20递推法[Final]
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。
若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
递推法名词解释
递推法名词解释
递推法是一种解决问题的方法，通过从已知的初始条件出发，逐步推导得到后续的结果。
递推法通常应用于需要计算大量重复操作的问题，其中每个操作的结果依赖于之前的操作结果。
在递推过程中，通过将前一步的结果作为输入来计算下一步的结果，从而逐步地推导解决问题。
递推法经常用于解决数学中的数列、逻辑中的推理以及计算机算法中的迭代问题。
通过递推法，可以有效地计算出问题的结果，节省时间和资源。
递推法的基本思路是将问题分解为多个子问题，并通过已知的初始条件和递推关系，依次求解子问题，直到得到最终的结果。
在实际应用中，递推法常常与数学归纳法、循环等方法结合使用，以便更好地分析和解决问题。
递推法
递推计算方法和应用数学中有不少算法属递推算法。
递推算法就是在一个循环体内随着循环控制变量的变化，逐一通过前面的k 个已知的或已算出的值计算当前待算的值的算法，所用的算式称为递推计算公式。
递推算法分为一维递推算法、二维递推算法和广义递推算法三类。
注意广义递推算法不用了解，一维递推算法又分单步算法和多步算法。
同类递推算法对应相同的基本程度模块，可以作为一个基本类型。
算式给出后程序就能给出，程序和算式有映射关系。
一维递推算法一维递推算法分为单步算法和多步算法。
所谓单步算法是指能用下面的公式表示的算法上式称为一维递推单步算式，00a x =为表头值。
它所对应的程序模块为x[0]:=a;for i=1 to n dox[i]:=f(x[i-1])多步法是指能用下面的公式表示的算法上式表示的算式称为一维递推多步算式，该算法称为一维多步（K 步）算法，1,1,0...-k x x x 的值称为表头值。
它所对应的程序模块为：for i:=0 to k-1 dox[i]:=a[i];for i:=k to n dox[i]:=f(x[i-k],x[i-k+1],…x[i -1]];这里要强调的是，为了使算式和程序之间有一对一的映射关系，应尽量使用数组元素，这也是称为一维递推算法的原因例1计算菲波拉契数列的前21项公式为程序为program p24;varf:array[0..21] of integer;i:integer;beginf[0]:=0;f[1]:=1;for i:=2 to 21 dof[i]:=f[i-1]+f[i-2];for i:=0 to 21 dowrite(f[i],' ');end.该程序和算法的特色为：1. 程序和数学公式有一对一的关系，编程难度低；2. 数组元素的序号本身具有时间顺序特征，程序中不出现数据传递；3. 程序由输入、计算和输出三部分组成，每个程序段都具有明确的单一功能，结构规范 程序中增加一个一维数组并不会发生内存溢出，但却能方便程序设计例2 小数十翻二。
递推算法
引例:Fibonacci数列
• Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名 数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁 殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。
• 问题： 一个数列的第0项为0，第1项为1，以
后每一项都是前两项的和，这个数列就是 著名的裴波那契数列，求裴波那契数列的 第N项。
cin>>x>>y>>z;a[1]=1; for(i=1;i<=z+1;i++)
for(k=1;k<=z+1;k++) a[i+k*x+2]+=y*a[i];
for(i=1;i<=z+1;i++)sum+=a[i]; cout<<sum<<endl; return 0; }
顺推举例3——杨辉三角1547
迭代举例5——楼梯走法
问题描述：设有一个N级楼梯，某人每步可以走1级、2级、或者 3级，求某人从底层开始走完全部楼梯的走法。
n=1 f(1)=1: 1 n=2 f(2)=2: 1 1; 2 n=3 f(3)=4: 1 1 1 ; 2 1; 1 2; 3 n=4 f(4)=7: 1 1 1 1 ; 2 1 1; 1 2 1; 3 1 ; 1 1 2; 2 2 ; 1 3
• 对一个试题，我们要是能找到后一项与前一项的关系并清 楚其起始条件（或最终结果），问题就可以递推了，接下 来便是让计算机一步步了。让高速的计算机从事这种重复 运算，真正起到“物尽其用”的效果。
递推概念
给定某些项Hi(0<i<n)联系起来， 这样的式子就叫做递推关系。
递推算法
递推算法典型例题一、教学目标1、由浅入深，了解递推算法2、掌握递推算法的经典例题二、重点难点分析1、重点：递推关系的建立2、难点：如何将所求问题转化为数学模型三、教具或课件微机四、主要教学过程(一)引入新课客观世界中的各个事物之间或者一个事物的内部各元素之间，往往存在(隐藏)着很多本质上的关联。
我们设计程序前．应该要通过细心的观察、丰富的联想、不断的尝试推理．尽可能先归纳总结出其内在规律，然后再把这种规律性的东西抽象成数学模型，最后再去编程实现。
递推关系和递归关系都是一种简洁高效的常见数学模型，我们今天先来深入研究一下递推算法如何实现。
(二)教学过程设计递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。
这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，这样的问题可以采用递推法来解决。
从已知条件出发，逐步推出要解决的问题，叫顺推；从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。
无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。
这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。
递推算法避开了通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。
一般说来可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。
（在解题时往往还把递推问题表现为迭代形式，用循环处理。
所谓“迭代”，就是在程序中用同一个变量来存放每一次推算出来的值，每一次循环都执行同一个语句，给同一变量赋以新的值，即用一个新值代替旧值，这种方法称为迭代。
）1．递推关系的定义和求解递推关系的方法有一类试题，每相邻两项数之间的变化有一定的规律性，我们可将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：f n=g(f n-1)或者f n-1=g'(f n)这样就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关系。
递推法
Fibonacci数列的应用
Fibonacci数列是最著名的递推公式。经常 出现在各种竞赛题中。 你能看出这几个题都是这个问题的应用吗？
例2 完美覆盖问题
问题描述:有2×n的一个长方形棋盘,用一些1×2的骨牌铺满 方格.例如n=3时,在2×3的棋盘上用1×2的骨片覆盖,共有 3种铺法。
