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，41111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则有[]12,0a a = ，[]13,0a a = ，[]14,0a a = ，[]23,0a a = ，[]24,0a a = ，[]34,0a a = ．若存在5a ，使[]15,0a a = ，则51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 或1111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭或1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭．当51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]45,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]25,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭时，[]35,4a a =- ，故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．。
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一) 数学试题[含答案]
![湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一) 数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/4ff4af47fe00bed5b9f3f90f76c66137ee064fdd.png)
长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,集合,则（ ）{||1}A x x =<∣{B x y ==∣A B = A ．B ．C ．D ．(1,1)-(0,1)[0,1)(1,)+∞2．已知复数z 满足,则复数在复平面内对应的点位于（ ）i 12i z =-+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件有8个样本点，则（ ）A B +()P AB =A ．B ．C ．D ．231213164．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（ ）{}n a 535S =5113a a ={}n a A ． B ．C ．1D ．33-1-5．已知的展开式中的系数为80，则m 的值为（ ）51(2)my x y x ⎛⎫+-⎪⎝⎭24x y A ．B ．2C ．D ．12-1-6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则ABCD 2,DE EC P = BE (0,0)AP x AB y AD x y =+>>的最小值为（ ）11x y+A ．B ．C D ．47．设,则下列关系正确的是（ ）0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．已知，则1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan 2αβαβπαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-=⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭（ ）cos(44)αβ+=A ． B ． C ． D ．7981-79814981-4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为,则下列说法正确的是（ ）lg 4.8 1.5E M =+A ．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级15.310B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列(1,2,,9,10)n n = an {}an 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，现有四2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 个条件：①;②；③平分;④点P 关于原点对称的点为Q ,且120PF PF ⋅=1260F F P ∠=︒PO 12F PF ∠,能使双曲线C 的离心率为）12||PQ F F =1+A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转ABCD 1OO 1OO DA 1OO 到,则（ ）(0)θθπ≤≤111OO D A A ．圆柱的侧面积为 B ．当时，1OO 4π0θπ<<11DD A C⊥C ．当时，异面直线与所成的角为D ．3πθ=1A D 1OO 4π1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数在上是增函数，且，则的取()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>和的重心分别为的外心为R ,记直线的斜率为,,AC BC OAC ⊥△OBC △,,P Q ABC △,,OP OQ OR 123,,k k k 若，则双曲线E 的离心率为___________．1238k k k =-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数．2()ln ()f x x ax x a =-++∈R （1）若,求函数的单调区间；1a =()f x （2）设函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面1111ABCD A B C D -ABCD 11CC D D 平面为线段的中点，且．11CC D D ⊥,ABCD E 1CD BE CE =（1）求证：平面;AD ⊥11BB D D（2）若,直线与平面的余弦4,2AB AD ==1A E 11BB D D 1D AB D --值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．60a ≤认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习0.10α=软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：．22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C 上一点，且到的距离2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,(2,3)F F A 12,F F 之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段（不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于AB 点M ,N ,若为常数，求与面积的比值．2||||||MN AQ BQ ⋅AQM △AQN △19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：12,,,n a a a (2,3,4,)n n =①；②．1230n a a a a ++++= 1231n a a a a ++++= （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*2k k ∈N n a 12n k ≤≤（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*21k k +∈N n a 121n k ≤≤+（3）记n 阶“曼德拉数列”的前k 项和为,若存在,使,试{}n a (1,2,3,,)k S k n = {1,2,3,,}m n ∈ 12m S =问：数列能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理{}(1,2,3,,)i S i n = 由．长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】，故．故选C ．{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣2．D【解析】，212i (12i)ii 12i 2i 2i i iz z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D z 3．D【解析】根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==知,代入计算可得()()()()P A B P A P B P AB +=+-1()6P AB =故选：D 4．D【解析】,解得,故选D 5151151035;413S a d a a d a =+==+=13,1d a ==5．A 【解析】，55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭在的展开式中，由,51(2)x y x-155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅令，得r 无解，即的展开式没有的项；424r r -=⎧⎨=⎩51(2)x y x -24x y 在的展开式中，由,5(2)my x y -555155(2)()(1)2rr r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅令,解得，5214r r -=⎧⎨+=⎩3r =即的展开式中的项的系数为,5(2)my x y -24x y 35335(1)240mC m --⋅=-又的展开式中的系数为80，5(2)()x my x y +-24x y 所以,解得,故选A ．4080m -=2m =-6．C【解析】正方形中，,则,ABCD 2DE EC = 2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=-而,则，AP x AB y AD =+ 2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又点B,P ,E 共线，于是,即,而，213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭13yx +=0,0x y >>因此，1111443333y x y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号，3x y y x=y ==所以当时，．x y ==11x y +故选：C 7．C【解析】记．()e 1,(0)xf x x x =--≥因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，()e 1xf x '=-0x >()0f x '>()f x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0f x f >=1xe x ->0.03e 10.03->记．()ln(1),(0)g x x x x =+-≥因为，所以在上单调递增函数，1()1011xg x x x-'=-=<++()g x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0g x g <=ln(1)x x +<ln1.030.03<所以．记．c b >()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+因为，所以当时，，2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>所以在上单调递增函数，()h x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0h x h >=ln(1)1x x x +>+0.033ln1.0310.03103>=+所以,综上所述：．b a >c b a >>故选：C 8．A【解析】，1tan 1tan()tan 622tan 2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭．2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭，2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=又因为，所以，tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3cos sin αβαβ=则,所以11cos sin ,sin cos 62αβαβ==2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当时，由题意得,15.310E =15.3lg104.8 1.5M =+解得,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；7M =对于B:八级地震即时，,解得,8M =1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=16.8110E =所以，16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B 错误；1.510对于C:六级地震即时，,解得,6M =2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=13.8210E =所以,16.83113.821010100010E E ===即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得,lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= 所以，所以4.8 1.510n n a += 4.8 1.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以，即数列是等比数列，故D 正确；6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++=={}an 故选：ACD 10．AD【解析】③平分且为中线，可得,PO 12F PF ∠PO 12PF PF =点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：可得,1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=21,PF c PF ==，即离心率为，成立；2c a -=1c e a ===+若选②④：，点P 关于原点对称的点为Q ,1260F F P ∠=︒且，可得四边形为矩形，12||PQF F =12F QF P 即可得,1212,2PF PF F F c ⊥=12,PF c PF ==,即离心率为,成立；2c a -=1c e a ===+故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱的侧面积为，A 错误；1OO 2112ππ⨯⨯=对于B,因为，所以,又,0θπ<<11DD D C ⊥111DD A D ⊥所以平面,所以,B 正确；1DD ⊥11A D C 11DD A C ⊥对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以111A D OO ∥11DA D ∠1A D 1OO 113DO D π∠=为正三角形，所以,因为,所以，C 正确；11DO D △1111DD A D ==111A D DD ⊥114DA D π∠=对于D,作,垂足为E ,连接,所以平面,所以．1D E DC ⊥1A E DC ⊥11A D E 1A E DC ⊥在中，11Rt A D E △1A E ==≤=,所以,D 错误．