高中推理与证明知识总结

模块十二推理与证明

?考纲解读

?高考大纲

?分析解读

（1）能利用已知结论类比未知结论，并作出判断或证明

（2）利用归纳推理猜想结论并加以证明

（3）在解答综合题目中掌握演绎推理的基本模式

（4）了解直接证明与间接证明的基本方法，体会数学证明的思考过程及特点，提升综合分

析解决问题的能力

（5）掌握“归纳——猜想——证明”的推理方法及数学归纳法的证明步骤

?知识导航推理与证明

推理证明

直接证明间接证明数学归纳法合情推理演绎推理

归纳类比综合法分析法反证法

? 考点剖析

? 考点一 类比推理

1、根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。

2、类比推理的思维过程是：

? 考点二 归纳推理

1、归纳推理的定义：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．

的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 2、归纳推理的思维过程大致如图：

3、归纳推理的特点：

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 ②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

? 考点三 演绎推理

1、演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

2、主要形式是三段论式推理。

3、三段论式常用的格式为：

M ——P （M 是P ）

① S ——M （S 是M ）

② S ——P （S 是P ） ③

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

? 考点四 直接证明

1、直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

2、综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

3、分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证A ，只要证B ，B 应是A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

? 考点五 间接证明

1、间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

2、反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。（所谓矛盾是指：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）。

3、 常见的“结论词”与“反议词”如下表：

? 考点六 数学归纳法

数学归纳法证题的步骤：

（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值)(*0N n n n ∈=时，命题成立

（2）（归纳递推）假设),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立，证明当1+=k n 时，命题也

成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于0n 开始的所有正整数n 都成立。

? 真题演练

由于北京市近五年来仅在2010年和2012年考查了该专题知识，因此本专题的“真题 演练”版块还将选取近两年其他省份的高考题作为练习。

1.【2010北京,20,13分】已知集合(){}{}12|,,...,,0,1,1,2,...,(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥.对于()()1212,,...,,,,...,n n n A a a a B b b b S ==∈，定义A 与B 的差为：

()1122,,...,;n n A B a b a b a b -=--- A 与B 之间的距离为1(,)n i i i d A B a b ==-∑.

（I ） 证明：,,n A B C S ?∈，有n A B S -∈，且(,)(,)d A C B C d A B --=； （II ） 证明：,,n A B C S ?∈，(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数； （III ） 设n P S ?，P 中有(2)m m ≥个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()d P . 证明：()2(1)

mn d P m ≤

- ? 举一反三

1.1【2012江西,6,5分】观察下列各式：

221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,

a b a b a b +=+=+=则1010a b +=

A ．28

B ．76

C ．123

D ．199

1.2【2012陕西,11,5分】观察下列不等式 213122

+

< 231151233

++<， 474131211222<+++ ……

照此规律，第五个．．．

不等式为 .

1.3 【2012福建,17,13分】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．

（1）sin 213°+cos 217°﹣sin13°cos17°

（2）sin 215°+cos 215°﹣sin15°cos15°

（3）sin 218°+cos 212°﹣sin18°cos12°

（4）sin 2（﹣18°）+cos 248°﹣sin 2（﹣18°）cos48°

（5）sin 2（﹣25°）+cos 255°﹣sin 2（﹣25°）cos55°

（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

2.【2012北京，20,13分】设A 是由m n ?个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合．

对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤)m ，()j c A 为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤)n ．

记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值．

（Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值；

（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如

求()k A 的最大值； （Ⅲ）给定正整数t ，对于所有的(2,21)A S t ∈+，求()k A 的最大值．

? 举一反三

2.1【2012湖南,16,5分】设N =2n （n ∈N *

，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为

1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前

2N 和后2

N 个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2

N 个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n-2时，将P i 分成2i 段，每段2i N 个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置.

（1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置；

（2）当N=2n （n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置.

2.2 【2012湖北,13,5分】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则

（Ⅰ）4位回文数有 个；

（Ⅱ）位回文数有 个．

2.3【2012湖北,22,14分】（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：

设，为正有理数. 若，则；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．

证明你所推广的命题. 注：当为正有理数时，有求导公式.

