圆弧拱面积公式

圆弧拱面积公式：S=B(h+0.241B)

f＝B/3

S=B(h+0.175B)

f＝B/4

S=B(h+0.138B) 注：式中

B为巷道净宽，

h为墙高，

f为拱高

常用面积计算公式

常用面积计算公式名称简图计算公式正方形A a;a 0.7.71d A d 1.4142a 1.4142 A 长方形A ab a d2 2 b d2 2 A d a b;a d2 2 b b d a a 平行四边形 A A A bh;h b h 三角形 a b c A a ()2 2 2 2b 1 P (a b c); 2 A P(P a)(P b)(P c) 梯形A;h ; (a b)h2A 2 a b 2A a b; b a h h 正六边型 A2.5981a2 2.5981R2 3.4641r R a1.1547r r0.86603a 0.86603R 2 a b 2 2 A 2 2 b ;b bh b 2 2 2 2 2A 2

圆A r23.1416r2 0.7854d2 L 2r6.2832r3.1416d r L/20.15915L0.56419A d L/0.31831L 1.1284 A 椭圆A ab 3.1416ab 周长的近似值 2P2(a b) 比较精确的值 2P[1.5(a b)ab] 扇型 1 A rl 0.0087266a r2 2 l 2A/r 0.017453ar r 2A/l 57.296l/a 180l 57.296l a r r 弓型 2 2 A[r l c(r h)];r 2 8h l 0.017453ar;c2h(2r h) 4r2 2 57.296l h r;a 2 r 圆环A(R r) 3.1416(R r) 0.7854(D d) 3.1416(D S)S 3.1416(d S)S S R r(D d)/2

三心拱以及圆弧拱巷道的相关计算(大小圆半径计算)

定义所谓“三心拱”，即拱形由三段相内切的圆弧构成。三段圆弧则有三个圆心，故称三心拱。编辑本段特性任意三心拱，是指三心拱的拱宽和拱高可以任意指定，但拱形本身必须具备下列特点： 1.拱作为受力结构的主要特性，是要将覆在其上的载荷作用所产生的内应力，沿拱上任意点的切线方向传递至拱（或墙脚），而拱上任意点的径向应力（拉或压应力）为0，这在理论上就必须要求拱的三段圆弧上的任意点的切线均应垂直通过该点的圆弧半径，包括大小三段弧相切之切点的切线必须垂直大小圆弧半径的重合点。不具备这一特性，则不是一个标准的拱形。一心拱即半圆拱和弧形拱具备这一特性，仅是三心拱的特例。 2.大拱的顶部圆弧之圆心在拱的对称轴线上，而两侧小圆弧之圆心的联线被对称轴线垂直平分。 3.拱之大小圆弧相内切，通过其切点的切线垂直大小圆弧半径之重合线。编辑本段任意三心拱的作法已知三心拱的净高h和净宽w，作三心拱。步骤： 1.作直线ab=w，作ab的中垂线cf=h； 2.分别过c点和a点作cf和ab的垂线，并交于d点，连接ca； 3.分别过c点和a点作角dca和角dac的角平分线，并交于e点；

4.过e点作ac的垂线，与ab交于o2点，与cf的延长线交于o1点； 5.以o1为圆心，co1为半径作弧，过c、e两点；以o2为圆心，eo2为半径作弧，过e、a两点； 6.然后将弧aec以cf为对称轴镜像，得到完整的三心拱，如图所示。 o1、o2和o3即为一个大圆和两个小圆的圆心。二、三分之一的三心拱的大小圆半径 1、大圆半径为R=0.692B（B为巷道宽度） 2、小圆半径为r=0.262B（B为巷道宽度） 3、大圆圆心角a=67°22′ 4、小圆圆心角a=56°19′ 5、1/3三心拱面积为0.264B2 三、1/4三心拱 1、大圆半径为R=0.904B（B为巷道宽度） 2、小圆半径为r=0.173B（B为巷道宽度） 3、大圆圆心角a=53°08′ 4、小圆圆心角a=63°26′ 5、1/3三心拱面积为0.198B2 四、2/5三心拱 1、大圆半径为R=0.593B（B为巷道宽度） 2、小圆半径为r=0.346B（B为巷道宽度） 3、大圆圆心角a=77°19′ 4、小圆圆心角a=51°21′ 5、1/3三心拱面积为0.315B2 五、1/3圆弧拱 1、大圆半径为R=0.542B（B为巷道宽度） 2、弧心至拱基线高为r=0.209B（B为巷道宽度） 3、大圆圆心角a=134°46′ 4、面积为0.241B2 六、1/4圆弧拱 1、大圆半径为R=0.625B（B为巷道宽度） 2、弧心至拱基线高为r=0.371B（B为巷道宽度） 3、大圆圆心角a=106°16′ 4、面积为0.175B2 七、2/5圆弧拱 1、大圆半径为R=0.512B（B为巷道宽度） 2、弧心至拱基线高为r=0.110B（B为巷道宽度） 3、大圆圆心角a=154°38′ 4、面积为0.298B2

