1-5无穷大与无穷小

证
lim lim( ) lim lim lim lim .
推论1.若lim '( x) f ( x)存在， ( x) ~ '( x), 则lim ( x) f ( x)也存在， 且 lim ( x) f ( x) lim '( x) f ( x)
tan x sin x为x的三阶无穷小 .
练习：1.当x 0 时，试确定3 x sin2 x的阶.
2.当x 0 时，试确定1- cos x的阶.
3.当x 0 时，比较 1 x -1与x 的阶 (n Z ).
n 2 2
？？？是不是任意两个无穷小都可以 进行阶的比较
1 sin x f ( x ) , g( x ) x 时的无穷小 x x g( x ) lim lim sin x 不存在且不为无穷大 x x f ( x )
推论2.若 ( x) ~ '( x), ( x) ~ '( x),
'( x) 且 lim f ( x)存在， '( x) ( x) 则 lim f ( x)也存在， ( x) ( x) '( x) 且 lim f ( x) lim f ( x) ( x) '( x)
n 1 2 lim n3 n3 n3 n n 1 2 lim n2 n2 n2 n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证(不证)
设函数u( x)在N o ( x0 , 1 )内有界，
则M 0,当0 x x0 1时,恒有 u( x) M .
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时， x 与 x 是等价无穷小 sin ．
也称：当x 0时， x是 1 阶无穷小。 sin
例4 证明 : 当x 0时, tan x sin x为x的三阶无穷小 .
tan x sin x 解 lim 3 x 0 x 1 sin x 1 cos x lim( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 , lim lim lim 2 x 0 cos x x 0 2 x x 0 x
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．
例如, 当x 0时,
sin x ~ x,
sin x x o( x ),
y
1 2 x 2
y 1 cos x
1 cos x ~ x
1 2
2
1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2
常用等价无穷小:
当x 0时,
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x
0
易有 lim ( x) 0, 且f ( x) A ( x). x x0
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
x
称直线y A为曲线y f ( x)的水平渐近线
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证（不证） 设 lim f ( x ) .
0, 0, 使得当0 x x0 时 1 1 恒有 f ( x) 即 .
（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）无穷小是变量的一种变化趋势; （3）零是可以作为无穷小的唯一的数.
例如,
x 1 lim 0, 函数 x 1 是当x 1时的无穷小. x 1 x 1 x 1
1 lim 0, x x 1 函数 是当x 时的无穷小 . x
当x x0时, u( x) ( x)为无穷小.
推论1 在同一过程中,
有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数（有界量）与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 1 2 例如,当x 0时 x sin , x arctan 都是无穷小 x x
二、无穷大
1 1 例如,当x 0时,y sin x x
是无界变量， 但ห้องสมุดไป่ตู้是无穷大量
1 1 分析, 当x 0时, y sin x x
(1) 取 xk 1 2k
y
1 1 sin x x

0(k )
2 y( x k ) 2k , 2
当k充分大时, y( xk ) M . 无界，
lim 则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A x x ( x ) A.
x x0 x x0
0
意义
将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
3、无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意
例如,
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

1 tan x 1 sin x
1 tan x 1 sin x

tan x sin x sin x 1 ~ 1 ~ 2 cos x 2
~ sin x
~x
无穷小量为1阶无穷小量。
五、等价无穷小代换
定理3(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
2 2
lim 2 0 （ 型） x 0 x 0 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设 ( x), ( x)是同一过程中的两个无穷小, 且 ( x) 0.
( x) (1) 如果 lim 0， 称 ( x)是 ( x)的 高阶无穷小； ( x) 称 ( x)是 ( x)的低阶无穷小； 记作： ( x) o( ( x))； ( x) (2) 如果 lim C 0 称 ( x)与 ( x)是同阶无穷小； ( x) 记作： ( x) O( ( x))
lim ln x .
x 0
2.渐近线
若 lim f ( x) , 或 lim f ( x) ,
xa xa
或 lim f ( x ) , 或 lim f ( x)
xa xa
称直线x a为曲线y f ( x)的垂直渐近线
若 lim f ( x) A , 或 lim f ( x) A x
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x
~ ln(1 x) ~ e 1
x
~
1 2 1 cos x ~ x 2
(1 x )a 1 a
例5 求无穷小量的阶 解
1 tan x 1 sin x x 0
1 tan x 1 sin x
(2) 取 xk 1 0(k ) 2k
但 y( xk ) 2k sin 2k 0 M .
不是无穷大．
例2、证明 lim ln x .
x 0
证 M 0 要使 ln x M 只要 x e M
若取 e M
当0 x e M时 有 ln x M
称：在自变量x的这种趋势下， ( x)是k阶无穷小。
例如，
x2 lim 0， x 0 3 x
2
即 x 2 o( 3 x ) ( x 0).
当 x 0 时，x 是3x的高阶的无穷小; 明显，当 x 0 时，x2 是两阶的无穷小;
sin x lim 1， x 0 x
x x0

f ( x)
1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
一、无穷小
定义1：在自变量的某种趋势下，以零为极限 的函数（变量）称为无穷小量，简称无穷小.
例如：x 0 时
x2 , sin x, tan x, 1 cos x, tan x sin x
是无穷小量.
x 时
1 x , e , arctan x 是无穷小量. 2 x 2
Remark:
定义 2 设函数 f ( x ) 在 x 0 某一去心邻域内有定义．
总存在 0 ,当0 x x 0 时,有
f ( x) M ,
如果对于任意给定的 M 0 (不论它多么大),
则称函数 f ( x ) 当 x x 0 时为无穷大,
记作
x x0
lim f ( x)
x
lim ln x ,
x 0
lim ln x
1 x x 0
lim cot x , lim e x 0

注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（2）切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无界变量未必是无穷大(思考)
( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
x 0
lim e 0
1 x
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当 x x0 时的无穷小.
定理2 与 是等价无穷小的充要条件为
证
称 是 的主要部分． 必要性 设 ~ ， lim lim 1 0，