问题求解:编写一个程序,试对给出的任意一个n(n>0),输出铺
01串
有1个长为n的01串，要求不能出现101和111.求符合条件的字符串有多 少个？ n<1000000 分析一：设a[n]为n个字符最后两位为00所形成的方案数，同样，b[n]对 应最后两位为01，c[n]对应最后两位为10，d[n]对应最后两位为11. 则a[n]=a[n-2]+b[n-2]+c[n-2]+d[n-2]=a[n-1]+c[n-1] b[n]=a[n-1]=f[n-3] c[n]=b[n-1]+d[n-1] d[n]=b[n-1]=a[n-2]=f[n-4] 所以f[n]=a[n]+b[n]+c[n]+d[n]=f[n-1]+f[n-3]+f[n-4]
我们用递推法求解问题时，关键是找出后项与前项之前的数学关系。 然后从初始项开始，逐项递推。在算出前n-1项之前，我们是不知道第 n项的值的。可以说，为了求第n项值，我们总共要计算n次，因此时间 复杂度为O(n)
而通项式建立的是第n项与项数n之间的数学关系。我们可以直接用项 数n计算出第n项的值。可以说，为了求第n项的值，我们只需计算1次 ，因此时间复杂度为O(1)
生成树的数目
在网格中取一个N x 1的矩形，并把它当作 一个无向图。这个图有2(N+1)个顶点，有 3(N-1)+4条边。这个图有多少个生成树？ 样例输入：1 样例输出：4
递推法知识点总结
递推法知识点总结递推法是数学中一个重要的工具，它在证明定理、解决问题和计算数值等方面都有广泛的应用。
递推法的基本思想是通过建立递推关系来求解问题，利用已知的前一项或前几项推导出后一项，是一种逐步推进的方法。
本文将介绍递推法的基本概念、应用场景和解决问题的方法，并总结了一些常见的递推法知识点。
一、基本概念递推法的基本概念包括递推关系、初始条件和递推式等。
1. 递推关系递推关系是指数列或函数中相邻项之间的关系，它描述了数列或函数中每一项与前一项之间的联系。
一般来说，递推关系可以用递推式来表示，是解决问题的基础。
2. 初始条件初始条件是指递推关系中的起始条件，也就是递推序列或函数中的第一项或前几项的值。
在解决递推问题时，初始条件的确定是非常重要的，它可以唯一确定递推序列或函数。
3. 递推式递推式是递推关系的具体表示，通过递推式可以确定数列或函数中每一项的值。
递推式通常是由递推关系和初始条件联合确定的，它可以用于求解递推序列或函数的任意项。
二、应用场景递推法在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决各种不定式、等差数列、等比数列、斐波那契数列、组合数学、数值计算等问题。
1. 不定式在解决不定式问题时，递推法通常可以用来寻找递推关系和递推式，通过递推关系和初始条件可以求解不定式的解集。
2. 等差数列和等比数列递推法是求解等差数列和等比数列的常用方法，通过建立递推关系和初始条件可以确定数列中的每一项的值，从而求解数列的和、通项公式等。
3. 斐波那契数列递推法是求解斐波那契数列的重要方法，通过递推关系和初始条件可以确定斐波那契数列中每一项的值，从而求解斐波那契数列的性质和特点。
4. 组合数学在组合数学中，递推法常常用于求解排列组合、图论、概率论等问题，通过递推关系和初始条件可以确定组合数学中的各种组合数量、排列数量等。
5. 数值计算递推法在数值计算中也有着广泛的应用，通过递推关系和初始条件可以确定数值序列或函数中每一项的值，从而实现对数值问题的求解。
递推（一）：递推法的基本思想
递推（⼀）：递推法的基本思想所谓递推，是指从已知的初始条件出发，依据某种递推关系，逐次推出所要求的各中间结果及最后结果。
其中初始条件或是问题本⾝已经给定，或是通过对问题的分析与化简后确定。
利⽤递推算法求问题规模为n的解的基本思想是：当n=1时，解或为已知，或能⾮常⽅便地求得；通过采⽤递推法构造算法的递推性质，能从已求得的规模为1、2、…、i−1的⼀系列解，构造出问题规模为i的解。
这样，程序可从i=0或i=1出发，重复地由已知⾄i−1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直⾄获得规模为n的解。
可⽤递推算法求解的问题⼀般有以下两个特点：（1）问题可以划分成多个状态；（2）除初始状态外，其它各个状态都可以⽤固定的递推关系式来表⽰。
当然，在实际问题中，⼤多数时候不会直接给出递推关系式，⽽是需要通过分析各种状态，找出递推关系式。
利⽤递推算法解决问题，需要做好以下四个⽅⾯的⼯作：（1）确定递推变量应⽤递推算法解决问题，要根据问题的具体实际设置递推变量。
递推变量可以是简单变量，也可以是⼀维或多维数组。
从直观⾓度出发，通常采⽤⼀维数组。
（2）建⽴递推关系递推关系是指如何从变量的前⼀些值推出其下⼀个值，或从变量的后⼀些值推出其上⼀个值的公式（或关系）。
递推关系是递推的依据，是解决递推问题的关键。
有些问题，其递推关系是明确的，⼤多数实际问题并没有现成的明确的递推关系，需根据问题的具体实际，通过分析和推理，才能确定问题的递推关系。
（3）确定初始（边界）条件对所确定的递推变量，要根据问题最简单情形的数据确定递推变量的初始（边界）值，这是递推的基础。
（4）对递推过程进⾏控制递推过程不能⽆休⽌地重复执⾏下去。
递推过程在什么时候结束，满⾜什么条件结束，这是编写递推算法必须考虑的问题。
递推过程的控制通常可分为两种情形：⼀种是所需的递推次数是确定的值，可以计算出来；另⼀种是所需的递推次数⽆法确定。
对于前⼀种情况，可以构建⼀个固定次数的循环来实现对递推过程的控制；对于后⼀种情况，需要进⼀步分析出⽤来结束递推过程的条件。
基础算法-递推法(Recursive algorithm)
基础算法-递推法（Recursive algorithm）There is a class of questions, the changes between every two adjacent items have a certain regularity, we can put this rule into simple recursive formula as follows:Fn=g (Fn-1)This is the number in the sequence, establish the relationship between the antecedent and consequent, then from the initial condition (or end) to start, step by step according to the recursive relation of recursion, until the final results obtained (or initial value). Many programs are solved in this way. If a test, if we can find a relationship before and after a clear and its initial condition (end result), like to solve the problem, let the computer calculation is a step by step, let the computer do the high-speed