球的体积与表面积教案设计(参考)

球的体积和表面积一、教材分析本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第2课时球的体积和表面积，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征．从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用．二、教学目标知识与技能（1）通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识．（2）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题．（3）培养学生的空间思维能力和空间想象能力．过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式3 3 4 =R V π和面积公式24=R S π的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想．情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心．三、教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法．

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球有关的组合体的表面积和体积的计算．四、学法和教学用具学法：学生思考老师提出的问题，通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤．教学用具：投影仪，旨在通过动态图形使得学生对球这一立体图形有一个直观的认识．五、教学设计创设情景 ⑴教师提出问题：乌鸦喝水的问题我们都知道，只有一颗一颗的小圆石头往水瓶里投乌鸦才能喝到水，那么我们是不是可以用数学方法精确的计算出乌鸦具体需要投入几颗小圆石头呢？这里就涉及到了小石子的体积了，假设小石子都是均匀的球体，我们知道球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考． ⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式．探究新知 1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按【设计意图】通过大家所熟知的寓言小故事引出教学内容，提高学生学习兴趣．

所有图形的面积,体积,表面积公式

长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα

平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα)＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4 椭圆D－长轴 d－短轴S＝πDd/4 立方图形

室内面积计算公式

室内面积计算公式一、楼地面 1、找平层、整体面层按房间净面积以平方米计算，不扣除柱、墙垛、间壁墙及面积在0.3㎡以内孔洞所站面积，但门洞口、暖气槽面积也不增加。 2、块料面层、木地板、活动地板，按图示尺寸以平方米计算。 3、铝合金道牙按图示尺寸以米计算。 4、楼梯满铺地毯按楼梯间净水平投影面积以平方米计算，但楼梯井宽超过500㎜者应扣除其面积；不满铺地毯按实铺地毯的展开面积计算。 5、块料踢脚、木踢脚按图示长度以米计算。 6、台阶、坡道按图示水平投影面积以平方米计算。 7、防滑条、地毯压棍和地毯压板按图示尺寸以米计算。二、天棚 1、天棚面层 A、天棚面层按房间净面积以平方米计算，不扣除检查口、附墙烟囱、附墙垛和管道所占面积，但应扣除独立柱、与天棚相连的窗帘盒、0.3㎡以上洞口及嵌顶灯槽所占的面积。 B、天棚中的折线、错台、拱型、穹顶、高低灯槽等其它艺术形式的天棚面积均按图示展开面积以平方米计算。 2、面层装饰 A、天棚面积按房间净面积以平方米计算，不扣除柱、垛、附墙烟囱、检查口和管道所占的面积带梁的天棚，梁两侧面积并入天棚工程量内。 B、密肋梁井字梁天棚面积按图示展开面积以平方米计算。

C、天棚中的折线、灯槽线、圆弧型线、拱型线等艺术形式的面层按图示展开面积以平方米计算。 D、天棚涂料、油漆、裱糊按饰面基层相应的工程量以平方米计算。 3、其它项目 A、金属格栅吊顶、硬木格栅吊顶等均根据天棚图示尺寸按水平投影面积以平方米计算。 B、玻璃采光天棚根据玻璃天棚面层的图示尺寸按展开面积以平方米计。 C、天棚吸音保温层按吸音保温天棚的图示尺寸以平方米计算。 D、藻井灯带按灯带外边线的设计尺寸以米计算。