1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△()1maxA CDS =△故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；BA ②走路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；BC ③走路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；BE 综上，共有种检测顺序．()266432⨯++=故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由可知，，得，3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32442T nT πππ+=-=,21T n n π=∈+Z 所以,2||42n Tπω==+又函数在上是增函数，()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，所以，7212212T πππ≥-=6T π≥||12ω≤所以，的可能取值为．ω2,6,10±±±当时，由解得，0ω>2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z 经检验，,6,10时不满足题意；2ω=当时，由解得,0ω<2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z 经检验，时满足题意．2,6ω=--所以，的可能取值为．12f π⎛⎫-⎪⎝⎭1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线与双曲线有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，y kx m =+22221x y a b -=联立方程组，整理得,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=可得,则，22222G H a km x x b a k +=-22222G H K x x a kmx b a k+==-又由在直线上，可得，(),K K K x y y kx m =+22222222K a km b my m b a k b a k =+=--所以，所以，22K OKK y b k x ka ==22GH OK b k k a ⋅=即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值，22b a如图所示，取的中点M ,N ,,AC BC 因为的重心P 在中线上，的重心Q 在中线上，OAC △OM OBC △ON所以,可得，12,OP OM OQ ON k k k k k k ====22$OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=即，2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=又由,可得，可得AC BC ⊥1AC BCk k ⋅=-22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为,且的外心为，点R ,则R 为线段的中点，AC BC ⊥ABC △AB 可得，因为，所以，22OR ABb k k a ⋅=1AB k =22OR b k a=所以，所以，3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ba =所以c e a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当时，的定义域为,1a =2()ln ,()f x x x x f x =-++(0,)+∞，2121()21x x f x x x x-++'=-++=令,则,解得,()0f x '>2210x x --<01x <<令,则,解得．()0f x '<2210x x -->1x >∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．()f x (0,1)(1,)+∞（2）令,则．2()ln 0f x x ax x =-++=ln xa x x=-令，其中，ln ()x g x x x =-1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则．2221ln ln 1()1x xx x x g x x x⋅-+-'=-=令,解得,令,解得．()0g x '>1e x <≤()0g x '<11ex ≤<的单调递减区间为，单调递增区间为,()g x ∴1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1,e]．min ()(1)1g x g ∴==又,函数在上有两个零点，111e ,(e)e e ee g g ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是．a ∴11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦16．解：（1）在中，E 为线段的中点，且,所以,1BCD △1CD BE CE =1D E CE BE ==所以为直角三角形，且，所以,111,2BE CD BCD =△190CBD ∠=︒1D B BC ⊥因为底面为平行四边形，,所以,ABCD AD BC ∥1AD D B ⊥又因为四边形为矩形，所以,11CC D D 1D D DC ⊥因为平面平面,平面平面平面,11CC D D ⊥ABCD 11CC D D 1,ABCD DC D D =⊂11CC D D 所以平面,1D D ⊥ABCD 因为平面,所以,AD ⊂ABCD 1AD D D ⊥因为平面,11111,,D D D B D D D D B =⊂ 11BB D D 所以平面．AD ⊥11BB D D （2）因为平面平面,所以,AD ⊥11,BB D D BD ⊂11BB D D AD BD ⊥由（1）知平面,又平面,所以,11,D D AD D D ⊥⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D D BD ⊥所以两两垂直，1,,DA DB DD 以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，DA DB所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1DD 在中，,所以,Rt ADB △4,2AB AD ==DB ==设,则,1(0)DD t t =>1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭易知平面的一个法向量为,11BB D D (2,0,0)DA =设直线与平面所成的角为,1A E 11BB D D θ则,解得111sin cos ,||A E DAA E DA A E DA θ⋅====t =所以,11(0,0,(2,0,D AD =-设平面的法向量为1ABD (,,)m x y z =则，令,12020AB m x AD m x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x =m = 易知平面的一个法向量为,ABCD (0,0,1)n =则，cos ,||||m n m n m n ⋅===易知二面角是锐角，故二面角1D AB D --1D AB D --17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得，2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--得．57.38a >易知a 为5的倍数，且，所以,60a ≤60a =所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．806020-=（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，24:163:2=所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有310632⨯=+（人），210432⨯=+所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，4312266464444101010C C C C C 151808903(0),(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============．134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======X 的分布列为：X 01234P114821374351210所以．183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．1228AF AF a +==4a =又为椭圆C 上一点，所以，(2,3)A 22491a b+=将代入，得,4a =212b =所以椭圆C 的标准方程为．2211612x y +=（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以,直线的方程为．()2,3B --AB 32y x =设,则直线的方程为,()()2,311Q t t t -<<MN ()32y t k x t -=-联立得，可得,22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=由点Q 在椭圆内，易知，0∆>不妨令,则，()()1122,,,M x y N x y 221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++所以．()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x k x x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+又,()2||||131AQ BQ t ⋅==-所以为常数，()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-则需满足为常数，22221612(32)1k t k t+---（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得．221612(32)k k +=-12k =-将代入，可得,得，12k =-1228(23)43kt k x x k -+=+124x x t +=1222x x t +=所以Q 为的中点，MN 所以．||1||AQM AQNS MQ S NQ ==△△19．解：（1）设等比数列的公比为q ．1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 若，则由①得,得,1q ≠()21122101k k a q a a a q-+++==- 1q =-由②得或．112a k =112a k=-若,由①得，,得,不可能．1q =120a k ⋅=10a =综上所述，．1q =-或．11(1)2n n a k -∴=-11(1)2n n a k-=--（2）设等差数列的公差为d ,12321,,,,(1)k a a a a k +≥ ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k dk a a kd +∴++=+=即,120,k k a a d ++=∴=当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，0d =当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，0d >，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，即，(1)122k k kd d -∴+=1(1)d k k =+由得，即，10k a +=110(1)a k k k +⋅=+111a k =-+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=-+-⋅=-∈≤++++N 当时，同理可得，0d <(1)122k k kd d -+=-即．1(1)d k k =-+由得,即，10k a +=110(1)a k k k -⋅=+111a k =+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=--⋅=-+∈≤++++N 综上所述，当时，,0d >()*1,21(1)n n a n n k k k k∴=-∈≤++N 当时，．0d <()*1,21(1)n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）记中非负项和为A ,负项和为B ,则,12,,,n a a a 0,1A B A B +=-=得，即．1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=1(1,2,3,,)2k S k n ≤= 若存在，使，由前面的证明过程知：{1,2,3,,}m n ∈ 12m S =，且． 12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ 1212m m n a a a +++++=- 若数列为n 阶“曼德拉数列”，{}(1,2,3,,)i S i n = 记数列的前k 项和为,则．{}(1,2,3,,)i S i n = k T 12k T ≤，1212m m T S S S ∴=+++≤又,1211,02m m S S S S -=∴==== ．12110,2m m a a a a -∴===== 又，1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ 又与不能同时成立，1230n S S S S ++++= 1231n S S S S ++++= ∴数列不为n 阶“曼德拉数列{}(1,2,3,,)i S i n =。
2017年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编 专题06 数列(第01期) 含解析
一．基础题组1。
【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】已知等差数列{}na 的前n 项和nS 满足350,5SS ==，数列21211{}n n a a -+的前2016项的和为 。
【答案】20164031-考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和．2. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）(开学考试）】已知等比数列{}na 中,262,8a a ==，则345a a a =( ）A ．64±B ．64C ．32D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==，而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==. 考点：等比数列的性质．3。
【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一)（开学考试）】 数列{}na 满足()121112n n an N a a *+=+=∈,记212n n n b a =，则数列{}nb 的前n 项和nS = ．【答案】2332nn +-【解析】 试题分析：11n a +=得221112n n a a +-=,且2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以211(1)221nn n a =+-⨯=-，从而得到2121n a n =-，则212nnn b-=， 所以21321222nn n S-=+++，231113232122222nn n n n S +--=++++, 两式相减,得2111111121222222n n n n S -+-=++++-1111121323122222n n n n n -++-+=+--=- 所以2332nnn S+=-. 考点：错位相减法求和．【名师点睛】利用错位相减法求数列的前n 项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的1n -项是一个等比数列．4。