repetitive operation, can really play the "best use" effect.Recursive, backward push and push two forms. General analysis idea:If solving condition F1Then begin{inverted}The problem (or recursive relation) to determine the final result of Fa;For inverted formula Fi-1=g'(Fi);I=n {{start} from the final result FnWhile current results Fi non initial values F1 do are inverted by Fi-1=g (F1);Output push back results F1 and push backward process;End {then}Else, begin{, push,}The problem (or forward relationship) to determine the initial value of F1 (boundary conditions);Find the forward relation formula F1=g (Fi-1);I=1; {proceed from the boundary condition F1 {}}The results of Fi while do Fn non final results by Fi=g (Fi-1) CIS push back;The output of the Fn results and the pushing process;End; {else}I. backward pushing methodThe push down method, is not in the initial value of the case, by some recursive relations and informed the solution of the problem or goal, and then push down over, infer its initial conditions. Because the operations of such problems are mapped one by one, the recurrence formula can be analyzed. Then, fromthis solution or goal, take the push back section, step by step into the initial statement of the problem.Here are some examples.[1] oil storage pointA heavy truck wants to cross 1000 kilometers of desert, and the truck uses 1 liters / km of fuel, and the total capacity of the truck is 500 liters. Obviously, a truck never gets through the desert at one time. As a result, drivers must try to set up several storage points along the way so that trucks can cross the desert smoothly. How can drivers build these oil storage points? How much oil should be stored at each point to make the truck pass through the desert at the expense of least oil?Algorithm analysis:Oil storage point number calculation program and print the establishment, the oil storage from the edge of the desert of the distance and the storage of oil.No. Distance (K.M.) oil (litre)1, X, X, X, X2, X, X, X, X3, X, X, X, X........Set dis[i] as the distance between the I oil storage point and the end point (i=0);Oil[i] is the storage quantity of the I oil storage points;We can solve this problem by the back pushing method. From the end to the beginning of the push down, one by one to find the location of each oil storage point and the amount of oil storage.But when the return point are shown:The strategy of pushing back from the oil storage point I to the oil storage point i+1 is that the truck moves back and forth between point I and point i+1. Each time the truck returns to i+1, it runs out of 500 liters of gasoline, and each time it leaves the i+1, it has to hold 500 liters of gasoline. The distance between the two points must satisfy the I point i*500 gasoline fuel storage at least the requirements (0<=i<=n-1). Specifically, the first oil storage point i=1 should be 500km from the terminal i=0 and store 500 litres of gasoline at the end of the tank so that the truck can reach the terminal i=0 at i=1. That is to sayDis[1]=500 oil[1]=500;In order to i=1 storage of 500 liters of gasoline, car to i=1 truck at least from i=2 open two full oil. So the i=2 