理论力学第十二章 动能定理

§12－2 功率与机械效率
机械效率
任何一部机器工作时，都需要从外界输入一定的功率，称为输入功率P输入 机器在工作中用于能量转化而消耗的一部分功率,称为有用功率P有用 用于克服摩擦等有害阻力而消耗一部分功率，称为无用功率P无用 在机器稳定运转时有 P输入=P有用+P无用
机器输出的有用功率与输入功率之比称为机械效率,用η表示
质点在某瞬时的动能等于质点质量与其速度平方乘积的一半。 动能是一个标量，恒为正值，单位与功的单位相同。
§12－1 力的功
解 取货箱为研究对象,它受有重力mg、斜板法向约束力FN、摩擦力Ff及绳索的拉 力FT。货箱沿斜板拉上车厢时,拉力FT作正功,摩擦力Ff与重力mg作负功,法向约束 力FN与位移方向垂直不作功。
当货厢升高1.5m时,重力mg作的功为
摩擦力Ff作的功为
将货箱拉上车厢所消耗的功即为
§12－2 功率与机械效率
η=P有用／P输入
由于摩擦是不可避免的，故机械效率η总是小于1。机械效率越接近 于1，有用功率就越接近于输入功率，消耗的无用功率也就越小，说 明机器对输入功率的有效利用程度越高，机器的性能越好
§12－2 功率与机械效率
例12-3 一起重机,其悬挂部分重Q=5kN,所用电动机的功率Pe=36.5kW， 起重机齿轮的传动效率η=0.92，当提升速度v=0.2m／s时，求最大起 重量G。
直角坐标形式为
力F在曲线路程 上所做的功等于该力在各微段的元功之和，即
§12－1 力的功
Ⅲ. 合力的功
合力在任一路程上所做的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。即
常见力的功
I. 重力的功
设有一重力为G的质点,自位置M1沿某曲线运动至M2 ,
上式表明,重力的功等于质点的重量与其起始位置与终了位置 的高度差的乘积,且与质点运动的轨迹形状无关.
弹性力的功等于弹簧初变形δl和末变形δ2的平方差与弹簧刚度系数 乘积的一半 ,且与质点运动的轨迹形状无关.
§12－1 力的功
Ⅲ. 定轴转动刚体上作用力的功
设一力F作用在绕固定轴z转动的刚体上的M点，将 力F分解为三个正交的分力：Ft、Fn、Fz，可以看出, 当刚体转过一微小转角dj时，轴向分力Fz和径向分 力Fn都不作功,只有切向分力Ft作功，设力F作用点 到转轴的距离为r，则力F在微小路程rdj中的元功为
dW=Ft rdj
刚体绕z轴自位置M1(对应的位置角为φ1)转到位置M2(对应的位置角为φ2) 的过程中,力F所作的功应为
刚体绕定轴转动时,若作用在刚体上的力对转轴的矩为常量, 则其功等于该力对转轴的力矩乘以刚体所转过的角度。
§12－1 力的功
例12-1 一货箱质量m=300kg，现用一力FT将它沿斜板向上拉到 汽车车厢上,已知货箱与斜板的摩擦系数μs=0.5，斜板的倾角 α=200，汽车车厢高h=1.5m。问将货箱拉上车厢时，所消耗的功 应为多少?
§12－2 功率与机械效率
功率
对于作用于定轴转动刚体上力的功率,可表示为
若刚体上作用的是力偶,其力偶矩为M，则力偶的功率为
若以转速n(r／min)代替角速度ω,力对转轴的矩用M表示，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式可写成
上式表示了功率、转速和转矩三者之间的数量关系，这一关系 在工程实际中经常用到。由此式也可以看出，在功率不变的情 况下，转速低则转矩大,而转速高则转矩小。
§12－1 力的功
II. 弹性力的功
一端固定的弹簧与一质点M相连接，弹簧的原始长 度为l0,在弹性变形范围内，弹簧弹性力F的大小与其 变形量δ成正比，即
F=kδ
当质点M由M1点运动到M2点时，弹性力作功由下式得到:
可以证明，当质点M作曲线运动时，弹性力的功仍按上式计算，即弹性力的功也 只决定于弹簧初始位置与终了位置的变形量，而与质点的运动轨迹无关。
解 电动机的功率Pe就是起重机的输入功率P输入，则
，由此可得
§12－2 功率与机械效率
例12-4 用车刀切削一直径d=0.2m的零件外圆，如图12-8所示。已知切削 力F=2.5kN，切削时车床主轴转速n=180r／min，车床齿轮传动的机械 效率η=0.8。试求切削所消耗的功率及电动机的输出功率。
功率
功率是在单位时间内力所作的功,它是衡量机器工作能力的一个重要指标, 功率越大，说明在给定的时间内能作的功就越多。
设作用于质点上的力F在时间间隔△t内所作的元功 为δW，该力在这段时间内的平均功率P*可写成
当时间间隔△t趋于零时，即得瞬时功率为
作用于质点上力的功率等 于力在速度方向上的投影 与速度的乘积。
解 切削力对主轴的转矩为
切削所消耗的功率即车床的有用功率，可得
电动机的输出功率就是车床的输入功率，则
§12－3 动能
动能的概念
一切运动的物体都具有一定的能量，如飞行的子弹能穿透钢板，运动的锻 锤可以改变锻件的形状。物体由于机械运动所具有的能量称为动能。 I. 质点的动能
质点的动能是度量质点机械运动强弱的物理量 若质点的质量为m，某瞬时的速度为v，则质点的动能定义为
由于功只有正负值， 不具有方向意义，所 以功是代数量。
§12－1 力的功
II. 变力的功
设质点M在变力F作用下作曲线运动，当质点从M1 沿曲线运动到M2时,力F所做的功的计算可处理为： (1)整个路程细分为无数个微段dS；(2)在微小路程上, 力 F 的 大 小 和 方 向 可 视 为 不 变 ； (3)dr 表 示 相 应 于 dS 的微小位移，当dS足够小时,∣dr∣=dS。根据功的 定义，力F在微小位移dr上所做的功(即元功)为
第十二章 动能定理
主要研究内容
力的功 功率与机械效率 动能 动能定理
§12－1 力的功
功的概念
功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上对物体作用 的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。力的功包含力和路程 两个因素。
I. 常力的功
设有大小和方向都不变的力F作用在物体上，力的 作用点向右作直线运动。则此常力F在位移方向的投 影Fcosα与位移的大小S的乘积称为力F在位移S上所 做的功，用W表示，即 W=S·Fcosa 。可知，当a<90 度时，功W为正值，即力F做正功；当a>90度时，功 W为负值，即力F做负功；当a=90度时，功为零，即 力与物体的运动方向垂直，力不做功。