湖南省长沙市2025届高三上学期(9月)综合自主测试数学试题含答案
2025届高三综合自主测试（9月）数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合()(){}140A x x x =+-<，{}20B x x a =+<，且{}13A B x x ⋂=-<<，则a =（）A.6B.4C.4- D.6-【答案】D 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】{}14A x x =-<<，2a B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，∵{}13A B x x ⋂=-<<，∴32a-=，∴6a =-，故选：D.2.已知111i iz =-+，则z =（）.A.B.2C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】先根据复数的乘法运算求出复数z ，再根据共轭复数的定义和复数的模的公司及即可得解.【详解】由111i 1i iz =-=++，得()21i 2i z =+=，则2i z =-，所以2z =.故选：C .3.已知()()πsin 3f x x ωω⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N 的图象与直线y a =在区间[]0,π上存在两个交点，则当ω最大时，曲线()y f x =的对称轴为（）A.ππ244k x =+，k ∈Z B.ππ305k x =+，k ∈Z C.5ππ244k x =+，k ∈Z D.ππ65k x =+，k ∈Z【答案】D 【解析】【分析】先根据条件求出ω的取值范围，再求出对称轴.【详解】当[]0,πx ∈时πππ,π333x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，要使得()f x 的图象与直线y a =存在两个交点，则ππ11ππ232ω<-<，解得53566ω<<，又因为N ω∈，所以{}1,2,3,4,5ω∈，所以max 5ω=，此时曲线()y f x =的对称轴为ππ5π32x k -=+，k ∈Z ，解得ππ65k x =+，k ∈Z ，故选：D 4.函数()x x f x -=）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项.【详解】设())ln g x x =，对任意R x ∈x x >≥，0x ->，所以()g x 的定义域为R ，())lng x x-=xx+=)()lnx g x ==--=-，所以函数())ln g xx =为奇函数.令())ln 0gx x ==，1x -=1x =+，所以10x+≥，可得1x ≥-，1x =+可得()2211x x +=+，解得0x =，所以()x x f x -={}0x x ≠，又()()()2222()x x x xg x x g x --++--==-=-，所以函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x>时，)lnx =是减函数，则))lnln0ln10x <==，220x x -+>，所以()0f x <，排除A 选项.故选：C5.若平面单位向量a ，b ，c 满足π6a b = ，，0b c ⋅=，0a c ⋅< ，则2b c a c+=+（）A.B.C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】先根据题意确定2,3a c π= ，得到12a c ⋅=-，再根据2b c a c+=+进行求解，或在平面直角坐标系中设出a ，b ，c的坐标，利用坐标运算进行求解．【详解】解：法一由,6a b π= ，0b c ⋅= ，0a c ⋅< 得2,623a c πππ=+= ，所以12a c ⋅=- ，所以2b c a c +==+ ，故选：A ．法二由题意可设()1,0a =，1,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()cos ,sin c αα= （02απ≤<），则31cos sin 022b c αα⋅=+=，得tan α=，又cos 0a c α⋅=< ，则2π3α=，故13,22c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以2b c a c+=+故选：A6.石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD ，如图（2），砖雕厚度为6cm ，80cm AD =， 3CDAB =， CD 所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：2cm ）（）A.3200πB.480π960+C.6880π960+D.3680π960+【答案】C 【解析】【分析】先求出 60πcm CD =， 20πcm AB =，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环ABCD 的面积可得该梅花砖雕的表面积.【详解】延长DA 与CB 交于点O ．由 3CDAB =，80cm AD =，得40cm OA =，120cm OD =．因为 CD 所对的圆心角为直角，所以 60πcm CD =， 20πcm AB =．所以该梅花砖雕的侧面积 ()()26480π960cm S CDAB AD BC =+++=+侧，扇环ABCD 的面积为()()2221π120π403200πcm 4⨯-⨯=，则该梅花砖雕的表面积()2480π96023200π6880π960cm S =++⨯=+表面积．故选：C ．7.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为()00,M x y ，且0||21,(,2)AB x Q t t =+--，若点P 在抛物线C 上，则||PQ 的最小值为（）A.324B.322C.334 D.32【答案】A 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，()00,M x y ，从而得到1202x x x +=，利用抛物线的定义得到0||2AB x p =+，解得1p =，根据题意可知点Q 在直线:20l x y ++=上，故将||PQ 的最小值转化为求与l 平行的切线与直线l 之间的距离.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由AB 的中点为()00,M x y ，得1202x x x +=，由抛物线的定义可得120||2AB x x p x p =++=+，又0||21AB x =+，所以1p =，故抛物线C 的方程为22y x =．易知点Q 在直线:20l x y ++=上，设与l 平行且与抛物线C 相切的直线方程为0x y m ++=，由202x y m y x++=⎧⎨=⎩，可得22(22)0x m x m +-+=，则22(22)40m m ∆=--=，得12m =，则切线与直线l 之间的距离即||PQ 的最小值，故||PQ324=．故选：A8.已知数列{}n a 满足1111113,2,4(1)(n n n n n n a a a b a a +++=-==-+，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，不等式()*3(35)n T n λλ<-∈N 恒成立，则λ的取值范围为（）A.1(,)10+∞ B.1(,)5+∞ C.11(,)102D.12(,55【答案】D 【解析】【分析】求出数列{}n a 的通项，再分奇偶求出n T 半探讨其范围，并建立关于λ的不等式求解即得.【详解】由113,2n n a a a +=-=，得数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，则21n a n =+，于是1111(1)(42123n n b n n +=⨯-⨯+++，当n 为偶数时，1111111111111435577991121212123n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111()4323n -+，当n 为奇数时，111114325n n n T T b n ++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭111111()()423254323n n n +=++++，当n 为偶数时，1111()432312n T n =-<+；当n 为奇数时，11112()432315n T T n =+≤=+，因此()max 215n T =，由不等式()*3(35)n T n λλ<-∈N 恒成立，得225153λλ<-，即2320525λλ-+<，解得1255λ<<，所以λ的取值范围为12(,)55.【点睛】易错点睛：利用裂项相消法求和时，应注意：（1）抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原项相等．二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知0,0a b >>，直线12:(2)10,:20l x a y l bx y +-+=+-=，且12l l ⊥，则（）A.01ab <≤B.2≤ C.222a b +< D.23b a b+≥【答案】ABD 【解析】【分析】利用12l l ⊥，找到2a b +=，结合基本不等式及不等式的性质逐一判断即可.【详解】12,1(2)10,2l l b a a b ⊥∴⨯+-⨯=∴+= ，且0,0a b >>，所以2012a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，故A 正确；22()4a b a b +=+++=，当且仅当a b =时等号成立，2≤，故B 正确；222222(2)2442(1)22a b a a a a a +=+-=-+=-+≥，故C 错误；2113b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥+=，当且仅当b a a b =，即1a b ==时等号成立，故D 正确．故选：ABD.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 、F 、G 分别在棱11D A 、11D C 、1A A 上，满足11111114D E D F D A D C ==，11(0)A GA Aλλ=>，记平面EFG 与平面11A B CD 的交线为l ，则（）A.存在(0,1)λ∈使得平面EFG 截正方体所得截面图形为四边形B.当34λ=时，三棱锥B EFG -体积为32C.当34λ=时，三棱锥1A EFG -的外接球表面积为34πD.当12λ=时，直线l 与平面ABCD所成的角的正弦值为33【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，对λ分情况讨论，图形展示即可；对于B ，当34λ=时，1111134A G A E A A A D ==，得出1//C B 平面EFG ，利用等体积可求体积；对于C ，当34λ=时，三棱锥1A EFG -的外接球心在过线段E 的中点，且垂直于平面11A D DA 的直线上，可求出2r =，得表面积；对于D ，求出l 的方向向量与平面ABCD 法向量，利用向量公式可得答案.【详解】设正方体的棱长为4，以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：对于A 选项，1λ=时，G 在A 点，11111114D E D F D A D C ==，由11//EF A C 可知//EF AC ，所以截面EFG 即为四边形EFCA ；(0,1)λ∈由图形知，截面EFG 为五边形或六边形．故A错误．对于B 选项，当34λ=时，1111134A G A E A A A D ==，所以11////EG D A C B ，所以1//C B 平面EFG ，11B EFG C EFG G C EF V V V ---==，又1GA ⊥平面1EFC ，所以11111133133322G C EF C EF V S GA -⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，三棱锥B EFG -体积为32，故B 正确．对于C 选项，当34λ=时，11A G A E =且11A B ⊥平面1A EG ，所以根据球的性质容易判断，三棱锥1A EFG -的外接球的球心在过线段EG 的中点，且垂直于平面11A D DA 的直线上，(1,0,4)E ，(4,0,1)G ，所以EG 的中点55,0,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，可记球心55,,22O t ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1,4)F ，外接球的半径r OE OF ====52=t，2r =，所以三棱锥1A EFG -的外接球表面积为43π，故C 错误．对于D 选项，当12λ=时，(4,4,0)B ，1(0,4,4)C ，(4,0,2)G ，(1,0,4)E ，(0,1,4)F ，所以1(4,0,4)BC =- ，(3,0,2)GE =- ，(1,1,0)EF =- ，设平面EFG 的一个法向量为()111,,p x y z =，则11113200p GE x z p EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12x =，则12y =，13z =，所以可取(2,2,3)p = ，由1⊥BC 平面11A B CD 知，平面11A B CD 的法向量为1(4,0,4)BC =-，记平面EFG 与平面11A B CD 的交线l 的一个方向向量为()222,,m x y z =，则2221222230440m p x y z p BC x z ⋅=++=⎧⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令22x =，则25y =-，22z =，所以可取(2,5,2)m =- ，又平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n =，则2m n ⋅=r r，m =，1n =，设l 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin cos ,33m n m n m n θ⋅=〈〉===，故D 正确．故选：BD ．11.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，若()g x 为奇函数，则（）A.()22f = B.()()042g g ''+=- C.()()13f f -=- D.()()44g g ''-=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知()g x '为偶函数，()()42'+-=-'g x g x ，且()g x '的周期为8，利用赋值法结合题意逐项分析判断.【详解】已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，因为()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，可得()()42'+-=-'g x g x ，又因为()g x 为奇函数，则()()g x g x =--，可得()()g x g x ''=-，即()g x '为偶函数，则()()42+=''--g x g x ，即()()42''++=-g x g x ，可得()()842''+++=-g x g x ，所以()()8x g x g ''+=，可知()g x '的周期为8.对于选项A ：因为()()42'+-=-'g x g x ，()()1f x g x +'=令2x =，则()()222''+=-g g ，()()221+='f g ，可得()21g '=-，()22f =，故A 正确；对于选项B ：因为()()42'+-=-'g x g x ，令0x =，可得()()042g g ''+=-，故B 正确；对于选项C ：因为()()42'+-=-'g x g x ，且()g x '为偶函数，则()()42''-++=-g x g x ，令1x =-，可得()()132''+=-g g ，又因为()()1f x g x +'=，令1,3x =-，则()()111'-+-=f g ，()()331+='f g ，可得()()()()13132'-++-+='f f g g ，可得()()134f f -+=，但由题设条件无法推出()()13f f -=-，故C 错误；对于选项D ：因为()g x '的周期为8，故()()44g g ''-=，故D 正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知n ∈Z ，且36n ≤≤，若31nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，则展开式中4x -的系数为______.