三心拱的面积计算公式及作图步骤

三心拱的面积计算公式、作图步骤一、已知三心拱的净高h和净宽w，作三心拱。步骤： 1.作直线ab=w，作ab的中垂线cf=h； 2.分别过c点和a点作cf和ab的垂线，并交于d点，连接ca； 3.分别过c点和a点作角dca和角dac的角平分线，并交于e点； 4.过e点作ac的垂线，与ab交于o2点，与cf的延长线交于o1点； 5.以o1为圆心，co1为半径作弧，过c、e两点；以o2为圆心，eo2为半径作弧，过e、a两点； 6.然后将弧aec以cf为对称轴镜像，得到完整的三心拱，如图所示。 o1、o2和o3即为一个大圆和两个小圆的圆心。补充回答：二、三心拱断面面积的计算公式 S＝B（净宽）×（H－B/3+0.263B）B：净宽H：净高 S＝B（净宽）×（H－B/4+0.198B）B：净宽H：净高三、巷道面积公式三心拱 S=B0(h2+0.262B0) S=B0(h2+0.198B0)

S=B0(h2+0.161B0) 圆弧拱 S=B0(h2+0.241B0) S=B0(h2+0.175B0) S=B0(h2+0.138B0) 半园拱 S=B0(h2+0.39B0) 注：式中h2为墙高 Bo为巷道宽度 f0为拱高拱形巷道参数表 S——为拱弧长 f0——拱高 B0——巷道宽度 α——小圆角度

β——大圆角度 R——大圆半径 r ——小圆半径巷道面积公式三心拱 S=B0(h2+0.262B0) S=B0(h2+0.198B0) S=B0(h2+0.161B0) 圆弧拱 S=B0(h2+0.241B0) S=B0(h2+0.175B0) S=B0(h2+0.138B0) 半园拱 S=B0(h2+0.39B0) 注：式中h2为墙高 Bo为巷道宽度 f0为拱高

球冠表面积计算公式

球冠表面积计算公式文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ，对应球半径 R 有关系：r = Rc osθ，则有球冠积分表达：球冠面积微分元dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ 积分下限为θ，上限π/2 所以：S = 2πR*R(1 - sinθ) 其中：R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H 所以：S = 2πRH S=∫dS =∫2πr*Rdθ=∫ 2πR^2*cosθ dθ=2πR^2∫cosθ dθ= 2πR*R(1 - sinθ) 注 1》2πR^2中^2为2πR的平方 2》∫ 要有写上下标，分别为π/2 ，θ 球冠的面积计算公式推导过程如下：? 假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ，对应球半径 R 有关系：r = Rcosθ，则有球冠积分表达：? 球冠面积微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ? 积分下限为θ，上限π/2? 所以：S = 2πR*R(1 - sinθ)? 其中：R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H? 所以：S = 2πRH 球冠概念的分析（1）球冠不是几何体，而是一种曲面，它是球面的一部分，是球面被一个平面截成的，也可以看成由一段弧绕着经过它的一个端点的直径旋转而成的曲面。球冠的任何部分都不能展开平面。（2）球冠的底面是圆，而不是圆面，故球冠的面积不能包括底面圆的面积。（3）球面被一个平面截成两个部分，它们都是球冠，其中一个球冠的高小于球的半径，另一个球冠的高大于球的半径。（4）球冠面积公式S球冠＝2πRh对其高小于、等于或大于球半径

各种面积计算公式

各种面积计算公式长方形的周长=（长+宽）＞2 正方形的周长=边长＞4 长方形的面积=长＞宽正方形的面积=边长＞边长三角形的面积=底＞高吃平行四边形的面积=底＞高梯形的面积=（上底+下底）冷高吃直径二半径＞2半径=直径吃圆的周长=圆周率＞直径圆周率＞半径＞圆的面积=圆周率＞半径＞半径长方体的表面积= （长观+长＞高+宽＞高）＞椭圆的面积S=n ab 的公式求椭圆的面积。a = b 时，当长半径a = 3（厘米），短半径b = 2（厘米）时，其面积S = 3＞ 2＞茫6n 平方厘米）。长方体的体积=长观辭正方体的表面积=棱长＞棱长＞6 正方体的体积=棱长＞棱长＞棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长＞高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积＞高圆锥的体积=底面积＞七长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积＞高平面图形名称符正方形 S = a2 长方形 S = ab 三角形 h —a 边上的高 s —周长的一半 A,B,C —内角其中 s = (a+b+c)/2 S = ah/2 =ab/2 sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2si nBsi nC/(2si nA) 四边形d,D —对角线长 a —对角线夹角 S = dD/2 - sin a 平行四边形a,b —边长 h — a 边的咼 a —两边夹角S = ah =absin a 菱形a —边长 a —夹角 D -长对角线长 d —短对角线长S = Dd/2 =a2sin a 号周长C 和面积S a —边长C = 4a a 和 b —边长 C = 2(a+b) a,b,c -三边长

