圆重难点突破内心外心

E

F

D

O

A

B

C

前言：

元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。

第1个问题 内心、外心知多少

【2013元调 第10题】

如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（ ）

A 、AIB

AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠

C 、1

2180

2

AIB AOB ∠-∠=

D 、1

2180

2

AOB AIB ∠-∠=

分析：

外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点

三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。 内心：圆在三角形内，与三边都相切

三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。 ∠AIB 和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C ，

∠AIB=180°

-（∠IAB+∠IBA ）=180°-12（∠A+∠B ）=180°-12（180°-∠C ）=90°+1

2

∠C

外心和内心的考查很频繁

外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题

如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，则∠BEC=∠BOD

②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题） 内心的考查更灵活：常考角度、面积

（1）111

90,90,90222BOC A BOA C AOC B ∠=+∠∠=+∠∠=+∠

（2）1

()2

S a b c r ABC =++，a 、b 、c 为三边长，r 是内切圆的半径

当90BAC ∠=时，四边形ADOF 为正方形，2

a b c

r +-=

O

I

C

A

B

O

C

A

B

I

A

B

C D

B

O C

A

E

【例题1】如图，AB 是⊙O 的直径，点P 为半圆上一点（不与A 、B 重合），点I 为△ABP 的内心，连接PI 交⊙O 于点M ，IN ⊥BP 于N ，下列结论： ①∠APM=45°；②AB=

2IM ；③∠BIM=∠BAP ；

④

PM

OB

IN +=

2

2；其中正确的个数有________________

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 分析：

①题目中给出直径、圆上的点这样的字眼

想到：直径所对圆周角等于180度，则△ABP 是直角三角形 ②I 为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线 则PI 平分APB ∠，所以∠APM=45°。

圆中题目涉及角平分线的，除了满足角平分线本身的性质与定理外，还要注意

弧、弦、角、距四组量，有角等，其余皆成立。这里APM BPM ∠=∠，则AM=BM 则△AMB 为等腰直角三角形，AM=BM ，AB=2AM

③欲证AB=

2IM ，则证IM=AM 或 IM=BM 即可。令IAB IAP x ∠=∠=，则

45,45I A M x A I M x ∠=+∠=+（内心性质、外角等于不相邻2内角之和）

④对于∠BIM=∠BAP 这个结论，最好的办法是取极端位置迅速判别， 若P 在AB 中点处，显然∠BIM=∠BAP 不成立

⑤式子看起来很复杂，看见2联系等腰直角三角形。本题的主线是 内角平分线，新观察上有针对训练，这里不多复述。过点M 作AP 、BP

边的垂线，易证PCMD 为正方形。AB=2OB ，则IM=AM=2

2

AB ，

而AB=2OB ，所以IM=2OB ，又PI=2IN ，所以 PM=2（IN+OB ），证毕

【例题2】（2013黄冈一模）如图，△ABC 中，下面说法正确的个数是（ ）个 ①若O 是△ABC 的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°； ②若O 是△ABC 的，∠A=50°，则∠BOC=115°；

③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC 的面积的最大值是12； ④△ABC 的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1；

45

45

x

x N

I

M

A

B

P

45

x

x

N

I

M

A

B

P

C

D

N I

M

A O

B

P

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 分析：

①第1和第2个结论是正确，第4个结论是错误的，不解释； ②第3个结论，有一定难度

方法1：勾股定理

由图知：底边BC 一定，则AE 最大时，△ABC 的面积的最大 令AB=a ，BE=b ，则AC=10-a ，CE=6-b

由于2222AB BE AC CE -=-，则2222-(10-)-(6-)a b a b =，解得 31655

a b =

+ 因为22

2

22

23161616916-()(b 3)5525255

a b b b ⨯=+-=--++ 不用具体算出来，当b=3时，有最大值

即22AD a b =-取最大，此时△ABC 为等腰三角形，易知AB=5，BD=3，AE=4

方法2：海伦－秦九韶公式，如果你记得住的话： ()()(),2

a b c

S P p a p b p c p ++=---=

令AB=x ，则AC=10-x ，由题知P=8，则 82

8(86)(8)(2)4(8)(2)4122

x x S x x x x -+-=---=-+≤⨯=（也可以用配方法）

【训练题】

1、如图，O 是△ABC 的，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交E 、F ，则（ ） A 、EF ＞AE+BF B 、EF ＜AE+BF C 、EF=AE+BF D 、EF≤AE+BF

2、已知，如图，点E 是△ABC 的内心，延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，连接BD 、DC 、EC ，则图

中与BD 相等的线段分别是____________________

E

D O

A

B

C

D E

B

C

A