[高三数学]高考文科数学专题复习——函数与导数
高三数学文复习课件：第2单元 函数与导数知识框架
使用建议
本单元内容是整合了《课标》必修Ⅰ模块中函数概念与 基本初等函数Ⅰ和选修模块２-２中的导数及其应用．这部分 内容在高考中所占的分值比例远远高于它们在教材中的课时 比例，是高考考查的重点．为此： １．在复习中应注意以下几点 (1) 注重基础知识的复习指数函数、对数函数、二次函数 是三类常见的重要函数，在历年的高考题中大都通过考查这 三类函数来考查函数的概念、性质和图象．所以必须高度重 视基础知识，做到基础知识无盲点．
(2)加强数学思想与方法的理解与应用 本单元是从各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问 题、研究问题和理解问题，是对函数内容的更高层次上的抽 象、概括和提炼．化归与转化的思想方法、数形结合的思想 方法、分类讨论的思想方法、函数与方程的思想方法，在本 单元中均有涉及，其中对函数与方程的思想的考查涉及试题 最多，充分体现了数学思想方法是本书精髓的理念，希望备 考时引起足够重视．
导数是高中数学中重要的知识点，是高等数学的基础，体 现了现代数学思想，它们在研究函数性质、解决实际问题方 面有着重要的价值．纵观各地的新课标高考试卷，大多数试 卷都有涉及导数的一道大题出现，内容主要考查导数与单调 性、最值、切线这三方面有关的问题．复习时还要注意导数 在解决科技、经济、社会中的某些实际问题的应用． 新课标高考将会更突出函数与导数及方程的结合．利用导 数判定一些函数的单调性、求函数的极值和最值，它是研究函 数性质的强有力工具，并且具有普遍的适用性，也是新课标高 考卷的一个热点，要求我们在复习中高度重视．
③知道对数函数是一类重要的函数模型． ④了解指数函数ｙ＝ ax 与对数函数ｙ＝ logax 互为反函数 （ａ＞０且ａ≠１）．
(4)幂函数 ①了解幂函数的概念． ②结合函数 解们的变化情况． 的图象，了
高三一轮复习建议——单元五：函数与导数
1、13年11题【考题分析】：本题考查分段函数及导数的几 何意义。体现了数形结合思想和化归与转化思想，函数与 方程思想。
解析： 可画出 y1=|f(x)|的图象如图所示． 当 a＞0 时，y＝ax 与 y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C； 若 x ≤0，则以 y＝ax 与 y＝|－x2＋2x|相切为界限，由
' x
，可以看到，主要研究的是 ex 与一次函
数，应该说不难；
14 年第二问证明不等式，转化为 两个常见函数（xlnx 与 x/ ex ）的最值问题(最小值大于最大值)。
就是研究我们所说的
3.16 年与 17 年的第一问就开始提升难度（是否是刻意为之）；16 年的第一问是求通 过零点个数讨论参数范围，求导后核心函数是：
（一）本单元近五年来全国高考试题卷（Ⅰ）统计分析 （理科）
年份 （理） 题号 2013 11 16 21 3 2014 11 21 分值 5 5 12 5 5 12 题型 选择题 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 知识考点 分段函数 函数的对称性 导数的 几何意义，导 数与函数的最 值， 导数与函数的单调性 函数的奇偶性 函数与方程 导数的几何 意义， 导数与函数 的单调性， 两小一大 利用导数求函数的最值 22 分 12 2015 13 21 7 2016 8 21 5 2017 11 21 5 12 5 5 12 5 5 12 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 5 选择题 函数的 图象与性 质、导数公式 和导数运 算法则 函数的奇偶性 导数的 几何意义，分 段函数的处理 ，函 数的零点 函数的图象 幂函数、指数函数 、对数函数 函数的零点，不等式的 证明 函数的单调性、奇偶性 对数与对数函数 函数的零点，导数与函 数的单调性 22 分 22 分 两小一大 22 分 两小一大 两小一大 22 分 两小一大 说明
高考函数与导数知识点
高考函数与导数知识点在高考数学中，函数与导数是重要的考点之一。
理解和掌握函数与导数的知识对于解答各类函数与导数题目至关重要。
本文将对高考函数与导数的知识点进行详细论述，帮助同学们更好地应对考试。
1. 函数的概念与性质函数是数学中常见的概念，它描述了两个变量之间的关系。
通常用字母表示，其中一个变量称为自变量，另一个变量称为函数的值或因变量。
函数可以用方程、图形或解析式等形式表示。
函数的性质有很多，例如：奇偶性、单调性、周期性、有界性等。
了解这些性质对于解题非常有帮助。
同时，还需要掌握函数的基本运算、复合函数以及函数的反函数等概念和运算方法。
2. 导数的概念与计算方法导数是函数在某一点上的变化率或斜率。
它是函数微分学的基本概念之一。
导数的计算方法有很多，常见的有用定义法、用极限法和用基本导数法等。
要计算导数，首先需要了解导数的定义。
其次，掌握各类函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。
此外，还需要掌握导数的运算法则，例如和差法则、积法则、商法则等。
3. 函数与导数的关系函数与导数之间有着密切的联系，理解函数与导数的关系对于高考数学题目的解答至关重要。
首先，导数可以表征函数的变化趋势。
通过函数的导数值，可以判断函数在某一点上是递增还是递减，也可以分析函数的极值（最大值和最小值）。
其次，函数的导数也可以求出函数的切线方程。
通过求导并代入给定点的坐标，可以确定函数在该点的切线，进而得到切线的方程。
此外，通过函数的导数还可以判断函数的凹凸性。
函数的导数值的变化可以揭示函数的曲线是上凹还是下凹，从而确定函数的凹凸区间。
4. 应用题与解题技巧高考中，函数与导数的知识点经常会涉及到应用题。
这类题目结合了函数与导数的知识，考察学生对于函数与导数概念的理解和运用能力。
在解答应用题时，需要注意以下几个方面的技巧：(1) 确定函数的自变量和因变量，建立函数模型；(2) 利用导数求出函数的变化趋势，比如函数递增递减的区间、函数的最值等；(3) 根据问题中给出的条件，列方程并求解；(4) 检查解的合理性以及问题中是否有陷阱，注意解答方式和表述的准确性。
高考数学复习专题 函数与导数
高考数学复习专题 函数与导数以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向。
一、考情预测1．考查导数与函数最值问题 设y=f(x)为可导函数，函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零或不存在且该点两侧的导数异号；定义在闭区间上的初等函数必存在最值，它只能在区间的端点或区间内的极值点取得。
高考常结合求函数极值(最值)、参数取值X 围、解决数学应用等问题考查导数最值性质在函数问题中的应用。
2．考查导数与函数单调性问题 设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)>0，则f(x)为增函数；如果f'(x)<0则f(x)为减函数。
反之亦然。
高考常以函数单调区间、单调性证明等问题为载体，考查导数的单调性质和分类讨论思想的应用。