stores at least 2*500 liters of gasoline, or oil[2]=500*2=1000. In addition, combined with a return from i=1 to i=2 at a no-load,the total round-trip 3 times. The three round trip uses only 500 litres of fuel at the most provincial level. That is,d12=500/3kmDis[2]=dis[1]+d12=dis[1]+500/3In order to store 1000 liters of gasoline at i=2, the truck will drive at least three full load vehicles from i=3 to i=2.With i=3, at least 3*500 liters of gasoline, oroil[3]=500*3=1500. Plus i=2 to i=3 at the two return empty car, total 5 times. The fuel mileage should also be 500 liters, or d23=500/5,Dis[3]=dis[2]+d23=dis[2]+500/5;And so on, in order to store k*500 liters of gasoline at the i=k, the truck will drive at least k full load vehicles from i=k+1 to i=k, i.e.Oil[k+1]=[k+1]*500=oil[k]+500, plus the k-1 return space from i=k to i=k+1, total 2k-1 times. This 2k-1 times the total fuel consumption, according to the provincial minimum requirement of 500 liters, that isDK, k+1=500/ (2k-1)Dis[k+1]=dis[k]+dk, k+1=dis[k]+500/ (2k-1);Finally, the distance from i=n to the starting point is 1000-dis[n], oil[n]=500*n. In order to obtain n*500 liters of petrol truck at i=n, at least from the starting point n+1 full car to i=n, and returned from the i=n point of N times the total return empty, 2n+1 times, 2n+1 times the total fuel consumption should be just for (1000-dis[n]) * (2n+1), is the starting point for oil reservoir (oil[n]+ 1000-dis[n]) * (2n+1).Here's the program code:Program oil_lib;VarK:integer; {oil point position serial number}D, {the distance from the cumulative finish to the current point of oil storageD1:real; {i=n to start point distance}Oil, dis:array[1..10], of, real;I:integer; {auxiliary variable}BeginWriteln ('NO.','distance (K.M): 30,'oil (1.): 80);K:=1;D:=500; {start at i=1, push backward to the start point}Dis[1]: =500;Oil[1]: =500;RepeatK:=k+1;D:=d+500/ (2*k-1);Dis[k]: =d;Oil[k]: =oil[k-1]+500;Until d>=1000;Dis[k]: =1000; {starting point to end distance value}D1:=1000-dis[k-1] = {i=n to start point}Oil[k]: =d1* (2*k+1) +oil[k-1]; {start point oil storage}For i:=0 to k do {start from the start point, print the starting point to the distance from the current oil storage point and the amount of oil storage}Writeln (I, 1000-dis[k-i]: 30, oil[k-i]: 80);End. {main}Converts to the C language program as follows:#include<stdio.h>Void, main (){Int k; / * * / oil storage location numberFloat D, D1 /*d:; the cumulative end point to the current oil storage point distance, d1:i=n distance to the starting point.Float, oil[10], dis[10];Int i;Printf ("NO. distance (K.M.) \toil (L.) \n");K=1;D=500; / * * / starting point began to push down from i=1Dis[1]=500;Oil[1]=500;Do{K=k+1;D=d+500/ (2*k-1);Dis[k]=d;Oil[k]=oil[k-1]+500;}while ((d>=1000));Dis[k]=1000; / * the start point to the end point of the distance.D1=1000-dis[k-1]; / * for i=n to the starting point of the distance.Oil[k]=d1* (2*k+1) +oil[k-1]; / * for starting point of oil reservoir.For (i=0; i<k; i++) / * starting from the start point to the starting point to print the current oil storage point distance and the amount of oil reservoir.Printf ("%d\t%f\t%f\t\n", "I", "1000-dis[k-i]", "oil[k-i]");}Practical