《1.1.1集合的含义与表示(1)》导学案2

合集下载

高中数学 11集合的含义及其表示第2课时学案北师大必修1 学案

1．1 集合的含义及其表示第2课时【学习目标】1．理解并掌握集合三种表示方法；熟练地进行集合表示方法之间的转换； 2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用； 3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力. 【课前导学】一、复习回顾： 1、集合的概念描述：1）一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。

2）集合的元素具有__确定____性、_互异__性和__无序__性． 3）如果a 是集合A 的元素，记作___a A ∈_____． 4）集合的分类：有限集，无限集和空集 . 2、常用数集的符号：自然数集__N____；正整数集__N *____；整数集__Z____；有理数集__Q____；实数集__R___．二、思考题：集合A 中的元素由(a ∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A 的关系？（1）0 （2（3分析：先把x 写成的形式，再观察a ，b 是否为整数. 【解】（1）因为2000⋅+=，所以A ∈0；（2）因为211121⋅+=-，所以A ∈-121；（3）因为,213231+=-Z ∉3，所以Z ∉-231 .点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元素，就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.三、问题情境观察下列对象能否构成集合（1）满足x －3＞2的全体实数；（2）本班的全体男生；（3）我国的四大发明；（4）2008年北京奥运会中的球类项目；（5）不等式2x +3 < 9的自然数解；（6）所有的直角三角形；如果能够，那么这些集合又如何来表示？【课堂活动】一、建构数学：1、列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内.用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开，但与元素的次序无关.思考：用列举法表示下列对象构成集合：（6）所有的直角三角形. 【提醒】(1)如果两个集合所含元素完全相同（即A 中的元素都是B 中的元素，B 中的元素也都是A 中的元素），则称这两个集合相等.（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素. （3）集合{（1，2），（3，4）}与集合{1，2，3，4}不同 .2、描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p(x)}的形式. 如：{x|x 为中国直辖市}，{x|x 为young 中的字母} .所有直角三角形的集合可以表示为： { x|x 是直角三角形}等.（1）满足x －3＞2的全体实数；（2）本班的全体男生；（3）我国的四大发明；（4）2008年北京奥运会中的球类项目；（5）不等式2x +3 < 9的自然数解；3、Venn 图法：用封闭的曲线内部表示集合（形象直观）.如：集合{x|x 为young 中的字母}.【思考】何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法.如：集合{ 3，7，8 }.(2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法. 如：集合{(x,y)|y=x+1} ；集合{x|x 为1000以内的质数}. 4、集合相等：如果两个集合A ，B 所含的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为：____A=B____ . 二、应用数学：例1 用列举法表示下列集合： ①{x ∈N|x 是15的约数}； ②{x|x=(1)n- ,n ∈N} ； ③{(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y ∈ N}；解：①{}1,3,5,15； ②{}1,1-；③{}(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0) .例2 用描述法表示下列集合： ①{1，4，7，10，13}； ②奇数的集合.解：①}{321,2,3,4,5n n -=； ②}{21,x x n n N +=-∈. 例3 用适当的方法表示下列集合： 1）方程x 2-2x -3=0的解集； 2）不等式2x -3>5的解集；3）方程组x 13y x y +=⎧⎨-=⎩的解集.解：（1）{}2x |x -2x-3=0；（2）{}|2x-3>5x ；（3）{}(2,1)- .【解后反思】常见题型，常考题型，可以有多种不同的表示方法！例4 已知61M x NZ x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭,求集合M . 解：{}0,1,2,5M = . 【变式】已知61M Z x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭,求集合M. 解：M ={}6,3,2,1 .【解后反思】审题时注意两者代表元素的区别. 例5 若{}220102010,,1,,0,a b a a a b b a ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭求的值. 【思路分析】第一个集合中有元素0，分析知，b=0, 从而集合可以化简为{}0,1,a . 解：第一个集合中有元素0，故必有b=0, 从而集合可以化简为{}0,1,a ，因此a 2=1 1a ∴=±有集合中元素的互异性知，a= -1, a=1不合，舍去. 故a= -1 .【解后反思】特殊元素优先原则. 例6 已知A={x|a 2x +2x +1=0},（1）若A 中有且只有一个元素，求a 的取值集合；（2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围. 解：（1）由题意知，A 中有且只有一个元素，当a=0时，对应方程为一次方程，此时A=12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，符合题意；当a ≠0时，对应方程a 2x +2x+1=0有两个相等实根，即a=1时也符合题意. 综上所述，a 的取值集合为{}0,1；（2）由（1）知，a = 0或1时， A 中有且只有一个元素，符合题意；当对应方程a 2x +2X+1=0无实根时，即 a>1时，A=∅，符合题意；综上所述，a = 0或a ≥1 . 【解后反思】1、注意分类讨论；2、一元二次方程有两个相等实数根，对应的方程的解集只有一个元素.三、理解数学：1、用列举法表示下列集合：（1）中国国旗的颜色的集合；（2）单词mathematics中的字母的集合；（3）自然数中不大于10的质数的集合；（4）同时满足240121xx x+>⎧⎨+≥-⎩的整数解的集合.解：（1）{红，黄}；（2）{m，a，t，h，e，i，c，s }；（3）{2，3，5，7 }；（4）{-1，0，1，2}.2、用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使yx=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；（5）图中阴影部分内点的集合.-12-11oyx【解】（1）{x|x=3k，k∈Z}；（2）{x|x≤2且x≠0 }；（3）∅；（4）{(x,y)| y=-x2+3x-6}；（5）{(x,y)|0201xy≤≤⎧⎨≤≤⎩或0201xy≤≤⎧⎨≤≤⎩.3、已知A=6|,3x N xx⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭,试用列举法表示集合A.【答案】A=｛－3,0,1,2｝.【课后提升】1.下列集合表示法错误的是（1）（2）（4）（6） .（1）｛１，２，２，３｝；（2）｛全体实数｝；（3）｛有理数｝；（4）不等式ｘ２－５＞０的解集为｛ｘ２－５＞０｝；(5) {Ф}；(6) 方程组31420x yx y+=⎧⎨-=⎩的解的集合为{2，4}.2.用列举法表示下列集合：①{x|x为不大于10的正偶数}=__｛2,4,6,8,10｝_____;②(){}{}{}1212x y x y∈∈,|,,,=__｛（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）｝___;③集合{ｘ∈Ｎ｜－１＜ｘ＜４}用列举法表示为｛0,1,2,3｝ ;④｛数字和为5的两位数｝=_｛14,23,32,41,50｝__;⑤{}3216(,)|,,x y x y x N y N+=∈∈=__｛（0,8），（2,5），（4,2）｝__;3.已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．解：分两种情况讨论：①221001a a a ab bb b⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或⇒1+a2+b2=2；②220101a b a ab bb a⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或这与集合的性质矛盾，∴1+a2+b2=2 .。