【答案】6【解析】【分析】根据展开式通项公式及存在常数项确定4n =，再求出展开式中含4x -的项即可得解.【详解】31nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为341(1)C (1)C r r n r r r r n r r n n T x x x ---+=-⋅=-，36n ≤≤因为存在常数项，所以4n r =，故只有当1,4r n ==时满足题意，即求431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含4x -的项的系数，令444r -=-，即2r =，所以展开式中含4x -的项为22444(1)C 6x x ---=，所以展开式中4x -的系数为6.故答案为：613.已知()f x 是定义域为(4,4)-的奇函数.若以点(2,0)为圆心，半径为2的圆在x 轴上方的部分恰好是()y f x =图像的一部分，则()f x 的解析式为___________.【答案】()[)()0,44,0x f x x ∈=∈-⎪⎩【解析】【分析】求出给定圆的方程，再根据给定条件结合奇函数的定义求出()f x 的解析式.【详解】以点()2,0为圆心，半径为2的圆的方程为22(2)4x y -+=，则该圆在x轴上方的部分的方程为)04y x =<<，由()f x 是奇函数，得(0)0f =，当(4,0)∈-x 时，(0,4)x -∈，()()f x f x =--=，所以()f x 的解析式为()[)()0,44,0x f x x ∈=∈-⎪⎩.故答案为：()[)()0,44,0x f x x ∈=∈-⎪⎩14.如图，对于曲线G 所在平面内的点O ，若存在以O 为顶点的角α，使得对于曲线G 上的任意两个不同的点,A B 恒有AOB α∠≤成立，则称角α为曲线G 的相对于点O 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G 的相对于点O 的“确界角”.已知曲线C ：12e 1,011,016x x x y x x -⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩（其中e 是自然对数的底数），点O 为坐标原点，曲线C 的相对于点O 的“确界角”为β，则sin β=____________.【答案】1【解析】【分析】求过原点曲线的两条切线，求解两切线的夹角即可.【详解】函数12e 1,011,016x x x y x x -⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，因为110,0()e x x y x -'=>>+，所以该函数在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.过原点作1e 1x y x -=+的切线，设切点()1111,e1x A x x -+，由()11e x y x -=+'，则切线OA 的斜率为()11111e x k x -=+，直线()()()1111111:e11e x x OA y x x x x ---+=+-过()0,0，∴()11112111e1e x x x x x ----=--，∴11211e 10(0)x x x --=>，即1121e x x --=，由函数1e x y -=与2y x -=的图象在(0,)+∞有且只有一个交点，且当11x =时满足方程，故方程有唯一解11x =，则12k =；过原点作21116y x =+的切线，设切点2221,116B x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由81y x '=，得切线OB 的斜率2218k x =，则切线()222211:1168OB y x x x x ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭过原点(0,0)，则有22222)11116(80x x x -=≤--，∴24x =-，则212k =-，则有121k k =-，∴两切线垂直，曲线C 的相对于点O 的“确界角”为β，则π2β=，sin 1β=.故答案为：1.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.某校组织了科技展参观活动，学生自愿参观，事后学校进行了一次问卷调查，分别抽取男、女生各40人作为样本．据统计：男生参观科技展的概率为45，参观科技展的学生中女生占13．（1）根据已知条件，填写下列22⨯列联表，试根据小概率值0.01α=的独立性检验，分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关．参观科技展未参观科技展合计男生女生合计（2）用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量X 表示女生人数，求X 的分布列和数学期望．参考公式和数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0．10．050．0250．010．001a x 2．7063．8415．0246．63510．828【答案】（1）列联表见解析，与性别有关（2）分布列见解析，2【解析】【分析】（1）根据概率可完善二联表，即可根据卡方公式计算，与临界值比较即可求解，（2）根据分层抽样可得抽男生8人，女生4人，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，由期望公式即可求解.【小问1详解】因为男生参观科技展的概率为45，所以参观科技展的男生人数为440325⨯=．因为参观科技展的学生中女生占13，所以参观科技展的人数为3248113=-．则参观科技展的女生人数为483216-=．结合男、女生各有40人，填写22⨯列联表如下：参观科技展未参观科技展合计男生32840女生162440合计483280零假设为0H ：学生参观科技展情况与性别无关．根据列联表中的数据，计算得到()228032248164013.333 6.635404048323χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯．根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为该校学生参观科技展情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．【小问2详解】用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，抽男生8人，女生4人，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4，则()6084612C C 10C 33P X ===，()5184612C C 81C 33P X ===，()4284612C C 52C 11P X ===，()3384612C C 83C 33P X ===，()2484612C C 14C 33P X ===．所以X 的分布列为X 01234P 133833511833133所以()185810123423333113333E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．16.在ABC V 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，ABC V 的面积为S ，()2sin 213sin A B S b B ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦．（1）求角A ．（2）若ABC V 的面积为a =，D 为边BC 的中点，求AD 的长．【答案】（1）π3A =（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角形面积公式求解角A 即可.（2）利用余弦定理得到2225b c +=，再结合向量中线定理转化求解即可.【小问1详解】由题意得2sin2cos cos2sin 13sin A B A B S b B +⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭()22222cos sin 2sin cos cos 2cos sin 2cos sin sin sin sin A A B A A B A B A C b b b B B B++=⋅=⋅=⋅，由正弦定理，得2432cos 3c A S b b =⋅，即431sin 2cos 32bc A bc A ⨯=，所以tan A =．又()0,πA ∈，所以π3A =．【小问2详解】因为ABC V 的面积为所以1πsin 23bc =，所以12bc =．因为a =，所以22π2cos 133b c bc +-=，即2213b c bc +-=，所以2225b c +=．因为D 是边BC 的中点，所以()12AD AC AB =+ ，所以()()2222211372cos 444AD b c bc A b c bc =++=++= ，所以2AD =uuu r ，所以AD 的长为2．17.如图（1），在ABC V 中，CD AB ⊥，224BD CD AD ===，点E 为AC 的中点．将ACD 沿CD 折起到PCD △的位置，使DE BC ⊥，如图（2）．（1）求证：PB PC ⊥．（2）在线段BC 上是否存在点F ，使得CP DF ⊥？若存在，求二面角P DF E --的余弦值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，64【解析】【分析】（1）先利用线线垂直推导线面垂直，得DE ⊥平面PCB ，即得DE PB ⊥；同法再证CD ⊥平面PDB ，得CD PB ⊥；则得PB ⊥平面PCD ，故PB PC ⊥；（2）根据题设条件和（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，由CP DF ⊥求得()DF = ，再分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得.【小问1详解】依题意可知点E 为PC 的中点，2PD CD ==，所以DE PC ⊥．又DE BC ⊥，BC PC C ⋂=，BC ，PC ⊂平面PCB ，所以DE ⊥平面PCB ．又PB ⊂平面PCB ，所以DE PB ⊥．依题意可知CD PD ⊥，CD BD ⊥，BD PD D = ，BD ，PD ⊂平面PDB ，所以CD ⊥平面PDB ．又PB ⊂平面PDB ，所以CD PB ⊥．因为CD DE D = ，CD ，DE ⊂平面PCD ，所以PB ⊥平面PCD ．又PC ⊂平面PCD ，所以PB PC ⊥．【小问2详解】由题意，得PC AC ===，BC ==，由（1）PC PB ⊥，所以PB ==．以点D 为坐标原点，DP ，DC 所在直线分别为x 轴、z 轴，过点D 且平行于PB 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0D ，()2,0,0P ，()0,0,2C ，()1,0,1E ，()2,B ．所以()2,0,2CP =- ，()2,0,0DP = ，()1,0,1DE = ．设()01BF tBC t =≤≤，即()2,,2BF tBC t t ==--，则()22,,2F tt -，()22,,2DF t t =- ．若存在点F ，使得CP DF ⊥，则480CP DF t ⋅=-=，解得12t =，则()DF = ．设平面PDF 的法向量为()111,,m x y z = ，则11110,20.m DF x z m DP x ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令11y =，得10x =，1z =，所以平面PDF 的一个法向量为(0,1,m = ．设平面DEF 的法向量为()222,,n x y z =，则222220,0.n DE x z n DF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 令21x =，得20y =，21z =-，所以平面DEF 的一个法向量为()1,0,1n=- ．所以6cos ,4m n m n m n ⋅=== ．由图可知，二面角P DF E --为锐角，故二面角P DF E --的余弦值为4．18.费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN 为6，且MN 与x 轴交于点()2,0-．平行于x 轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点2,0处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C ，试判断C 属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．（2）设曲线F 为解析式同C 的完整圆锥曲线，直线l 与F 交于A ，B 两点，交y 轴于点H ，交x 轴于点Q（点Q 不与F 的顶点重合）．若12HQ k QA k QB == ，1283k k +=-，试求出点Q 所有可能的坐标．【答案】（1）C 为双曲线的一部分，解析式为()221213y x x -=-≤≤-（2）()2,0或()2,0-【解析】【分析】（1）设()00,T x y ，根据光线经凸透镜至像点的总光程为定值建立等量关系，简、整理即可得解；（2）设出H ，Q 的坐标，根据向量的坐标运算得到A ，B 的坐标，将点A ，B 的坐标代入F 的方程，得到两个方程，根据根与系数的关系及1283k k +=-建立方程，解方程即可【小问1详解】设C 上任意一点()00,T x y ，00x <，光线从点N 至点2,0的光程为1δ，光线穿过凸透镜后从T 点折射到点2,0的光程为2δ，则115δ==，()20221x δ=⨯++，由题意得12δδ=，得()0225x ++=，化简得012x -=，2220000014444x x x x y ∴+-=+-+，220013y x ∴-=．令00y =，得01x =-，C ∴为双曲线的一部分，解析式为()221213y x x -=-≤≤-．【小问2详解】由题意知22:13y F x -=．设()0,H n ，()(),01Q m m ≠±，(),A A A x y ，(),B B B x y ，则(),HQ m n =- ，(),A A QA x m y =- ，(),B B QB x m y =- ，12HQ k QA k QB == ，()11A A m k x m n k y ⎧=-∴⎨-=⎩，()22B Bm k x m n k y ⎧=-⎨-=⎩，易知10k ≠，20k ≠，得111A A mk m x k n y k +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，222B B mk m x k n y k +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即111,mk mn A k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，222,mk m n B k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．将点A 的坐标代入2213y x -=，得22222112211213m k m k m n k k ++-=，化简整理得()22222111203n m k m k m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭．同理可得()22222221203n m k m k m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，1k ∴与2k 为方程()222221203n m x m x m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭的两个解，212221m k k m ∴+=--．