正交投影法的定义与性质

卡尔曼滤波算法推导

?正交投影的定义与性质?算法的推导

?算法总结

假定x 为M ?1的随机矢量，z 为N ?1的随机矢量，它们都具有二阶矩，

如果存在一个与x 同维的矢量，满足下列三个条件：?x

（a ）线性性，即可用z 线性表示，?x

?=+x Az b （b ）无偏性?()()E E =x

x （c ）正交性?[()]T

E -=x x z 0则称为x 在z 上的正交投影，记为?x ??(|)E =x

x z 1. 正交投影的定义与性质

正交投影的定义：

很显然，x 的线性最小均方估计符合以上三个条件，所以，正交投影是存在的。

反过来也可以证明，如果满足正交投影的三条性质，那么它作为x 的估计，其估计的均方误差是最小的。因此，正交投影也是唯一的。

?x x

z

?(|)E x z ?(|)E

x x z 正交投影的几何解释:

1?(|)()[()]

xz z E E E -=+-x z x P P z z {}[()][()]T xz E E E =--P x x z z {}[()][()]T z E E E =--P z z z z （1）其中：

（2）??(|)(|)

E E =Ax z A x z 1212???[()|](|)(|)

E E E +=+x x z x z x z 也即，如果把正交投影看作为一个算子，那这是一个线性算子。正交投影的性质：

（3）设1

[]k k k -??=????z z z 111???(|)(|)(|[])?(|)([]){([][])}[]

k k k T T E E E

k E E k E k k k ---=+=+x z x z x z x z xz z z z 1?[][]([]|)

k k k E k -=-z z z z 1?(|)

k E -=-x x x z 其中证明留着习题。

z k-11?[|]k E

-x z z [k]

x

1?[()|]k E k -z z 1?[][]([]|)k k k E k -=-z z z z ?(|[])E k x z ?[|]k E x z ?[|()]E k x z 1?[|]

k E -=-x x x z 第三条性质的几何解释