板块三 专题一 第1讲

第1讲 三角函数的图象与性质

[考情考向分析]

1．以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性．

2．考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式

例1 (1)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过P (2，1)，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝________．

(2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝⎛⎭⎫π

2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为________．

思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．

(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系进行化简的过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．

跟踪演练1 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π3，cos 5π

3，则sin(π＋α)＝________． (2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫

3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭

⎫π

2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝________．

热点二 三角函数的图象及应用

例2 (1)(2018·江苏扬州中学模拟)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移π

2个单位长度后，与函数y

＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

3的图象重合，则φ＝________． (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()

ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π

12

个单位长度后

得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎡⎦

⎤－π

6，θ上的值域为[－1，2]，则θ＝________．

思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．

(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向．

跟踪演练2 (1)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象向左平移π

4个单位长度后，所在图象对应的函数解析式为________________________．

(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝______；函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，π上的零点为________．

热点三 三角函数的性质

例3 已知函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π

6(ω>0)的最小正周期是π． (1)求函数f (x )在区间(0，π)上的单调递增区间； (2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤

π8，3π8上的最大值和最小值．

思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路

第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式； 第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．

跟踪演练3 (1)(2018·江苏泰州中学调研)若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π

2的图象关于坐标原点对称，且在y 轴右侧的第一个极值点为x ＝π

6

，则f ⎝⎛⎭⎫π12＝________． (2)已知x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，则函数f (x )＝－cos 2x －sin x ·sin π6＋cos 2

x ＋1716的最小值为________．

1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．

2．(2016·江苏)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是_______． 3．(2018·江苏)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π

3对称，则φ的值为________． 4．(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝

⎛⎭⎫3x ＋π

6在[0，π]上的零点个数为______．