07-08秋冬 线性代数期末试卷(答案)

浙江大学2007-2008学年秋冬学期《线性代数》期末试卷一、填空题（每空3分，本大题共18分）1．设α1，α2，α3都是3维列向量，A=�α1，α2，α3�，|A|=1，B=�α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3�，则|B|= 2 。

2．设A，B分别是m和n阶可逆方阵，C为m+n阶方阵，且|A|=a，|B|=b，C=�O A B O�，则C∗=(−1)mn�O aB∗bA∗O�。

3．三元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A的秩为1，η1，η2，η3为AX=b的三个线性无关的解，且η1+η2=�1，2，3�T，η2+η3=�0，−1，1�T，η3+η1=�1，0，−1�T，则非齐次线性方程组AX=b的通解是___________________。

(要求用方程组对应的导出组的基础解系与方程组的一个特解来表示)解因为矩阵A的秩为1，则导出组AX=O的基础解系向量个数为3-1=2。

因为η1，η2，η3为AX=b的三个线性无关的解，则η1+η2=�1，1，3�T为AX=b的解，且(η1+η2)−(η2+η3)=�0，2，4�T(η3+η1)−(η2+η3)=�1，3，2�T是对应的导出组的解，容易验证它们是线性无关的，因此它们是导出组的基础解系。

由此可知非齐次线性方程组AX=b的通解是�1，1，3�T+k1�0，2，4�T+k2�1，3，2�T其中k1，k2为任意数。

4．设A是n阶矩阵，且A2=A，r(A)=r，(r<n)，则矩阵A的特征值为_______________，行列式�E+A+A2+⋯+A k�=___________________。

解由教材P224例5.5.3可知，因为A2=A，r(A)=r，(r<n)，则矩阵A的特征值为0(n−r 重根)和1(r重根)，令f(x)=1+x+x2+⋯+x k，则E+A+A2+⋯+A k的特征值分别为：f(0)=1(n−r重根)f(1)=1+k(r重根)所以�E+A+A2+⋯+A k�=f(n−r)(0)f r(0)=(1+k)r。

5． 二次型f�x 1，x 2，x 3，x 4�=(x 1−2x 2+3x 3−5x 4)(3x 1+5x 2−4x 3+3x 4)的矩阵是___________________。

解f�x 1，x 2，x 3，x 4�=(x 1−2x 2+3x 3−5x 4)(3x 1+5x 2−4x 3+3x 4)=�x 1，x 2，x 3，x 4��1−23−5��3，5，−4，3��x 1x 2x 3x 4�=�x 1，x 2，x 3，x 4��35−43−6−108−6915−129−15−2520−15��x 1x 2x 3x 4� =�x 1，x 2，x 3，x 4�⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡3−12526−12−10232−312523−312296−2529−15⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤�x 1x2x 3x 4� 所以二次型矩阵为⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡3−1526−12−10232−31252232−3122926−25292−15⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤二、计算题（本大题共67分，要求写出必要的计算步骤）6． (本题10分) 计算行列式D =��12345678910000130002401011�<。

=−20注意复印的参考答案为20，这是错误的。

7． (本题10分)已知α1，α2，α3，α4和β1=�2，1，0，0�T ，β2=�1，3，0，0�T，β3=�0，0，1，1�T，β4=�0，0，1，−1�T是R 4的两组基，而从基α1，α2，α3，α4到β1，β2，β3，β4的过渡矩阵为M =⎣⎢⎢⎢⎡4300110000250013⎦⎥⎥⎥⎤。

(1) 求基α1，α2，α3，α4；(2) 求向量δ=α1+α2+α3−2α4在基β1，β2，β3，β4下的坐标；答案α1=�1，−2，0，0�T，α2=�−2，9，0，0�T ， α3=�0，0，2，4�T，α4=�0，0，−3，−7�Tδ=�−2，3，13，−5�T8． (本题10分) 设n 阶方阵A =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1−1n −1n −1n ⋯−1n −1n −1n 1−1n −1n ⋯−1n −1n −1n−1n 1−1n ⋯−1n −1n ⋮⋮⋮⋱⋮⋮−1n −1n −1n ⋯1−1n −1n −1n −1n −1n ⋯−1n 1−1n ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤ 求(A −2E )−1。

