2021年九年级中考数学 专题训练：圆的有关性质(含答案)

2021中考数学 专题训练：圆的有关性质

一、选择题

1. 如图，AB ，AC 分别是☉O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ，连接BD ，BC ，若AB=10，AC=8，则BD 的长为 ( )

A .2

B .4

C .2

D .4.8

2. 如图，在⊙O 中，点

C 是AB ︵

的中点，∠A ＝50°，则∠BOC ＝( )

A . 40°

B . 45°

C . 50°

D . 60°

3. 如图，AB

是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )

A ．OE ＝BE

B.BC ︵＝BD ︵

C ．△BOC 是等边三角形

D ．四边形ODBC 是菱形

4. 如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，OP ⊥AB ，垂足为P ，则OP 的长为( )

A ．3

B ．2.5

C ．4

D ．3.5

5. 2019·武汉京山期中

在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN 为10分米．截

面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB 上升( )

A ．1分米

B ．4分米

C ．3分米

D ．1分米或7分米

6. (2019?镇江)如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，

DC CB =．若110C ∠=?，则ABC ∠的度数等于

A ．55?

B ．60?

C ．65?

D ．70?

7. 如图，在⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为( )

A ．19

B ．16

C ．18

D ．20

8. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5.若P 是⊙O 上的一点，

在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为( )

A ．5

B.5 3

2

C ．5 2

D ．5 3

二、填空题 9. 如图，AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT ＝40°，则∠ATB ＝________.

10. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升了cm.

11. 2018·孝感已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是________cm.

12. 如图0，A，B是⊙O上的两点，AB＝10，P是⊙O上的动点(点P与A，B两点不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝________．

13. 如图，在☉O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交☉O于点D，则CD的最大值为.

14. 如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝23，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．

15. 如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝________°.

16. 如图2，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升________cm.

链接听P39例4归纳总结

三、解答题

17. 如图，已知△ABC内接于☉O，AB是直径，点D在☉O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE于点F.

(1)求证:△DOE∽△ABC;

(2)求证:∠ODF=∠BDE.

18. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图②，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.

(参考数据:sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)

19. 如图，AB

为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，

ED ︵＝BD ︵

，BE 交AC 于点F . (1)求证：BC 为⊙O 的切线；

(2)判断△BCF 的形状并说明理由；

(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵

的长度(结果保留π).

20. 如图，⊙O 的直径

AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ，

P 点为优弧CBA ︵

上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求∠APC 与∠ACD 的度数；

(2)当点P 移动到劣弧CB ︵

的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．

2021中考数学 专题训练：圆的有关性质-答案

一、选择题

1. 【答案】C [解析]∵AB 是直径，∴∠C=90°，∴BC==6.

∵OD ⊥AC ，∴CD=AD=AC=4， ∴BD==2，故选C .

2. 【答案】A

【解析】∵OA ＝OB ，∠A ＝50°，∴∠B ＝50°，∴∠AOB ＝180°

－∠A －∠B ＝180°－50°－50°＝80°，∵点C 是AB ︵的中点，∴∠BOC ＝∠AOC ＝1

2∠AOB ＝40°

，故选A.

3. 【答案】B

[解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得

到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵

.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的． 故选B.

4. 【答案】C

5. 【答案】D

6. 【答案】A

【解析】如图，连接AC ，

∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°–∠C=70°， ∵DC CB ，∴∠CAB=

1

2

∠DAB=35°， ∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°–∠CAB=55°，故选A ．

7. 【答案】D [解析] 如图，延长AO 交BC 于点D ，过点O 作OE ⊥BC 于点E.∵∠A ＝∠

B ＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∴AD ＝DB ＝AB ＝12，∠ADB ＝∠A ＝60°，

∴OD ＝AD －OA ＝12－8＝4.在Rt △ODE 中，∵∠DOE ＝90°－∠ADB ＝30°，∴DE ＝12OD

＝2，∴BE ＝DB －DE ＝12－2＝10.由垂径定理，知BC ＝2BE ＝20.

8. 【答案】D [解析] 如图，连接OB ，OA ，OP ，设OB 与AP 交于点D.由PB ＝AB 可知PB

︵

＝AB ︵，从而可知OB ⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB 为等边三角形，在Rt △OAD 中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD 的长，从而可求出AP 的长为5 3.故选D.

二、填空题 9. 【答案】50° 【解析】∵AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠BAT ＝90°，在Rt △BAT 中，∵∠ABT ＝40°，∴∠ATB ＝50°.

10. 【答案】10或70 [解析]作OD ⊥AB 于C ，OD 交☉O 于点D ，连接OB.

由垂径定理得:BC=AB=30 cm . 在Rt △OBC 中，OC=

=40(cm).

当水位上升到圆心以下且水面宽80 cm 时， 圆心到水面距离=

=30(cm)，

水面上升的高度为:40-30=10(cm).

