指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（ 1）根式的概念

根式的概念

符号表示

备注

如果 x n

a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根

n 1且 n N

当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 ,负数的 n 次 n

a

零的 n 次方根是零

方根是一个负数

当 n 为偶数时 ,正数的 n 次方根有两个 ,它们互为相反数

n

a ( a 0) 负数没有偶次方根

（ 2）．两个重要公式

a

n 为奇数

① n a n

a( a 0)

；

| a |

0)

n 为偶数

a(a

② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （ 1）幂的有关概念

m

n

m

①正数的正分数指数幂 :

n

( 0, 、

,且

1);

aa a

m n

N

n

m

1

1

②正数的负分数指数幂

:

a

n

0, m 、 n

N , 且 n 1)

m

(a

a n

n

a m

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 .

注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（ 2）有理数指数幂的性质

① a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q);

r s

rs

② (a ) =a (a>0,r 、s ∈ Q); ③ (ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈ Q);. 3．指数函数的图象与性质

y=a x a>10

图象

定义域R

值域（0，+ ）

性质（ 1）过定点（ 0， 1）

（ 2）当 x>0 时， y>1;(2) 当 x>0 时， 0

x<0 时 ,01

(3) 在（ - ，+）上是增函数（ 3）在（ -， +）上是减函数

注：如图所示，是指数函数（1） y=a x,（2） y=b x,（ 3）,y=c x（ 4） ,y=d x的图象，如何确

定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即

c1>d1>1>a1>b1,∴ c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数

1、对数的概念

（1）对数的定义

如果 a x N (a0且 a1) ，那么数 x 叫做以 a 为底，N的对数，记作 x log a N，其中 a

叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2）几种常见对数

对数形式特点记法

一般对数底数为 a a0,且a 1log a N

常用对数底数为 10

lg N

自然对数底数为 e ln N

2、对数的性质与运算法则

（1）对数的性质（a0,且a1

1

0，② ogl

a gol

）：① log

1

，③ a

a

N

a N

N ，④ogl a N。

（2）对数的重要公式：

①换底公式： log b N log a N(a,b均为大于零且不等于 1,N0) ；

log a b

②

log a

b1。

log b a

（3）对数的运算法则：

如果 a0,且a 1 ，M0, N0 那么

① log a (MN )log a M log a N ；

②

log a M

log a N ；

log a M

N

③ log a M n n log a M ( n R) ；

④ log m b n n

log a b 。

a m

3、对数函数的图象与性质

a 10 a 1

图

象

性

（ 1）定义域：（0,+）

质

（2）值域： R

（3）当 x=1 时， y=0 即过定点（ 1，0）

（4）当0x1时，y (,0) ；（ 4）当x 1 时，y(,0) ；

当

x1时，

y(0,)

当

0 x

时，

y(0,)

1

（ 5）在（ 0,+）上为增函数（ 5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b， c， d 与 1 的大小关系

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

4、反函数

指数函数 y=a x 与对数函数 y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线

y=x 对称。

（三）幂函数

1、幂函数的定义

形如 y=x α（ a ∈R ）的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，

幂函数的自变量在底数位置，

而

指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象

1

注：在上图第一象限中如何确定

y=x 3， y=x 2，y=x ， y x 2 ， y=x -1 方法：可画出 x=x 0；

1

当 x 0>1 时，按交点的高低，从高到低依次为

y=x 3， y=x 2， y=x ， y

x 2 ， y=x -1 ；

1

当 0

x 2 ，y=x ， y=x 2， y=x 3 。

3、幂函数的性质

y=xy=x 2

y=x 3 1

y=x -1

y x 2

定义域

R

R R

[0， ）

R 且 x 0

x | x 值域

R [0，

）

R [0，

）

R 且

y

y | y

奇偶性 奇 偶

奇

非奇非偶 奇

单调性

增

x ∈ [0， ）时，增； 增

增

x ∈ (0,+ )时，减；

x ∈ (

,0] 时，减

x ∈ (-

,0) 时，减

定点

（1，1）

三：例题诠释，举一反三

知识点 1：指数幂的化简与求值

例 1.(2007

育才 A)

[(33

) 2

(5 4 )0.5

2

1

1

3

(0.008) 3

( 0.02) 2 (0.32) 2 ] 0.0625 0.25

（1）计算：89；