高中数学必修1全册导学案及答案(76页)

1）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 23讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.二、新课导学※ 探索新知探究1：考察几组对象： ① 1～20以内所有的质数；② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形；④ 2x , 32x +, 35y x -, 22x y +； ⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程230x x +=的所有实数根；⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车； ⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿. 试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：① 不等式30x ->的解； ② 3的倍数；③ 方程2210x x -+=的解； ④ a ，b ，c ，x ，y ，z ； ⑤ 最小的整数；⑥ 周长为10 cm 的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流.探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？新知3：集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作：a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作：a ∉A .试试3：设B 表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B ，0.5 B ， 0 B ，－1 B .探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？新知4：常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；正整数集：所有正整数的集合，记作N *或N +；整数集：全体整数的集合，记作Z ；有理数集：全体有理数的集合，记作Q ；实数集：全体实数的集合，记作R .试试4：填∈或∉：0 N ，0R ，3.7 N ，3.7Z ， .探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知5：列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.※典型例题例1 用列举法表示下列集合：①15以内质数的集合；②方程2(1)0x x-=的所有实数根组成的集合；③一次函数y x=与21y x=-的图象的交点组成的集合.变式：用列举法表示“一次函数y x=的图象与二次函数2y x=的图象的交点”组成的集合.三、总结提升※学习小结①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.※知识拓展集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（）.A．某个村子里的高个子组成一个集合B．所有小正数组成一个集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D．1361,0.5,,,2242. 给出下列关系：①12R=；②Q；③3N+-∉；④.Q 其中正确的个数为（）.A．1个B．2个C．3个D．4个3. 直线21y x=+与y轴的交点所组成的集合为（）.A. {0,1}B. {(0,1)}C.1{,0}2- D.1{(,0)}2-4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳A；广州A. （填∈或∉）5. “方程230x x-=的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.1. 用列举法表示下列集合：（1）由小于10的所有质数组成的集合；（2）10的所有正约数组成的集合；（3）方程2100x x-=的所有实数根组成的集合. 2. 设x∈R，集合2{3,,2}A x x x=-.（1）求元素x所应满足的条件；（2）若2A-∈，求实数x.§1.1.1 集合的含义与表示（2）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.45复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .集合中的元素具备、、特征. 集合与元素的关系有、 .复习2：集合2{21}A x x =++的元素是，若1∈A ，则x = .复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？二、新课导学※ 学习探究思考：① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？② 你能用列举法表示不等式13x -<的解集吗？探究：比较如下表示法 ① {方程210x -=的根}； ② {1,1}-；③ 2{|10}x R x ∈-=.新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{|}x A P ∈，其中x 代表元素，P 是确定条件.试试：方程230x -=的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .※ 典型例题例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.练习：用描述法表示下列集合.（1）方程340x x +=的所有实数根组成的集合；（2）所有奇数组成的集合.小结：用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，例如 {|21,}x x k k Z =-∈,{|0}x x >.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）抛物线21y x =-上的所有点组成的集合；（2）方程组3222327x y x y +=⎧⎨+=⎩解集.变式：以下三个集合有什么区别. （1）2{(,)|1}x y y x =-；（2）2{|1}y y x =-；（3）2{|1}x y x=-.反思与小结：①描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2{(,)|1}x y y x=-与2{|1}y y x=-不同.②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{|1}x x>，{|3,}x x k k Z=∈.③集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.④列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.※动手试试练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数. 练 2. 已知集合{|33,}A x x x Z=-<<∈，集合2{(,)|1,}B x y y x x A==+∈. 试用列举法分别表示集合A、B.三、总结提升※学习小结1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；2. 会用适当的方法表示集合；※知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x是直角三角形，也可以写成：{直角三角形}；（2）集合2{(,)|1}x y y x=+与集合2{|1}y y x=+是同一个集合吗？2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{|16}A x N x=∈≤<，则下列正确的是（）.A. 6A∈ B. 0A∈C. 3A∉ D. 3.5A∉2. 下列说法正确的是（）.A.不等式253x-<的解集表示为{4}x<B.所有偶数的集合表示为{|2}x x k=C.全体自然数的集合可表示为{自然数}D. 方程240x-=实数根的集合表示为{(2,2)}-3. 一次函数3y x=-与2y x=-的图象的交点组成的集合是（）.A. {1,2}- B. {1,2}x y==-C. {(2,1)}- D.3{(,)|}2y xx yy x=-⎧⎨=-⎩4. 用列举法表示集合{|510}A x Z x=∈≤<为.5.集合A＝{x|x=2n且n∈N}，2{|650}B x x x=-+=，用∈或∉填空：4 A，4 B，5 A，5 B.1. （1）设集合{(,)|6,,}A x y x y x N y N=+=∈∈，试用列举法表示集合A.（2）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数}，求属于A且属于B的元素所组成的集合.2. 若集合{1,3}A=-，集合2{|0}B x x ax b=++=，且A B=，求实数a、b.§1.1.2 集合间的基本关系学习目标1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 理解子集、真子集的概念；3. 能利用V enn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；4. 了解空集的含义.学习过程一、课前准备（预习教材P 6~ P 7，找出疑惑之处）复习1：集合的表示方法有、、 . 请用适当的方法表示下列集合. （1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N ；2 Q ； -1.5 R .（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、新课导学※ 学习探究探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：{3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且； {}C =东升高中学生与{}D =东升高中高一学生； {|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.新知：子集、相等、真子集、空集的概念.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A . 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B Ø.② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为： ()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且，则A B =中的元素是一样的，因此A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；（2）∅ 2{|30}x x +=，∅ R ；（3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=.反思：思考下列问题.（1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？① 若,,a b b a a b ≥≥=且则；② 若,,a b b c a c ≥≥≥且则.B A※典型例题例 1 写出集合{,,}a b c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x=->与{|250}B x x=-≥；（2）设集合A={0,1}，集合{|}B x x A=⊆，则A 与B的关系如何？变式：若集合{|}A x x a=>，{|250}B x x=-≥，且满足A B⊆，求实数a的取值范围.※动手试试练1. 已知集合2{|320}A x x x=-+=，B＝{1,2}，{|8,}C x x x N=<∈，用适当符号填空：A B ，A C，{2} C，2 C.练 2. 已知集合{|5}A x a x=<<，{|2}B x x=≥，且满足A B⊆，则实数a的取值范围为.三、总结提升※学习小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论.2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.※知识拓展如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有2n21n-个.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列结论正确的是（）.A. ∅AB. {0}∅∈C. {1,2}Z⊆ D. {0}{0,1}∈2. 