【其他省份相关高考题】

3.【2012全国,12,5分】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73

.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为

（A ）16 （B ）14 （C ）12 (D)10

21()n n ++∈N ()(1)(0)r f x rx x r x =-+->r 01r <<()f x 120,0a a ≥≥12,b b 121b b +=12121122b b a a a b a b ≤+α1()x x ααα-'=

4.【2011湖南,16,5分】对于*n N ∈，将n 表示为

1210012122222k k k k k n a a a a a ---=?+?+?++?+?，当0i =时，1i a =，当1i k ≤≤时，i a 为0或 1.记()I n 为上述表示中i a 为0的个数，（例如0112=?，2104120202=?+?+?：故(1)0,(4)2I I ==）则

（1）(12)_____I = （2）

127()12______I n n ==∑

5.【2011陕西,13,5分】观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第n 个等式为 .

6.【2011山东,15,4分】设函数()(0)2

x f x x x =>+，观察： 1()()2x f x f x x ==+，21()(())34x f x f f x x ==+，32()(())78

x f x f f x x ==+， 43()(())1516

x f x f f x x ==+，…… 根据上述事实，由归纳推理可得：

当*n ∈N ，且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== 。

7.【2011湖北,15,5分】给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：

由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种，（结果用数值表示）

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高三学生怎样提高备考应试心理素质

高考虽然不是每一个高中毕业生的惟一出路，但每一个高三毕业生都希望通过高考进入高等学府深造，从而为将来立足社会打下坚实的基础。近几年来我国高校虽然不断扩招，但高考录取率在某些地区仍然满足不了需求，每个高三毕业生仍面临着优胜劣汰的选择，有的同学由于压力过大，在复习备考过程中出现一系列的心理问题，而这些问题恰恰又制约了学生能力的发挥。本文试图就产生这些心理问题的原因及解决办法谈谈粗浅的看法。

20世纪90年代中期，美国的丹尼尔·戈尔曼提出了“情商”理论。这一理论的提出，可以说在全球范围内进行了一场学习的革命。人们逐渐认识到，在日益信息化的社会里，一个人学会学习比学到什么本身更重要，每一个智力正常的人都具有学习的能力，但并不代表每个有能力的人都能获得成功。学生学习成绩的差异，往往不是智力水平高低所造成的，而是智力以外的一些因素，如动机、兴趣、自我意识、自信心、热情专注、如何看待失败、进取心、意志力、性格品质以及人际关系等，这些叫非智力因素，它和智力因素共同制约着人的学习能力，并且起着非常重要的作用。对于高三学生，只有充分挖掘他们的非智力因素，才能有效地调动起智力资源，提高其能力素质，帮助他们实现自己的目标。

一、高三学生学习过程中存在的心理问题

笔者对所在学校的高三年级学生进行了一次调查。调查显示，50%的同学在学习过程中有浮躁心理，表现为做事无恒心、见异思迁、不安心，总想投机取巧，急功近利，往往“欲

速则不达”；75%的学生在考试时有焦虑感，无论考试前和考试中都有不同程度的紧张，表现为胸闷、呼吸急促、手心出汗、头昏脑胀，平时很容易做出的题目这时做不出，遇到没见过的难题就更心慌，考完之后总认为没发挥出应有的正常水平；63%的学生感觉平时复习时不能长时间地集中注意力，精力容易涣散，如做着数学题，忽又想着外语要赶紧做，东一榔头西一棒槌，不知到底先学什么、后学什么，有的把学习看做是一个负担，提不起兴趣，学习时如嚼鸡肋，食之无味弃之不甘；40%的学生认为自己进步不大，因此信心不足，甚至想逃避考试。这样一些不正常、不健康的心理活动带给学生的是学习效率低下，思维呆滞，心态疲懒，严重影响了学习进步，导致考试发挥失利或落榜。概言之，他们在复习、备考中所表现出来的心理问题主要有缺乏自信、学习焦虑、意志力弱、心态不稳、注意力不集中。那么，出现这些问题的症结究竟是什么呢?

