高三苏教数学理一轮复习基础达标演练 第十四章 第讲 直接证明与间接证明 含解析

第4讲直接证明与间接证明

分层训练A级基础达标演练

(时间：30分钟满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

1．下列各式中对x∈R都成立的序号是________．

①lg(x2＋1)≥lg(2x)②x2＋1＞2x

③

1

x2＋1

≤1 ④x＋

1

x≥2

解析①④中x必须大于0，故①④排除，②中应x2＋1≥ 2x，故②不正确．答案③

2．下列命题：

①三角形中至少有一个内角不小于60°；

②四面体的三组对棱都是异面直线；

③闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点；

④设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数；

其中假命题的序号是________．

解析a＋b为奇数?a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故④错误．答案④

3．命题“如果数列{a n}的前n项和S n＝2n2－3n，那么数列{a n}一定是等差数列”

是________命题(填“真”、“假”)．

解析∵S n＝2n2－3n，

∴S n－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，

∴a n＝S n－S n－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．

又∵a n＋1－a n＝4(n≥1)，∴{a n}是等差数列．

答案真

4．设a 、b 、c 均为正实数，则三个数a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a ，则下列关于a ，b ，c

三个数的结论，正确的序号是________．

①都大于2 ②都小于2

③至少有一个不大于2 ④至少有一个不小于2

解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，

∴? ????a ＋1b ＋? ????b ＋1c ＋? ????c ＋1a ＝? ????a ＋1a ＋? ????b ＋1b ＋? ??

??c ＋1c ≥6， 当且仅当a ＝b ＝c 时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.

答案 ④

5．已知函数f (x )＝? ????12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ? ????a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ? ??

??2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为________．

解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b

，又f (x )＝? ????12x 在R 上是减函数． ∴f ? ????a ＋b 2≤f (ab )≤f ? ??

??2ab a ＋b . 答案 A ≤B ≤C

6．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：

(ⅰ)1] .

解析 由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得

n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1+(n -1).

又∵1*1=1,∴n *1=n .

答案 n

二、解答题(每小题15分，共30分)

7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求证数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列．

(1)解 当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1.又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1

＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以

a n ＝12

n －1. (2)证明 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，

a r ＋1(p ＜q ＜r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.① 又因为p ＜q ＜r ，所以r －q ，r －p ∈N *.

所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．

8．(2013·南通模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9.

(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；

(2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝a n a n ＋t

，问是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N *)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．

解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由??? a 5＋a 13＝34，3a 2＝9，得??? a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，

解得???

a 1＝1，d ＝2，

故a n ＝2n －1，S n ＝n 2. (2)假设存在正整数t .由(1)知b n ＝2n －12n －1＋t

， 要使b 1，b 2，b m 成等差数列；

则需2b 2＝b 1＋b m ，

即2×33＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t ，整理，得m ＝3＋4t －1

. 当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4.

故存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．