设{}{}1,A x xB x x a=>=>，且A B⊆，则实数a的取值范围为（）.A. 1a< B. 1a≤C. 1a> D. 1a≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c=++=，则（）.A. 3,2b c=-= B. 3,2b c==-C. 2,3b c=-= D. 2,3b c==-4. 满足},,,{},{dcbaAba⊂⊆的集合A有个.5. 设集合{},{},{}A B C===四边形平行四边形矩形，{}D=正方形，则它们之间的关系是，并用V enn图表示.课后作业1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A⊆⊆⊆⊆试用V enn图表示这三个集合的关系.2. 已知2{|0}A x x px q=++=，2{|320}B x x x=-+=且A B⊆，求实数p、q所满足的条件.§1.1.3 集合的基本运算（1）1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用V enn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.89复习1：用适当符号填空.0 {0}；0 ∅；∅{x|x2＋1＝0,x∈R}；{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S，{x|x∈S且x∉A}= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学※学习探究探究：设集合{4,5,6,8}A=，{3,5,7,8}B=.（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集.①一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：{|,}.A B x x A x B=∈∈I且Venn图如右表示. ②类比说出并集的定义.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：A BU，读作：A并B，用描述法表示是：{|,}A B x x A x B=∈∈U或.Venn图如右表示.试试：（1）A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝；（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝；（3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝，A∩B＝.（4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.反思：（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系？（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系？（3）A∩A＝；A∪A＝.A∩∅＝；A∪∅＝.※典型例题例1 设{|18}A x x=-<<，{|45}B x x x=><-或，求A∩B、A∪B.变式：若A＝{x|-5≤x≤8}，{|45}B x x x=><-或，则A∩B= ；A∪B= . 小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.A例2 设{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|327}B x y x y=+=，求A∩B.变式：（1）若{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|43}B x y x y=+=，则A B=I ；（2）若{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|8212}B x y x y=+=，则A B=I.反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？※动手试试练 1. 设集合{|23},{|12}A x xB x x=-<<=<<.求A∩B、A∪B.练2. 学校里开运动会，设A={x|x是参加跳高的同学}，B={x|x是参加跳远的同学}，C={x|x是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A BI与B CI的含义.三、总结提升※学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.※知识拓展A B C A B A C=I U I U I（）（）（），A B C A B A C=U I U I U（）（）（），A B C A B C=I I I I（）（），A B C A B C=U U U U（）（），A AB A A A B A==I U U I（），（）.你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{}{}5,1,A x Z xB x Z x=∈≤=∈>那么A BI等于（）.A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5} C．{2,3,4}D．{}15x x<≤2. 已知集合M＝｛(x, y)|x+y=2｝，N={(x, y)|x－y=4},那么集合M∩N为（）.A. x=3, y=－1B. (3，－1)C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C===，则()A B CI U等于（）.A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}4. 设{|}A x x a=>，{|03}B x x=<<，若A B=∅I，求实数a的取值范围是.5. 设{}{}22230,560A x x xB x x x=--==-+=，则A BU= .课后作业1. 设平面内直线1l上点的集合为1L，直线2l上点的集合为2L，试分别说明下面三种情况时直线1l与直线2l的位置关系？（1）12{}L L P=I点；（2）12L L=∅I；（3）1212L L L L==I.2. 若关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，且A∩B={13-}，求A BU.§1.1.3 集合的基本运算（2）学习目标1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；2. 能使用V enn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.学习过程一、课前准备1011复习1：集合相关概念及运算.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的，记作 . 若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的，记作 .若A B B A ⊆⊆且，则 .② 两个集合的部分、部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：A B =I ； A B =U . 复习2：已知A ＝{x |x ＋3>0}，B ＝{x |x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系？二、新课导学※ 学习探究探究：设U ={全班同学}、A ={全班参加足球队的同学}、B ={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？新知：全集、补集. ① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U .② 补集：已知集合U , 集合A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且.补集的Venn 图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.试试：（1）U ={2,3,4}，A ={4,3}，B =∅，则U C A = ，U C B = ；（2）设U ＝{x |x <8，且x ∈N }，A ＝{x |(x -2)(x -4)(x -5)＝0}，则U C A ＝；（3）设集合{|38}A x x =≤<，则R A ð= ；（4）设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ .反思：（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？（2）Q 的补集如何表示？意为什么？※ 典型例题例1 设U ＝{x |x <13，且x ∈N }，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求UC A 、U C B .例2 设U =R ，A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B .变式：分别求()U C A B U 、()()U U C A C B I .※ 动手试试练1. 已知全集I ={小于10的正整数}，其子集A 、B 满足()(){1,9}I I C A C B =I ，(){4,6,8}I C A B =I ，{2}A B =I . 求集合A 、B .练2. 分别用集合A 、B 、C 表示下图的阴影部分.（1）；（2）；（3）；（4） .反思：结合V enn 图分析，如何得到性质：（1）()U A C A =I ，()U A C A =U ；（2）()U U C C A = .三、总结提升※ 学习小结1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展试结合Venn 图分析，探索如下等式是否成立？（1）()()()U U U C A B C A C B =U I ；（2）()()()U U U C A B C A C B =I U .学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A =（） A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {1,1}-2. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（）.A. {|02}x x x ≤≥或B. {|02}x x x <>或C. {|2}x x ≥D. {|2}x x > 3. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--, {}0,3,4N =--，则()I M N =I ð（）.A ．｛０｝B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅4. 已知U ={x ∈N |x ≤10}，A ={小于11的质数}，则U C A = .5. 定义A —B ={x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ={1,2,3,4,5}，N ={2,4,8}，则N —M = .课后作业1. 已知全集I =2{2,3,23}a a +-，若{,2}A b =，{5}I C A =，求实数,a b .2. 已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =I ，试用列举法表示集合A§1.1 集合（复习）1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.214复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？A B =I ； A B =U ； U C A = .复习2：交、并、补有如下性质.A ∩A ＝；A ∩∅＝； A ∪A ＝；A ∪∅＝；()U A C A =I ；()U A C A =U ； ()U U C C A = . 你还能写出一些吗？二、新课导学※ 典型例题例1 设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；（2）由以上结果，你能得出什么结论吗？例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =U ，A B ≠I ∅，(){1,2}U A C B =I ，求集合A 、B .小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法.例3 若{}{}22430,10A x x x B x x ax a =-+==-+-=，{}210C x x mx =-+=,A B A A C C ==U I 且，求实数a 、m 的值或取值范围．变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.※ 动手试试练1. 设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .练2. 已知A ={x |x <-2或x >3}，B ={x |4x +m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围。

