人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题(含答案)
第二十八章 锐角三角函数
一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
1．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，tan A ＝1
2
，则下列判断正确的是( )
图1
A ．∠A ＝30°
B ．A
C ＝1
2
C ．AB ＝2
D ．AC ＝2
2．在△ABC 中，∠A ，∠C 都是锐角，且sin A ＝3
2
，tan C ＝3，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．不能确定
3．如图2，直线y ＝3
4
x ＋3分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则cos ∠BAO 的值是( )
图2
A.45
B.35
C.43
D.54
4．如图3，一河坝的横断面为梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，坝顶BC 宽10米，坝高BE 为12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( )
图3
A ．26米
B ．28米
C ．30米
D ．46米
5．如图4，某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行2
3小时到达B 处，那么tan ∠ABP 的值为
( )
图4
A.1
2 B ．2 C.
55 D.2 55
6．如图5，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A ，D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是( )
图5
A.
312 B.36 C.33 D.32
7．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔是本市现存最古老的建筑．如图6，测绘师在离铁塔10米处的点C 处测得塔顶A 的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D 处测得塔顶A 的仰角为β，若tan αtan β＝1，点D ，C ，B 在同一条直线上，则测绘师测得铁塔的高度约为(参考数据：10≈3.162)( )
图6
A ．15.81米
B ．16.81米
C ．30.62米
D ．31.62米
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 8．计算：cos30°＋3sin30°＝________. 9．若α为锐角，且tan(α＋20°)＝
3
3
，则α＝__________. 10．如图7，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．△
ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则cos A ＝________．
图7
11．如图8，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了________米．
图8
12．如图9，菱形ABCD 的周长为20 cm ，且tan ∠ABD ＝43
，则菱形ABCD 的面积为________cm 2
.
图9
13．如图10所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝45°，AC 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，
E ，连接CD .如果AD ＝1，那么tan ∠BCD ＝________.
图10
14．如图11所示，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF 且EF ∥MN ，则cos E ＝________.
图11
三、解答题(本大题共4小题，共44分)
15．(8分)计算：|－3|＋3tan30°－12－(2019－π)0
.
16．(10分)如图12所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠C ＝45°，sin B ＝1
3，AD ＝1.求BC
的长．
图12
17．(12分)如图13，小明在M 处用高1米(DM ＝1米)的测角仪测得旗杆AB 的顶端B 的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到达点F 处，又测得旗杆顶端B 的仰角为60°，请求出旗杆AB 的高度．
图13
18．(14分)如图14，皋兰山某处有一座信号塔AB ，山坡BC 的坡度为1∶3，现为了测量塔高
AB ，测量人员选择山坡C 处为一测量点，测得∠DCA ＝45°，然后他沿着山坡向上行走100 m 到达点E 处，再测得∠FEA ＝60°.
(1)求山坡BC 的坡角∠BCD 的度数；
(2)求塔顶A 到CD 的铅直高度AD (结果保留整数，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．
图14
详解详析
1．D
2．[解析] C 由sin A ＝
3
2
，tan C ＝3，知∠A ＝60°，∠C ＝60°， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．
3．[解析] A 当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝－4， ∴A (－4，0)，B (0，3)， ∴OA ＝4，OB ＝3.
在Rt △AOB 中，由勾股定理得AB ＝5，则cos ∠BAO ＝
OA AB ＝4
5
.故选A. 4．[解析] D ∵坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1 1.5， ∴AE ＝1.5BE ＝18米． ∵BC ＝10米，
∴AD ＝2AE ＋BC ＝2×18＋10＝46(米)．
5．[解析] A 在△PAB 中，∠APB ＝60°＋30°＝90°，PA ＝20海里，PB ＝60×2
3
＝40(海里)，
故tan ∠ABP ＝PA PB ＝2040＝1
2
.故选A.
6．B
7．[解析] A ∵BC ＝10米，BD ＝25米， ∴在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝10tan α. 在Rt △ABD 中，AB ＝BD ·tan β＝25tan β.
