导数运算法则的应用试题及答案

导数运算法则的应用试题

1.若函数()f x 在R 上可导，且满足'()()f x xf x < ，则( ) A.2(1)(2)f f < B.2(1)(2)f f > C.2(1)(2)f f = D.(1)(2)f f =

2.已知函数()f x 的导函数为 '()f x ，满足 ln '()2()x

xf x f x x

+=，且1()2f e e =，

则()f x 的单调性情况为（ ）

A ．先增后减

B 单调递增

C ．单调递减

D 先减后增

3.定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足

'()

()

f x x f x >，则下列不等式成立的是（ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <

4.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式

()3x x e f x e >+（其中e

为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0,+∞ B ．()(),03,-∞+∞

C ．()(),00,-∞+∞

D ．()3,+∞

5.)0)()((),(≠x g x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，

()()()()f x g x f x g x ''<，且0)

()

(,0)3(<=-x g x f f

的解集为（ ） A ．（－∞，－3）∪（3，+∞） B ．（－3，0）∪（0，3）

C ．（－3，0）∪（3，+∞）

D ．（－∞，－3）∪（0，3）

6.若定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则(2011)f 与2(2009)f e 的大小关系为（ ）.

A 、(2011)f <2(2009)f e

B 、(2011)f =2(2009)f e

C 、(2011)f >2(2009)f e

D 、不能确定

7.定义在(0,)2

π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '

A ππ

()2()4

3

f B ．(1)

2()sin16

π

f f

C ππ()()64

f D ππ()

()63

f

8.定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足

x x f x f >')

()

(，则下列不等式成立的是（ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <

9.函数f(x)的定义域是R ，f(0)＝2，对任意x ∈R ，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x ·f(x)>e x ＋1的解集为( ) A ．{x|x>0} B ．{x|x<0}

C ．{x|x<－1或x>1}

D ．{x|x<－1或0

10.设函数在R 上存在导数，对任意的R ，有，且

(0，+)时，．若，则实数a 的取值范围为

( )

(A)[1，+∞) (B)(-∞，1] (C)(-∞，2] (D)[2，+∞)

11.设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()f x f x '<-，对于任意的正数a ，下面不等式恒成立的是（ ）

A.()()0a

f a e f < B.()()0a

f a e f > C.()()0a f f a e < D.()()0a f f a e

>

12.已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意x R ∈，有()3f x '>，且()13f -=，则f （x ）＜3x ＋6的解集为( )

A.（－1, 1）

B.（－1，+∞）

C.（－∞，－1）

D.（－∞，＋∞）

13.已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，()()f x f x '>对于x R ∈恒成立，且e 为自然对数的底数，则（ ） A ．20132014(2014)(2013)e f e f ??

D ．2013(2014)e f ?与2014(2013)e f ?的大小不能确定

14.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有2

()()

0xf x f x x '-<恒

成立，则不等式2()0x f x >的解集是（ ） A. (-2,0) ∪(2,+∞) B. (-2,0) ∪(0,2)

()f x '()f x x ∈2

()()f x f x x -+=x ∈∞'()f x x >(2)()22f a f a a --≥-

C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D . (-∞,-2)∪(0,2)

15．已知定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数)(x f '在R 上恒有21)(<

'x f ，则不等式2

1

2)(+

16.已知函数()y f x =是定义在数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，

()()xf x f x '<-成立，若)3(3f a =,)3(lg )3(lg f b =,)41

(log )41(log 22f c =,则

,,a b c 的大小关系是（ ）

A. c a b >>

B. c b a >>

C. a b c >>

D. a c b >>

17.设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（ ） A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B. 3(ln 2)2(ln3)f f =

C. 3(ln 2)2(ln3)f f <

D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定

导数运算法则的应用试题参考答案

1.∵'()()f x xf x <，∴0)(>'x g ，

即g （x ）在（0，+∞）上单调递增，

2.【答案】C 试题分析：由

ln '()2()x

xf x f x x

+=

知，

22()2()(())ln x f x xf x x f x x ''+==，故

2()

x f x =ln x x x c -+，所以

()f x =

2ln 1x c x x x -+，因为1()2f e e =，所以c=2e ，所以()f x =2ln 12x e

x x x

-+，所

以()f x ' =2231ln 1x e x x x -+-

=32ln x x x e

x --，设()h x =2ln x x x e --，所以()h x '=1ln x -，

当0＜x ＜e 时，()h x '＞0，当x ＞e 时，()h x '＜0，则()h x 在（0，e ）是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，所以当x e =时，()h x 取最大值()h e =0，所以当x ＞0时，()h x ≤0，即()f x '≤0，所以()f x 单调递减，故选C ． 3.【答案】A 试题分析：∵()f x 为(0,

)上的单调递减函数，∴0f

x ，又

∵

'()()

f x x f x ，

∴＞0?＜0?[]′＜0，

设h （x ）=，则h （x ）=为（0，+∞）上的单调递减函数，

∵＞x ＞0，f′（x ）＜0，∴f （x ）＜0．

∵h （x ）=为(0,)上的单调递减函数，

∴＞?＞0?2f （3）﹣3f （2）＞0?2f （3）＞

3f （2），故A 正确；由2f （3）＞3f （2）＞3f （4），可排除C ；同理可判断3f （4）＞4f （3），排除B ；1?f （2）＞2f （1），排除D ；故选A ．

4.【答案】A 试题分析：令()()3--=x x e x f e x g ，由于()()03100=--=f g ，

()()()x x x e x f e x f e x g -'+='

()()()01>-'+=x f x f e x 所用()x g 在R 上是增函数，()()0,0>∴>∴x g x g

5.【答案】C ．试题分析：由题意()

()

f x

g x 是奇函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x ''<时，

2

()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x '''??-=

，则()

()f x g x 在(),0-∞上为减函数，在()0,+∞上也为减函数，又有(3)0f -=，则有

(3)(3)0,0(3)(3)f f g g -==-，可知()

0()

f x

g x <的解集为()3,0(3,)-?+∞.