高一数学1.1.1集合的含义与表示1导学提纲

高一数学1.1.1集合的含义与表示1导学提纲第 2 页第 3 页等都不能构成集合，因为组成集合的元素是不确定的。

互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。

相同的元素归入同一集合时，只能算作集合的一个元素。

例如：由元素1，2，1组成的集合中有两个元素1，2。

无序性：组成集合的元素没有次序。

只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的。

例如：由元素3,4,5组成的集合与由元素4,5,3组成的集合是相等的。

（三）元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A a∈a属于集的元素 A 合A不属于a不是集合A中的元素a∉Aa不属于集合A例如：“中国的直辖市”构成的集合为A，则天津∈A；郑州∉A（四）常用数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R二、深入学习1.请同学们根据集合元素的确定性．．．，判断下列各组对象能否组成一个集合：第 4 页(1)数学必修1课本上的所有难题；(2)北京大学2019级的新生；(3)不大于20的非负数；(4)篮球比姚明打得好的人；2.请同学们根据集合元素的互异性．．．，解答下列各题：（1）若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是() A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形（2）由a2，2-a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（）A.1B.-2C.6D.23.请同学们根据集合元素的无序性．．．，解答下列各题：（1）下列各组集合，表示相等集合的是________①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N ＝{2,3}；③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．4.请同学们根据元素与集合的关系，用∈或者∉填空：-1 _____ N，2_____ Q，3.7 _____ Z，3.14 _____Q，π_____ R5.判断下列说法是否正确（1）方程0)65(2322=+-+-xxxx）（的根所构成的集合中一共有四个元素（）（2）如果一个元素a满足Ra∈，则Qa∈一定成立（）（3）若果一个元素a满足Qa∈，则Ra∈一定成立（）三、拓展延伸第 5 页第 6 页集合元素特征的综合运用是历年的考点，多涉及讨论思想，请同学们尝试完成下列习题：（1）设集合A 是由1，2-，12-a三个元素构成的集合，集合B 是由1，aa32-，0三个元素构成的集合，若B A =，则实数a =________。

集合的含义与表示(导学案)

§1 集合的含义与表示一学习目标：1.知识与技能了解集合的含义及有限集和无限集的意义，体会元素与集合的属于关系，会用集合语言表达数学问题，掌握常用数集及集合表示的符号2.过程与方法体会集合中蕴涵的分类思想，认识到列举法和描述法不同的使用范围3.情感态度与价值观通过集合的学习，激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极的学习态度，体会数学学习的意义二学习重点：集合的基本概念与表示方法三学习难点：用列举法和描述法正确表示集合预习案1列举生活中的集合实例，并概括各种集合实例的共同特征2关于集合知识有哪些概念？元素与集合有何关系？3关于集合知识涉及哪些符号？是如何表示的？4集合的常用表示方法有哪些？各自的特点是什么？5、0 N πQ12 Q π R6 、探讨以下问题并思考集合中元素的特性（1）“所有的好学生”能否构成一个集合（2）{1，2, 2, 3 }是不是集合（3）{a ,b,c}和{b,a,c}是否表示同一集合（4）“book”中字母构成一个集合，请写出这个集合探究案例1选择适当的方法表示下列集合由大于3小于10的自然数组成的集合方程092=-x 的解的集合抛物线2x y = 图像上所有点组成的集合方程022=+x 的解的集合例2 已知2x {∈1，0，}x ，求实数x 的值方法指导：首先确定2x 是集合中的元素，再根据集合中元素的互异性解题变式：由实数x x x x x ,,,,332--所构成的集合中，最多含有的元素个数是多少？训练案1下列关系正确的是（）A 0={0}B 0= φC 0∈φD 0∈{0}2 下列集合中表示同一个集合的是（）A M ={(0,1)}, N ={(1,0)}B M ={0,1},N ={1,0}C M ={0,1}, N ={(0,1)}D M ={0,1}, N ={(y x ,)|10==y x 且}3若-3∈{a -3,2a -1，12+a }，求实数a 的值。