3．考查导数与函数图象切线问题 函数f(x)在点x 0处的导数f'(x0)是曲线y=f(x)在点(x 0f(x 0))处切线的斜率。
高考常结合函数图象的切线及其面积、不等式等问题对导数几何意义的应用进行考查。
4．考查导数与函数不等式证明问题构造函数，运用导数在函数单调性方面的性质，可解决不等式证明、参数取值X 围等问题。
设置此类试题，旨在考查导数基础性、工具性、现代性的作用，以强化数学的应用意识。
5．考查导数与函数建模问题 设计导数与数学建模问题，旨在考查将实际问题抽象为数学问题，运用导数性质或不等式知识去解决最优化问题的数学应用意识与实践能力。
求解此类问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征，确定运用导数最值理论或不等式性质去解决问题。
二、高考题例1. （2005年某某卷）已知函数f (x )＝ln x ，g(x )＝21ax 2＋b x ，a ≠0.（Ⅰ）若b ＝2，且h (x )＝f (x )－g(x )存在单调递减区间，求a 的取值X 围；（Ⅱ）设函数f (x )的图象C 1与函数g(x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.解：（I ）xax x x h b 221ln )(,22--==时，则.1221)(2x x ax ax x x h -+-=--='因为函数h (x )存在单调递减区间，所以)(x h '<0有解.又因为x >0时，则ax 2+2x －1>0有x >0的解.①当a >0时，y=ax 2+2x －1为开口向上的抛物线，ax 2+2x －1>0总有x >0的解； ②当a <0时，y=ax 2+2x －1为开口向下的抛物线，而ax 2+2x －1>0总有x >0的解； 则△=4+4a >0,且方程ax 2+2x －1=0至少有一正根.此时，－1<a <0. 综上所述，a 的取值X 围为（－1，0）∪（0，+∞）.（II ）证法一设点P 、Q 的坐标分别是（x 1, y 1），（x 2, y 2），0<x 1<x 2.则点M 、N 的横坐标为,221x x x +=C 1在点M 处的切线斜率为,2|1212121x x x k x x x +==+=C 2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+=假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1=k 2.即bx x a x x ++=+2)(22121，则)2()(2)()(2)(21212221221222112bx x abx x a x x b x x a x x x x +-+=-+-=+-=.ln ln 1212x x y y -=-所以.1)1(2ln 121212x x x x x x +-=设,12x x t =则.1,1)1(2ln >+-=t t t t ①令.1,1)1(2ln )(>+--=t t t t t r 则.)1()1()1(41)(222+-=+-='t t t t t t r因为1>t 时，0)(>'t r ，所以)(t r 在+∞,1[）上单调递增. 故.0)1()(=>r t r则t t t +->1)1(2ln . 这与①矛盾，假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.证法二：同证法一得).(2)ln )(ln (121212x x x x x x -=-+因为01>x ，所以).1(2ln )1(121212-=+x xx x x x令12x x t =，得.1),1(2ln )1(>-=+t t t t ②令.11ln )(,1),1(2ln )1()(-+='>--+=t t t r t t t t t r 则 因为22111)1(ln t t t t t t -=-='+，所以1>t 时，.0)1(ln >'+t t 故t t 1ln +在[1，+)∞上单调递增.从而011ln >-+t t ，即.0)(>'t r于是)(t r 在[1，+)∞上单调递增.故.0)1()(=>r t r 即).1(2ln )1(->+t t t 这与②矛盾，假设不成立. 故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.2. （2004年高考理科数学全国卷II ）已知函数f(x )=ln(1+x )－x ，g(x )=x ln x . （1）求函数f(x)的最大值；（2）设0<a <b,证明0<g(a )+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，满分14分.（1）解：函数)(x f 的定义域为),1(+∞-. .111)(-+='x x f 令.0,0)(=='x x f 解得当,0)(,01>'<<-x f x 时当.0)(,0<'>x f x 时又,0)0(=f故当且仅当x =0时，)(x f 取得最大值，最大值为0.（2）证法一：2ln )(ln ln )2(2)()(ba b a b b a a b a g b g a g ++-+=+-+.2ln 2lnb a bb b a a a +++=由（Ⅰ）结论知),0,1(0)1ln(≠-><-+x x x x 且由题设,021,02,0<-<->-<<b ba a ab b a 得因此,2)21ln(2lna ab a a b b a b -->-+-=+,2)21ln(2ln b ba b b a b a b -->-+-=+所以.0222ln 2ln=---->+++ba ab b a b b b a a a又.2ln )(2ln )(2ln 2ln 2ln 2ln,22a b b a ba b b a b b b b a a b a b b b a a a b ba b a a -<+-=+++<++++<+综上.2ln )()2(2)()(0a b ba gb g a g -<+-+<证法二：.1ln )(,ln )(+='=x x g x x x g设),2(2)()()(xa g x g a g x F +-+=则.2ln ln ])2([2)()(x a x x a g x g x F +-='+-'='当,0)(,0<'<<x F a x 时在此),0()(a x F 在内为减函数. 当),()(,0)(,+∞>'>a x F x F a x 在因此时上为增函数.从而，当)(,x F a x 时=有极小值).(a F因此,0)(,,0)(>>=b F a b a F 所以即).2(2)()(0ba gb g a g +-+<设,2ln )()()(a x x F x G --=则).ln(ln 2ln 2lnln )(x a x xa x x G +-=-+-='当.0)(,0<'>x C x 时因此),0()(+∞在x G 上为减函数.