高三数学第一学期期末考试

泰州实验中学-第一学期期末考试

高三数学试题 命题人:毛加和

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等填写清楚．

2．本试卷共有20道试题，满分160分，考试时间120分钟．请考生用0.5毫米的 黑色中性（签字）笔将答案直接写在试卷上． 参考公式：

（1）样本数据n x x x ,,,21 的标准差

（3）锥体体积公式

[]

22221)()()(1

x x x x x x n

s n -++-+-=

13

V Sh =

其中x 为样本平均数

其中S 为底面面积、h 为高

（2）柱体体积公式 （4）球的表面积、体积公式

V Sh =

24πS R =，34π3

V R =

其中S 为底面面积，h 为高

其中R 为球的半径

一、填空题（本大题满分70分）

本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．)23(log 2

2

1+-=x x y 的定义域是_______ ．

2．集合{}

{}3,2,,a A B a b ==，若{}2A B ?=，则A B ?= ． 3．如果复数2

()(1)m i mi ++是实数，则实数m =_____ ．

4．已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，设ts 时的速度为3)(2

+=t t v )/(s m ，则s t 3=时轿车的瞬时加速度为______________________

．

5

21==|，且a 、b 夹角

120，则=+2______ __．

6．若直线10ax y -+=经过抛物线2

4y x =的焦点，则实数a = ． 7．下列关于2χ的说法中，正确的是 ． ①2

χ在任何相互独立问题中都可以用于检验是否相关；

②2

χ越大，两个事件的相关性越大；

③2

χ是用来判断两个相互独立事件相关与否的一个统计量，

它可以用来判断两个事件是否相关这一类问题.

8．泰州实验中学有学生3000人，其中高三学生600人．为了解学生的身体素质情况， 采用按年级分层抽样的方法，从学生中抽取一个300人的样本． 则样本中高三学生的人数为 ．

9．函数x x x f ln )(-=的单调减区间为____________________．

10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ． 11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，

，，，，． 如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当w xy =取到最大值时， 点P 的坐标是 ．

12．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6

π

θ=

,现在向该正方形区域内随机地投掷

一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是___ ． 13.已知正四棱锥P —ABCD 的高为4，侧棱长与底面所成的角为0

60， 则该正四棱锥的侧面积是 ．

14.对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数”。在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x 。这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

那么]243[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 33333+++++ = ．

二、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

15．(本题满分14分)

设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3

20

tan =B a ，sin 4b A =． （Ⅰ）求B cos 和边长a ；

（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求C 4cos 的值．

16. (本题满分14分)四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形， 侧面ABC ⊥底面BCDE ，,2,2=

=CD BC AB AC =．

（Ⅰ）取CD 的中点为F ，AE 的中点为G ，证明：||FG 面ABC ； （Ⅱ）证明：AD CE ⊥．

17．（本题满分15分）已知动点),(y x C 到点)0,1(-A 的距离是它到点)0,1(B 的距离的2倍. （Ⅰ） 试求点C 的轨迹方程;

（Ⅱ） 试用你探究到的结果求ABC ?面积的最大值.

18．（本题满分15分）由于卫生的要求游泳池要经常换水（进一些干净的水同时放掉一些脏水）, 游泳池的水深经常变化,已知泰州某浴场的水深y （米）是时间)240(≤≤t t ，(单位小时)的函数，记作)(t f y =，下表是某日各时的水深数据

经长期观测的曲线)(t f y =可近似地看成函数b t A y +=ωcos

（Ⅰ）根据以上数据，求出函数b t A y +=ωcos 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； （Ⅱ）依据规定，当水深大于2米时才对游泳爱好者开放，请依据（1）的结论， 判断一天内的上午8 00至晚上

20 00之间，有多少时间可供游泳爱好者进行运动

D

E

A

B

19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．

已知函数x x

a

a

x f 1

)(-

=(其中0>a 且1≠a ,a 为实数常数)． （1）若()2f x =，求x 的值(用a 表示)；

（2）若,1>a 且0)()2(≥+t mf t f a t

对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围(用a 表示)．

20. （本题满分16分） 已知数列{}n a 是公差为d )0(≠d 的等差数列，

数列{}n b 是公比为q 的(q ∈R )的等比数列，若函数2

)(x x f =，且),

1(1-=d f a )12(5-=d f a ,)2(1-=q f b ,)(3q f b =，

(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

(2)设数列{}n c 的前n 项和为n S ，对一切*∈N n ，都有122

112+=+++n n

n a nb c b c b c 成立，求n S

答案要点及评分标准

一、（第1题至第16题） 1.{}

12<>x x x 或

2．{

}3,2,1

3. 1-

4. 62/s m

5. 2

6. -1.