由题知1283k k +=-，222813m m ∴-=--，解得2m =±，∴点Q 的坐标可能为2,0或()2,0-.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与直线的位置关系，关键是将向量坐标化，并将点代入曲线得到关于k 的二次方程，结合韦达定理求解.19.已知函数()()21e 2e 22x x f x a ax =+--．（1）若曲线()y f x =在30,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为4210ax y ++=，求a 的值及()f x 的单调区间．（2）若()f x 的极大值为()ln2f ，求a 的取值范围．（3）当0a =时，求证：()2535e ln 22x f x x x x +->+．【答案】（1）1a =，单调递减区间是(),ln2-∞，单调递增区间是()ln2,+∞（2）(),2-∞-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据点斜式求解切线方程，即可与4210ax y ++=对比可得1a =，即可利用导数的正负确定函数单调性，（2）求导得()()()e e 2x x f x a =+-'，即可对a 分类讨论求解导数的正负求解单调性，（3）将不等式变形为只需要证明222151e 2e 2ln e 222x x x x x x x +-->--，构造函数()2215e 2e 222x x h x x =+--，利用导数求证()0h x >，构造函数()ln x t x x =和()2e 12x x x ϕ=+，利用导数分别证明()()x t x ϕ>，即可求证21ln e 02x x x x >--，进而可求解.【小问1详解】由题意，得()()2e 2e 2x x f x a a -'=+-，所以()01f a '=--．因为曲线()y f x =在30,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为()312y a a x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，又4210ax y ++=，所以21a a -=--，所以1a =．所以()()()2e e 2e 2e 1x x x x f x =--=-+'．令()0f x '<，得ln2x <；令()0f x '>，得ln2x >．所以函数()f x 的单调递减区间是(),ln2-∞，单调递增区间是()ln2,+∞．【小问2详解】由题意得()()()()2e 2e 2e e 2x x x x f x a a a =+--=+-'．当0a ≥时，令()0f x '>，得ln2x >；令()0f x '<，得ln2x <．所以()f x 在(),ln2-∞上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，此时()f x 只有极小值，不符合题意．当a<0时，令()0f x '=，得1ln2x =，()2ln x a =-．因为()f x 的极大值为()ln2f ，所以()ln2ln a <-，解得2a <-．综上，a 的取值范围为(),2-∞-．【小问3详解】当0a =时，()21e 2e 2x x f x =-．要证()2535e ln 22x f x x x x +->+，即证22135e 2e ln e 222x x x x x x +-->-，只需证222151e 2e 2ln e 222x x x x x x x +-->--．先证：2215e 2e 2022x x x +-->，0x >．设()2215e 2e 222x x h x x =+--，0x >，则()2e 2e 4x x h x x =+-'．设()2e 2e 4x x m x x =+-，0x >，则()()()22e 2e 42e 1e 20x x x x m x =+-=+'->．所以函数()m x 在()0,∞+上单调递增，则()()030m x m >=>，即()0h x '>，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()00h x h >=，所以2215e 2e 2022x x x +-->．再证：21ln e 02xx x x --<，0x >，即证2ln e 12x x x x <+．设()ln x t x x =，则()21ln x t x x -'=．当()0,e x ∈时，()0t x '>，()t x 单调递增；当()e,x ∈+∞时，()0t x '<，()t x 单调递减．所以()()1e et x t ≤=．设()2e 12x x x ϕ=+，0x >，则()()32e x x x xϕ-'=．当()0,2x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增．所以()()2e 1242x ϕϕ≥=+．所以22ln 1e 1e 1e 422x x x x ≤<+≤+，即2ln e 12x x x x <+．综上，222151e 2e 2ln e 222x x x x x x x +-->--得证．故()2535e ln 22x f x x x x +->+．【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(含答案)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( )A.A∩B={x|x<32}B.A∩B=⌀C.A∪B={x|x<32}D.A∪B=R2.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)4.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π45.已知F是双曲线C:x2-y 23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )A.13B.12C.23D.326.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )7.设x,y满足约束条件{x+3y≤3,x-y≥1,y≥0,则z=x+y的最大值为( )A.0B.1C.2D.38.函数y=sin2x1-cosx的部分图象大致为( )9.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A. f(x)在(0,2)单调递增B. f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称10.下面程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2C.A≤1 000和n=n+1D.A≤1 000和n=n+211.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( )A.π12B.π6C.π4D.π312.设A,B是椭圆C:x 23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,√3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,√3]∪[4,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .14.曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为.15.已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos(α-π4)= .16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;,求该四棱锥的侧面积.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为8319.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x =116∑i=116x i =9.97,s=√116∑i=116(x i -x )2=√116(∑i=116x i 2-16x 2)≈0.212,√∑i=116(i -8.5)2≈18.439,∑i=116(x i -x )(i-8.5)=-2.78,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x -3s,x +3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ii)在(x -3s,x +3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01) 附:样本(x i ,y i )(i=1,2,…,n)的相关系数r=∑i=1n(x i -x )(y i -y )√∑i=1n (x i -x )√∑i=1n(y i -y ).√0.008≈0.09.20.(12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM⊥BM,求直线AB 的方程.21.(12分)已知函数f(x)=e x(e x-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =a +4t ,y =1-t(t 为参数). (1)若a=-1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17,求a.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.A 本题考查集合的运算.由3-2x>0得x<32,则B={x |x <32},所以A∩B={x |x <32},故选A.2.B 本题考查样本的数字特征.统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选B.3.C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义. A.i(1+i)2=i×2i=-2; B.i 2(1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C. 4.B 本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8,故选B.5.D 本题考查双曲线的几何性质. 易知F(2,0),不妨取P 点在x 轴上方,如图.∵PF⊥x 轴,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3), ∴|AP|=1,AP⊥PF, ∴S △APF =12×3×1=32.故选D.6.A 本题考查线面平行的判定.B 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;C 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;D 选项中,AB ∥NQ,且AB ⊄平面MNQ,NQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ.故选A.7.D 本题考查简单的线性规划问题. 作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y 在A(3,0)处取得最大值,z max =3,故选D.8.C 本题考查函数图象的识辨.易知y=sin2x1-cosx 为奇函数,图象关于原点对称,故排除B 选项;sin 2≈sin 120°=√32,cos 1≈cos 60°=12,则f(1)=sin21-cos1=√3,故排除A 选项; f(π)=sin2π1-cos π=0,故排除D 选项,故选C.9.C 本题考查函数的图象与性质.函数f(x)=ln x+ln(2-x)=ln[x(2-x)],其中0<x<2,则函数f(x)由f(t)=ln t,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函数的单调性可知,x ∈(0,1)时, f(x)单调递增,x ∈(1,2)时, f(x)单调递减,则A 、B 选项错误;t(x)的图象关于直线x=1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C 选项正确,D 选项错误.故选C. 10.D 本题考查程序框图问题.本题求解的是满足3n-2n>1 000的最小偶数n,判断循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件应输出结果,所以判断语句应为A≤1 000,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为n=n+2,故选D.11.B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在△ABC 中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,∴cos Asin C+sin Asin C=0,∵sin C≠0,∴cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=34π. 由a sinA =c sinC 得√22=√2sinC ,∴sin C=12,又0<C<π4,∴C=π6,故选B.12.A 本题考查圆锥曲线的几何性质.当0<m<3时,椭圆C 的长轴在x 轴上,如图(1),A(-√3,0),B(√3,0),M(0,1).图(1)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|MO|≤1,即0<m≤1; 当m>3时,椭圆C 的长轴在y 轴上,如图(2),A(0,√m ),B(0,-√m ),M(√3,0)图(2)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|OA|≥3,即√m ≥3,即m≥9.综上,m ∈(0,1]∪[9,+∞),故选A.二、填空题 13.答案 7解析 本题考查向量数量积的坐标运算. ∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m -1,3),又(a+b)⊥a, ∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 14.答案 x-y+1=0解析 本题考查导数的几何意义.∵y=x 2+1x,∴y'=2x -1x2,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.15.答案3√1010解析 因为α∈(0,π2),且tan α=sinαcosα=2,所以sin α=2cos α,又sin 2α+cos 2α=1,所以sin α=2√55,cos α=√55,则cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010.16.答案 36π解析 由题意作出图形,如图.设球O 的半径为R,由题意知SB⊥BC,SA⊥AC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC=√2R.连接OA,OB,则OA⊥SC,OB⊥SC,因为平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,所以OA⊥平面SCB,所以OA⊥OB,则AB=√2R,所以△ABC 是边长为√2R 的等边三角形,设△ABC 的中心为O 1,连接OO 1,CO 1. 则OO 1⊥平面ABC,CO 1=23×√32×√2R=√63R,则OO 1=√R 2-(√63R)2=√33R,则V S-ABC =2V O-ABC =2×13×√34(√2R)2×√33R=13R 3=9, 所以R=3.所以球O 的表面积S=4πR 2=36π.三、解答题17.解析 本题考查等差、等比数列. (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q )=2,a 1(1+q +q 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n . (2)由(1)可得S n =a 1(1-q n )1-q=-23+(-1)n·2n+13.