因为,0)(,,0)(<>=b G a b a G 所以即.2ln )()2(2)()(a b ba gb g a g -<+-+3. ( 2005年全国卷III )用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为x ，容器的体积为V ， 则V=（90-2x ）（48-2x ）x ,(0<V<24) =4x 3-276x 2+4320x ∵V′=12 x 2-552x +4320由V′=12 x 2-552x +4320=0得x 1=10，x 2=36 ∵x<10 时，V′>0, 10<x <36时，V′<0,x >36时，V′>0,所以,当x=10,V 有极大值V(10)=1960 又V(0)=0,V(24)=0,所以当x=10,V 有最大值V(10)=1960 三、经典例题1. 设函数d cx bx ax x f 42)(23++-=（a 、b 、c 、d ∈R ）图象关于原点对称，且x =1时，)(x f 取极小值.32-（1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若]1,1[,21-∈x x 时，求证：34|)()(|21≤-x f x f .解（1）∵函数)(x f 图象关于原点对称，∴对任意实数)()(x f x f x -=-有，d cx bx ax d cx bx ax 42422323--+-=+---∴，即022=-d bx 恒成立 0,0==∴d b c ax x f cx ax x f +='+=∴233)(,)(，1=x 时，)(x f 取极小值3203,32-=+=+∴-c a c a 且，解得1,31-==c a（2）当]1,1[-∈x 时，图象上不存在这样的两点使结论成立.假设图象上存在两点),(11y x A 、),(22y x B ，使得过此两点处的切线互相垂直，则由,1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为1,1222211-=-=x k x k ， 且1)1()1(2221-=-⋅-x x 1x 、]1,1[2-∈x ，0)1()1(,01,0122212221≥-⋅-∴≤-≤-∴x x x x 此与（*）相矛盾，故假设不成立.证明（3）)1,(,1,0)(,1)(2--∞∈±=='-='x x x f x x f 得令， 或0)(,)1,1(;0)(,),1(<'-∈>'+∞∈x f x x f x 时时，]1,1[)(-∴在x f 上是减函数，且32)1()(,32)1()(min max -===-=f x f f x f∴在[－1，1]上，]1,1[,,32|)(|21-∈≤x x x f 于是时，343232|)(||)(||)()(|2121=+≤+≤-x f x f x f x f .2. 已知函数g (x )=(2－x )3－a (2－x )，函数f (x )的图象与g (x )的图象关于直线x －1＝0对称.(1)求f (x )的表达式；(2)若f (x )在区间［1，＋∞)上是单调增函数，某某数a 的取值X 围；(3)记h (x )＝f (x )+g (x )，求证：当x 1，x 2∈(0，2)时，|h (x 1)－h (x 2)|＜12|x 1－x 2|.解：(1)设P (x ，y )为函数f (x )图象上任一点，其关于x ＝1的对称点P ′(x ′，y ′)应在g (x )图象上.∴⎪⎩⎪⎨⎧='='+.,12y y x x ∴⎩⎨⎧='-='.,2y y x x 代入g (x )表达式得f (x )= x 3－ax .(2)∵f ′(x )=3x 2－a ，且f (x )在［1，+∞)上是增函数，∴3x 2－a ≥0在［1，+∞）上恒成立，∴a ≤3x 2∈［3，+∞）恒成立. ∴a ≤3.(3)∵h (x )=f (x )+g (x )=(2－x )3－a (2－x )+x 3－ax =6x 2－12x +8－2a ， |h (x 1)－h (x 2)|=|(6x 12－12x 1+8－2a )－(6x 22－12x 2+8－2a )| =|6(x 12－x 22)－12(x 1－x 2)|=6|x 1－x 2|·|x 1+x 2－2|. ∵x 1，x 2∈(0，2)∴0＜x 1+x 2＜4，∴－2＜x 1+x 2－2＜2，即|x 1+x 2－2|＜2，∴6|x 1－x 2|·|x 1+x 2－2|＜12|x 1－x 2|，即|h (x 1)－h (x 2)|＜12|x 1－x 2|.3. 已知函数x x f ln )(=，求证：当2)()(,0ax a f x f a x a x +<-->>时.分析：2ln ln 2)()(ax a x a x a x a f x f a x +<--⇔+<--，0>>a x ,)(2ln ln 2ln ln a x a x a x a x a x a x +->-⇒+>--∴1)1(2ln +->∴a x axa x，令t a x =，则),1(,1)1(2ln +∞∈+->∴t t t t ，此时令1)1(2ln )(+--=t t t t g ，只需证明该函数是单调递增函数即可。
2023年高考数学(文科)一轮复习——导数的概念及运算
第1节导数的概念及运算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2(f (x )≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义是相同的.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( ) A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒D.2.75米/秒答案 C解析 h ′(t )＝－9.8t ＋8， ∴h ′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.3.(2022·银川质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则曲线f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( ) A.6 B.－2C.－6D.－8答案 B解析 f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x ). 取x >0，得x 2－2x ＝－(－x 2＋ax )，则a ＝2. 当x >0时，f ′(x )＝－2x ＋2.∴f ′(2)＝－2.4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e4，则a ＝________.答案 1 解析 由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x（x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.5.(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________.答案 5x －y ＋2＝0解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x ＋2′＝（2x －1）′（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）′（x ＋2）2＝5（x ＋2）2， 所以k ＝y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.6.