当水位上升到圆心以上且水面宽80 cm 时，水面上升的高度为:40+30=70(cm). 综上可得，水面上升的高度为10 cm 或70 cm . 故答案为10或70.

11. 【答案】2

或14 [解析] ①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，连接OA ，OC ，过

点O 作OE ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，如图①， ∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AE ＝8 cm ，CF ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴EO ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF －OE ＝2 cm ；

②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点E 并反向延长交AB 于点F ，如图②，∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AF ＝8 cm ，CE ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴OF ＝6 cm ，OE ＝8 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝14 cm.

∴AB 与CD 之间的距离为2 cm 或14 cm.

12. 【答案】5 [解析] ∵OE 过圆心且与PA 垂直，

∴PE ＝EA.

同理PF ＝FB ，∴EF 是△PAB 的中位线， ∴EF ＝1

2AB ＝5.

13. 【答案】

[解析]连接OD ，因为CD ⊥OC ，所以CD=，

根据题意可知圆半径一定，故当OC 最小时CD 最大.当OC ⊥AB 时OC 最小，CD 最大值=AB=.

14. 【答案】

3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH

＝1

2AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.

15. 【答案】40 [解析] ∵∠BCD ＝180°－∠A ＝125°，∠CBF ＝∠A ＋∠E ＝85°，∴∠F ＝

∠BCD －∠CBF ＝125°－85°＝40°.

16. 【答案】10或70 [解析] 对于半径为50 cm 的圆而言，圆心到长为60 cm 的弦的距离

为40 cm ，到长为80 cm 的弦的距离为30 cm.①当圆心在两平行弦之外时，两弦间的距离＝40－30＝10(cm)；②当圆心在两平行弦之间时，两弦间的距离＝40＋30＝70(cm)．综上所述，水位上升10 cm 或70 cm.

三、解答题

17. 【答案】

证明:(1)∵AB 是☉O 的直径，∴∠ACB=90°. ∵DE ⊥AB ，∴∠DEO=90°， ∴∠DEO=∠ACB.

∵OD ∥BC ，∴∠DOE=∠ABC ， ∴△DOE ∽△ABC.

(2)∵△DOE ∽△ABC ，∴∠ODE=∠A. ∵∠A 和∠BDC 都是

所对的圆周角，

∴∠A=∠BDC ，∴∠ODE=∠BDC. ∴∠ODF=∠BDE.

18. 【答案】

解:连接CO 并延长，交AB 于点D ，∴CD ⊥AB ，且D 为AB 中点，所求运行轨

道的最高点C 到弦AB 所在直线的距离即为线段CD 的长. 在Rt △AOD 中，∵AD=AB=3，∠OAD=41.3°， ∴OD=AD ·tan41.3°≈3×0.88=2.64，OA=≈

=4，

∴CD=CO +OD=AO +OD=4+2.64=6.64(米).

答:运行轨道的最高点C 到弦AB 所在直线的距离约为6.64米.

19. 【答案】

(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ， ∴BC CA ＝CD BC ， ∵∠C ＝∠C ，

∴△CBD ∽△CAB ， ∴∠CBD ＝∠BAC ， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，

即∠BAC ＋∠ABD ＝90°， ∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°， 即AB ⊥BC ，

又∵AB 为⊙O 的直径， ∴BC 为⊙O 的切线；

(2)解：△BCF 为等腰三角形． 证明如下：∵ED ︵＝BD ︵

， ∴∠DAE ＝∠BAC ， 又∵△CBD ∽△CAB ， ∴∠BAC ＝∠CBD ， ∴∠CBD ＝∠DAE ， ∵∠DAE ＝∠DBF ， ∴∠DBF ＝∠CBD ， ∵∠BDF ＝90°，

∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°， ∵BD ＝BD ，

∴△BDF ≌△BDC ， ∴BF ＝BC ，

∴△BCF 为等腰三角形；

(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线， ∴∠ABC ＝90° ∵BC 2＝CD ·CA ，

∴AC ＝BC 2CD ＝152

9＝25，

由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20， ∴⊙O 的半径为r ＝AB

2＝10， ∵∠BAC ＝36°， ∴BD ︵

所对圆心角为72°. 则BD ︵＝72×π×10

180＝4π.

20. 【答案】

(1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝1

2AB ＝2， ∴AC ＝OA ＝OC ，

∴△ACO 为等边三角形，

∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°，

∴∠APC ＝1

2∠AOC ＝30°， 又∵DC 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥DC ， ∴∠DCO ＝90°，

∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；

解图

(2)证明：如解图，连接PB ，OP ， ∵AB 为直径，∠AOC ＝60°， ∴∠COB ＝120°，

当点P 移动到CB ︵

的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°， ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形， ∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ， ∴四边形OBPC 为菱形；

(3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径， ∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°， 在Rt △ABC 与Rt △CP A 中，

???AB ＝CP AC ＝AC

， ∴Rt △ABC ≌Rt △CP A (HL)．