由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2n+3-2n+23=2[-23+(-1)n·2n+13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.18.解析 本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算. (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°, 得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD, 从而AB⊥平面PAD. 又AB ⊂平面PAB, 所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD 内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD, 故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD. 设AB=x,则由已知可得AD=√2x,PE=√22x. 故四棱锥P-ABCD 的体积V P-ABCD =13AB·AD·PE=13x 3.由题设得13x 3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2√2,PB=PC=2√2.可得四棱锥P-ABCD 的侧面积为12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC 2sin 60°=6+2√3.19.解析 本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差. (1)由样本数据得(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=∑i=116(x i -x )(i -8.5)√∑i=1(x i -x )2√∑i=1(i -8.5)2=0.212×√16×18.439≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(i)由于x =9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x -3s,x +3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02, 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为√0.008≈0.09.20.解析 本题考查直线与抛物线的位置关系. (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1-y2x 1-x 2=x 1+x 24=1.(2)由y=x 24,得y'=x2,设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x 24得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2√m+1.从而|AB|=√2|x1-x2|=4√2(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.21.解析本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值.(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2e2x-ae x-a2=(2e x+a)(e x-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.③若a<0,则由f '(x)=0得x=ln(-a2).当x∈(-∞,ln(-a2))时,f '(x)<0;当x∈(ln(-a2),+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln(-a2))单调递减,在(ln(-a2),+∞)单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a 2ln a≥0,即a≤1时, f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln (-a 2)时, f(x)取得最小值,最小值为f (ln (-a2))=a 2[34-ln (-a2)].从而当且仅当a 2[34-ln (-a2)]≥0, 即a≥-2e 34时, f(x)≥0. 综上,a 的取值范围是[-2e 34,1].22.解析 本题考查极坐标与参数方程的应用. (1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1.当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0. 由{x +4y -3=0,x 29+y 2=1解得{x =3,y =0或{x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),(-2125,2425).(2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为d=√17.当a≥-4时,d 的最大值为√17,由题设得√17=√17,所以a=8;当a<-4时,d 的最大值为√17,由题设得17=√17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.23.解析 本题考查含绝对值不等式的求解问题.(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√17.2所以f(x)≥g(x)的解集为}.{x|-1≤x≤-1+√172(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].。
湖南省常德市2018届高三上学期检测考试(期末)数学(文)试题Word版含答案
湖南省常德市2018届高三上学期检测考试(期末)数学(文)试题Word版含答案常德市2017-2018学年度上学期高三数学（文科）检测考试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合$A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4,5\}$，则$A\cap B$中元素的个数为（）。
A．2.B．3.C．4.D．5.2.在复平面内，复数$z=1+2i$（$i$为虚数单位）对应的点所在的象限为（）。
A．第一象限。
B．第二象限。
C．第三象限。
D．第四象限。
3.在某学校图书馆的书架上随意放着有编号为1,2,3,4,5的五本史书，若某同学从中任意选出两本史书，则选出的两本史书编号相连的概率为（）。
A．$\frac{1}{10}$。
B．$\frac{1}{5}$。
C．$\frac{2}{5}$。
D．$\frac{1}{2}$。
4.元朝著名数学家XXX《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着XXX走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”其意思为：“诗人带着装有一倍分酒的壶去春游，先遇到酒店就将酒添加一倍，后遇到朋友饮酒一斗，如此三次先后遇到酒店和朋友，壶中酒恰好饮完，问壶中原有多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的$x=$，那么在这个空白框中可以填入（）。
A．$x=x-1$。
B．$x=2x-1$。
C．$x=2x$。
D．$x=2x+1$。
5.已知向量$a=(x,y),b=(1,2),c=(-1,1)$，若满足$a\parallel b,b\perp(a-c)$，则向量$a$的坐标为（）。
A．$(\frac{5}{11},\frac{5}{11})$。
B．$(-\frac{5}{11},-\frac{5}{11})$。
C．$(\frac{6}{11},\frac{3}{11})$。
D．$(\frac{5}{11},\frac{6}{11})$。
湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题含答案
2025届高三月考试卷（三）数学（答案在最后）命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在x ∈Z ，220x x m ++”的否定是A.存在x ∈Z ，220x x m ++>B.不存在x ∈Z ，220x x m ++>C.任意x ∈Z ，220x x m ++D.任意x ∈Z ，220x x m ++>2.若集合{}2341,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B ⋂等于A.{}1- B.{}1 C.{}1,1- D.∅3.已知奇函数()()22cos x x f x m x -=+⋅，则m =A.-1B.0C.1D.124.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是A.m l ⊥，m β⊂，l α⊥ B.m l ⊥，l αβ⋂=，m α⊂C.m l ，m α⊥，l β⊥ D.l α⊥，m l ，m β5.已知函数()()4cos (0)f x x ωϕω=+>图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则6f ϕπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.0B.2ϕC.4D.2ϕ6.已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:30l mx ny m n --+=与直线2:30l nx my m n +--=（m ，n ∈R ，220m n +≠）相交于点P ，则PM 的取值范围为A.1,1⎤-+⎦ B.1⎤-⎦C.1,1⎤-⎦D.1⎤⎦7.P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，120PF PF ⋅= ，点Q 在12F PF ∠的角平分线上，O 为原点，1OQ PF ，且OQ b =.则C 的离心率为 A.12B.33C.63D.328.设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ++++”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数()f x 满足()()22f x f x ππ+=-，()()0f x f x ππ++-=，并且当()0,x π∈时，()cos f x x =，则下列关于函数()f x 说法正确的是A.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭B.最小正周期2T π=C.()f x 的图象关于直线x π=对称D.()f x 的图象关于(),0π-对称11.若双曲线22:145x y C -=，1F ，2F 分别为左、右焦点，设点P 是在双曲线上且在第一象限的动点，点I 为12PF F △的内心，()0,4A ，则下列说法不正确的是A.双曲线C 的渐近线方程为045x y±=B.点I 的运动轨迹为双曲线的一部分C.若122PF PF =，12PI xPF yPF =+ ，则29y x -=D.不存在点P ，使得1PA PF +取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________.13.ABC △各角的对应边分别为a ，b ，c ，满足1b ca c a b+++，则角A 的取值范围为________.14.对任意的*n ∈N ，不等式11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭（其中e 是自然对数的底）恒成立，则a 的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21332S a a =+，416a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b =，1222log log n nn n b a b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -，BC AD ，1AB BC ==，3AD =，点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2DE PE ==.（1）若F 为线段PE 的中点，求证：BF平面PCD ；（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()21ln 2f x x x ax =+-有两个极值点为1x ，()212x x x <，a ∈R .（1）当52a =时，求()()21f x f x -的值；（2）若21e x x （e 为自然对数的底数），求()()21f x f x -的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，H 为E 上任意一点，且HF 的最小值为1.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知P 为平面上一动点，且过P 能向E 作两条切线，切点为M ，N ，记直线PM ，PN ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足123112k k k +=.①求点P 的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为()0,(0)Q λλ>，半径为1的圆，使得过P 可以作圆Q 的两条切线1l ，2l ，切线1l ，2l 分别交抛物线E 于不同的两点()11,A s t ，()22,B s t 和点()33,C s t ，()44,D s t ，且1234s s s s 为定值？若存在，求圆Q 的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量1a ，2a ，3a ，…，n a（N n ∈且3n ），令123n n S a a a a =++++ ，如果存在{}()1,2,3,,p a p n ∈，使得pn p a S a - ，那么称p a是该向量组的“长向量”.（1）设(),2n a n x n =+，n ∈N 且0n >，若3a是向量组1a，2a，3a的“长向量”，求实数x 的取值范围；（2）若sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ∈N 且0n >，向量组1a ，2a ，3a ，…，7a 是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知1a ，2a ，3a 均是向量组1a ，2a ，3a 的“长向量”，其中()1sin ,cos a x x = ，()22cos ,2sin a x x =.设在平面直角坐标系中有一点列1P ，2P ，3P ，…，n P ，满足1P 为坐标原点，2P 为3a的位置向量的终点，且21k P +与2k P 关于点1P 对称，22k P +与21k P +（k ∈N 且0k >）关于点2P 对称，求10151016P P 的最小值.参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C【解析】集合{}i,1,1,i A =--，{}1,1B =-，{}1,1A B ⋂=-.故选C.3.A 【解析】()f x 是奇函数，()()22cos xxf x m x -=+⋅，()()()2222xx x x f x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =，()()122cos 0x x m x -∴++=，10m ∴+=，1m =-.故选A.4.D【解析】有可能出现α，β平行这种情况，故A 错误；会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；m l ，m α⊥，l βαβ⊥⇒ ，故C 错误；l α⊥，m l m α⇒⊥ ，又由m βαβ⇒⊥ ，故D 正确.