(08)相似三角形动点问题赏析

《相似三角形》动点问题赏析

江苏 朱元生

随着课程改革的进一步推进,有关《相似三角形》的内容出现了不少新题型,命题者往往给出一些新情境,设置一些新问题,以考查同学们的应变能力和创新能力.现就08年中考题中有关相似三角形的动点问题,精选两例析解如下,供同学们鉴赏：

例1(2008福建福州)如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从

A 、

B 两点出发，分别沿AB 、B

C 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：

（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；

（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？

分析:由t ＝2求出BP 与BQ 的长度,从而可得△BPQ 的形状;

作QE ⊥BP 于点E,将PB,QE 用t 表示,由BPQ S ∆=2

1×BP×QE 可得 S 与t 的函数关系式;先证得四边形EPRQ 为平行四边形,得PR=QE,

再由△APR ∽△PRQ ,对应边成比例列方程,从而t 值可求.

解:(1)△BPQ 是等边三角形,

当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,

即BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形.

(2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2t ,得QE=2t·sin600=3t,

由AP=t,得PB=6-t,所以BPQ S ∆=21×BP×QE=21(6-t)×3t=－2

3t 2+33t ； (3)因为QR ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,

所以△QRC 是等边三角形,这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.

因为BE=BQ·cos600=2

1×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所以EP=QR,又EP ∥QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形,所以PR=EQ=3t,

由△APR ∽△PRQ,得到RQ PR PR AP =,即t

t t t 2633-=,解得t=56, 所以当t=5

6时, △AP R ∽△PRQ. 点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.

例2(2008浙江温州)如图，在Rt ABC △中，90A ∠= ，6AB =，8AC =，D E ，分

别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC

于R ，当点Q

与点C 重合时，点P

停止运动．设BQ x =，

QR y =．

（1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有

满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

分析:由△BHD ∽△BAC,可得DH;由△RQC ∽△ABC,可得

y 关于x 的函数关系式;由腰相等列方程可得x 的值;注意需分类讨论.

解：（1） Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=． 点D 为AB 中点，132

BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠= ，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC ∴

=， ∴5

128103=⨯=⋅=AC BC BD DH （2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠= ．C C ∠=∠ ，RQC ABC ∴△∽△， RQ QC AB BC ∴=，10610y x -∴=，即y 关于x 的函数关系式为：365

y x =-+． （3）存在.按腰相等分三种情况：

①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =． 1290∠+∠= ，290C ∠+∠= ，1C ∴∠=∠． 84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 136425125

5

x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=． ③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，

于是点R 为EC 的中点， 11224

CR CE AC ∴===． tan QR BA C CR CA

== ， 366528

x -+∴=，152x ∴=． 综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形． 点评:建立函数关系式,实质就是把函数y 用含自变量x 的代数式表示;要求使PQR △为等腰三角形的x 的值,可假设PQR △为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设A

B C D E R P H Q M 2

1

H

中没有指明等腰三角形的腰,故还须分类讨论.