初中数学 动态几何问题解题技巧

动态几何问题解题技巧

动态几何问题已成为中考试题的一大热点题型．这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答，解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，，谈谈此类问题的思路突破与解题反思，希望能给大家一些启发．

题目如图1，已知点A(2，0)，B(0，4)，∠AOB的平分线交AB于点C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于点Q，作点P、Q关于直线OC的对称点M、N．设点P运动的时间为t(0

(1)求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）．

(2)设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．

①试求S关于t的函数关系式；

②在直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否

有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．

一、探求解题思路

1．利用基础知识轻松求解

由题意不难发现第1问是对基础知识的考查，有多种方法，考生可自行选择解法，

简解1 可通过作辅助线，过点C 作CF 上x 轴于点F ，CE ⊥y 轴于点E ，由题意，易知四边形OECF 为正方形，设正方形边长为x ．由比例式求出点C 的坐标(，)．4343

简解2 由点A 、B 的坐标可得直线AB 的解析式y ＝－2x ＋4；由OC 是∠AOB 的平分线可得直线OC 的解析式y ＝x ；联立方程组轻松解得点C 的坐标(，)．4343

关于求点M 、N 的坐标，是对相似及对称性的考查，根据相似可得P(0，2t)，Q(t ，0)，根据对称性可得M(2t ，0)，N(0，t).这样，第1问轻松获解．

2．动静结合找界点，分类讨论细演算

第2问的第一小题中，所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论，这是本题的难点之一；而关键是动静结合找界点，得出t ＝1时重叠部分的关系会发生变化，这是本题的难点之二．解答时需动手画出草图，随着点M 、N 的位置的变化，△MNC 的位置也随之发生变化，△MNC 与△OAB 重叠部分的面积S 也发生变化.S 可能会存在两种情形：①△OAB 将△MNC 全部覆盖；②△OAB 将△MNC 部分覆盖；点M 从点O 出发运动到点A 时，即t ＝1时重叠部分的关系会发生变化，函数关系式也随之改变．

由t ＝1这个界点确定两个范围，以此界值进行分类讨论：

当0

结合点C 的坐标(，)，可得4343

S △CMN ＝－t 2＋2t ；

当1

另一个关键是要用t 的代数式表示D 点的横坐标，即△BDN 的高，这是本题的难点之

三．

由M(2t ，0)，N(0，t)可先用t 的代数式表示直线MN 的解析式y ＝－

12

x ＋t ．再结合直线AB 的解析式y ＝－2x ＋4，联立方程组，解出D 点的横坐标为，823t -则重叠部分面积为

S △CDN ＝S △BDN －S △BCN

218233

t t =-+综上所述，

()222(01)182123

3t t y S t t t ⎧-+<≤⎪=⎨-+<<⎪⎩由函数解析式及其自变量的取值范围可画出函数图象，观察图象可知，当t ＝1时，S 有最大值，最大值为1．

二、规范解答问题

(1)如图2，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，CE ⊥y 轴于点E ，由题意，易知四边形OECF 为正方形，设正方形边长为x ．

∴OP ＝2DQ ．

∵P(0，2t)，∴Q(t ，0).

∵对称轴OC 为第一象限的角平分线，

∴对称点坐标为：M(2t ，0)，N(0，t).

(2)①当0

当1

设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋b ，将M(2t ，0)、N(0，t)代入，得

20tk b b t

+=⎧⎨=⎩

综上所述，

()222(01)182123

3t t y S t t t ⎧-+<≤⎪=⎨-+<<⎪⎩②画出函数图象，如图5所示：

观察图象可知，当t ＝1时，S 有最大值，最大值为1．

三、解题反思

1、关键的一步

本题在突破第2问时，能否得出t ＝1时重叠部分的关系会发生变化，这是决定性的一步，否则就不知该如何分类讨论，解题就难以找到前进的方向．

2、解题难点

解决本题的主要困难首先是分类讨论，依据题意知点P 运动的时间为t(0

秒，可

以确定点肘、N运动过程中的三类点，即起点、界点（有的题中存在多个界点）和终点，由界点值划分范围，确定分类标准（通常情况下，为了书写方便简洁，可将界点值归入动态的范围），然后进行分类计算（对于几何图形问题，通常需要根据相似、三角函数、勾股定理以及图形面积建立方程等数学模型计算）．其次是重叠面积分类，当1

3、解题收获

解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解．

首先，要把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律．

其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察出各种可能的情况分类讨论，较为精确地将每种情况一一呈现出来．再次，要学会将动态问题静态化，即将动态情境化为几个静态的情境，从中寻找两个变量间的关系，用相关字母去表示几何图形中的长度、点的坐标等，很多情况下是与三角形的相似和勾股定理等联系在一起的，在整个解题过程中，要深刻理解分类讨论、数形结合、化归、相似等数学思想．