故选D.5.C【解析】设()f x 的最小正周期为T ，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得12T =，则有212πω=，解得6πω=，所以()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.6.B 【解析】依题意，直线()()1:310l m x n y ---=恒过定点()3,1A ，直线()()2:130l n x m y -+-=恒过定点()1,3B ，显然直线12l l ⊥，因此，直线1l 与2l 交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为：22(2)(2)2x y -+-=，圆心()2,2N ，半径2r =，而圆C 的圆心()0,0C ，半径11r =，如图：12NC r r =>+，两圆外离，由圆的几何性质得：12min1PM NC r r =--=，12max1PMNC r r =++=，所以PM 的取值范围为1⎤-⎦.故选B.7.C【解析】如图，设1PF m =，2PF n =，延长OQ 交2PF 于点A，由题意知1OQ PF ，O 为12F F 的中点，故A 为2PF 中点，又120PF PF ⋅= ，即12PF PF ⊥，则2QAP π∠=，又由点Q 在12F PF ∠的角平分线上得4QPA π∠=，则AQP △是等腰直角三角形，故有2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩化简得2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩即,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩代入2224m n c +=得222()()4a b a b c ++-=，即2222a b c +=，又222b ac =-，所以2223a c =，所以223e =，63e =.故选C.8.D 【解析】因为0i x =或1i x =，所以若1234513x x x x x ++++，则在()1,2,3,4,5i x i =中至少有一个1i x =，且不多于3个.所以可根据i x 中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为2315C 2N =⋅，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为3225C 2N =⋅，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为435C 2N =⋅，所以共有23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为422616-=，故A 正确；1070%7⨯=，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，即353836.52+=，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于()0,x π∈时，()cos f x x =，并且满足()()22f x f x ππ+=-，则函数()f x 的图象关于直线2x π=对称.由于()()0fx f x ππ++-=，所以()()fx f x ππ+=--，故()()()()()22f x f x f x f x ππππ--+=+=--=-，故()()()24f x f x f x ππ=-+=+，故函数的最小正周期为4π，根据()()0fx f x ππ++-=，知函数()f x 的图象关于(),0π对称.由于()0,x π∈时，()cos f x x =，3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确，由于函数的最小正周期为4π，故B 错误；由函数()f x 的图象关于(),0π对称，易知()f x 的图象不关于直线x π=对称，故C 错误；根据函数图象关于点(),0π对称，且函数图象关于直线2x π=对称，知函数图象关于点()3,0π对称，又函数的最小正周期为4π，则函数图象一定关于点(),0π-对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线22:145x y C -=，可知其渐近线方程为02x ±=，A 错误；设1PF m =，2PF n =，12PF F △的内切圆与1PF ，2PF ，12F F 分别切于点S ，K ，T ，可得PS PK =，11F S FT =，22F T F K =，由双曲线的定义可得：2m n a -=，即12122F S F K FT F T a -=-=，又122FT F T c +=，解得2F T c a =-，则点T 的横坐标为a ，由点I 与点T 的横坐标相同，即点I 的横坐标为2a =，故I 在定直线2x =上运动，B 错误；由122PF PF =，且1224PF PF a -==，解得18PF =，24PF =，1226F F c ==，126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯，则12sin 8PF F ∠==，1215tan 7PF F ∠∴=，同理可得：21tan PF F ∠=，设直线()115:37PF y x =+，直线)2:3PF y x =-，联立方程得(P ，设12PF F △的内切圆的半径为r ，则()12115186846282PF F S r =⨯⨯⨯=⨯++⋅△，解得153r =，即152,3I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2152,3PI ⎛∴=-- ⎝⎭ ，(17,PF =-，(21,PF =- ，由12PI xPF yPF =+，可得27,,3x y -=--⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得29x =，49y =，故29y x -=，C 正确；1224PF PF a -== ，12244PA PF PA PF AF ∴+=+++，当且仅当A ，P ，2F 三点共线取等号，易知()1min549PA PF +=+=，故存在P 使得1PA PF +取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90【解析】523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()521031553C C 3rr r rr r r T xx x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令1034r -=，解得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 310990⋅=⨯=.13.0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】从所给条件入手，进行不等式化简()()1b cb a bc a c a c a b+⇒+++++()()222a c a b b c a bc ++⇒++，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示cos A ，由222b c aac +-可得2221cos 22b c a A bc+-=，可得0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.14.11ln2-【解析】对任意的*n ∈N ，不等式11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭恒成立，只需()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭恒成立，只需11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭恒成立，构造()()11ln 1m x x x=-+，(]0,1x ∈，()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'，(]0,1x ∈.下证()(]22ln 1,0,11x x x x +<∈+，再构造函数()()22ln 11x h x x x=+-+，(]0,1x ∈，()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+，(]0,1x ∈，设()()()221ln 12F x x x x x=++--，()()2ln 12F x x x =+-'，(]0,1x ∈，令()()2ln 12G x x x =+-，(]0,1x ∈，()21xG x x=-+'，(]0,1x ∈，在(]0,1x ∈时，()0G x '<，()G x 单调递减，()()00G x G <=，即()0F x '<，所以()F x 递减，()()00F x F <=，即()0h x '<，所以()h x 递减，并且()00h =，所以有()22ln 11x x x+<+，(]0,1x ∈，所以()0m x '<，所以()m x 在(]0,1x ∈上递减，所以()m x 的最小值为()111ln2m =-.11ln2a ∴-，即a 的最大值为11ln2-.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为{}n a 是正项等比数列，所以10a >，公比0q >，因为21332S a a =+，所以()121332a a a a +=+，即21112320a q a q a --=，则22320q q --=，解得12q =-（舍去）或2q =，······················································（3分）又因为3411816a a q a ===，所以12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.··············································································（6分）（2）依题意得1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+，························································（7分）当2n 时，()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ，所以()121n b b n n =+，因为11b =，所以()21n b n n =+，当1n =时，1n b =符合上式，所以数列{}n b 的通项公式为()21n b n n =+.····························（10分）因为()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .··························（13分）16.【解析】（1）设M 为PD 的中点，连接FM ，CM ，因为F 是PE 中点，所以FMED ，且12FM ED =，因为AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，所以四边形ABCE 为平行四边形，BC ED ，且12BC ED =，所以FM BC ，且FM BC =，即四边形BCMF 为平行四边形，所以BFCM ，因为BF ⊄平面,PCD CM ⊂平面PCD ，所以BF 平面PCD .················（6分）（2）因为AB ⊥平面PAD ，所以CE ⊥平面PAD ，又PE AD ⊥，所以EP ，ED ，EC 相互垂直，································································································································（7分）以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2P ，()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C ，()0,2,0D ，所以()1,0,0AB = ，()0,1,2AP = ，()1,0,2PC =- ，()1,2,0CD =-，····························（9分）设平面PAB 的一个法向量为()111,,m x y z =，则1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取11z =-，则()0,2,1m =- ，·················································（11分）设平面PCD 的一个法向量为()222,,n x y z =，则222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取21z =，则()2,1,1n = ，···················································（13分）设平面PAB 与平面PCD 所成夹角为θ，则cos 30m nm nθ⋅====⋅ .········（15分）17.【解析】（1）函数()21ln 2f x x x ax =+-的定义域为()0,+∞，则()211x ax f x x a x x -+=+-='，当52a =时，可得，()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==，············································（2分）当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或()2,x ∈+∞时，()0f x '>；当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；所以()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；·······················（4分）所以12x =和2x =是函数()f x 的两个极值点，又12x x <，所以112x =，22x =；所以()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即当52a =时，()()21152ln28f x f x -=-.····································································（6分）（2）易知()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---，又()21x ax f x x-+='，所以1x ，2x 是方程210x ax -+=的两个实数根，则2Δ40a =->且120x x a +=>，121x x =，所以2a >，·············································（9分）所以()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭，···························（11分）设21x t x =，由21e x x ，可得21e x t x =，令()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，e t ，··························（13分）则()222111(1)1022t g t t t t -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'，所以()g t 在区间[)e,+∞上单调递减，得()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，故()()21f x f x -的最大值为e 1122e -+.··········（15分）18.【解析】（1）设抛物线E 的准线l 为2py =-，过点H 作1HH ⊥直线l 于点1H ，由抛物线的定义得1HF HH =，所以当点H 与原点O 重合时，1min 12pHH ==，所以2p =，所以抛物线E 的方程为24x y =.