(易错题)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案 － 2解析 由f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2·cos π2－sin π2，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.考点一 导数的运算1.下列求导运算不正确的是( ) A.(sin a )′＝cos a (a 为常数)B.(sin 2x )′＝2cos 2xC.(x )′＝12xD.(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x 答案 A解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误.由导数公式及运算法则知B 、C 、D 正确.2.若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________.答案 1－1x －2x 2＋2x 3解析 由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.3.设f ′(x )是函数f (x )＝cos xe x ＋x 的导函数，则f ′(0)的值为________. 答案 0 解析 因为f (x )＝cos xe x＋x ， 所以f ′(x )＝（cos x ）′e x －（e x ）′cos x （e x ）2＋1＝－sin x －cos xe x ＋1， 所以f ′(0)＝－1e 0＋1＝0.4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________. 答案 －234解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94. ∴f (1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234.感悟提升 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 考点二 导数的几何意义 角度1 求切线的方程例1 (1)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________.答案 (1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 解析 (1)y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为3x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x . ∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 角度2 求曲线的切点坐标例2 (2022·皖豫名校联考)若曲线y ＝e x ＋2x 在其上一点(x 0，y 0)处的切线的斜率为4，则x 0＝( ) A.2 B.ln 4 C.ln 2D.－ln 2答案 C解析 ∵y ′＝e x ＋2，∴e x 0＋2＝4，∴e x 0＝2，x 0＝ln 2. 角度3 导数与函数图象问题例3 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )， ∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题意可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.感悟提升 1.求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.训练1 (1)(2022·沈阳模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.y ＝0 B.y ＝2x C.y ＝xD.y ＝－2x(2)(2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝f（x）x，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是()A.2B.1C.－1D.－3答案(1)B(2)D解析(1)∵f(x)＝2e x sin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2e x(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.(2)由图象知，直线l经过点(1，2).则k＋3＝2，k＝－1，从而f′(1)＝－1，且f(1)＝2，由h(x)＝f（x）x，得h′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，所以h′(1)＝f′(1)－f(1)＝－1－2＝－3.考点三导数几何意义的应用例4 (1)已知曲线f(x)＝x ln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，则实数a 的值为________.(2)(2022·河南名校联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________.答案(1)1－e(2)[2，＋∞)解析(1)因为f′(x)＝ln x＋1，所以曲线f(x)＝x ln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，又f(e)＝e，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故可联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋a ，y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e. (2)∵直线2x －y ＝0的斜率为k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0. 又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞).感悟提升 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.训练2 (1)(2021·洛阳检测)函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.－1 B.14 C.12D.1(2)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝________. 答案 (1)B (2)1解析 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a .