1高中数学必修1精品教案：1.1.1集合的含义与表示导学案

第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示【学习目标】(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；【预习指导】对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号,都可以称作对象.阅读教材,并思考下列问题：(1)有哪些概念？(2)有哪些符号？(3)集合中元素的特性是什么？(4)如何给集合分类?【课堂探究】一、问题1：(1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会常任理事国；(4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；(7)方程2560x x -+=的所有实数根；(8)不等式30x ->的所有解；(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.观察上面的例子,指出这些实例的共同特征是什么？(分组讨论,得出集合的概念)问题2：你还能给出一些集合的例子吗？(学生自己举例子,得出集合元素的特性)二、1、任意给定一个对象和一个集合,它们之间有什么关系？用符合如何表示？2、常用的数集(自然数集、整数集、正整数集、有理数集、实数集)的专用符号你记住了吗？3、要表示一个集合共有几种方式?4、试比较自然语言、列举法和描述法在表示集合时,各自有什么特点?适用的对象是什么?5、如何根据问题选择适当的集合表示法?【课堂练习】1．下列说法正确的是 ( )A.{}1,2,{}2,1是两个集合B.{}(0,2)中有两个元素Ｃ.6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集Ｄ.{}2|20x Q x x ∈++=且是空集２.将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是 ( )Ａ.{}3,2,1,0,1,2,3--- Ｂ.{}2,1,0,1,2--Ｃ.{}0,1,2,3 Ｄ.{}1,2,3３.{},0.3,0,00R Q N +∉∈∈其中正确的个数是( ) Ａ.１个Ｂ.２个Ｃ.３个Ｄ.４个４.方程组25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ５.已知集合Ａ＝{}20,1,x x -则x 在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.６.(创新题)已知集合{},,S a b c =中的三个元素是ABC ∆的三边长,那么ABC ∆一定不是( )Ａ.锐角三角形Ｂ.直角三角形Ｃ.钝角三角形Ｄ.等腰三角形【尝试总结】1.本节课我们学习过哪些知识内容?2.选择集合的表示法时应注意些什么?【达标检测】一、选择题1.下列元素与集合的关系中正确的是( ) A.N ∈21 B.2∈{x ∈R|x ≥3} C.|-3|∉N* D.-3.2∉Q2.给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y =x 2-1}与集合{(x ,y )|y =x 2-1}是同一个集合； (3)1,23,46,21-,0.5这些数字组成的集合有5个元素； (4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R}是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.33.下列集合中表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B. M={3,2},N={(2,3)}C.M={(x ,y )|x +y =1},N={y |x +y =1}D.M={1,2},N={2,1}4.已知x ∈N ,则方程220x x +-=的解集为( )A.{x |x =-2}B. {x |x =1或x =-2}C. {x |x =1}D.∅ 5.已知集合M={m ∈N|8-m ∈N},则集合M 中元素个数是( )A.6B.7C.8D.9二、填空题6.用符号“∈”或“∉”填空：0_______N ,5______N ,16______N .7.用列举法表示A={y |y =x 2+1,-2≤x ≤2,x ∈Z}为_______________.8.用描述法表示集合“方程x 2-2x +3=0的解集”为_____________.9.集合{x |x >3}与集合{t|t >3}是否表示同一集合？________10.已知集合P={x |2<x <a ,x ∈N},已知集合P 中恰有3个元素,则整数a =_________.三、解答题11.已知集合A={0,1,2},集合B={x |x =ab ,a ∈A ,b ∈A}.(1)用列举法写出集合B ；(2)判断集合B 的元素和集合A 的关系.12.已知集合{1,a ,b }与{-1,-b ,1}是同一集合,求实数a 、b 的值.13.(探究题)下面三个集合：①{}2|2x y x =-,②{}2|2y y x =-,③{}2(,)|2x y y x =-(1)它们是不是相同的集合？(2)试用文字语言叙述各集合的含义.附：集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初,许多迫切问题得到解决后,出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中,康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集,这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘,但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因,在数学发展的历程中,数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷,并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学,从而进入了一片未开垦的处女地,开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集,用字母N来表示.”学过集合那一章后,同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的,一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中,永远完成不了,是潜在的,而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说,就是“……我反对将无穷量作为一个实体,这在数学中是从来不允许的.所谓无穷,只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时,他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西,这样他就肯定了作为完成整体的无穷,这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利,康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步,他以完全前所未有的方式,继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论,创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同,用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势,即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上,自然数集与正偶数集具有了相同的个数,他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势,因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数[注]集合也是可数集时,一个很自然的想法是无穷集是清一色的,都是可数集.但出乎意料的是,他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数,而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟,如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时,人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而,事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上,盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别,有着不同的数量级,可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功,并且根据无穷性有无穷种的学说,对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列,他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵,最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系,它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论,描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲,康托尔的关于无穷的这些理论,引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”,有人嘲讽超限数是“雾中之雾”,称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新,由于他开创了一片全新的领域,提出又回答了前人不曾想到的问题,他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时,或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始,曾遭到许多数学家的激烈反对,康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中,他得了精神分裂症,几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年,最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发,借助集合论的概念,便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上,著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天,我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久,集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R .现在问R 是否属于R ？如果R 属于R ,则R 满足R 的定义,因此R 不应属于自身,即R 不属于R ；另一方面,如果R 不属于R ,则R 不满足R 的定义,因此R 应属于自身,即R 属于R .这样,不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后,众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年,策梅罗提出公理化集合论,后经改进形成无矛盾的集合论公理系统,简称ZF 公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上,从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应,在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论,因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立,标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利,他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今,时间已经过去了一百多年,在这一段时间里,数学又发生了极其巨大的变化,包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时,我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察,它是数学天才的最优秀作品,是人类纯智力活动的最高成就之一.超限算术是数学思想的最惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一. 注：整系数一元n 次方程的根,叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x 2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下,超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.1.1.1集合的含义与表示【课堂练习】1．D 2. C 3.B 4. 73,22⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ 5. x ≠ 6.D 【达标检测】选择题 1－5 BADCC填空题 6. ∈ ∉ ∈ 7. {}2,4,5 8. {}2|230x x x -+= 9.是 10. 6解答题11.}4,2,1,0{=B 集合A 中的元素都在集合B 中。