二、产生异常心理的原因分析

1．考生的学习基础差容易导致学习焦虑，缺乏自信。学习不是一朝一夕的事，基础也不是十天半月就能打牢的，它是以往十多年学习的延续。前面的基础知识牢靠了，到了高三，再将这些知识编织成网络，形成一个系统，就具备了参加高考的能力。高考是选拔性考试，特别注重考查考生对所学知识的运用。知识是能力的载体，能力是知识的升华。高三部分考生由于不具备系统知识，面对大量的习题无从下手，久而久之，对习题产生恐惧心理，十分担忧自己的成绩，因而感到焦虑，没有自信心。

2．考生身体差无法应对高三紧张的生活，导致注意力不集中，产生焦虑感，缺乏自信。一方面，部分学生由于遗传因素，从小体质弱，经常患病，大部分时间用于关注自己的身体状况，而对学习则放松了；另一方面，由于绝大多数学校到高三时取消了体育课，全力以赴“拼”高考，学生每天从早自习到晚自习，在校时间多达10余小时，晚上还有人“开夜车”，一些平时不注重身体锻炼的同学此时更是精力不济，注意力涣散。

3.教师、家长的不当评价对学生异常心理的产生起了催化剂的作用。青少年正处于生理、心理发育成熟时期，特别是临近高三毕业，一方面自主意识不断增强，另一方面又迫切希望别人能认同、接纳自己，因此也特别在乎别人对自己的评价。如果教师、家长在其学习过程中，经常说：“你应该这样做，而不应该那样做”，或“你在某某科目上有优势，你在某某科目上是一塌糊涂”，“你想考××分，考上××学校，一点希望都没有”。诸如此类的话，对于那些敏感且自尊心强的学生会造成很大的打击。现在多数学生都是独生子女，都是父母的掌上明珠，而到了学校后，一大群孩子在一起就显出高低优劣来了，孩子在家长那里得到

的评价和在学校受到的评价有时会大相径庭，从而可能导致学生的自我评价偏差，有时认为自己挺行，有时又认为自己一无是处，这也易导致焦虑情绪的产生。

4.当前教育体制中存在的弊端激化了学生理想与现实的矛盾，导致心理问题的产生。从目前现状来看，我国高等教育相对薄弱，并非人人都能考入高校；即使近几年来高校扩招了不少，但是相伴而随的是学费的不断“升级”，对一般家庭而言，承受起来压力甚大，这样也使不少学生产生焦虑心理。所幸的是，当前教育体制正在尝试改革，选拔人才的方式、方法更加灵活，以分数论高低的思想将被淡化，人们将更加关注学生的学习能力、创新能力而非知识本身。

5.社会上人们对高考的价值取向偏差对学生形成外在的压力。自改革开放以来，每年的高考一直是人们关注的话题。高考的目的是要选拔优秀人才，但并非没考上的就是庸才，这个道理说起来谁都懂，但人们普遍地对考上的孩子评价高一些，而对考不上或连年参加高考的孩子则另眼相看，认为没出息。如此社会氛围，使得高三学生非常在意周围的人对自己的评价，这样的心理伴随日常的学习生活，必然导致情绪焦虑，无所适从。

那么，如何纠正这些不良心理偏差，提高考生的应试、备考心理素质呢?

三、提高考生的应试、备考心理素质的方法和途径

首先，要帮助考生确立奋斗目标。目标的作用主要有三点：一是引导方向，二是集中焦点，三是激发行动的热忱。上大学是每个高三毕业生的愿望，但每个人能力又各不相同，因此要求学生设定目标时必须充分发挥自身的优势和特点，以充分挖掘自己的潜力。有了明确的目标，就会激发起人前进的动力和热情。

其次，要培养考生积极的心态。心态是指人们在认识事物或处理事物时所具有的心理状态和心理体验。关于心态的重要性，世界著名潜能大师安东尼·罗宾认为：一个人有什么样的行为跟你的能力无关，而是跟你当时身心所处的状态有关。因此，一个人若想改变自己做事的能力，必须改变自己身心所处的状态。有的同学因为学习差，基础不好，每次考试后就会产生一种消极的自我暗示，时间一长，导致缺乏战胜困难的勇气。因此，老师要注意帮助其转变观念，培养积极的自我意识。例如，高三阶段，学习紧张，可要求学生每天抽出10分钟，做心理体操，进行一些积极的自我暗示，找一些具有激励价值的话，诸如“我说我行我就行”，“每天我的英语词汇量都在增加”，“我的综合能力有了进步”，“我觉得健康、快乐，对待高考，我越来越自信”，“我一定可以在学习方面有所突破，并取得优秀的成绩”等。这样，就会帮助学生逐渐树立起积极的自我意识，从而推动学习进步。