algorithm (basic algorithm - recursive method -02)Date of issue: April 10, 2003 provenance: analysis and programming of practical algorithms. Author: C language home collation, 1317 readers have read this articleForward pushing methodThe reverse process of the push down method is pushed along, starting from the boundary conditions, the recursive relations launched by the latter value, value according to the recursive formula of re launch, followed by consequent value...... recursive, until the problem from the initial statement to move forward to the solution of this problem.Real number sequence: a real number series with N items knownAi= (ai-1-ai+1) /2+d, (1<i<N) (N<60)The keyboard inputs are N, D, A1, an, m, and output amNo error is required for input data.Algorithm analysis:Analysis of the problem, the formula:Ai= (Ai-1-Ai+1) /2+d (1<i<N) (n<60)Make a thorough study and discuss its law of digital transformation. Otherwise, there will be no way to start.Make X=A2 s2[i]= (PI, Qi),Ri) represents Ai=PiX+QiD+RiA1We can according toAi=Ai-2-2Ai-1+2D=PiX+QiD+RiA1Formula releasePiX+QiD+RiA1= (Pi-2-2Pi-1), X+ (Qi-2-2Qi-1+2), D+(Ri-2-2Ri-1), A1Comparing the coefficients of X, D and A1 at the ends of an equal signPi=Pi-2-2Pi-1Qi=Qi-2-2Qi-1+2Ri=Ri-2-2Ri-1With two boundary conditionsP1=0 Q1=0 R1=1 (A1=A1)P2=1 Q2=0 R2=0 (A2=A2)According to the recursion formula of Pi, Qi and Ri, it can be calculatedS2[1]= (0,0,1);S2[3]= (-2,2,1);S2[4]= (5, -2, -2);S2[5]= (-12,8,5);...S2[i]= (Pi, Qi, Ri);...S2[N]= (PN, QN, RN);With these fundamentals, AM is not hard to get. There are two ways:1, because AN, A1 and PN, QN, RN known, so you can first according to formula:A2=AN-QND-RNA1/PNFind A2. Then A2 is substituted into the formulaA3=A1-2A2+2DFind A3. Then A3 is substituted into the formulaA4=A2-2A3+2DFind A4. Then A4 is substituted into the formulaAnd...Find Ai-1. Then Ai-1 is substituted into the formulaAi=Ai-2-2Ai-1+2DFind Ai. And so on, until the delivery until AM.The defect is due to the A2 algorithm is the result of the division, and the divisor PN increments, so the error can hardly be avoided, recursive process will continue to expand after the error, even when M is more than 40 AM was calculated from the correct value bias. Obviously, this method is simple but unreliable.2, we make A2=A2, A3=X, represented by S3[i]= (Pi, Qi, Ri), and Ai=PiX+QiD+RiA2 (i>=2) can be calculated:S3[2]= (0,0,1) =S2[1];S3[3]= (1,0,0) =S2[2];S3[4]= (-2,2,1) =S2[3];S3[5]= (5, -2-2) =S2[4];And...S3[i]= (....) =S2[i-1];.....................S3[N]= (....) =S2[N-1];Again, A3=A3, A4=X, represented by S4[i]= (PI, Qi, Ri),Ai=PiX+QiD+RiA3 (i>=3) can be computed:S4[3]= (0,0,1) =S3[2]=S2[1];S4[4]= (1,0,0) =S3[3]=S2[2];S4[5]= (-22,1) =S3[4]=S2[3];And...S4[i]= (...) =S3[i-1]=S2[i-2];And...S4[N]= (...) =S3[N-1]=S2[N-2];By analogy, we can find an interesting:AN=PN-i+2*Ai+QN-i+2*D+RN-i+2*Ai-1, that isAi= (AN-QN-i+2*D-RN-i+2*Ai-1) /PN-i+2We start with the known quantities A1 and AN, and then, in the order of A2, A3,... And AM., in accordance with the above formula, the AM is more accurate than the first algorithm due to the decrease of PN-i+2.The program code is as follows:Program