又曲线y ＝f (x )在x ＝2处切线的斜率k ＝f ′(2)， 因此12－a ＝a ，∴a ＝14.(2)y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ， 可得在点(1，1)处切线的斜率为k ＝3＋a ，又k ＋1＝3，1＋a ＋b ＝3，解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，即有2a ＋b ＝－2＋3＝1.公切线问题求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，其中直线与抛物线相切可用判别式法. 一、共切点的公切线问题例1 设点P 为函数f (x )＝12x 2＋2ax 与g (x )＝3a 2ln x ＋2b (a >0)的图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( ) A.23e 34 B.32e 34 C.43e 23D.34e 23答案 D解析 设P (x 0，y 0)，由于P 为公共点， 则12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋2b .又点P 处的切线相同，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)， 即x 0＋2a ＝3a 2x 0，即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0.又a >0，x 0>0，则x 0＝a ，于是2b ＝52a 2－3a 2ln a .设h (x )＝52x 2－3x 2ln x ，x >0， 则h ′(x )＝2x (1－3ln x ).可知：当x ∈(0，e 13)时，h (x )单调递增；当x ∈(e 13，＋∞)时，h (x )单调递减. 故h (x )max ＝h (e 13)＝32e 23， 于是b 的最大值为34e 23，选D. 二、切点不同的公切线问题例2 曲线y ＝－1x (x <0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为________. 答案 1解析 设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点， 则切线斜率k 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′|x ＝x 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点， 则切线斜率k 2＝(ln x )′|x ＝x 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.令1x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2得－2x 1＝ln x 21－1.设t ＝－x 1>0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数.易知函数f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3<0，f (e)＝1－2e >0，于是f (x )＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.1.函数f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1的导函数f ′(x )＝( ) A.2x ＋1x ＋cos x ＋1 B.2x －1x ＋cos x C.2x ＋1x －cos xD.2x ＋1x ＋cos x答案 D解析 由f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1得f ′(x )＝2x ＋1x ＋cos x . 2.曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A.2B.－2C.12D.－12答案 D解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12. 3.(2021·安徽皖江名校联考)已知f (x )＝x 3＋2xf ′(0)，则f ′(1)＝( ) A.2 B.3C.4D.5答案 B解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(0)， ∴f ′(0)＝2f ′(0)，解得f ′(0)＝0， ∴f ′(x )＝3x 2，∴f ′(1)＝3.4.(2022·豫北十校联考)已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为( ) A.y ＝0 B.4x ＋y ＋4＝0 C.4x －y ＋4＝0 D.y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 答案 D解析 易知点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，x 20)，由f (x )＝x 2可得f ′(x )＝2x ，∴切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0. ∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝x 20x 0＋1＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.5.(2022·昆明诊断)若直线y ＝ax 与曲线y ＝ln x －1相切，则a ＝( ) A.e B.1C.1eD.1e 2答案 D解析 由y ＝ln x －1，得y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0－1)，则⎩⎨⎧ax 0＝ln x 0－1，a ＝1x 0，解得a ＝1e 2. 6.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A.a <f ′(2)<f ′(4)B.f ′(2)<a <f ′(4)C.f ′(4)<f ′(2)<aD.f ′(2)<f ′(4)<a 答案 B解析 由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大. 因为f （4）－f （2）4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4).7.函数f (x )＝(2x －1)e x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________. 答案 π4解析 由f (x )＝(2x －1)e x ， 得f ′(x )＝(2x ＋1)e x ，∴f ′(0)＝1，则切线的斜率k ＝1， 又切线倾斜角θ∈[0，π)， 因此切线的倾斜角θ＝π4.8.