7. ③

8. 12-

9. （0,1） 10. 10.5,10.5a b ==

11. 5,52

?? ???

.

12. 60

13.

14. 857

三、（第15题至第20题）

15.解：（1）由sin 4b A =得4sin =B a ，

由320

tan =B a 与4sin =B a 两式相除，有：

05

3

cos >=B ，………………….4分

又通过320

tan =B a 知：0tan >B ，

则3cos 5B =，4sin 5B =，3

4

tan =B

则5a =．………………….8分

（2）由1

sin 2

S ac B =，得到5c =．C A =∴………………….10分

由25

7

1)53(21cos 21)(cos 212cos 24cos 2222-=-?=-=-+=-=B C A C C ….14分

16．解：(1)取BE 的中点为,P 连,,PG PF 可以证明BC FP AB GP ||,||

∴面||ABC 面FGP ， ∴||FG 面ABC …………………6分

（2）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，

AB AC =，

∴AF BC ⊥，

又面ABC ⊥面BCDE ，

∴AF ⊥面BCDE ，

∴AF CE ⊥．………………….10分

tan tan 2

CED FDC ∠=∠=

， ∴90OED ODE ∠+∠=，

90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，

CE ∴⊥面ADF ，

CE AD ∴⊥．………………….14分

17. .解: (1)CB CA 2=

,2222)1(2)1(y x y x +-=++

8)3(22=+-∴y x ………………….8分

(2)22max =y ………………….10分

22222

1

)(max =??=

∴?AB S ABC ………………….15分

18解 （1）由表中数据，知12=T ， 6

2π

πω==

T 由5.2,0==y t 得5.2=+b A 由2,3==y t ,得2=b

所以，2,5.0==b A 振幅A =

21

，∴y =26

cos 21+t π………………….8分 (2)由题意知，当2>y 时，才可对冲浪者开放 ∴26

cos 21+t π>2, t 6cos π

>0

∴–2

2622π

ππππ+<<-k t k ,

即有312312+<<--ππk t k ，

由240≤≤t ,故可令2,1,0=k ,得30<≤t 或159<

∴在规定时间内有6个小时可供游泳爱好者运动即上午9 00至下午15 00……….15分

19、【解】（1）当0

x a a x f 1

)(-=. …………….2分 由条件可知，21=-

x

x a a ,即0122=-?-x x

a a 解得21±=x a …………6分

∵ )21(log ,0+=∴>a x

x a …………..8分

（2）当[]2,1∈t 时,0)1

()1(22≥-+-t t t t

t

a

a m a a a ……………10分

即 )1()1(42--≥-t

t a a m

[]

2,1,1∈>t a

)1(,0122+-≥∴>-∴t t a m a ………………13分 [][]

1,11,2,1422++∈+∴∈a a a t t [

]

2421,1)1(a a a t ----∈+-∴

故m 的取值范围是[

)+∞--,12

a

…………….16分

20.解 (1)数列{}n a 是公差为d )0(≠d 的等差数列

2)(x x f =，且),1(1-=d f a )12(5-=d f a 22)12(4)1(-=+-∴d d d 2=∴d

11=a 12-=∴n a n ………………….4分

数列{}n b 是公比为q 的(q ∈R )的等比数列

2)(x x f =，且,)2(1-=q f b ,)(3q f b = 222)2(-=∴q q q 3=q

11=b 13-=n n b ………………….8分

(2)

122

11+=+++n n

n a b c b c b c 1=n

21

1

a b c = 31=c ，31=S ………………….10分 2≥n

21=-=+n n n

n

a a n

b

c 132-?=n n n c ………………….12分

1221323323223-??+??+??+=+++=n n n n c c c S

1)3

333231(21

2

1

+?+?+?+?=-n n

设12103333231-?++?+?+?=n n x

=?x 3 n n n n 33)1(3231121?+?-++?+?-

)333(32021 ++-?=--n n n n x

2

1

33--?=n n

n

2

3

3)21(+?-=∴n n n S ………………….14分

综上*∈+?-=N n n S n n ,2

3

3)21(………………….16分

泰州实验中学-第一学期期末考试

高三数学理科附加题 命题人:毛加和

本卷共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤，每题10分． 1. （本题10分）圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为θρθρsin 4,cos 4-==．

（1）把圆1

O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过圆1O ，圆2O 交点的直线的直角坐标方程．

2. （本题10分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为4.0,6.0,5.0，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为75.0,5.0,6.0．