6.【答案】C 试题分析：构造函数x e x f x g )()(=，则x e x f x f x g )()()(''

-=，因为

()()f x f x '>，所以0)('>x g ；即函数)(x g 在R 上为增函数，则

2009

2011)

2009()2011(e

f e f >，即2)2009()2011(e f f >. 7.【答案】D 【解析】

()()tan f x f x x '

<'-?

-?x

x

x f x x f x x x f x f ，又因为0cos ),2,0(>∴∈x x π，从而有：0sin )(cos )(<'-x x f x x f ；构造函数,sin )

()(x

x f x F =

则)2,0(,0sin cos )(sin )()(2

π∈>-'=

'x x

x x f x x f x F ，从而有)(x F 在(0,)2π

上是增函数，所以有)3()6(ππF F <即：)3()6(33

sin )

3(6sin )6(ππππ

ππf f f f

，故选Ｄ． 8.【答案】A 试题分析：∵f(x)在(0,)+∞上单调递减，∴'()0f x <,又∵x x f x f >')

()

(，∴f(x)<'()xf x ,令0)

()(')('g ,)()(g 2>-=∴=

x x f x xf x x x f x ，∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，∴g(2)>g(1),即2

)

2(f 3)3(f >

，即3f(2)<2f(3),A 正确． 9.【答案】A 【解析】构造函数g(x)＝e x ·f(x)－e x ，

因为g′(x)＝e x ·f(x)＋e x ·f′(x)－e x ＝e x [f(x)＋f′(x)]－e x >e x －e x ＝0， 所以g(x)＝e x ·f(x)－e x 为R 上的增函数． 又因为g(0)＝e 0·f(0)－e 0＝1， 所以原不等式转化为g(x)>g(0)， 解得x>0.故选A. 10.【答案】B 【解析】

()2

2

1)(x x f x g -

=,()()0>-'='x x f x g ,()()()()02=--+=-+x x f x f x g x g ,所以

()

x g 既是增函数又是奇函数，

()()()()()()2222

1,22212221

22a a f a g a a a f a a f a g -=-+--=--

-=-,由已知,

得()()?≥-a g a g 21222≤?≥?≥-a a a a ,故选B.

11.【答案】C 【解析】

(2)()22f a f a a --≥-

试题分析：构造函数()()x g x e f x =，则''()()()x x g x e f x e f x =+0<，∴()g x 在R

内单调递减，所以(a)g(0)g <，即：()(0)a

e f a f <，∴()()

0a f f a e

<.

12.【答案】C 试题分析：构造函数()()36g x f x x =--，则()()30g x f x ''=->，所以函数()g x 是增函数，又()()1130g f -=--=，所以()0g x <的解集是

(),1-∞-，即()36f x x <+的解集是(),1-∞-.

13.【答案】A 试题分析：函数()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，满足

()()f x f x '>，则函数为指数函数，可设函数()

()x

f x

g x e =

，则导函数'''

22()()(()())()x x x

x x

f x e f x e f x f x e

g x e e --==，因为()()f x f x '>，所以'()0g x <，()g x 在(,)-∞+∞上为减函数，(2013)(2014)g g >，即

20132014

(2013)(2014)

f f e e >

，从而得20132014(2014)(2013)e f e f ?

2

()()0xf x f x x '-<和构造的函数()

()f x g x x

=在（0，+∞）上单调递减，又)(x f 是定义在R 上的奇函数，故)(x f 是定义在R 上单调递减. 因为f （2）=0，所以在（0，2）内恒有f （x ）＞0；在（2，+∞）内恒有f （x ）＜0．又因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以在（-∞，-2）内恒有f （x ）＞0；在（-2，0）内恒有f （x ）＜0．又不等式x 2f （x ）＞0的解集，即不等式f （x ）＞0的解集．所以答案为（-∞，-2）∪（0，2）．

15．【答案】A 试题分析：212)(+<

x x f 可化为02

1

2)(<--x x f ，令2

12)()(--

=x x f x g ，则21

)()(-'='x f x g ，

因为2

1

)(<

'x f ，所以0)(<'x g 0，所以)(x g 在R 上单调递减， 当1>x 时，02

1

21)1()1()(=--=

所以不等式2

1

2)(+

16.【答案】1

2

试题分析：因为(,0)x ∈-∞时，()()xf x f x '<-，所以当(,0)

x ∈-∞时，()()0xf x f x '--<，又因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当

(,0)x ∈-∞时，

()()0xf x f x '+<，构造函数

()()g x xf x =，则

()()()0,(,0)g x xf x f x x ''=+<∈-∞，所以()g x 在(,0)-∞上是减函数，又()()g x g x -=，所以()g x 是R 上的偶函数，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，因

2lg 30>>>，所以(2)(lg 3)g g g >>，而21

(2)(2)(log )4

g g g =->，所以

有c a b >>，选A.

17.【答案】C 试题分析：令()()x f x g x e

=，则'''

2()()()()()x x x x f x e f x e f x f x g x e e --==，

因为对任意x R ∈都有'()()0f x f x ->，所以'()0g x >，即()g x 在R 上单调递增，又ln 2ln3<，所以(ln 2)(ln3)g g <，即ln 2ln3(ln 2)(ln 3)f f e e <，所以(ln 2)(ln 3)23

f f <

，即3(ln 2)2(ln3)f f <，故选C ．