图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式

图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式一、球体面积球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形

如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六）例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式S=1/4周长×周长） S =（3.14159÷4）×3.14159 = 2.4674㎡二、球体体积设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等

分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。

则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4 或：V = D（直径的三次方）×0.616849233 例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式） V =πR平方×周长的1/4 = 3.14159×0.25×0.7853975 = 0.616849233 三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误 1、球体面积如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。计算过程： S =（1.570795×0.7853975）= 1.2336㎡公知公式计算结果反贴复原后剩余有0.337㎡的面积。计算过程： S = 1×3.14159÷2 = 1.570795㎡

各种图形面积计算公式

各种图形面积计算公式 1、长方形的周长=（长+宽）X 2 C=（a+b）X 2 2、正方形的周长二边长X 4 C=4a 3、长方形的面积二长X宽S=ab 4、正方形的面积二边长＞边长S=a.a= a 5、二角形的面积=底X高* 2 S=ah * 2 6、平行四边形的面积二底滴S=ah 7、梯形的面积=（上底+ 下底）X高* 2 S（a + b）h* 2 8、直径二半径X 2 d=2半径二直径* 2 r= d * 2 9、圆的周长二圆周率X直径二圆周率X半径X 2 c=d =2n 10、圆的面积二圆周率＞半径X半径?= n 11、长方体的表面积=（长X宽+长滴+宽滴）X 2 12、长方体的体积=长＞宽滴V =abh 13、正方体的表面积二棱长＞棱长X 6 S =6a 14、正方体的体积二棱长＞棱长X棱长V=a.a.a= a 15、圆柱的侧面积二底面圆的周长X高S=ch 16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 S=2n r +2 n rh=2 n (d * 2) +2 n (d * 2)h=2 n (C * 2*n ) +Ch 17、圆柱的体积二底面积X高V=Sh V= n r h= n (d * 2) h= n (C * 2*n ) h 18、圆锥的体积二底面积X高* 3

V=Sh* 3= n r h * 3= n (d * 2) h * 3= n (C * 2*n ) h *3 19、长方体（正方体、圆柱体）的体积二底面积＞高V=Sh 各种图形体积计算公式平面图形名称符号周长C和面积S 1 、正方形a—边长C= 4a S= a2 2、长方形 a 和b —边长C= 2(a+b) S= ab 3、三角形a,b,c —三边长 h—a边上的高s—周长的一半 A,B,C—内角其中s= (a+b+c)/2 S= ah/2 =ab/2 sinC = [s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 = a2sinBsinC/(2sinA) 4、四边形d,D—对角线长 a—对角线夹角S= dD/2 sin a 5、平行四边形a,b—边长h—a边的高 a-两边夹角S= ah = absin a 6、麦形a—边长 a—夹角 D-长对角线长d —短对角线长S=Dd/2 = a2sin a

球的体积和表面积公式具体推导过程精编版

1..3.2球的体积和表面积（1）设球的半径为R ，将半径OAn 等分，过这些分点作平面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ，底面就是“小圆片”的下底面。由勾股定理可得第i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： 2 2)]1([--=i n R R r i ，（i ＝1,2,3，···，n ）第i 层“小圆片”的体积为： V ≈π2i r ·n R ＝??? ???????? ??--2311n i n R π，（i ＝1,2,3，···，n ）半球的体积：V 半径＝V 1＋V 2＋···＋Vn ≈n R 3π{1＋（1－221n ）＋（1－222n ）＋···＋［1－2 2)1(n n -］} ＝n R 3π［n －2222)1(21n n -+???++］（注：)12)(1(6 121222++=+???++n n n n ）＝n R 3π［n －6)12()1(12--?n n n n ＝236)12)(1(1(n n n R ---π）＝????????????---6)12)(11(13n n R π ① 当所分的层数不断增加，也就是说，当n 不断变大时，①式越来越接近于半球的体积，如果n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。事实上，n 增大， n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33 4R π

