高中物理竞赛基础：天体的运动与能量

§4．10天体的运动与能量

4．10．1、天体运动的机械能守恒

二体系统的机械能E 为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，则E 为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于保守力，故有机械能守恒，E 为一恒量，如图4-10-1所示，设M 天体不动，m 天体绕M 天体转动，则由机械动能守恒，有

2

2

22112121mv r GMm mv r GMm E +--=+-=

当运动天体背离不动天体运动时，P E 不断增大，而K E 将不断减小，可达无穷远处，此时0=P E 而K E ≥0，则应满足E ≥0，即

021

2≥+-mv r GMm

例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束缚必有

021

2≥+-mv R GMm

Rg R GM

v 2.1122==≥

我们称v =11.2km/s 为第二宇宙速度，它恰为第一宇宙速度为2倍。

另外在上面的二体系统中，由于万有引力属于有心力，所以对m 而言，遵循角动量守恒

恒量=⋅r v m

或 恒量=⋅θsin mvr

r v 与是θ方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律，即行星与恒星连

线在相等时间内扫过面积等。

4．10．2、天体运动的轨道与能量

若M 天体固定，m 天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲线。

i ）椭圆轨道

如图4-7-1所示，设椭圆轨道方程为

122

22

=+b y a x （a>b ）

则椭圆长，短半轴为a 、b ，焦距2

2b a c -=，近地

点速度1v ，远地点速度2v ，则有

c a GMm mv c a GMm mv E +-=--=

22212121

)()(21c a mv c a mv +=-

或由开普勒第二定律：

)

(21

)(2121c a v c a v +=-

可解得

⎪⎩⎪⎨⎧⋅+-=⋅-+=a c a GM c a v a

c a GM c a v )/()()/()(21

代入E 得

02<-

=a GMm

E

ii)抛物线 设抛物线方程为

2Ax y =

太阳在其焦点（

A 41

,

0）处，则m 在抛物线顶点处能量为

AGMm

mv A GMm mv E 421)41(212020-=-=

可以证明抛物线顶点处曲率半径

A 21=

ρ，则有2

2

0)41/(/A GMm mv =ρ得到

AGM v 80=

抛物线轨道能量

4)8(21

=-⋅=AGM AGM m E

iii ）双曲线 设双曲线方程为

122

22

=-b y a x

焦距2

2b a c +=，太阳位于焦点（C ，0），星体m 在双曲线正半支上运动。

如图4-10-3所示，其渐近线OE 方程为y=bx/a ，考虑m 在D 处与无穷远处关系，有

2202121∞=--=

mv x c GMm mv E

考虑到当∞→r ，运动方向逼近渐近线，焦点与渐近线距FC 为

b b a cb FC =+=22/

故有

b v a

c v D ⋅=-∞21

)(21 或 b mv a c mv D ⋅=-∞)(

联解得

⎪⎩

⎪⎨⎧-==∞a GM a c b v a GM v D

/ 双曲线轨道能量

02>=

a GMm

E

小结

02>-

=a GMm

E 椭圆轨道

0=E 抛物线轨道 02>=

a GMm E 双曲线轨道

以下举一个例子

质量为m 的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动，已知地球半径为R ，飞船轨道半径为2R 。现要将飞船转移到另一个半径为4R 的新轨道上，如图4-10-4所示，求

（1）转移所需的最少能量；

（2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACB 所示，则飞船在两条轨道的交接处A 和B 的速度变化B A v v ∆∆和各为多少？

解: （1）宇宙飞船在2R 轨道上绕地球运动时，万有引力提供向心力，令其速度为1v ，乃有

R mv R GMm 2)2(2

12

= 故得

R GM v 21=

R R

2R 4A

B

C

O

图4-10-4

此时飞船的动能和引力势能分别为

R GMm mv E k 421211== R GMm E p 21

-

=

所以飞船在2R 轨道上的机械能为

R GMm E E E p k 4111-

=+=

同理可得飞船在4R 轨道上的机械能为

以两轨道上飞船所具有的机械能比较，知其机械能的增量即为实现轨道转移所需的最少能量，即

R GMm E E E 812=

-=∆

（2）由（1）已得飞船在2R 轨道上运行的速度为

R GM v 21=

同样可得飞船4R 轨道上运行的速度为

R GM v 42=

设飞船沿图示半椭圆轨道ACB 运行时，在A 、B 两点的速度分别为''21

v v 和。则由开普勒第二定律可得

R v R v 4221

⋅'=⋅' 又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒，故应有

R GMm

v m R GMm v m 42122122

21-'=-'

联立以上两式解之可得

R GMm

v 321

='