《不等式的基本性质》一元一次不等式和一元一次不等式组PPT教学课件8

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例2 比较M a 1 - a 和 N a - a - 1 a 1
的大小.
例3 比较以下两个实数的大小：
(1)1818 1616与1816 1618；
(2)
1
与2 n (n N * )
n1- n
【解题回顾】
本题的解答关键在于选择合适的方法.
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Ａ
Ｂ
Ｂ
Ａ
a a <b b x
b a >b a x
设a 、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别
是A 、B ，那么，当点A在点B的左边时， a < b；当点A
在点B的右边时， a > b.
关于a，b的大小关系，有以下基本事实: 如果a > b， 那么a-b是正数；如果a=b，那么a-b等于零；如果a < b， 那么a-b是负数；反过来也对.
a-b 0 a b； a-b 0 a b； a - b 0 a b.
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不等式的基本性质：
(1) a b b a (对称性)；
(2) a b，b c a c (传递性)；
单向性
(3) a b a c b c (可加性)；
双向性
a b，c d a c b d；
不等式的基本性质
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基本概念： 观察以下四个不等式：
a+2 > a+1 --------------(1)
a+3 > 3a
-------------(2)
3x+1< 2x+6 --------------(3)
X<a
--------------(4)
同向不等式: 在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边 或每一个的左边都小于右边(不等号的方向相同).
取值范围是 _______2_7__，_5_6______；
1.不等式的概念: 同向不等式；异向不等式；同解不等式．
2.比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下 结论． 大多用于比较幂指式的大小．
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探究： 类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质呢？
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思考：
从上述事实出发，你认为可以用什么方法比较 两个实数的大小？
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比较它 们的差a - b 与0的大小. 在这里，0为实数比较大 小提供了“标杆”.
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例1 试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小.
解：(2 x4 1) - (2 x3 x2 ) 2 x4 1 - 2 x3 - x2
若x 1时，2x4 1 2x3 x2 .
作差比较大小： 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ④结论.
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练习:
已知实数x、y，比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】 用作差比较法比较两个实数的大小，其步骤是：
作差——变形——判断符号． 常见的变形手段是: 通分、因式分解或配方等； 变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平方 式等.
异向不等式：
在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右 边20，20/1而1/08 另一个的左边小于右边(不等号的方向相反2 ).
同解不等式: 形式不同但解相同的不等式. 其它重要概念: 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.
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基本理论：
O
x
1.实数在数轴上的性质:
研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上 的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的大小：
注意：
1.注意公式成立的条件，要特别注意“符号问 题”； 2.要会用自然语言描述上述基本性质； 3.上述基本性质是我们处理不等式问题的理论基 础.
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例1 已知a b 0，c d 0，求证: a b . dc
例2 已知60 x 84， 2x 1)
(
x
-
1)2
2
x
1 2
2
1 2
0.
▪技能：
▪分组组合；添项、拆项；配方法.
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x R，2 x 1 2 1 0， 22 若x 1，那么( x - 1)2 0，则2x4 1 2x3 x2； 若x 1，那么( x - 1)2 0，则2x4 1 2x3 x2 . 综上所述：若x 1时，2x4 1 2x3 x2；
(2x4 - 2x3 ) - ( x2 - 1) 2 x3 ( x - 1) - ( x - 1)( x 1)
2x3 ( x - 1) - ( x - 1)( x 1) ( x - 1)[2x3 - ( x 1)]
( x - 1)[(2x3 - 2x2 ) (2x2 - 2x) ( x - 1)]
作商比较法： 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小．
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练习: 2 若m 0，比较mm与2m的大小.
3 已知a 0，试比较(a2 2a 1)(a2 - 2a 1) 与(a2 a 1)(a2 - a 1)的大小.
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【知识回顾】
用数学式子表示为: a b a - b 0 ； a b a-b 0；
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aba-b0. 5
a b a-b 0；
a b a-b 0；
aba-b0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而 右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实 数的大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质 不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要 依据.
(4) a b，c 0 ac bc；a b，c 0 ac bc；
a b 0，c d 0 ac bd；
(5) a b 0，n N ，n 1 an bn；
(6) a b 0，n N ，n 1 n a n b .
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上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是正 确的吗？你能够给出它们的证明吗？