（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．

3.（本小题满分10分）右图是一个直三棱柱（以111C B A 为底面）被一平面所截得到的几何体，

截面为ABC ．已知11111==C B B A ,

90111=∠C B A ，

3,2,4111===CC BB AA ．

（1）设点O 是AB 的中点，证明：||OC 平面111C B A ； （2）求二面角1A AC B --的大小；

4.（本题满分10分）如图，),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P )0(21n y y y <<<< 是曲线C ：)0(32

≥=y x y 上的n 个点，点)0,(i i a A （n i 3,2,1=）在x 轴的正半轴上，且

i i i P A A 1-?是正三角形（0A 是坐标原点）．

（Ⅰ）写出1a 、2a 、3a ；

（Ⅱ）求出点)0,(n n a A （n *∈N ）的

横坐标n a 关于n 的表达式并证明.

级_______________姓名 考试号_______________考场号 座位号

…………………………………装………………………订………………………线………………………………………………

1解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单

位．（1）,sin ,cos θρθρ==y x 由θρcos 4=得θρρcos 42

=．

所以x y x 42

2

=+．

即042

2

=-+x y x 为圆1O 的直角坐标方程．……………….3分 同理042

2

=++x y x 为圆2O 的直角坐标方程．……………….6分

（2）由?????=++=-+0

40

42

22

2x y x x y x 解得???==,0011y x ??

?-==22

2

2y x ． 即圆1O ，圆2O 交于点)0,0(和)2,2(-．过交点的直线的直角坐标方程为

x y -=．……………….10分

2解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件,,,321A A A （1）设

表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

)()()()(321321321A A A P A A A P A A A P E P ??+??+??=

．……………….5分

（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为3.0=p ， 所以),3.0,3(~B ξ

故9.03.03=?==np E ξ．……………….10分

解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件C B A ,,， 则,3.0)()()(===C P B P A P

所以,343.0)3.01()0(3

=-==ξP

,441.03.0)3.01(3)1(2=?-?==ξP

,189.07.03.03)2(2=??==ξP

.027.03.0)3(3===ξP

于是9.0027.03189.02441.01)(=?+?+?=ξE ……………….10分

3．解法一：

（1）证明：作1||AA OD 交11B A 于D ，连D C 1． 则11||||CC BB OD ． 因为O 是AB 的中点， 所以1113)(2

1

CC BB AA OD ==+=

． 则C ODC 1是平行四边形，因此有D C OC 1||．

?D C 1平面111A B C 且?OC 平面1!1A B C ，

则||OC 面111C B A ．……………….5分

（2）如图，过B 作截面||22C BA 面111C B A ，分别交1,CC AA 于22,C A ． 作22C A BH ⊥于H ，连CH ．

因为⊥1CC 面22C BA ，所以BH CC ⊥1，则⊥BH 平面C A 1．

又因为3,2,5===

AC BC AB 222AC BC AB +=?． 所以AC BC ⊥，根据三垂线定理知AC CH ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角． 因为22=

BH ，所以2

1sin ==∠BC BH BCH ，故 30=∠BCH ， 即：所求二面角的大小为

30．……………….10分 解法二：

（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，

则)3,0,1(),2,0,0(),4,1,0(C B A 因为O 是AB 的中点，所以)3,21

,0(O ，

)0,2

1

,1(-=OC ．

易知，)1,0,0(=n 是平面111C B A 的一个法向量．

因为,0=?n OC ?OC 平面111C B A ，

所以||OC 平面111C B A ．……………….5分

（2）)1,0,1(),2,1,0(=--=BC AB ，

设),,(z y x m =是平面ABC 的一个法向量，则

则0,0=?=?m BC n AB 得：?

??=+=--00

2z x z y

取)1,2,1(,1-=-==m z x ．

显然，)0,1,1(=l 为平面C C AA 11的一个法向量．

则2

3

)cos(=

?=

?l

m l m l m ，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角1A AC B --的大小是 30．……………….10分 4.解：（Ⅰ）;12,6,2321===a a a ……………….6分

（2）依题意，得2

3,211---?=+=

n n n n n n a a y a a x ，由此及n n x y ?=32

得 )(2

3

)23(121--+=-?

n n n n a a a a ， 即)(2)(12

1n n n n a a a a +=---．

由（Ⅰ）可猜想：)(),1(*

∈+=N n n n a n ．

下面用数学归纳法予以证明： （1）当1n =时，命题显然成立；

（2）假定当n k =时命题成立，即有(1)n a k k =+，则当1n k =+时，由归纳假设及

211()2()k k k k a a a a ++-=+

得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即

2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-?++=，

解之得

1(1)(2)k a k k +=++（1(1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去），

即当1n k =+时，命题成立．

由（1）、（2）知：命题成立．……………….10分