已知曲线f (x )＝13x 3－x 2－ax ＋1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－4，＋∞) 解析 f ′(x )＝x 2－2x －a ，依题意知x 2－2x －a ＝3有两个实数解， 即a ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4有两个实数解， ∴y ＝a 与y ＝(x －1)2－4的图象有两个交点， ∴a >－4.9.(2021·济南检测)曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝________.答案－2解析∵直线l过点(－2，0)和(0，－2)，∴直线l的斜率f′(－1)＝0＋2－2－0＝－1，直线l的方程为y＝－x－2.则f(－1)＝1－2＝－1.故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2.10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.解(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y －4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x20－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，所以x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)·(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.11.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.解(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以所求的切线方程为13x－y－32＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，所以直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x20＋1)(0－x0)＋x30＋x0－16＝0，整理得x30＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).12.若函数f(x)＝a ln x(a∈R)与函数g(x)＝x在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为()A.4B.12 C.e2 D.e答案 C解析由已知得f′(x)＝ax，g′(x)＝12x，设切点横坐标为t，∴⎩⎨⎧a ln t＝t，at＝12t，解得t＝e2，a＝e2.13.曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________. 答案 2解析设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则y′|x＝x0＝⎝⎛⎭⎪⎫2x－1x| x＝x0＝2x0－1x0＝1.∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝|1－1－2|12＋（－1）2＝ 2.14.(2021·宜昌质检)已知函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，g(x)＝e x＋ax2＋bx，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，求a＋b的值.解由y＝x＋1x的图象关于点(0，0)对称，且y＝f(x)的图象可由y＝x＋1x的图象平移得到，且函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1＝1x＋1＋(x＋1)＋a－2的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，得a－2＝－1，即a＝1，所以f(x)＝1x＋1＋x.对f(x)求导，得f′(x)＝1－1（x＋1）2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k1＝f′(1)＝1－14＝3 4.对g(x)求导，得g′(x)＝e x＋2x＋b，则曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线斜率k2＝g′(0)＝b＋1.由两曲线的切线互相垂直，得(b＋1)×34＝－1，即b＝－73，所以a＋b＝1－73＝－43.。
高考数学函数与导数知识点梳理
高考数学函数与导数知识点梳理在高考数学中，函数与导数是非常重要的基础知识点。
掌握好这些知识点，对于高考数学的备考和解题都至关重要。
下面将对高考数学函数与导数知识点进行梳理，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
一、函数的概念和性质1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
2. 函数的符号表示：设函数为y=f(x)，x是自变量，y是因变量。
3. 函数的性质：3.1 定义域：函数的自变量的取值范围。
3.2 值域：函数的因变量的取值范围。
3.3 奇偶性：函数关于y轴对称为偶函数，关于原点对称为奇函数，否则为非奇非偶函数。
二、常见函数类型1. 一次函数：y=ax+b，其中a、b为常数，a不为0。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a不为0。
3. 幂函数：y=x^a，其中a为常数。
4. 指数函数：y=a^x，其中a为常数且a大于0且不等于1。
5. 对数函数：y=log_a(x)，其中a为常数且a大于0且不等于1。
6. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
7. 反三角函数：包括正弦反函数、余弦反函数、正切反函数等。
三、函数的图像与性质1. 函数的图像：函数的图像是函数在坐标平面上的表示，可通过描点法或作图工具绘制。
2. 函数的增减性与极值：函数在某个区间上递增时，图像是上升的；在某个区间上递减时，图像是下降的。
3. 函数的奇偶性与轴对称：函数的奇偶性与轴对称与函数的性质有关。
四、导数的概念和性质1. 导数的定义：函数在某一点的导数是该点切线的斜率。
2. 导数的符号表示：函数f(x)的导数表示为f'(x)或dy/dx或y'。
3. 导数的性质：3.1 导数存在性：函数在某一点可导意味着该点的左导数和右导数都存在，且相等。
3.2 导数与函数图像的关系：函数图像在导数不为零的点处有切线。
五、常见函数的导数1. 一次函数的导数：一次函数y=ax+b的导数为a。
高三数学函数与导数高考一轮复习专题讲义 教案
导数复习专题一、知识要点与考点（1）导数的概念及几何意义（切线斜率）；（2）导数的求法：一是熟练常见函数的导数；二是熟练求导法则：和、差、积、商、复合函数求导。