高中数学 1.1.1 集合的含义与表示2教案新人教a版必修1

1.1.1 集合的含义与表示（第二课时）教学目标：1.掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）。

.2.通过实例能使学生选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

教学重点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）教学难点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）的理解教学方法：尝试指导法和讨论法教学过程：（I ）复习回顾问题1：集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明.问题2：集合与元素关系是什么？如何表示？问题3：常用的数集有哪些？如何表示？（II ）引入问题问题4：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的? 如表示下列数中的正数 4.8,-3,2,-0.5,1,+73,3.1 方法1:方法2: {4.8,2,31,+73,3.1} 问题5：在初中学习不等式时,如何表示不等式x+3<6的解集?（可表示为:x<3） (III) 讲授新课一、集合的表示方法问题4中，方法1为图示法，方法2为列举法.1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.说明： (1)书写时，元素与元素之间用逗号分开；(2)一般不必考虑元素之间的顺序；(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替；例1．用列举法表示下列集合：2. 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写在大括号里的方法)。

表示形式：A={x ∣p}，其中竖线前x 叫做此集合的代表元素；p 叫做元素x 所具有的公共属性；A={x ∣p}表示集合A 是由所有具有性质P 的那些元素x 组成的，即若x 具有性质p ，则x ∈A ；若x ∈A,则x 具有性质p 。

说明: (1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示； (2)应防止集合表示中的一些错误。

高中数学人教版必修1导学案：1.1.1集合的含义与表示(无答案)

§1.1.1集合的含义与表示第1课时班级姓名组别代码评价【使用说明与学法指导】1．先精读一遍教材P2-P3,用红色笔进行勾画；再针对导学案二次阅读并解决预习探究案中的问题；训练案在自习或自主时间完成；2．预习时可对合作探究部分认真审题，做不完或者不会的正课时再做，对于选做部分BC 层可以不做；3．找出自己的疑惑和需要讨论的问题并记录下来，准备课上讨论质疑。

【学习目标】1．初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.,初步了解“∈”关系的意义；2. 通过实例,初步体会元素与集合的”属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合；3. 观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义。

【学习重点】集合概念的形成【学习难点】理解集合的元素的确定性和互异性【预习案】认真阅读课本第2-3页，用红色笔标记重点内容并完成下列填空：1、例（3）到例（8）和例（1）（2）是否具有相同的特点，它们能否构成集合，如果能，他们的元素是什么？结合现实生活，请你举出一些有关集合的例子。

2、一般地，我们把研究对象称为，把一些元素组成的总体叫做。

3、集合的元素必须是不能确定的对象不能构成集合。

4、集合的元素一定是的，相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素。

5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如。

元素通常用小写的拉丁字母表示，如。

6、如果a是集合A 的元素,就说a属于A ,记作,读作””。

如果a不是集合A的元素,就说a不属于A ,记作，读作””。

7、（以下为专用符号，须牢记）非负整数集（或自然数集），正整数集，整数集，有理数集，有理数集，实数集。

【探究案】探究一：集合的概念及元素的特征阅读教材第2页开始至第3页思考部分，回答以下问题：1.例（1）到例（8）中的各组对象分别是一些什么？有多少个对象？2.例（1）到例（8）都能组成集合吗，元素分别是什么？3.“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？4.集合中的元素有哪些特征？练习1.分析下列对象，能否构成集合，并指出其元素：（1）不等式30x->的解；（2）3的倍数；（3）方程2210-+=的解；（4）a，b，c，x，y，z；x x（5）最小的整数；（6）周长为10 cm的三角形；（7）中国古代四大发明；（8）全班每个学生的年龄；（9）地球上的四大洋；（10）地球的小河流.能构成集合的有（填序号）：探究二：集合的字母表示精读教材第3页后回答以下问题：1.实数能用字母表示，集合又如何表示呢？2.元素与集合的关系有哪些？用符号分别如何表示？练习2.设B 表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B ，0.5 B ， 0 B ，－1 B .探究三：常用数集及其记法阅读教材第3页，熟记常用的数集及其记号并填写下表：数集名称含义记法非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集练习3：用∈、与∉填空．①π Q ； 3 Z ； 3 R ； ④0 N ； ⑤0 N +；⑥0 Z ； ⑦723 Q ； ⑧32 N ； 9 Z ； ⑩()52N 。

最新精品导学案：1.1.1-2集合的含义及其表示

最新精品导学案：1. 1.1 集合的含义及其表示方法（2）教案【教学目标】1、集合和元素的表示法；2、掌握一些常用的数集及其记法3、掌握集合两种表示法：列举法、描述法。

【教学重难点】集合的两种表示法：列举法和描述法。

【教学过程】一、导入新课复习提问：集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明，集合与元素关系是什么？如何用数不符号表示？那么给定一个具体的集合，我们如何表示它呢？这就是今天我们学习的内容—集合的表示 (板书课题)我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合二、新课讲授（1）、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

例:“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}由“maths 中的字母” 构成的集合，写成{m,a,t,h,s}由“book 中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2） a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。