解A =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1−1n −1n −1n ⋯−1n −1n −1n 1−1n −1n ⋯−1n −1n −1n−1n 1−1n ⋯−1n −1n ⋮⋮⋮⋱⋮⋮−1n −1n −1n ⋯1−1n −1n −1n−1n −1n ⋯−1n 1−1n ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=E −1�1⋯1⋮⋱⋮1⋯1� 令B =1�1⋯1⋮⋱⋮1⋯1� 则 B 2=nB从而A 2=�E −1n B�2=E −2n B +1n 2B 2=E −1nB =A由A 2=A 可得 (A −2E )�−1(A +E )�=E故(A −2E )−1=−1(A +E )=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡−1+12n 12n ⋯12n 12n−1+1⋯1⋮⋮⋱⋮11⋯−1+1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤9． (本题17分) 设线性方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x 1+3x 2+x 3+2x 4=34x 1+6x 2+3x 3+4x 4=56x 1+9x 2+5x 3+6x 4=78x 1+12x 2+7x 3+λx 4=9试就参数λ的值讨论方程组的解，并且在有解时求出它的解。

(要求用方程组对应的导出组的基础解系和方程组的一个特解来表示)10． (本题20分) 已知3阶矩阵A =�1−11a 4b −3−35�有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，求可逆矩阵P ，使得P −1AP 是对角矩阵，写出此对角矩阵。

答案λ1=λ2=2，λ3=6P =�−11110−2013�，P −1=1�−222331−1−11�P −1AP =�200020006�三、证明题（本题共15分）11．(本题5分) 设A，B都是m×n矩阵，且r(A)+r(B)<n，求证齐次线性方程组AX=O和BX=O有非零的公共解。

证一因为r(A)+r(B)<n，则r��A B��≤r(A)+r(B)<n，从而�A B�X=O有非零解，因此AX=O和BX=O有非零的公共解。

证二因为r(A)+r(B)<n，则r(A)<n，r(B)<n，记r(A)=r1，r(B)=r2设齐次线性方程组AX=O的基础解系为ξ1，ξ2，…，ξn−r1设齐次线性方程组BX=O的基础解系为η1，η2，…，ηn−r2因为n−r1+n−r2=n+(n−r1−r2)>n，则ξ1，ξ2，…，ξn−r1，η1，η2，…，ηn−r2线性相关，从而存在不全为零的数l1，l2，…，l n−r1，k1，k2，…，k n−r2使得l1ξ1+l2ξ2+⋯+l n−r1ξn−r1+k1η1+k2η2+⋯+k n−r2ηn−r2=θl1ξ1+l2ξ2+⋯+l n−r1ξn−r1=−�k1η1+k2η2+⋯+k n−r2ηn−r2�因为l1，l2，…，l n−r1和k1，k2，…，k n−r2中至少有一组数不全为零，不妨假设l1，l2，…，l n−r1不全为零，则由ξ1，ξ2，…，ξn−r1的线性无关性知l1ξ1+l2ξ2+⋯+l n−r1ξn−r1≠θ从而l1ξ1+l2ξ2+⋯+l n−r1ξn−r1=−�k1η1+k2η2+⋯+k n−r2ηn−r2�≠θ因为l1ξ1+l2ξ2+⋯+l n−r1ξn−r1和−�k1η1+k2η2+⋯+k n−r2ηn−r2�分别是AX=O和BX=O的解，因此AX=O和BX=O有非零的公共解。

12．(本题10分) 已知A，C都是n阶正定矩阵，矩阵方程AX+XA=C只有唯一解，且n阶方阵B是该矩阵方程的解，求证：(1) B是对称矩阵；(2) B是正定矩阵。

证(1) 因为A，C都是正定矩阵，则A，C都是对称矩阵。

因为B是AX+XA=C的解，则AB+BA=C(AB+BA)T=C TAB T+B T A=C由此可知B T也是方程AX+XA=C的解，由解的唯一性知B T=B，所以B是对称矩阵。

(2) 设λ是B的特征值，非零向量ξ是B的属于特征值λ的特征向量，则Bξ=λξ。

由此可得ξT ABξ+ξT BAξ=ξT Cξ(ξT A)λξ+(λξ)T Aξ=ξT Cξ2λξT Aξ=ξT Cξ因为A，C都是正定矩阵，则ξT Aξ>0，ξT Cξ>0，所以λ>0。

因为B的所有特征向量都大于零，因此B是正定矩阵。