各种面积计算公式

各种面积计算公式各种面积计算公式长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 椭圆的面积S＝πab的公式求椭圆的面积。a＝b时，当长半径a＝3(厘米)，短半径b＝2(厘米)时，其面积S＝3×2×π＝6π(平方厘米)。长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长

圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长

h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长

球冠表面积计算公式

计算方法假定球冠最大开口部分圆得半径为r ，对应球半径R 有关系：r = Rc oｓθ,则有球冠积分表达: 球冠面积微分元ｄS = 2πr*Rｄθ = ２πR＾2*ｃoｓθ ｄθ 积分下限为θ，上限π／2 所以：S =２πR＊R(1 －ｓｉnθ) 其中:R（1 －sinθ)即为球冠得自身高度Ｈ所以：S ＝2πＲH

S＝∫dS =∫2πr*Rdθ=∫ ２πR^２＊cosθ dθ＝2πR^2∫cosθdθ＝ 2πR*R(1— sinθ）１》2πR^２中^2为２πＲ得平方 2》∫ 要有写上下标，分别为π/2,θ 球冠得面积计算公式推导过程如下: ?假定球冠最大开口部分圆得半径为 r ,对应球半径 R 有关系：r = Ｒcosθ,则有球冠积分表达: ??球冠面积微分元 dＳ = 2πr*Ｒd θ = 2πR＾2＊coｓθ dθ 积分下限为θ,上限π/2 ?所以:S = ２πR＊R(1 － sinθ）其中:R（1 — siｎθ）即为球冠得自身高度H ?所以：S = 2πRH 球冠概念得分析 (1）球冠不就是几何体,而就是一种曲面，它就是球面得一部分,就是球面被一个平面截成得,也可以瞧成由一段弧绕着经过它得一个端点得直径旋转而成得曲面。球冠得任何部分都不能展开平面。（2）球冠得底面就是圆,而不就是圆面,故球冠得面积不能包括底面圆得面积。（3）球面被一个平面截成两个部分，它们都就是球冠,其中一个

球冠得高小于球得半径，另一个球冠得高大于球得半径。 (4）球冠面积公式S球冠＝2πRｈ对其高小于、等于或大于球半径得球冠都适用。球面积公式S球面＝4πr2可瞧成球冠面积公式当h＝2R得特例。由于同一个球得半径就是一个常量,所以球冠面积就是它得高得一个正比例函数，即S球冠=f（ｈ）＝2πRh(0〈ｈ≤2R）. (5）若用距离为h得两个平行平面去截同一个球面，夹在这两个平行平面间得部分叫做球带，ｈ叫做球带得高.把球带面积瞧成其高分别为h1，h2（h1＞h2）得两个球冠面积之差，则有S球带＝2πRｈ1－2πＲh2＝2πR(h１－ｈ２）＝２πRh，其中为球得半径。由此可知,S＝tπＲ２可以瞧成球得表面积、球冠得面积、球带得面积得统一计算公式.这里体现了特殊与一般可以互相转化得基本数学思想.

球的体积和表面积(附答案)

球的体积和表面积 [学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题. 知识点一球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝4 3πR 3(其中R 为球的半径). 2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 思考球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？答球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二球体的截面的特点 1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆. 2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径. 题型一球的表面积和体积例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为500 3 π，求它的表面积. 解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝256 3 π.

(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝500 3π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π. 跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π 3 答案 D 解析设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝4 3πR 3 ＝323 π. 题型二球的截面问题例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A.6π B.43π C.46π D.63π 答案 B 解析如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1. ∴OM ＝(2)2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. ∴V ＝4 3 π(3)3＝43π. 跟踪训练2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________.