（3）集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

学生自主完成P4 例题1（2）、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合。

例:不等式12x +<-的解集可以表示为：{|12}x R x ∈+<-或{|3,}x x x R <-∈ “中国的直辖市”构成的集合，写成{x x 为中国的直辖市}； “方程x 2+5x-6=0的实数解” {x ∈R| x 2+5x-6=0}={-6，1}学生自主完成P5例题2三、例题讲解例题1.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x 2-9=0的解组成的集合;(4){15以内的质数};(5){x|x36∈Z ,x ∈Z }.分析:教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素,明确各个集合中的元素,写在大括号内即可提示学生注意:(2)中满足条件的数按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3;(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数;(5)中3-x 是6的约数,6的约数有±1, ±2, ±3, ±6.解: (1)满足题设条件小于5的正奇数有1,3,故用列举法表示为{1,3};(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6,9,12,故用列举法表示为{6,9,12};(3)方程x 2-9=0的解为-3,3,故用列举法表示为{-3,3};(4)15以内的质数有2,3,5,7,11,13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13}(5)满足的x 有3-x=±1, ±2, ±3, ±6.解之,得x=2,4,1,5,0,6,-3,9,故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}变式训练1用列举法表示下列集合:(1)x 2-4的一次因式组成的集合;(2){y|y=-x 2-2x+3,x ∈R ,y ∈N };(3)方程x 2+6x+9=0的解集;(4){20以内的质数};(5){(x,y)|x 2+y 2=1,x ∈Z ,y ∈Z };(6){大于0小于3的整数};(7){x ∈R |x 2+5x-14=0};(8){(x,y)|x ∈N 且1≤x<4,y -2x=0};(9){(x,y)|x+y=6,x ∈N ,y ∈N }.分析：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？如何表示数轴上的点？如何表示不等式的解？学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学生:(1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(x,y)来表示,其特征是满足y=x 2;(2)集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x 来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;(3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x 来表示,把不等式化为x<a 的形式,则这些实数的特征是满足x<a.解：(1)二次函数y=x 2上的点(x,y)的坐标满足y=x 2,则二次函数y=x 2图象上的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x 2};(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x ∈R ||x|>6};(3)不等式x-7<3的解是x<10,则不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}.点评：本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(x,y),数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.变式训练2用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集;(2)小于10的所有非负整数的集合;(3)方程ax+by=0(ab≠0)的解;(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;(6)方程组⎩⎨⎧==+1y -x 1,y x 的解的集合;(7){1,3,5,7,…};(8)x 轴上所有点的集合;(9)非负偶数;(10)能被3整除的整数.答案：(1)、{(x,y)|2x+y=5};(2)、{x|0≤x<10,x ∈Z };(3)、{(x,y)|ax+by=0(ab≠0)};(4)、{x||x|>3};(5)、{(x,y)|xy<0};(6)、{(x,y)|⎩⎨⎧==+1y -x 1y x }; (7)、{x|x=2k-1,k ∈N *};(8)、{(x,y)|x ∈R ,y=0};(9)、{x|x=2k,k ∈N };(10)、{x|x=3k,k ∈Z }.四、课堂小结1．描述法表示集合应注意集合的代表元素{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z 。

集合的含义与表示导学案

" 括起来表示集
பைடு நூலகம்
例 2．试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程 x 2 2 0 的所有实数根组成的集合；
（2）由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.
例 3．若所有形如 3a＋ 2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合 A，请判断 6－2 2是不是集合 A 的元素？
2
例 4．已知集合 A={x∈R|ax2-3x+1=0,a∈R}，若 A 中的元素最多只有一个，求 a 的取值范围。
1
非负整数集（自然数集）
正整数集
整数集
有理数集
实数集
例 1：用列举法表示下列集合：（1）小于 10 的所有自然数组成的集合；
（2）方程 x 2 x 的所有实数根组成的集合；
（3）由 1 ~ 20 以内的所有素数组成的集合.
素数: 7.集合的表示方法集合除了用自然语言描述外，还可以用__________和__________表示。列举法描述法把集合的元素__________出来，并用大括号 " 合的方法。用________________ ______________表示集合的方法。

3.已知集合 A x |

15 ． N , x Z 用列举法表示集合 A 为_________________。 5 x
【误区警示】 1.在确定元素中所含字母的值时，一定要将字母的取值代回检验，看是否满足元素的互异性和题意; 2.用描述法表示集合时，一定要注意代表元素是什么。如：集合｛x|y=x2｝, ｛y|y=x2｝, ｛(x,y)|y=x2｝是意义完全不同的三个集合; 3.集合中的元素可以是集合，即集合也可以作为一个集合中的元素。如： A={1,{2,3},4,5}，其中 1∈A,2A, 3A,{2,3}∈A，4∈A，5∈A。作业：习题 1.1 第 1，2，3，4 题

1.1.1 集合的含义和表示(第2课时)表示集合的方法学案(含答案)