ND1P4;ConstMaxn =60;VarN, m, I: integer;D: real;List: array[1..Maxn] of real; {list[i]------- corresponds to ai}S: array[1..Maxn, 1..3], of, real, {s[i, 1]--------, corresponding to Pi}{s[i, 2]-------- correspond to Qi}{s[i, 3]-------- correspond to Ri}Procedure init;BeginWrite ('n M = D);Readln (n, m, d); {input, output and constant number}Write ('a1 a', N, t);Readln (list[1], list[n]); {enter A1 and an}End; {init}Procedure solve;BeginS[1,1]: =0; s[1,2]: =0; s[1,3]: =1; {seeking recursive bounds (P1, Q1, R1) and (P2, Q2, R2)}S[2,1]: =1; s[2,2]: =0; s[2,3]: =0; {according to formulaPi<---Pi-2 - 2*Pi-1}< {qi - qi - qi - 2 * 2 - 1}< {ri ri - - - - 2 - 2 - 1} * ri{递推 (p3... pn, q3, r3), tt, rn)}for i: = 3 to n dobegins [1]: = (i, s) - [2,1] - 2 [- 1,1] * s);s [i]: = s, 2) - [2,2] - 2 - [1,2] * i + 2;s [i]: = 3, s) - [2,3] - 2 - [1,3] * s);end {for};solve {end};procedure main;beginsolve; {求 (p1, q1, r1, (pn), tt, rn)}根据公式ai = {(an - tt - i + 2 * d - rn) + 2 * ai - 1) / 2}) + pn递推a2..am} {for i: = 2 to m dolist [i]: = (list [n] - n - (i + s [2,2] * d - n - i + s [2,3] * list []) - 1) / s (n - i + 1);writeln ('', '=' list, m, [m]: 20: 10); 输出am} {end main}; {begininit 输入数据}; {main 递推和输出am}; { readln;ending. main} {。
六、递推法
六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式. 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.例1 质点以加速度a 从静止出发做直线运动，在某时刻t ，加速度变为2a ；在时刻2t ，加速度变为3a ；…；在nt 时刻，加速度变为（n +1）a ，求：（1）nt 时刻质点的速度；（2）nt 时间内通过的总路程.解析 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解.（1）物质在某时刻t 末的速度为at v t =2t 末的速度为at at v at v v t t t 2,222+=+=所以3t 末的速度为at at at at v v t t 32322++=+=……则nt 末的速度为nat v v t n nt +=-)1()321()1(32n at nat at n at at at ++++=+-++++=ΛΛat n n n n at )1(21)1(21+=+⋅= （2）同理：可推得nt 内通过的总路程.)12)(1(1212at n n n s ++= 例2有n 块质量均为m ，厚度为d 的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图6—2所示，人至少做多少功？解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为mgd W =2将第3、4、…、n 块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为dn mg W dmg W dmg W dmg W n )1(432543-====Λ所以将n 块砖叠放起来，至少做的总功为W =W 1+W 2+W 3+…+W n 2)1()1(32-⋅=-++++=n n mgd dn mg d mg d mg mgd Λ 例3 如图6—5所示，一排人站在沿x 轴的水平轨道旁，原点O 两侧的人的序号都记为 3,2,1(=n n …）. 每人只有一个沙袋，0>x 一侧的每个沙袋质量为m =14kg ，0<x 一侧的每个沙袋质量kg m 10='. 一质量为M =48kg 的小车以某初速度v 0从原点出发向正x 轴方向滑行. 不计轨道阻力. 当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n 倍.（n 是此人的序号数）（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？解析 当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔.小车以初速0v 沿正x 轴方向运动，经过第1个（n =1）人的身旁时，此人将沙袋以0022v nv u ==的水平速度扔到车上，由动量守恒得,)(2100v m M v m Mv +=⋅-当小车运动到第2人身旁时，此人将沙袋以速度1142v nv u =='的水平速度扔到车上，同理有211)2(2)(v m M nv m v m M +=⋅-+，所以，当第n 个沙袋抛上车后的车速为n v ，根据动量守恒有111)1(,)(2])1([---++-=+=⋅--+n n n n n v nm M m n M v v nm M mv n v m n M 即. 同理有n n v mn M m n M v )1()2(1+++-=+，若抛上（n+1）包沙袋后车反向运动，则应有.0,01<>+n n v v 即.0)2(,0)1(<+->+-m n M m n M由此两式解得：n n n ,1420,1438><为整数取3. 当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第n 个人身旁，抛上第n 包沙袋后由动量守恒定律有：''++='-''-++--n n nv m n m M nv m v m n m M )3(2])1(3[11 解得：''+++'+-+='''++'+-+='+-n n n n v m n m M m n m M v v m n m M m n m M v )1(3)2(33)1(311同理 设抛上n+1个沙袋后车速反向，要求0,01≤>'+n n v v即⎩⎨⎧=>⎩⎨⎧≤'+-+>'+-+870)2(30)1(3n n m n m M m n m M 解得 即抛上第8个 沙袋后车就停止，所以车上最终有11个沙袋.