各种面积计算公式

各种面积计算公式长方形的周长 =（长 +宽）×2 正方形的周长 =边长×4 长方形的面积 =长×宽正方形的面积 =边长×边长三角形的面积 =底×高÷2 平行四边形的面积 =底×高梯形的面积 =（上底 +下底）×高÷2 直径 =半径×2 半径 =直径÷2 圆的周长 =圆周率×直径圆周率×半径×2 圆的面积 =圆周率×半径×半径长方体的表面积 = （长×宽+长×高＋宽×高）×2 椭圆的面积S＝πab的公式求椭圆的面积。a＝ b 时，当长半径 a＝3(厘米 )，短半径 b＝2(厘米 )时，其面积 S＝3×2×π＝6π(平方厘米 )。长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积 =棱长×棱长×6 正方体的体积 =棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积 =底面圆的周长×高圆柱的表面积 =上下底面面积 +侧面积圆柱的体积 =底面积×高圆锥的体积 =底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）的体积 =底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S 正方形a—边长 C＝4a S＝ a2 长方形 a 和 b－边长C＝2(a+b) S＝ ab 三角形a,b,c －三边长 h－a 边上的高 s－周长的一半 A,B,C －内角

其中 s＝(a+b+c)/2 S ＝ah/2 ＝ab/2 ·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D －对角线长 α－对角线夹角S＝ dD/2 · sin α 平行四边形a,b－边长 h－a 边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absin α 菱形 a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝ Dd/2 ＝a2sin α 梯形 a 和 b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆 r－半径 d－直径C＝πd＝2π r S＝π r2 ＝πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝ 2r ＋2π r × (a/360) S＝π r2 × (a/360) 弓形 l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数S＝r2/2 · ( πα-/180sinα )＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝πα r2/360- b/2 [r2·-(b/2)2]1/2

球冠表面积计算公式

球冠表面积计算公式 Revised as of 23 November 2020

球冠面积微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ 积分下限为θ，上限π/2 所以：S = 2πR*R(1 - sinθ) 其中：R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H 所以：S = 2πRH 球冠概念的分析（1）球冠不是几何体，而是一种曲面，它是球面的一部分，是球面被一个平面截成的，也可以看成由一段弧绕着经过它的一个端点的直径旋转而成的曲面。球冠的任何部分都不能展开平面。（2）球冠的底面是圆，而不是圆面，故球冠的面积不能包括底面圆的面积。（3）球面被一个平面截成两个部分，它们都是球冠，其中一个球冠的高小于球的半径，另一个球冠的高大于球的半径。

（4）球冠面积公式S球冠＝2πRh对其高小于、等于或大于球半径的球冠都适用。球面积公式S球面＝4πr2可看成球冠面积公式当h＝2R的特例。由于同一个球的半径是一个常量，所以球冠面积是它的高的一个正比例函数，即S球冠＝f(h) ＝2πRh（0＜h≤2R）。（5）若用距离为h的两个平行平面去截同一个球面，夹在这两个平行平面间的部分叫做球带，h叫做球带的高。把球带面积看成其高分别为h1，h2（h1＞h2）的两个球冠面积之差，则有S球带＝2πRh1－2πRh2＝2πR(h1－h2)＝2πRh，其中为球的半径。由此可知，S＝tπR2可以看成球的表面积、球冠的面积、球带的面积的统一计算公式。这里体现了特殊与一般可以互相转化的基本数学思想。

建筑规划各种面积计算

工程建设规划项目常用指标 1．投资强度：项目用地范围内单位面积固定资产投资额。计算公式：投资强度=项目固定资产总投资十项目总用地面积其中：项目固定资产总投资包括厂房、设备和地价款。 2．行政办公及生活服务设施用地所占比重：项目用地范围行政办公、生活服务设施占用土地面积（或分摊土地面积）占总用地面积的比例。计算公式：行政办公及生活服务设施用地所占比重=行政办公、生活服务设施占用土地面积十项目总用地面积x 100% 当无法单独计算行政办公和生活服务设施占用土地面积时，可以采用行政办公和生活服务设施建筑面积占总建筑面积的比重计算得出的分摊土地面积代替。 3. 建筑面积密度建筑面积密度是反映建筑用地使用强度的主要指标。计算建筑物的总建筑面积时，通常不包括± 0 以下地下建筑面积。建筑面积密度的表示公式为：建筑面积密度=（总建筑面积十建筑用地面积）（m22） 4. 容积率容积率是衡量建筑用地使用强度的一项重要指标。容积率的值是无量纲的比值，通常以地块面积为1 ，地块内建筑物的总建筑面积对地块面积的倍数，即为容积率以公式表示如下：容积率=总建筑面积十建筑用地面积当建筑物层高超过8 米，在计算容积率时该层建筑面积加倍计算。对于发展商来说，容积率决定地价成本在房屋中占的比例，而对于住户来说，容积率直接涉及到居住的舒适度。一个良好的居住小区，高层住宅容积率应不超过5，多层住宅应不超过2，绿地率应不低于 30% 。但由于受土地成本的限制，并不是所有项目都能做得到。容积率一般是由政府规定的。现行城市规划法规体系下编制的各类居住用地的控