1.1.1 集合的含义和表示（第2课时）表示集合的方法学案（含答案）第2课时表示集合的方法学习目标1.掌握集合的两种表示方法列举法.描述法.2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.3.能记住各类区间的含义及其符号，会用区间表示集合知识链接1质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数不包括0整除的数2函数yx22x1的图象与x轴有2个交点，函数yx22x1的图象与x轴有1个交点，函数yx2x1的图象与x轴没有交点预习导引1列举法1把集合中的元素一个一个地写出来表示集合的方法，叫作列举法2用列举法表示集合，通用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔2描述法1把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，叫作描述法2用描述法表示集合，通用的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性；也可以在大括号里先写出其中元素的一般属性或形式，再写出特写的符号竖线，然后在符号后面列出这些元素要满足的其他条件3区间设a，b是两个实数，且ab，区间的含义及表示如下表名称定义符号数轴表示闭区间x|axba，b开区间x|axba，b左闭右开区间x|axba，b左开右闭区间x|axba，b无穷区间x|xa，a无穷区间x|xa，a无穷区间x|xaa，无穷区间x|xaa，题型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合1小于10的所有自然数组成的集合；2方程x2x的所有实数根组成的集合；3由120以内的所有质数组成的集合解1设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A0,1,2,3,4,5,6,7,8,92设方程x2x的所有实数根组成的集合为B，那么B0,13设由120以内的所有质数组成的集合为C，那么C2,3,5,7,11,13,17,19规律方法对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法应用列举法时要注意元素之间用“，”而不是用“.”隔开；元素不能重复跟踪演练1用列举法表示下列集合1我国现有的所有直辖市；2绝对值小于3的整数集合；3一次函数yx1与yx的图象交点组成的集合解1北京，上海，天津，重庆；22，1,0,1,2；3方程组的解是所求集合为.题型二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合1正偶数集；2被3除余2的正整数的集合；3平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合解1偶数可用式子x2n，nZ表示，但此题要求为正偶数，故限定nN，所以正偶数集可表示为x|x2n，nN2设被3除余2的数为x，则x3n2，nZ，但元素为正整数，故x3n2，nN，所以被3除余2的正整数集合可表示为x|x3n2，nN3坐标轴上的点x，y的特点是横.纵坐标中至少有一个为0，即xy0，故坐标轴上的点的集合可表示为x，y|xy0规律方法用描述法表示集合时应注意“竖线”前面的xR可简记为x；“竖线”不可省略；px可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；同一个集合，描述法表示可以不唯一跟踪演练2用描述法表示下列集合1所有被5整除的数；2方程6x25x10的实数解集；3集合2，1,0,1,2解1x|x5n，nZ；2x|6x25x10；3xZ||x|2题型三列举法与描述法的综合运用例3集合Ax|kx28x160，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解1当k0时，原方程为168x0.x2，此时A22当k0时，由集合A中只有一个元素，方程kx28x160有两个相等实根则6464k0，即k1.从而x1x24，集合A4综上所述，实数k的值为0或1.当k0时，A2；当k1时，A4规律方法1.1本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解2因kx28x160是否为一元二次方程而分k0和k0而展开讨论，从而做到不重不漏2解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点跟踪演练3把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合解由题意可知方程kx28x160有两个实根解得k1，且k0.k取值范围的集合为k|k1，且k0.课堂达标1集合xN|x32用列举法可表示为A0,1,2,3,4B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5D1,2,3,4,5答案B解析xN|x32xN|x51,2,3,42已知集合AxN|x，则A1AB0AC.AD2A答案B解析0N且0，0A.3用描述法表示方程xx3的解集为________答案x|x解析xx3，x.解集为x|x4已知xN，则方程x2x20的解集用列举法可表示为________答案1解析由x2x20，得x2或x1.又xN，x1.51全体非负实数组成的集合用区间表示为________2既是不等式x20的解又是不等式3x0的解组成的集合用区间表示为________3若有区间m1,2m3，则m的取值范围是________答案10，22,334，课堂小结1.表示集合的要求1根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则2一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合2在用描述法表示集合时应注意1弄清元素所具有的形式即代表元素是什么，是数.还是有序实数对点.还是集合或其他形式2元素具有怎样的属性当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

《1.1.1集合的含义与表示(1)》导学案
2
学习目标
1
．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的

特性，培养自己的抽象、概括能力．
2
．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言

表示数学内容的简洁性和准确性．
学习过程

1
．元素与集合的概念

(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示．
(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示．
2
．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．

3
．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的．

4
．元素与集合的关系

(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA.
5
．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、
N

或N＋来表示．
对点讲练

知识点一：集合的概念
【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：
(1)著名的数学家； (2)某校2007年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数； (4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)直角坐标平面内第一象限的一些点； (6)3的近似值的全体．
解 (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，
因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数
x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0
”，两者

必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；
(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标
平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，
因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．
规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任
何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序
性．
变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是( )
A．高个子的人 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3
的实数

答案 D

知识点二：集合中元素的特性
【例2】已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
分析考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．
解 ∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

∴a＝－1或a＝－32.则当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的
互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，

∴a＝－32.
规律方法对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合
中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学
习中熟练掌握．
变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数
m
的值．
解 ∵2∈A，∴m＝2或m2－3m＋2＝2.
若m＝2，则m2－3m＋2＝0，
不符合集合中元素的互异性，舍去．
若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.
m＝0不合题意，舍去．经验证m＝3
符合题意，

∴m只能取3.

知识点三：元素与集合的关系
【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合
A
中的元素．

分析解答本题首先要理解∈与D/∈的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数
构成的，6－22能否化成此形式，进而去判断6－22是不是集合A中的元素．
解因为在3a＋2b(a∈Z，b∈Z)中，
令a＝2，b＝－2，
即可得到6－22，
所以6－22是集合A中的元素．
规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合
的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的
形式．

变式迁移3 集合A是由形如m＋3n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，判断123是不是集
合A中的元素．
解 ∵123＝2＋3＝2＋3×1，而2，1∈Z，

∴2＋3∈A，即123∈A.
课堂小结
1
．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．

2
．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．

3
．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的

步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．
课时作业

一、选择题
1
．下列几组对象可以构成集合的是( )

A．充分接近π的实数的全体 B
．善良的人

C．某校高一所有聪明的同学 D．某单位所有身高在1.7 m
以上的人

答案 D
2
．下列四个说法中正确的个数是( )

①集合N中最小数为1；②若a∈N，则－aN；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．
A．0 B． 1 C．2 D．3
答案 A
3．由a2 ，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a
的取值可以是( )

A．1 B．－2 C．6 D．2
答案 C
解析验证，看每个选项是否符合元素的互异性．
4．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC
一定不是( )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D
．等腰三角形

答案 D
解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．
二、填空题
5．集合A＝{1，2，3，5}，当x∈A时，若x－1A，x＋1A，则称x为A
的一个“孤立

元素”，则A中孤立元素的个数为________．
答案 1
解析当x＝1时，x－1＝0A，x＋1＝2∈A；
当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；
当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4A；
当x＝5时，x－1＝4A，x＋1＝6A；
综上可知，A中只有一个孤立元素5.
6
．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．

①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；
④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．
答案 ①④⑤
三、解答题
7．已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x
.

解当3x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，
则x＝－2或x＝1.
经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．
当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.
经检验，x＝－3或x＝2均合题意．
∴x＝－3或x＝2.
8．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6
三个元

素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
解 ∵当a＝0时，b依次取1，2，6，得a＋b的值分别为1，2，6；
当a＝2时，b依次取1，2，6，得a＋b的值分别为3，4，8；
当a＝5时，b依次取1，2，6，得a＋b的值分别为6，7，11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1，2，3，4，6，7，8，11共8个．