（3）导数的应用：一是函数单调性；二是函数的极值与最值（值域）；三是比较大小与证明不等式；四是函数的零点个数（或参数范围）或方程的解问题。
（4） 八个基本求导公式)('C ＝ ；)('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝ ； )('x e ＝ ，)('x a ＝ ；)(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝ (5) 导数的四则运算 )('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('vu＝ )0(≠v (6) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且x u x u y y '⋅'='.二、考点分析与方法介绍考点一导数的几何意义思路点拨：一会求导；二敢设切点；三要列尽方程；四解好方程组；五得解。
例1已知曲线y=.34313+x（1）求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程.试一试1：求过原点与函数y=lnx 相切的直线方程。
试一试2：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= . 思考与交流1：若曲线12y x-=在点12,a a-⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = （A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8【答案】例1（1）：4x-y-4=0.（2）4x-y-4=0或x-y+2=0. 试一试1：exy =；试一试2： 2或41-思考与交流1： A A 考点二单调性中的应用题型与方法：（1）单调区间：一般分为含参数和不含参数问题，含参数的求导后又分导函数能分解与不能分解两类，能分解讨论两根大小；不能分解，讨论判别式。
高三数学高考专题突破：函数与导数
函数的性质与应用
• 复合函数的求解 • 逆向求解：先求内层函数g(x)，再将结果代入外层函数f(x)。 • 直接求解：将内外层函数直接复合，如f(g(x))。 • 使用换元法：将内层函数g(x)看作自变量，将外层函数f(x)看作因变量，进行换元求解。
函数运算的应用实例
数学问题中的应用
• 求解函数的最值：通过四则运算和复合运算，构造新的函数，利用最值原理求解。 • 求解函数的零点：通过四则运算和复合运算，构造新的函数，利用零点定理求解。
极限的求解方法
• 直接求解：当函数形式简单时，可以直接代入极限值求解。 • 使用夹逼定理：当函数形式复杂时，可以通过构造夹逼函数，利用夹逼定理求解。 • 使用洛必达法则：当函数形式为0/0或∞/∞时，可以使用洛必达法则求解。
函数的连续性判断与应用
函数的连续性
• 定义：如果函数f(x)在点x_0的某 个邻域内有定义，且在这个邻域内 连续，那么我们称函数f(x)在点x_0 处连续。 • 连续性的性质：局部有界性、保 号性、唯一性等。
04
导数的概念与计算
导数的定义与几何意义
导数的定义
• 定义：设函数f(x)在点x_0的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正 数δ，使得当0<|x-x_0|<δ时，|f(x)-f(x_0)/Δx|<ε，那么我们称函数f(x)在点x_0处可导，并记 作f'(x_0)=lim(Δx→0)[(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx]。 • 导数的几何意义：函数在某一点处的导数表示函数在该点处的切线的斜率。
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[高三数学]高考文科数学专题复习——函数与导数
2009
2006年高考文科数学试题的分类与编制——函数与导数
一个、选择题
1.(09
福建
2)在下列函数中，与函数具有相同域的函数是1y x a b c d()infx
x1()FX()| | fxx()xfxe
[分析]
本主题研究函数.的域
[分析]
函数的定义域是(0，+∞)
，函数的定义域是(0，+∞)，函数的定义域是1y x()infxx，函数
的定义域和是r，所以选择A.
1
()f x 0x ()| | f xx()x f xe 2 .(09
福建
8)在r上定义的偶数函数的部分图像显示在右图中，那么在上面
的fx2，0中，下列函数不同于f x a b .的单调性
2
1yx|| 1yx C.
D.
3 21，0 1，0 xx y xx ，0x exo y
ex
[分析]
本主题研究函数的图像和属性。
[分析]
从偶数函数的图像和性质来看，该函数是上表面上的减法函数，
而从二次函数的图像fx2来看，0-已知函数是上表面上的减法函数，
21yx2，03 .(广东卷)
4)如果功能(
)yfx是函数1x 1aa(0，and)和(2) 1f的反函数，然后是()fx a.x2log
b.x1 c.x1log d.2x。
[回答]
A
[分析]
函数1 x yaaa (0，和)的反函数是()logfxx，和(2) 1f，即log21a，
so，2a，so 2 () logfxx，选择A.
4.(广东卷)
8)功能
Xexxf) 3()(单调递增的区间是A.
)2
,( B.(0，3)
C.(1，4)
D.
)，
2(w .w .w .k .s .5 .u .c .o .m
[回答]
D
[分析]
()(3)(3)(2)XXX fxexexex，make () 0fx，获取2x，因此选择D 5.(浙
江)
8)如果功能
2 ()() a f xxa x R，那么下面的结论是正确的()A.a R，
()f x是递增函数w .w .w .k .s .5 .u .c .o .m on(0)
B.a
r，()f x是(0)上的减法函数C.a R，()f x是偶数函数D.a R，
()f x是奇数函数c。
[命题意图]
本课题主要考察了通用量词和存在量词的概念和基本知识，并对
量词组合功能的性质进行了交叉检验。
[分析]
对于0a，2fxx是偶数函数6.
(2009年
北京4)为了获得函数3lg10x y的图像，函数lgyx图像上的所有
点()a需要向左移动3个单位长度，然后向上移动1个单位长度b。向
右移动3个单位长度，然后向上移动1个单位长度c。向左移动3个
单位长度，然后向下移动1个单位长度d。向右移动3个单位长度，
然后向下移动1个单位长度
【
[回答]
】
C .w
【
[分析]
】
本主题主要研究函数图像.的翻译转换
属于基础知识、基本操作测试.
A.lg31lg103yxx
,
B.c.lg31lg103yxx3 LG 31 LG 10 x
yx，d.3 LG 31 LG 10 x yx.
因此，应该选择它
C.
7.
(2009年
山东卷6)函数xx的图像xx ee y ee大致是().
[分析]
:函数有意义，需要0
Xeee，其域为0 | xx，不包括c和d，并且因为2212111xxxxxxeee
yeeee，该函数是0x时的减法函数，所以选择A.