例4 如图6—7所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m 1、m 2和m 3，m 2=m 3=2m 1. 小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计. 开始时，三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此间距离相等，m 2和m 3静止，m 1以初速2/0R v π=沿槽运动，R 为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T. 解析 当m 1与m 2发生弹性碰撞时，由于m 2=2m 1，所以m 1碰后弹回，m 2向前与m 3发生碰撞. 而又由于m 2=m 3，所以m 2与m 3碰后，m 3能静止在m 1的位置，m 1又以v 速度被反弹，可见碰撞又重复一次. 当m 1回到初始位置，则系统为一个周期.以m 1、m 2为研究对象，当m 1与m 2发生弹性碰撞后，根据动量守恒定律，能量守恒定律可写出：221101v m v m v m += ①222211201212121v m v m v m += ② 由①、②式得：002112002121132231)(v v m m m v v v m m m m v =+=-=+-= 以m 2、m 3为研究对象，当m 2与m 3发生弹性碰撞后，得032203='=v v v以m 3、m 1为研究对象，当m 3与m 1发生弹性碰撞后，得0130v v v ='='由此可见，当m 1运动到m 2处时与开始所处的状态相似. 所以碰撞使m 1、m 2、m 3交换位置，当m 1再次回到原来位置时，所用的时间恰好就是系统的一个周期T ，由此可得周期 ).(2021010)32232(3)(30000321s R R v R v R v R v R t t t T ===++⨯=++=ππππππ 例5 如图6—13所示，在x 轴上方有垂直于xy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，在x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场，场强为E. 一质量为m ，电量为－q 的粒子从坐标原点O沿着y 轴方向射出. 射出之后，第三次到达x 轴时，它与O 点的距离为L. 求此粒子射出时的速度v 和每次到达x 轴时运动的总路程s.（重力不计）解析 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，经半周后通过x轴进入电场后做匀减速直线运动，速度减为零后，又反向匀加速通过x 轴进入磁场后又做匀速圆周运动，所以运动有周期性.它第3次到达x 轴时距O 点的距离L 等于圆半径的4倍（如图6—13甲所示）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 4L Bq mv R == 所以粒子射出时的速度 mBqL v 4= 粒子做圆周运动的半周长为 41Ls π=粒子以速度v 进入电场后做匀减速直线运动，能深入的最大距离为y ，因为y mEq ay v 222== 所以粒子在电场中进入一次通过的路程为 mEqL B y s 162222== 粒子第1次到达x 轴时通过的路程为 41LR s ππ=⋅=粒子第2次到达x 轴时，已通过的路程为 mE qL B Ls s s 16422212+=+=π 粒子第3次到达x 轴时，已通过的路程为 mE qL B Ls s s s 162221213+=++=π粒子第4次到达x 轴时，已通过的路程为 mE qL B Ls s s 822222214+=+=π 粒子第)12(-n 次到达x 轴时，已通过的路程为mEqL B n L n s n ns s n 16)1(4)1(2221)12(-+=-+=-π 粒子第2n 次到达x 轴时，已通过的路程为 )164()(22212mE qL B Ln s s n s n+=+=π 上面n 都取正整数.针对训练1．一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东的恒力F ，历时1秒钟，随即把此力改为向西，大小不变，历时1秒钟，接着又把此力改为向东，大小不变，历时1秒钟，如此反复，只改变力的方向，共历时1分钟. 在此1分钟内 （ ）A ．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东B ．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末静止于初始位置C ．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末继续向东运动D ．物体一直向东运动，从不向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东2．一小球从距地面为H 的高度处由静止开始落下. 已知小球在空中运动时所受空气阻力为球所受重力的k 倍)1(<k ，球每次与地面相碰前后的速率相等，试求小球从开始运动到停止运动，（1）总共通过的路程；（2）所经历的时间.六、递推法答案1．D 2．kk k g k H k k k g k H k H 211)1(2211)1(2,22-+-++-++- （2）2s （3）m 35。
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Input Input consists of several test cases followed by a line containing -1. Each test case is a line containing an integer 0 <= n <= 30. Output For each test case, output one integer number giving the number of possible tilings.
1252: Tiling
Sample Input 2 8 12 Sample Output 3 171 2731
1113: 铺地板
Description In how many ways can you tile a 3xn rectangle with 2x1 dominoes? Here is a sample tiling of a 3x12 rectangle.
练习巩固 强化训练
同理对于最后一列，它也有可能这样被铺满
它可以被两块“砖”横着铺满，因而对于一个2行N列的走道而言，我 们只要将前N-2列铺好，再将最后2列横着铺好，任务就完成了，而前 N-2列有多少铺放的方式，这N列的亦有多少种方式，即F(N)=F(N-2)
练习巩固 强化训练
综上所述可知: F(N)=F(N-1)+F(N-2). 易求得边界值 F(1)=1 F(2)=2
Description In how many ways can you tile a 2xn rectangle by 2x1 or 2x2 tiles? Here is a sample tiling of a 2x17 rectangle.