···················································································（4分）（2）①设(),P m n ，过点P 且斜率存在的直线():l y k x m n =-+，联立()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩消去y ，整理得：24440x kx km n -+-=，由题可知()2Δ164440k km n =--=，即20k mk n -+=，所以1k ，2k 是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩··································（6分）又因为()0,1F ，所以31n k m -=，0m ≠，由123112k k k +=，有121232k k k k k +=，所以21m m n n =-，因为0m ≠，12n n -=，1n ∴=-，所以点P 的轨迹方程为()10y x =-≠.②由①知(),1P m -，设()14:1l y k x m =--，()25:1l y k x m =--，1m ≠±且0m ≠，·······（9分）联立()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩消去y ，整理得2444440x k x k m -++=，又()11,A s t ，()22,B s t ，()33,C s t ，()44,D s t ，由韦达定理可得12444s s k m =+，同理可得34544s s k m =+，所以()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++，·····························（11分）又因为1l 和以圆心为()0,(0)Q λλ>，半径为1的圆相切，1=，即()()2224412120m k m k λλλ-++++=.同理()()2225512120m k m k λλλ-++++=，所以4k ，5k 是方程()()22212120m k m k λλλ-++++=的两个不等实根，所以由韦达定理可得()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩································································（14分）所以()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--，若1234s s s s 为定值，则220λ-=，又因为0λ>，所以λ=，······································（16分）所以圆Q的方程为22(1x y +-=.··········································································（17分）19.【解析】（1）由题意可得：312a a a +40x -.·······································································································································（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为2a，6a，····························································（5分）理由如下：由题意可得1n a ==，若存在“长向量”p a，只需使1n pS a -，又()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-，故只需使71p S a -=== ，即022cos12p π+，即11cos 22p π--，当2p =或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为2a ，6a.···························（8分）（3）由题意，得123a a a +，22123a a a + ，即()22123a a a +，即222123232a a a a a ++⋅ ，同理222213132a a a a a ++⋅，222312122a a a a a ++⋅，·····················（10分）三式相加并化简，得2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅，即()21230a a a ++ ，1230a a a ++ ，所以1230a a a ++=，设()3,a u v = ，由1220a a a ++=得sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩·················································（12分）设(),n n n P x y ，则依题意得：()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩·····························（13分）得()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦，故()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦，()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦，所以()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦，22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ ，当且仅当()4x t t ππ=-∈Z 时等号成立，·····································································（16分）故10151016min1014420282P P =⨯= .··············································································（17分）。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．（5分）设复数z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．（5 分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆+ =1 有公共焦点，则C 的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5 分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6 成等比数列，则{a n}前6 项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．（5 分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0 相切，则C 的离心率为（）A．B．C．D．11．（5 分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5 分）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ 的最大值为（）A．3 B．2C．D．2二、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
长沙市2017届高三年级统一模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选
项中，有且只有一项符合题目要求.
1.在复平面内，复数31i i
-对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
2.已知集合{}{}
21,2,3,|30,,A B x x x a a A ==-+=∈，若A B =∅ ，则a 的值为
A. 1
B. 2
C.3
D.1或2
3.将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移3
π个单位，所得函数的解析式为 A. 5sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
B. cos 2y x =-
C. cos 2y x =
D. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 4.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，
其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面
四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”
该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为 A. 176π升 B. 72
π升 C. 11366π升 D. 10933π升 5.右图是某几何体的三视图，其正视图、俯视图均为直径为2的半圆，则该几何
体的表面积为
A. 3π
B. 4π
C. 5π
D. 12π
6.二项式6
21x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中 A. 不含9x 项 B. 含4x 项
C. 含2x 项
D. 不含x 项
7.A 是抛物线()220y px p =>上的一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，当4AF =时，120OFA ∠= ,则抛物线的准线方程是
A. 1x =-
B. 1y =-
C. 2x =-
D. 2y =-
8.某同学为实现“给定正整数N ，求最小的正整数i ，使得7i N >，”设计程序
框图如右，则判断框中可填入
A. x N ≤
B. x N <
C. x N >
D. x N ≥ 9.在ABC ∆中，2,33
C AB π=
=,则ABC ∆的周长为 A. 6sin 33A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ B. 6sin 36A π⎛⎫++ ⎪⎝
⎭
C. 33A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭
D. 36A π⎛⎫++ ⎪⎝⎭
10.函数2
ln y x x =-的图象大致为
11.P 是双曲线22:
12
x C y -=右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线C 的左焦点，则1PF PQ +的最小值为
A. 1
B. 2
C. 4+
D.
1 12.对于满足03b a <<的任意实数a,b ，函数()2f x ax bx c =++总有两个不同的零点，则
a b c a +-的取值范围是 A. 71,4
⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. (]1,2 C. [)1,+∞ D. ()2,+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ()01cos x dx π
+=⎰ . 14.空气质量指数（Air Quality Index,简称AQI ）是定量描述
空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050 为优；51100
为良；101150 为轻度污染；151200 为中度污染；201300 为重度污染；
大于300为严重污染.一环保人士当地某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，
用茎叶图记录如右.根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数约为
为 .（该年为365天）
15. 化简：()22sin sin 2cos 2
πθθ
θ-+= .
16.平行四边形ABCD 中，3,2,120,AB AD BAD P ==∠= 是平行四边形ABCD 内一点，且1AP =，若AP xAB yAD =+ ，则32x y +的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分10分）
已知数列{}n a 为等差数列，其中23528,3.a a a a +==
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）数列{}n b 中，121,2b b ==，从数列{}n a 中取出第n b 项记为n c ，若{}n c 是等比数列，求{}n b 的前n 项和.
18.（本题满分12分）张老师 上班，有路线①与路线②两条路线可供选择.
路线①：沿途有A,B 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为12,23
，若A 处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B 处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇到绿灯，则全程所花时间为20分钟.
路线②：沿途有a,b 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为3245
，若a 处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b 处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所化时间为15分钟.
（1）若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；
（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？说明理由.
19.（本题满分12分）
如图，以A,B,C,D,E 为顶点的六面体中，ABC ∆和ABD ∆均为正三角形，且平面ABC ⊥平面ABD ，
EC ⊥面, 2.2
ABC EC AB =
=
（1）求证：;DE AB ⊥；
（2）求二面角D BE A --的余弦值.
20.（本题满分12分）
如图，P 是直线4x =上一动点，以P 为圆心的圆Γ经定点()1,0B ，
直线l 是圆Γ在点B 处的切线，过()1,0A -作圆Γ的两条切线分别与l 交
于E,F 两点.
（1）求证：EA EB +为定值；
（2）设直线l 交直线4x =于点Q,证明：.EB FQ BF EQ ⋅=⋅
21.（本题满分12分）
已知函数(),x
a f x e a x
=-，()f x 为实数. （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间； （2）若()f x 在()0,+∞上存在极值点，且极值大于ln 42+，求a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.
22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 4sin x y αα=+⎧⎨=+⎩
，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的方程为()cos sin 10m ρθθ-+=（m 为常数）.
（1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；
（2）设P 是1C 上到x 轴距离最小的点，当2C 过点P 时，求m 的值.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知() 3.f x x a x =-+-
（1） 当1a =时，求()f x 的最小值；
（2） 若不等式()3f x ≤的解集非空，求a 的取值范围.。