∵tan αtan β＝1，∴AB 2
＝10tan α·25tan β＝250， ∴AB ＝250＝5 10≈5×3.162＝15.81(米)． 8．[答案] 3
[解析] cos30°＋3sin30°＝32＋3×1
2
＝ 3. 9．[答案] 10°
[解析] 由特殊角的三角函数值可知α＋20°＝30°，则α＝10°. 10．[答案] 2 5
5
[解析] 如图．
由勾股定理，得AC ＝2 5，AD ＝4， ∴cos A ＝AD AC ＝
42
5
＝
2 55.
11．[答案] 100
[解析] 根据题意，得tan A ＝BC AC
＝
1
3＝3
3
，所以∠A ＝30°， 所以BC ＝12AB ＝1
2×200＝100(米)．
12．[答案] 24
[解析] 连接AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD . ∵菱形的周长为20 cm ， ∴菱形的边长为5 cm. 在Rt △ABO 中，tan ∠ABO ＝4
3，
故可设OA ＝4x cm ，OB ＝3x cm.
又∵AB ＝5 cm ，因此根据勾股定理可得，
OA ＝4 cm ，OB ＝3 cm ，
∴AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，
∴菱形ABCD 的面积为12×6×8＝24(cm 2
)．
13．[答案] 2－1
[解析] ∵∠A ＝45°，AD ＝1，
∴sin45°＝
22＝DE AD ，∴DE ＝22
. ∵∠A ＝45°，AC 的垂直平分线分别交AB ，AC 于D ，E 两点， ∴AE ＝DE ＝CE ＝2
2
，∠ADC ＝90°，AD ＝CD ＝1， ∴AC ＝2，
∴BD ＝AB －AD ＝AC －AD ＝2－1， ∴tan ∠BCD ＝BD CD
＝2－1. 14．[答案] 1
2
[解析] 连接OM ，MF ，OM 的反向延长线交EF 于点C ，如图所示， ∵直线MN 与⊙O 相切于点M ，∴OM ⊥MN . ∵EF ∥MN ，∴MC ⊥EF ，∴CE ＝CF ， ∴ME ＝MF ，而ME ＝EF ，∴ME ＝EF ＝MF ， ∴△MEF 为等边三角形，∴∠E ＝60°， ∴cos E ＝cos60°＝1
2.
15．解：原式＝3＋3×
3
3
－2 3－1＝3－2 3. 16．解：在Rt △ABD 中，∵sin B ＝AD AB ＝1
3
，AD ＝1，
∴AB ＝3.
∵BD 2
＝AB 2
－AD 2
，∴BD ＝32
－12
＝2 2. 在Rt △ADC 中，∵tan C ＝AD CD
＝tan45°＝1， ∴CD ＝AD ＝1，
∴BC ＝BD ＋CD ＝22＋1.
17．解：由题意，得四边形CDMF 为矩形，CD ＝FM ＝10米，AE ＝CF ＝DM ＝1米． ∵∠BCE ＝60°，∠BDE ＝30°， ∴∠CBD ＝30°， ∴BC ＝CD ＝10米．
在Rt△BEC中，sin∠BCE＝BE
BC
，
∴BE＝BC·sin∠BCE＝5 3米，
∴AB＝BE＋AE＝(5 3＋1)米．
答：旗杆AB的高度为(5 3＋1)米．
18．解：(1)依题意，得tan∠BCD＝1
3
＝
3
3
，∴∠BCD＝30°.
(2)如图，过点E作EG⊥CD于点G.
∵∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，
∴∠ACE＝15°，∠DAC＝45°.
∵∠AEF＝60°，
∴∠EAF＝30°.
∵∠DAC＝45°，
∴∠EAC＝∠DAC－∠EAF＝15°，
∴∠ACE＝∠EAC，∴AE＝CE＝100 m.
在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，
∴AF＝AE·sin60°＝50 3 m.
在Rt△CEG中，CE＝100 m，∠ECG＝30°，
∴EG＝CE·sin30°＝50 m，
∴AD＝AF＋FD＝AF＋EG＝50 3＋50≈137(m)．