答:A.
[命题概念]
本主题检查函数的图像和函数的域、范围、单调性.主题的难度
因为给定的函数相对复杂，它需要先变形，然后在域中检查。其
余属性.
8.
(09
山东7)如果在r上定义的函数满足=，则()f x () f x 0)，2 () 1 (0)，
log2xx fxfxx的值是()(3)f A.-1
B.
-2
C.1
D.
2
[分析]
根据已知的、、2(1)log5f 2(0)log 42f 2(1)(0)(1)2 log 5f ff，B.
2
(2)(1)(0)log 5 fff 22(3)(2)(1)log 5(2 log 5)2 fff答案:B.
[命题概念]
本主题研究对数函数的运算和推理过程
9.
(2009年
山东卷12)已知奇函数定义在R) (xf，满足(4) () FXF x，和递增
函数在区间，().
A.(
25)(11)(80)fff
B.
(80)(11 )(
25)fff C.
(11)(80 )(
25)fff D.
（
25)(80)(11)fff
[分析]
因为(xf)满足(4) () fxfx，所以(8) () fxfx，所以函数是一个周期为
8的周期函数，然后)1 () 25 (ff)，0 () 80 (ff)，3 () 11 (ff)，并且因为(xf)
是r，(0) 0f上的一个奇数函数，结果是0) 0 () 80 (ff)，1 () 1 () 25 (FFF)，
并且从(4)((fxfx)1()41()3()11(FFFFF)， 而且因为(xf是区间中的增函
数，所以0)0)0)1(ff，所以0) 1 (f，也就是(25) (80) (11) FFF，所
以选择D.
回答:D.
[命题概念]
本主题全面考察了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质，并应
用了归一化的数学思想
数字和形状的组合.
10.(2009年
国家论文二
2)如果在r上定义的函数满足= ()f x( )f x，则该值为()0)、2 () 1 (0)、
4 (log2xx fxfxx (3) f a .-1
B.
-2
C.1
D.
2
答:B分析:这个问题考查的是反函数的概念及其解法，从原函数
分析:这个问题考查的是反函数的概念及其解法，从原函数x0我们知
道错了，原函数y0我们知道错了，错了，选择B.
11.(2009年
国家论文二
3)函数y = 22 log2 x y x (a)关于原点对称(b)关于主线对称y x (c)
关于y轴对称(d)关于直线对称y x。答案:a分析:本主题研究对数函数
和对称知识，因为定义域是(分析:本主题研究对数函数和对称知识，
因为定义域是(-2，，2)关于原点对称， 和f(-x) =-f(x)，所以函数是奇
数函数，图像关于原点对称，选择，所以函数是奇数函数，图像关于
原点对称，选择A ..。12.(2009年
国家论文二
答案:答案:b分析:这个问题检查对数函数的增加或减少，从分析:
这个问题检查对数函数的增加或减少，从1lge0，我们知道ab，和c=
2 1 lge，我们知道cb通过比较，我们选择b。13.
(09
安徽8) < b，函数的图像可能是a2 () () yxaxb
[分析]
2，()()()0xaxbyxaxb .的两个零解
当xa，那么(
)0x bfx(AXB时为0 ), XB时()0.f
x
选择c。
[回答]
C 14.
(2009年
函数234xxyx的定义域是a.b.d .答案:d
[分析]
40 x或01x从20 340 x xx，所以D.
15.
(2009年
江西卷5)已知函数()f x是(，)上的偶数函数，如果为0x，则有
(fxfx)，当
1
由此可以看出，这个科目是b 14分20.科目
(2009年
宁夏海南21(本期总分12分)已知函数3223 () 39fxx axxa .
(1)
设1a用于求函数fx的极值；(2)如果1.4 a，当1，4 xa，xf12a
成立时，尝试确定a .的取值范围
候选人请在(22)登记
、
(23) 、 (24)从三个问题中选择一个来回答。如果你做得更多，
根据第一个问题打分。回答时，用2B铅笔将答题卡上所选问题对应
的问题编号涂黑。(21)解:(1)当a=1时，计算函数的导数，得到
W .W .W .K .S .5 .U .C .O .m
2
()369.fxxx
制造
12 ( )0，1，3.fxxx
我能理解。
表中讨论了()和()的变化:x(，1) 1 (-1，3) 3 (3)，()f x+0-0+(fxa最
大值6最小值-26因此，()fx最大值为(1) 6f，最小值为(3) 26 .f
(ii)图像ⅱ)22()369fxxaxa是具有向上开口的抛物线，并且
关于x=a .对称
如果
1 1，()4 AFX位于[0，]，(，].
4354
5aa表示如果a1，则2 |( )| 1212 .[1，4
]|(
)| 12当时未建立faaaaxafaxa .
所以制造
| () | 12 ([1，4])fxa持有的值范围是1 4(，].
4
5 21.