再次，要使学生学会专心致志。很多考生感觉平时复习时不能集中注意力，其实，就是缺乏专注这一心理品质。所谓专注，就是把意识集中在某个特定的欲望上的行为，表现在行为上就是单纯专一、心不外驰，是一种能够将自己身体与心智的能量，锲而不舍地运用在同一个问题上而不厌倦的能力。怎样做到专注呢?建议大家遵循一条原则：用1%的时间集中注意力，让99%的时间受益。比如清晨是一段美妙的时光，它安详宁静而无干扰，此时人们往往头脑清醒、精力充沛，很多人会利用这段时间慢跑、运动或读书学习，但是心理学家建议有必要先拿出15分钟坐下来静思，调整心灵的马达，好好计划一下整天的学习和工作：今天要掌握好哪些知识?要做多少习题?这样，会使整天的学习和做事都有方向感，变得有效率。要学会专注，还要培养一次只做一件事的习惯。笔者通过调查，发现有些学生因为感觉时间紧、任务重，往往在做一门科目时，忽又想起别的科目还没弄懂，在学习时忽又想着我是不是该去跑一跑、跳一跳，做做运动。这样不但效率低下，还会给自己施加过多的压力，把自己弄得筋疲力尽，疲于应付。我们不妨这么想一想，每个学生所要做的事是一排抽屉中的一个小抽屉，你每天的工作只是一次拉开一个抽屉，只要满意地完成抽屉内的工作，然后将抽屉推回去，而不是总想着所有的抽屉，这样你就会得到学习上更多的乐趣。此外，学会专注还必须培养自制力，要学会抑制自己的欲望。例如，作为高三学生，“我”想毕业后能上大学，同时“我”又不想使自己太累，“我”还想在毕业之前给全班同学留下一个好印象，搞好人际关系。在这些想法中，分析一下，哪一个才是当务之急?想清楚了，你就会懂得“鱼”和“熊掌”不可兼得，从而优化需要，净化思想、强化目标，把注意力引导到积极的学习工作状态之中。

还有，要帮助考生树立坚定的信心。信心是一种相信“我确定能做到”的积极的心理认定，它能够激发人的潜意识而释放出热情、精力和智慧，产生能力和技巧，获得如何去做的方法，最终使每一个人的欲望所求(精神方面)转化为事业成功(物质方面)的有形价值。高三阶段，几次月考下来有些学生由于考试失利或基础不牢固，在学习、备考过程中表现为慵懒、懈怠，从而丧失信心，进而悲观失望，不思进取，甚至破罐子破摔。那么，如何帮助他们克服心理障碍，重塑健康自信的人格呢?大家知道，自信总和自卑相联系，不自信就意味着或多或少会有些自卑，认为己不如人。对待学生的这种心理，首先可以通过激励，通过列举事实来增强学生的自信心。其次，借助肢体语言，改变心理状态，增强自信心。例如，可以把走路的速度比平常提高50%，并且抬头挺胸，表情放轻，或者在公众场合练习大声说话等，这也是医治信心不足的良药。

最后，要帮助考生克服焦虑情绪。焦虑是人们对于可能造成心理冲突或挫折的某种特殊

事物或情境进行反应时的一种状态。高三学生就是由于对考试的结果无法预计而又强烈地期待会有一个满意的结果，从而产生焦虑情绪。那么，如何克服呢?不妨换个角度来思维，即从注重考试结果转移到注重产生结果的过程中来，平时只要注意复习的系统性、有效性，结果自然是水到渠成。例如，悉尼奥运会上陶璐娜夺得了射击金牌，在谈到体会时说她始终牢记心理指导老师给她的忠告，即比赛时，要按照平时射击的要领去打，把整个射击的过程把握住，如手怎么抬、眼睛瞄准到哪个位置、呼吸怎么做等等，按训练程序做好了，结果也就顺理成章地出来了。同学们如果试着这么做，肯定会有意想不到的惊喜，并且从中会获益匪浅。

总之，高三考生备考、应试过程中出现的这一系列问题值得关注，它们从不同的方面共同制约着考生水平的发挥。作为教师，应采取多种措施帮助他们克服心理障碍，必要时要像一个心理医生，倾听他们的烦恼，或提供切实可行的办法加以指导。惟有这样，才能促使学生不断完善自己，培养能力，最终实现自己的理想。