制性详细规划，一般而言容积率分为：独立别墅为0.2~0.5 ；联排别墅为0.4~0.7；6 层以下多层住宅为0.8~1.2；11 层小高层住宅为1.5~2.0；18 层高层住宅为1.8~2.5；19 层以上住宅为2.4~4.5 。住宅小区容积率小于1.0 的，为非普通住宅。并根据不同城市的特点有所差别。 5. 建筑密度项目用地范围内各种建、构筑物占地面积总和占总用地面积的比例。建筑密度是反映建筑用地经济性的主要指标之一。计算公式为：建筑密度= （建筑物占地面积＋构筑物占地面积 +堆场用地面积）顼目总用地面积X100% 6. 去化率在市场营销领域，去化率即是在一定时间段内的销售率。在房地产领域称为销售率，主要指某一特定时期内某产品的销售量占总量的百分比。去化率=销售套数/总套数（去化率=售出房屋数量/供应房屋数量）去化量=销售量这是台湾提法，大陆提法为销售率。 7. 绿化率项目规划建设用地范围内的绿化面积与规划建设用地面积之比。但绿化率只是开发商宣传楼盘绿化时用的概念，并没有法律和法规依据。法律法规中明确规定的衡量楼盘绿化状况的国家标准是绿地率，绿地率是指小区用地范围内各类绿地的总和与小区用地的比率主要包括公共绿地、宅旁绿地、配套公建所属绿地和道路绿地等，其计算要比绿化率严格很多。计算公式：绿地率=绿地面积/土地面积绿地率通常以下限控制：并不是长草的地方都可以算做绿地率，距建筑外墙1.5 米和道路边线1 米以内的土地和地表覆土达不到3 米深度的土地，不管它们上面是否有绿化，都不计入绿地面积。绿地率所指的“居住区用地范围内各类绿地”主要包括公共绿地,宅旁绿地,配套公建所属绿地和道路绿地等。公共绿地内占地面积不大于百分之一的雕塑、水池、亭榭等绿化小品建筑可视为绿地。绿化率是一个不准确、不规范的用词，准确的提法应为“绿化覆盖率”。绿化覆盖率是指绿化垂直投影面积之和与小区用地的比率相对而言比较宽泛,大致长草的地方都可以算作绿化,所以绿化覆盖率一般要比绿地率高一些。道路红线。 8. 道路红线规划的城市道路路幅的边界线反映了道路红线宽度，它的组成包括：通行机动车或非机动车和行人交通所需的道路宽度；敷设地下、地上工程管线和城市公用设施所需增加的宽度；种植行道树所需的宽度。任何建筑物、构筑物不得越过道路红线。根据城市景观的要求，沿街建筑物可以从道路红线外侧退后建设。

球的表面积和体积

球的表面积和体积 1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝4 3 πR3(R为球半径) 球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥取出后，圆锥水面的高是多少？圆柱形容器的壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？

有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，切球的体积．有三个球，第一个球切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．

基础训练 1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.1 2 B．1C．2 D．3 2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍． 3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积． 4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( ) A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π 5．(2013·高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ) A．25π B．50πC．125π D．都不对 4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( ) A．R B．2R C．3R D．4R 6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A．πa2 B.7 3 πa2C. 11 3 πa2D．5πa2 7．圆柱形容器盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm. 提高训练． 1.一只小球放入一长方体容器，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（） A．3或8 B．8或11 C．5或8 D．3或11

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