Input Input is a sequence of lines, each line containing an integer number 0 <= n <= 250. Output For each line of input, output one integer number in a separate line giving the number of possible tilings of a 2xn rectangle.
学生置疑 教师解惑
因此，我们可以得到公式： F(n)=F(n-1)+F(n-2) 边界值是： n=1或n=2时，F(n)=1
学生置疑 教师解惑
解决此类问题的三个关键 1:阶段 按一定的标准的将事物发展分成若干个 过程 2:状态 即我们所要求的量 3:递推方程 即每个阶段与前面阶段的联系
自然界中的Fib数
3瓣延龄草
自然界中的Fib数
5瓣耧斗菜
自然界中的Fib数
8瓣美洲血根草
自然界中的Fib数
13瓣多毛金光菊
自然界中的Fib数
21瓣大滨菊
自然界中的Fib数
34瓣 雏菊
自然界中的Fib数
自创练习 互促互进
请针对“走道铺砖”问题进行改编，你能创 作 出什么题来？
1252: Tiling
学生置疑 教师解惑
演示动画
1
1月 2月
1
2 2 5 2 3 3 4 1 1 1
3月
4月
5月
学生置疑 教师解惑
从上面的分析可以看到，第n个月后兔子的数目有两 部分构成： 1、上月的所有兔子； 2、上月的所有老兔子所生的小兔子。 因此，若我们记第n个月的兔子总数为F(n)、老兔子 数为G(n)的话，那么F(n)=F(n-1)+G(n-1)。那么G(n) 怎么得到呢？通过分析上图，我们可以发现，第n个 月的老兔子数等于第n-1个月的兔子总数，因此上式 中的G(n-1)=F(n-2)。
练习巩固 强化训练
1:确定阶段 以走道的列数为阶段，当其发生变化时， 铺法的总数 3:确定递推方程
分析
我们既然将列数做为阶段，那么我们观察下 最后一列走道有哪些铺放的方法.如下图:
它可以被“砖”竖着铺满，因而对于一个2行N列的走道而言，我们只 要将前N-1列铺好，再将最后一列竖着铺好，任务就完成了，而而前N1列有多少铺放的方式，这N列的亦有多少种方式，即F(N)=F(N-1)
学生置疑 教师解惑
递推算法定义:
有些问题中，相邻两项或多项数字（或状 态）之间存在某种关系，可以通过前一项 或多项按照某一规律推出其后一项数字 （或状态），或者是通过后一项或多项按 照某一规律推出其前一项数字（或状态）。 我们可将这种规律归纳成如下递推关系式： Fn=g(Fn-1)
学生置疑 教师解惑
练习巩固 强化训练
为什么我们要分析最后一列被铺满的情况？
练习巩固 强化训练
总结归纳
请就本课的两个问题，谈谈你对阶段、状态 递推方程的理解 .
总结归纳
了解世界上的一切事物都在不经意之中变 化着，在这纷繁的变幻中，许多现象的变 化是有规律可循的。这种规律往往呈现出 前因和后果的关系，故我们可以运用递推 的思想去研究这些变化。
月份 1 2 1 3 4 2 3 5 5 6 8 7 13 8 21 9 34 10 55 …
兔子数目 1
不难发现兔子的数目随着月份的变化而变化， 我们的任务在于找出其变化的规律。
学生置疑 教师解惑
分析:
自变量：月份 变化的结果：兔子的数目
设函数如下
F(N)=X------代表在第N个月时有X对兔子
递推分倒推法和顺推法两种形式。 1、顺推法： 从已知条件出发，逐步推出要解决的问题。 2、逆推法：从问题出发，逐步推到已知条件。 算法流程如下：
练习巩固 强化训练
对于一个二行N列的走道，现在希望你用
将走道铺完，不能铺到走道外面，且 砖块间不能重叠。现在给出N的值，希 望你给出一共有多少种不同的铺法。 例如当N=3时，你以下有3种不同的铺 法。请问当N=7时，有多少种铺法。
1113: 铺地板
Sample Input 2 8 12 -1 Sample Output 3 153 21 31
1084: 兔子问题 1085: 骨牌铺法一 1086: 骨牌铺法二 1139: 文科生的悲哀 1093: 平面分割 1001: 数的计算 1092: 走楼梯 1079: 汉诺塔问题 1088: 昆虫繁殖 1090: 马拦过河卒 1095: 火车站 1112: Hanoi双塔问题
递推算法
例1：兔子问题 有一种兔子，出生后一个月就可以长大， 然后再过一个月一对长大的兔子就可以生 育一对小兔子且以后每个月都能生育一对。 现在，我们有一对刚出生的这种兔子，那 么，10个月过后，我们会有多少对兔子呢？ 假设所有的兔子都不会死亡。
学生置疑 教师解惑
我们不妨将前几个月兔子的数量列表 如下: