1[1].1回归分析的基本思想及其初步应用(1)
回归分析的基本思想及其初步应用
回归分析的结果解读和评估
回归分析的结果应该经过详细的解读和评估。我们可以通过检验假设、计算回归系数的显著性、解释模 型的可解释性等来个领域都有广泛的应用，包括经济学、社会科学、医学、市场 营销等。它可以帮助我们理解变量之间的关系、预测未来的趋势，并支持决 策和策略制定。
回归分析的数据准备
在进行回归分析之前，需要准备好相关的数据。这包括收集和整理数据、处 理缺失值和异常值、选择合适的变量和转换方法等。良好的数据准备可以提 高回归分析的准确性和可靠性。
回归分析的基本思想及其 初步应用
回归分析是一种用来研究变量之间关系的统计方法。它的基本思想是通过建 立数学模型来描述变量之间的关系，并利用统计学方法来判断这种关系的显 著性和可靠性。
回归分析的定义与含义
回归分析是一种通过建立数学模型来描述两个或多个变量之间关系的统计学方法。它可以帮助我们理解 变量之间的因果关系，预测未来的变化趋势，并进行决策和策略制定。
回归分析的基本原理
回归分析的基本原理是通过最小化预测值与观察值之间的差异来确定最佳拟 合线。它使用最小二乘法来估计模型参数，并通过假设检验来评估模型的显 著性。
回归分析的常用模型
回归分析有多种常用模型，包括简单线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。 每个模型都适用于不同的数据类型和研究问题，选择合适的模型可以提高分 析的准确性和可解释性。
回归分析的基本思想及其初步应用第
二次函数模型
指数函数模型
最好的模型是哪个?
函数模型 线性回归模型
相关指数R2 0.7464
比
二次函数模型
0.80
一
比
指数函数模型
0.98
作业： 在7块并排的、形状大小相同的实验田上进行施
肥量对水稻产量影响的试验，得到如下一组表所示 的数据（单位：kg）
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
620 518 7.4 1660 5182 1.15.
i 1
aˆ 7.4 1.1518 28.1.
回归直线方程为：yˆ 1.15x 28.1.
练习1 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之
间的一组数据为：
价格x 14 16
18
20
22
需求量Y 12 10
7
5
3
求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。 列出残差表为
i=1
显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效 果越好。
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变 量和预报变量的线性相关性越强）。
总如的果来某说组：数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，
则可相以关通指过数比R2较是R度2的量值模来型做拟出合选效择果，的即一选种取指R标2较。大的模型作为这 组数在据线的性模模型型。中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
（1）画出散点图
（2）根据女大学生的身高预报体重的回归方程，
（3）预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系， 因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。
回归分析的基本思想及其初步应用
回归分析的基本思想及其初步应用1．回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报． 2．线性回归模型(1)在线性回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，b ^＝∑ni ＝1 （x i －x ）（y i －y ）∑ni ＝1（x i －x ）2，a ^＝y －－b ^x －，其中x －＝1n ∑ni ＝1x i ，y －＝1n∑ni ＝1y i ，(x ，y )称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心． (2)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中e 称为随机误差，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量．[注意] (1)非确定性关系：线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 与确定性函数y ＝a ＋bx 相比，它表示y 与x 之间是统计相关关系(非确定性关系)，其中的随机误差e 提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a ，b 的工具．(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中a ^，b ^的意义是：以a ^为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b ^个单位．3．刻画回归效果的方式方式方法计算公式 刻画效果R 2R 2＝1－∑ni ＝1（y i －y ^i ）2∑n i ＝1（y i －y ）2R 2越接近于1，表示回归的效果越好残差图e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差，e ^i ＝y i －y ^i残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高残差平方和∑ni ＝1(y i －y ^i )2 残差平方和越小，模型的拟合效果越好判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求线性回归方程前可以不进行相关性检验．( )(2)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．( )(3)利用线性回归方程求出的值是准确值．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×变量x 与y 之间的回归方程表示( )A ．x 与y 之间的函数关系B ．x 与y 之间的不确定性关系C ．x 与y 之间的真实关系形式D ．x 与y 之间的真实关系达到最大限度的吻合 答案：D在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的相关指数R 2为0.98 B ．模型2的相关指数R 2为0.80 C ．模型3的相关指数R 2为0.50 D ．模型4的相关指数R 2为0.25 答案：A已知线性回归方程y ^＝0.75x ＋0.7，则x ＝11时，y 的估计值为________． 答案：8.95探究点1 线性回归方程在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间的一组观察值如下表.x (s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y (μm)610101316171923252946(1)画出散点图；(2)求y 对x 的线性回归方程；(3)利用线性回归方程预测时间为100 s 时腐蚀深度为多少． 【解】 (1)散点图如图所示．(2)从散点图中，我们可以看出y 对x 的样本点分布在一条直线附近，因而求回归直线方程有意义．x ＝111(5＋10＋15＋ (120)＝51011，y ＝111(6＋10＋10＋…＋46)＝21411，a ^＝y －b ^x ≈21411－0.304×51011＝ 5.36. 故腐蚀深度对腐蚀时间的线性回归方程为y ＝0.304x ＋ 5.36.(3)根据(2)求得的线性回归方程，当腐蚀时间为100 s 时，y ^＝5.36＋0.304×100＝35.76(μm)，即腐蚀时间为100 s 时腐蚀深度大约为35.76 μm.求线性回归方程的三个步骤(1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系． (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数．(3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行预测说明．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x 与冶炼时间y (从炼料熔化完毕到出钢的时间)的数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)并已计算出＝1589,i ＝110y i ＝1 720，故冶炼时间y 对钢水的含碳量x 的回归直线方程为y ^＝1.267x －30.47. 探究点2 线性回归分析假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：(1)以x 为解释变量，y 为预报变量，作出散点图；(2)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗； (3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求相关指数R 2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？ 【解】 (1)散点图如下．(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，x －＝30.36，y －＝43.5，(1)该类题属于线性回归问题，解答本题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R 2来分析函数模x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y39.442.942.943.149.2型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析． (2)刻画回归效果的三种方法①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适； ②残差平方和法：残差平方和 i ＝1n(y i －y ^i )2越小，模型的拟合效果越好；关于x 与y 有如下数据：x 2 4 5 6 8 y3040605070由(2)可得y i －y ^i 与y i －y －的关系如下表：y i －y ^i －1 －5 8 －9 －3 y i －y －－20－101020由于R 21＝0.845，R 22＝0.82，0.845＞0.82， 所以R 21＞R 22.所以(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果． 探究点3 非线性回归分析某地今年上半年患某种传染病的人数y (人)与月份x (月)之间满足函数关系，模型为y ＝a e bx ，确定这个函数解析式．月份x /月 1 2 3 4 5 6 人数y /人526168747883【解】 设u ＝ln y ，c ＝ln a ， 得u ^＝c ^＋b ^x ，则u 与x 的数据关系如下表：x12 3 4 56u ＝ln y 3.95 4.114.224.3044.356 7 4.418 8非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图．(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程． (4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果． (5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．某种书每册的成本费y (元)与印刷册数x (千册)有关，经统计得到数据如下：x(千册)1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y (元)10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y (元)与印刷册数的倒数1x之间是否具有线性相关关系，如有，求出y 对x 的回归方程，并画出其图形．解：首先作变量置换u ＝1x，题目中所给的数据变成如下表所示的10对数据．u i 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 y i10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15然后作相关性检测．经计算得r ≈0.999 8>0.75，从而认为u 与y 之间具有线性相关关系，由公式得a ^≈1.125，b ^≈8.973，所以y ^＝1.125＋8.973u ，最后回代u ＝1x ，可得y ^＝1.125＋8.973x.这就是题目要求的y 对x 的回归方程．回归方程的图形如图所示，它是经过平移的反比例函数图象的一个分支．1．关于回归分析，下列说法错误的是( ) A ．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B ．散点图中，解释变量在x 轴，预报变量在y 轴C ．回归模型中一定存在随机误差D ．散点图能明确反映变量间的关系解析：选D.用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差． 2．下列关于统计的说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数，方差恒不变； ②回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x ，y )； ③线性回归模型中，随机误差e ＝y i －y ^i ；④设回归方程为y ^＝－5x ＋3，若变量x 增加1个单位，则y 平均增加5个单位． 其中正确的为________(写出全部正确说法的序号)．解析：①正确；②正确；③线性回归模型中，随机误差的估计值应为e ^i ＝y i －y ^i ，故错误；④若变量x 增加1个单位，则y 平均减少5个单位，故错误． 答案：①②3．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)(元)与日销售量y (台)之间有如下关系：x 35 40 45 50 y56412811(1)画出散点图，并判断y 与x 是否具有线性相关关系；(2)求日销售量y 对销售单价x 的线性回归方程(方程的斜率保留一个有效数字)； (3)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(2)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．(2)因为x －＝14×(35＋40＋45＋50)＝42.5，(3)依题意有P ＝(161.5－3x )(x －30) ＝－3x 2＋251.5x －4 845＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －251.562＋251.5212－4 845. 所以当x ＝251.56≈42时，P 有最大值，约为426元．故预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．知识结构深化拓展线性回归模型的模拟效果(1)残差图法：观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．(2)残差的平方和法：一般情况下，比较两个模型的残差比较困难(某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反)，故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好．(3)R 2法：R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好．[注意] r 的绝对值越大说明变量间的相关性越强，通常认为r 的绝对值大于等于0.75时就是有较强的相关性，同样R 2也是如此，R 2越大拟合效果越好.[A 基础达标]1．废品率x %和每吨生铁成本y (元)之间的回归直线方程为y ^＝256＋3x ，表明( ) A ．废品率每增加1%，生铁成本增加259元 B ．废品率每增加1%，生铁成本增加3元 C ．废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加3元 D ．废品率不变，生铁成本为256元解析：选C.回归方程的系数b ^表示x 每增加一个单位，y ^平均增加b ^，当x 为1时，废品率应为1%，故当废品率增加1%时，生铁成本平均每吨增加3元．2．已知某产品连续4个月的广告费用为x i (i ＝1，2，3，4)千元，销售额为y i (i ＝1，2，3，4)万元，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝18，y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝14；②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝0.8(用最小二乘法求得)，那么当广告费用为6千元时，可预测销售额约为( )A ．3.5万元B ．4.7万元C ．4.9万元D ．6.5万元解析：选B.依题意得x ＝4.5，y ＝3.5，由回归直线必过样本点中心得a ^＝3.5－0.8×4.5＝－0.1，所以回归直线方程为y ^＝0.8x －0.1.当x ＝6时，y ^＝0.8×6－0.1＝4.7.3．某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得的线性回归方程是( )A.y ^＝11.47＋2.62xB.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^＝2.62＋11.47x D.y ^＝11.47－2.62x 解析：选A.由题中数据得x ＝6.5，y ＝28.5，a ^＝y －b ^x ＝28.5－2.62×6.5＝11.47，所以y 与x 的线性回归方程是y ^＝2.62x ＋11.47.故选A.4．若某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ＝bx ＋a ＋e (单位：亿元)，其中b ＝0.8，a ＝2，|e |≤0.5.如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过( )A ．10亿元B ．9亿元C ．10.5亿元D ．9.5 亿元解析：选C.代入数据y ＝10＋e ，因为|e |≤0.5， 所以9.5≤y ≤10.5，故不会超过10.5亿元．5．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间的关系如下表：y 与x 的线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，当广告支出5万元时，随机误差的效应(残差)为________．解析：因为y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，当x ＝5时，y ^＝50，当广告支出5万元时，由表格得：y ＝60，故随机误差的效应(残差)为60－50＝10. 答案：106．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝bx i ＋a ＋e i (i ＝1，2，…，n )，且e i 恒为0，则R 2为________．解析：由e i 恒为0，知y i ＝y ^i ，即y i －y ^i ＝0， 故R 2＝1－∑ni ＝1 （y i －y ^i ）2∑n i ＝1 （y i －y ）2＝1－0＝1.答案：17．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系见表：已知∑7i ＝1x 2i ＝280，∑7i ＝1x i y i ＝3 487. (1)求x ，y ；(2)已知纯利y 与每天销售件数x 线性相关，试求出其回归方程． 解：(1)x ＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝6，y ＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋917＝5597.(2)因为y 与x 有线性相关关系，所以b ^＝∑7i ＝1x i y i－7x y ∑7i ＝1x 2i －7x 2＝3 487－7×6×5597280－7×36＝4.75，a ^＝5597－6×4.75＝71914≈51.36.故回归方程为y ^＝4.75 x ＋51.36.8．已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表：(1)假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？(2)通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用x 表示数学成绩，用y 表示物理成绩，求y 与x 的回归方程； (3)利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在(－0.1，0.1)范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”？参考数据和公式：y ^＝b ^x ＋a ^，其中．解：(1)记事件A 为“恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩”， 则P (A )＝2C 25A 55＝16.(2)因为x ＝80＋75＋70＋65＋605＝70，y ＝70＋66＋68＋64＋625＝66，学生的编号i 1 2 3 4 5 数学x i 80 75 70 65 60 物理y i7066686462[B 能力提升]9.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.010．(选做题)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示：身高x(cm)60708090100110体重y(kg) 6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170体重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05 (1)(2)如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175 cm 、体重82 kg 的在校男生体重是否正常？ 解：(1)根据题表中的数据画出散点图如图所示．由图可看出，样本点分布在某条指数函数曲线y ＝c 1e c 2x的周围， 于是令z ＝ln y ，得下表：x 60 70 80 90 100 110 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 x 120 130 140 150 160 170 z3.043.293.443.663.864.01作出散点图如图所示：由表中数据可得z 与x 之间的回归直线方程为 z ^＝0.662 5＋0.020x ，则有y ^＝e 0.662 5＋0.020x .(2)当x ＝175时，预报平均体重为y ^＝e 0.662 5＋0.020×175≈64.23， 因为64.23×1.2≈77.08＜82，所以这个男生偏胖．。
1、1回归分析的基本思想及其初步应用
新课标数学选修１－21.1回归分析的基本思想及其初步应用(教师用书独具）●三维目标1.知识与技能通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想,会对两个变量进行回归分析，明确解决回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析以解决实际应用问题．了解最小二乘法的推导，解释残差变量的含义,了解偏差平方和分解的思想，了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析.掌握利用计算器求线性回归直线方程参数及相关系数的方法．2．过程与方法通过收集数据作散点图，分析散点图,求回归直线方程，分析回归效果，利用方程进行预报.3．情感、态度与价值观培养学生利用整体的观点和互相联系的观点来分析问题, 进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心，加强与现实生活的联系,以科学的态度评价两个变量的相互关系．●重点难点重点：回归分析的基本方法、随机误差e的认识、残差图的概念、用残差及R２来刻画线性回归模型的拟合效果.难点：回归分析的基本方法、残差概念的理解及拟合效果的判定、非线性回归向线性回归的转化．教学时要以残差分析为重点，突出残差表和Ｒ2的计算,通过举例说明相关关系与确定性关系的区别，说明回归分析的必要性及其方法.借助例题使学生掌握作散点图、求回归直线方程的方法，通过作残差图、计算R2让学生掌握拟合效果的判断方法.对于非线性回归问题重点在如何转换,引导学生分析总结转化方法和技巧，从而化解难点.（教师用书独具)●教学建议本节课建议教师采取探究式教学，把“关注知识”转向“关注学生”,在教学过程中，把“给出知识”的过程转变为“引起活动，让学生探究知识的过程”,把“完成教学任务”转向“促进学生发展”,让学生成为课堂上的真正主人．在教学中,知识点可由学生通过探索“发现”，让学生充分经历探索与发现的过程,并引导学生积极解决探索过程中发现的问题．教学中不要以练习为主,而是定位在知识形成过程的探索,例题的解答也要由学生探讨、教师点拨，共同完成．要注重数学的思想性，如统计思想、随机观念、函数思想、数形结合的思想方法等,引导学生体验数学中的理性精神，加强数学形式下的思考和推理能力.●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生探讨，从而引出回归分析、线性回归模型、刻画回归效果的有关概念及解决方法．利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识,并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上分析回答例题1的问题，并总结规律方法，完成变式训练.引导学生分析例题2,根据图中的数据计算系数，求出回归方程,列出残差表，求出R2并判断拟合效果,完成变式训练.完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法，并进行反馈矫正.归纳整理，进行课堂小结,整体认识本节所学知识,强调重点内容和规律方法.通过老师启发引导，完成例题3,并要求学生借鉴例题3的解法完成变式训练．引导学生分析例题３，让学生作出散点图，观察相关性，引出问题，即如何使问题转化为相关关系并用线性回归分析二者关系．课标解读１.会用散点图分析两个变量是否存在相关关系.（重点) 2．会求回归方程，掌握建立回归模型的步骤,会选择回归模型.（重点、难点）线性回归模型一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下:转速ｘ（转／秒)16141２8每小时生产有缺陷的零件数y(件)11985 1【提示】2．从散点图中判断x和ｙ之间是否具有相关关系?【提示】有．3.若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？【提示】 可以.根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测. (1)回归直线方程: 错误!=错误!x +错误!,其中:错误!=错误!,错误!=错误!－错误!错误!，错误!=错误!错误!ｉ,＼x ＼to （y)=１n 错误!i．(2)变量样本点中心：（错误!，错误!)，回归直线过样本点的中心． (3）线性回归模型：y =bx +a ＋e ，其中e 称为随机误差，ａ和ｂ是模型的未知参数,自变量ｘ称为解释变量,因变量y 称为预报变量.刻画回归效果的方式残差对于样本点(x ｉ,y i ）(i ＝1,2,…，n )的随机误差的估计值错误!ｉ＝y i－错误!i ,称为相应于点(x i ，y i )的残差残差图利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图残差 图法 残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高 残差平 方和 残差平方和为错误!（y i －错误!i )2，残差平方和越小,模型拟合效果越好相关指 数R ２R 2＝１-错误!，R 2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R 2越接近于1，表示回归的效果越好回归分析的有关概念①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线,使之贴近这些样本点的数学方法;②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程错误!＝错误!ｘ+错误!，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程,所以没有必要进行相关性检验．其中正确命题的个数是（)A．1B．2C．3 D．4【思路探究】可借助于线性相关概念及性质逐一作出判断.【自主解答】①反映的正是最小二乘法思想,故正确.②反映的是画散点图的作用，也正确．③解释的是回归方程错误!=错误!ｘ＋错误!的作用，故也正确．④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验,以体现两变量的关系．【答案】 C1．解答例1中④时,必须明确具有线性相关关系的两个变量间才能求得一个线性回归方程，否则求得的方程无实际意义．因此必须先进行线性相关性判断，后求线性回归方程.２．回归分析的过程：（1)随机抽取样本,确定数据，形成样本点;(2)由样本点形成散点图,判断是否具有线性相关关系；（3)由最小二乘法确定线性回归方程;(4)由回归方程观察变量的取值及变化趋势.关于变量y与x之间的回归直线方程叙述正确的是()A.表示y与ｘ之间的一种确定性关系B.表示y与x之间的相关关系C.表示y与ｘ之间的最真实的关系D.表示y与ｘ之间真实关系的一种效果最好的拟合【解析】 回归直线方程能最大可能地反映y 与x 之间的真实关系,故选项Ｄ正确．【答案】 Ｄ线性回归分析据：ｘ １４ 1６ 18 20 22 y１21075３求y 关于x【思路探究】 回归模型拟合效果的好坏可以通过计算R 2来判断,其值越大,说明模型的拟合效果越好.【自主解答】 错误!=错误!(1４＋16＋18＋２０＋２2)=18,错误!＝错误!(12＋10＋7＋5＋３）＝7.４,i ＝15x 错误!＝142+16２+１８２＋2０２＋２22=1 6６0,错误!i ｙi =１４×12＋16×１0+18×7+２0×5+２2×3=620,所以错误!=错误!＝错误!＝－1．1５，错误!＝７．4＋1.１5×１8=28．1,所以所求回归直线方程是错误!=－1.１５x ＋２8．１.列出残差表:y i －错误!ｉ０0.3 -0.4-0．１0.2ｙｉ-错误!４.6 2.６ －0.4 -2．4 －4.4所以错误!(i －错误!i )2错误!i －错误!)2=5３.2,Ｒ２＝1-错误!≈0．994,所以回归模型的拟合效果很好.1．回归直线方程能定量地描述两个变量的关系,系数错误!，错误!刻画了两个变量之间的变化趋势,其中错误!表示ｘ变化一个单位时，y的平均变化量.利用回归直线可以对问题进行预测,由一个变量的变化去推测另一个变量的变化.２．线性回归分析中：(1)残差平方和越小，预报精确度越高.(2）相关指数R2取值越大,说明模型的拟合效果越好．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下:次数(x)３033３53739444650成绩(y)303４３73942464851 (1(２)求出线性回归方程;（３)作出残差图,并说明模型的拟合效果；(4）计算R2，并说明其含义．【解】(１）作出该运动员训练次数(x)与成绩(y）之间的散点图,如图所示．(2)可求得错误!=39．25,错误!＝4０．8７5,错误!错误!=12６56，错误!错误!=１3 73１,错误!i y i=1３１80,∴错误!＝错误!＝错误!≈1.０41５,错误!＝错误!－错误!错误!＝－0.００３8７5,∴线性回归方程为错误!=1.04１5x-0．003 87５.（3)作残差图如图所示,由图可知,残差点比较均匀地分布在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适.(4)相关指数Ｒ2=０.98５5．说明了该运动员的成绩的差异有９8.55％的可能性是由训练次数引起的.非线性回归分析x 21232５272９3２3５y 711２1246６１15325(（2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差;(３）利用所得模型,预报ｘ=40时y的值．【思路探究】（1)画出散点图或进行相关性检验,确定两变量x、y是否线性相关．由散点图得x、y之间的回归模型.(2)进行拟合，预报回归模型，求回归方程.【自主解答】（1)作出散点图如图,从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=c1e c2x的周围,其中ｃ1、ｃ2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=ｌn y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bｘ+ａ,a=lｎc1,b=c2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与ｘ之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：x 2１２3２527２93235ｚ１.9462.３９８3.045 3.1784.1904.７４55.78４求得回归直线方程为错误!=0.2７２ｘ-３.849,∴错误!=e0．272x－3．８49．残差如下表:y i711２1２4６6１153２5错误!i 6．４４311.1０１１９.１2５32.9505６．770128.3８12９０.325错误!i0.557-0.101 1.87５－8.9５9.2３－１3.381３４．675(３)当ｘ＝40时，y＝e０．272x－3.849≈1 １31．两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系,可以通过变换的方法转化为线性回归模型,如y=c1eｃ２x,我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系,令ｚ＝ｌｎy，则变换后样本点应该分布在直线ｚ＝bx+ａ（ａ＝lｎｃ１,ｂ=c2)的周围.有一个测量水流量的实验装置，测得试验数据如下表：i 1234５67水高ｈ(厘米）0.7 1.1２.5 4.98.1１0．213.５流量Q(升/分钟)0．082０.25 1.811.237.５66.5134 【解】由表中测得的数据可以作出散点图,如图．观察散点图中样本点的分布规律，可以判断样本点分布在某一条曲线附近,表示该曲线的函数模型是Q=m·hｎ（m,n是正的常数）.两边取常用对数, 则ｌg Q=lg m＋n·lg h．令y=lg Q，ｘ=lg h，那么y＝ｎx＋lg m,即为线性函数模型y＝bx+a的形式(其中b＝n，ａ＝ｌg m）．由下面的数据表,用最小二乘法可求得错误!≈2.509 7,错误!＝－0.70７7，所以ｎ≈2.51,m≈０.1９６.i h i Q i x i=lｇh i y i=lｇQ i x2i x i y i１0．7０．０82－0.15４９-１.0８620.0240.168 32 1.10.250.0４１４-0.60２1０.00１７-０.０２4 ９2.5１没有理解相关指数R２的意义而致误关于x与y有如下数据:x 2456８y 3０406050７0为了对ｘ、y:甲模型错误!＝＼s＼uｐ６(^)＝7x+17,试比较哪一个模型拟合的效果更好．6．5ｘ+17.５，乙模型ｙ【错解】∵Ｒ错误!=1－错误!=1－错误!＝0.845.R错误!＝1-错误!＝1－错误!＝０．82.又∵８4.５%＞８2％,∴乙选用的模型拟合的效果更好．【错因分析】没有理解R2的意义是致错的根源,用相关指数Ｒ2来比较模型的拟合效果，R２越大，模型的拟合效果越好,并不是R２越小拟合效果更好．【防范措施】R2=1-错误!，R2越大，残差平方和越小,从而回归模型的拟合效果越好.在线性回归模型中,R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,Ｒ２越接近１，表示回归的效果越好(因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强).从根本上理解Ｒ２的意义和作用，就可防止此类错误的出现．【正解】R错误!＝1－错误!=1-错误!=0.8４5，R错误!＝1－错误!＝１－错误!＝0.82,84.５%＞82%,所以甲模型拟合效果更好.1．在研究两个变量间的关系时,首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关,是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，可以通过残差错误!1,错误!2，…,错误!n来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据.这方面的分析工作称为残差分析.2．我们还可以用相关指数R2来反映回归的效果，其计算公式是:R2=1-错误!.显然，R2取值越大，意味着残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.在线性回归模型中,R２表示解释变量对于预报变量变化的贡献率.１.已知x和y之间的一组数据ｘ０1２ 3ｙ1357则y与x错误!错误!错误!()Ａ.(2,２） B.（错误!，0)C．(1，2) ﻩD.(错误!，4)【解析】∵错误!＝错误!(０＋１＋２+3)＝错误!，错误!＝错误!(1＋3+５＋7)＝4，∴回归方程错误!=错误!x+错误!必过点(错误!,4)．【答案】 D2．(2０１３·青岛高二检测)在下列各组量中：①正方体的体积与棱长;②一块农田的水稻产量与施肥量;③人的身高与年龄;④家庭的支出与收入；⑤某户家庭的用电量与电价.其中量与量之间的关系是相关关系的是( )Ａ．①②B．②④C．③④Ｄ．②③④【解析】①是函数关系V＝a3;⑤电价是统一规定的，与用电量有一定的关系，但这种关系是确定的关系．②③④中的两个量之间的关系都是相关关系，因为水稻的产量与施肥量在一定范围内是正比、反比或其他关系，并不确定;人的身高一开始随着年龄的增加而增大，之后则不变化或降低,在身高增大时，也不是均匀增大的;家庭的支出与收入有一定的关系,在一开始，会随着收入的增加而支出也增加,而当收入增大到一定的值后,家庭支出趋向于一个常数值，也不是确定关系．【答案】 D3.下列命题正确的有________．①在线性回归模型中，e是bx＋a预报真实值y的随机误差,它是一个可观测的量；②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用R２来刻画回归方程，R２越小，拟合的效果越好;④在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,若带状区域宽度越窄，说明拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.【解析】对于①随机误差e是一个不可观测的量，③R2越趋于１，拟合效果越好，故①③错误．对于②残差平方和越小,拟合效果越好,同理当残差点比较均匀地落在水平的带状区域时,拟合效果越好，故②④正确．【答案】②④4.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量ｘ（吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x 345６y２.５34 4.5(1)（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;(3)已知该厂技改前1００吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测技改后生产100吨甲产品比技改前少消耗多少吨标准煤.(参考数值:３×2.5＋4×3+５×４+6×4．5=６６．5)【解】(1)如下图.(２)i=14ｘiｙｉ＝3×2．5＋4×３+5×４＋6×4.5＝66.５,错误!＝错误!＝4.5,错误!＝错误!=３.５,错误!错误!=32+4２+５2+６２=86．错误!＝错误!＝错误!＝０.7，错误!＝错误!－错误!错误!=3.５－0.7×4．５＝0.3５，因此,所求的线性回归方程为＼o(y，^)＝０．7x＋0．35.(3)根据回归方程预测，现在生产10０吨产品消耗的标准煤的数量为0．7×10０+0.３5=70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35=19．6５（吨标准煤).一、选择题1．在画两个变量的散点图时,下面叙述正确的是( )A．预报变量在x轴上，解释变量在ｙ轴上B.解释变量在ｘ轴上,预报变量在y轴上C．可以选择两个变量中任意一个变量在ｘ轴上D．可以选择两个变量中任意一个变量在ｙ轴上【解析】结合线性回归模型y=bx＋ａ+ｅ可知,解释变量在x轴上，预报变量在y轴上,故选B.【答案】Ｂ２．(２０１３·泰安高二检测）在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和( )A．越大 B.越小Ｃ．可能大也可能小Ｄ．以上均错【解析】∵R2=1－错误!,∴当R2越大时,错误!（yｉ-错误!i)2越小，即残差平方和越小.【答案】 B3.设变量ｙ对x的线性回归方程为错误!=2-2.5x,则变量ｘ每增加一个单位时,y平均(）Ａ.增加2.5个单位ﻩB．增加２个单位Ｃ．减少2.５个单位ﻩD．减少２个单位【解析】回归直线的斜率错误!=－２.5，表示x每增加一个单位，y平均减少２.５个单位.【答案】Ｃ4．(2０12·湖南高考）设某大学的女生体重y（单位：kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据（xｉ，y i）(i＝１，２，…，ｎ)，用最小二乘法建立的回归方程为错误!＝0．85x－８5.７１,则下列结论中不正确．．．的是( )A．y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(错误!,错误!)C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.８5kgD.若该大学某女生身高为17０cm，则可断定其体重必为5８.７9 ｋg【解析】由于线性回归方程中ｘ的系数为０.8５，因此ｙ与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本中心点(错误!,错误!）,因此B 正确.由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 ｃm,其体重约增加0．８５kg，故Ｃ正确.当某女生的身高为170 ｃm时,其体重估计值是58.79 ｋg，而不是具体值，因此D不正确.【答案】Ｄ５.在判断两个变量y与ｘ是否相关时，选择了４个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：模型１的相关指数R2为0.98，模型2的相关指数R2为0．80，模型3的相关指数R２为0.50,模型4的相关指数Ｒ2为0.2５.其中拟合效果最好的模型是（)Ａ.模型1 ﻩＢ．模型2C.模型３D．模型4【解析】相关指数R２能够刻画用回归模型拟合数据的效果,相关指数R2的值越接近于1,说明回归模型拟合数据的效果越好.【答案】 A二、填空题6.在研究身高和体重的关系时,求得相关指数R2≈__＿_____,可以叙述为“身高解释了６4%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多.【解析】结合相关指数的计算公式R2＝1-错误!可知，当R2＝0.64时,身高解释了６4％的体重变化.【答案】0.647．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y 对x的回归直线方程：错误!＝０．254ｘ+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_＿__＿_＿_万元．【解析】以ｘ＋1代x,得错误!＝0.254(x+1)＋0.3２1,与错误!＝0．25４x+0.321相减可得,年饮食支出平均增加0.254万元.【答案】０.25４8．已知回归直线的斜率的估计值为１.2３,样本点的中心为（４,5),则回归直线方程是________．【解析】由斜率的估计值为 1.２３,且回归直线一定经过样本点的中心(4,５)，可得错误!-5=１.23(x-4),即错误!=1.23ｘ＋0.0８．^）=1.２3x＋0.08【答案】＼o（y，三、解答题9.某省201３年的阅卷现场有一位质检老师随机抽取５名学生的总成绩和数学成绩（单位:分）如下表所示:(１)(２）对x与y作回归分析;(3)求数学成绩y对总成绩ｘ的回归直线方程;(4)如果一个学生的总成绩为５0０分，试预测这个学生的数学成绩．【解】(1）散点图如图所示：(2)错误!＝错误!，错误!=错误!,错误!错误!x错误!=8１9 794，错误!错误!y错误!＝2３167，错误!错误!xｉy i=１3７760.∴ｒ=错误!·错误!)=错误!≈0.9８9.因此可以认为y与x有很强的线性相关关系．(3)回归系数错误!＝错误!=0.13２452,＼ｏ(ａ，＾)=错误!－错误!错误!＝14.50１３15.∴回归方程为错误!＝0.1３2４52x+14.501 315．(４)当ｘ=５00时,错误!≈８1．即当一个学生的总成绩为500分时,他的数学成绩约为８1分．1０.（２０12·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x（元)８8.28．４8.68.89销量y(件)9084８３８07５68（1)错误!错误!错误!;(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(１）中的关系，且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润＝销售收入－成本)【解】(1)由于错误!＝错误!(8+8.２+8.4＋８.6＋8.8＋9)＝8.5，错误!＝错误!(90＋8４＋8３＋８0＋7５+68)＝8０，又b=－20,所以ａ=错误!-ｂ错误!=80+20×8.5=２５0,从而回归直线方程为错误!=－20x+２50.(2）设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x+250）-4(-２0ｘ＋25０)=-２０x2＋3３0x－１00０＝-20(x-8.２５)2+36１.25.当且仅当x=8.2５时，Ｌ取得最大值．故当单价定为8．25元时,工厂可获得最大利润．11.在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组数据如下表：程；(２)求相关指数Ｒ２,并说明其含义；(3)给出３７岁时人的脂肪含量的预测值．【解】(1)散点图如图所示.由散点图可知样本点呈条状分布,脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．设线性回归方程为错误!=错误!x+错误!,则由计算器算得错误!≈０.576,错误!≈＝－0.448，所以线性回归方程为错误!=０.576x－0.448．(2)残差平方和: 错误!错误!错误!=错误!(yｉ-错误!i）2≈3７.78.总偏差平方和：错误!（y i－错误!)2≈644.９9.R２＝1-＼f(37.7８,644.９9）≈0.941．Ｒ2≈0.941,表明年龄解释了94.1%的脂肪含量变化．（3)当x=37时，错误!=0.576×37－0.４48≈20．9，故37岁时人的脂肪含量约为20.９%.(教师用书独具)为研究重量x（单位：克）对弹簧长度y（单位：厘米）的影响,对不同重量的6个物体进行测量,数据如下表所示:x5101520２530y 7.258.128.959．901０.911．8(1（2)求出R2;(３)进行残差分析．【思路探究】（1)由表作出散点图，求出系数值,即可写出回归方程. (2）列出残差表，计算R2，由Ｒ2的值判断拟合效果.(3）由（２）中残差表中数值,进行回归分析．【自主解答】(1)散点图如图．x=错误!(５＋10＋15+２0+２５+30)=１7.5，错误!=错误!（7.２５+8.12＋８.95+９.90＋1０.9＋１1.8)≈9．487，＼i＼su(ｉ=1,6,x)错误!＝2 275，错误!i y i=1 0７6.２.计算得,错误!≈0.183,错误!≈６.28５，所求线性回归方程为错误!＝6.285+0.1８3x.(2）列表如下：y i-错误!ｉ0.050.0０5-0．08-0.0450.０40.025ｙｉ－错误!－2.２4－１.３７-0．540.41 1.412．31错误!ｉ错误!ｉ2≈0．０1318，错误!（y i－错误!)2=14.６78 4.所以，Ｒ2＝1-错误!≈0.9991,回归模型的拟合效果较好.(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大,需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误,如果有的话,需要纠正数据,重新建立回归模型;由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过０.15的狭窄的水平带状区域中,说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知,弹簧长度与拉力成线性关系．建立回归模型的基本步骤：(1)确定解释变量和预报变量;(２)画散点图,观察是否存在线性相关关系;(３)确定回归方程的类型，如ｙ=bx＋a;(４)按最小二乘法估计回归方程中的参数;（5)得结果后分析残差图是否异常,若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适.假设关于某设备的使用年限x(年）和所支出的维修费用y(万元）有关的统计资料如下表所示．使用年限x 23４５ 6维修费用ｙ2.23．８5.５６.57．0若由资料知（1)线性回归方程错误!＝错误!x＋错误!的回归系数错误!、错误!;(2)求相关指数R2；（３)估计使用年限为１0年时,维修费用是多少?【解】(1)由已知数据制成下表．由此可得ｘ=4，错误!=5，错误!=错误!＝1．23,错误!＝错误!－错误!错误!＝5-1．２3×4=０．08,∴错误!＝1.２３ｘ+0.０8.(2）R２=１-错误!＝1-＼f（0.６51,15.78)≈0．958 7.(3）回归直线方程为错误!=１.２３x＋0.０8，当x=10（年)时，错误!=１.23×1０＋0.0８＝１2.38（万元),即估计使用１0年时维修费用是12.38万元.。
回归分析的基本思想及其初步应用
用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。
数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用
2、由散点图知道身高和体重有比较 好的线性相关关系，因此可以用线性 回归方程刻画它们之间的关系。
2024/10/21
3、从散点图还看到，样本点散布在 某一条直线的附近，而不是在一条 直线上，所以不能用一次函数 y=bx+a描述它们关系。
15
我们可以用下面的线性回归模型来表示：
y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随
1. 散点图；
2.回归方程： yˆ 0.849x 85.172 身高172cm女大学生体重 yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
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案例1：女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
探究编：号 1 2 3 4 5 6 7 8 身 吗？高身/c如为高m果17不2c1是6m5，的你1女6能大5 解学15析生7一的17下体0原重1因一75吗定1？是65601.35156k1g70 求17根2c体据m一的重名女女大大学4学生8生的的体身重5高7。预报5她0的体5重4的回6归4方程6，1并预4报3一名5身9高为 解：1/、kg选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
1.回归平方和占总偏差平方和的比例
2. 反映回归直线的拟合程度 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 4. R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20
回归分析的基本思想及其初步应用(1)
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
2.求回归直线（同学们完成）
编号1 2 3
4
5
6
7
8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
回归分析的基本思想 及其初步应用(一)
1
提问：“严师出高徒”这句彦语的意思 是 什么？严厉的老师就一定能教出厉害 的学生吗？这两者之间是否有关？ 函数关系是一种确定性关系，而相关关 系是一种非确定性关系. 回归分析是对 具有相关关系的两个变量进行统计分析 的一种常用方法
其步骤：收集数据 利用方程进行预报.
相关系数
n
(xi x)(yi y)
r
i 1
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
i 1
9
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
y 0.849x 85.712
3.当x=172时，y=60.316(kg)
思考：身高为172cm的女大学生的体重
一定是60.316kg吗？
6
通过探讨发现： 体重与身高之间的关系不能用一次函数 y=bx+a来严格的刻画.
如：身高为165cm,体重分别为48kg， 57kg，61kg
体重/kg
80
60
40
20
0 150
155
160
165
170
175
180
身高/cm
7
由此可以说明：体重不仅受身高影响， 还受其他因素的影响，我们把这种影
1.11 回归分析的基本思想及其初步应用(文、理)
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用【学习目标】1. 通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤。
2. 能作出散点图，能求其回归直线方程。
3. 会用所学的知识对简单的实际问题进行回归分析。
【要点梳理】要点一、变量间的相关关系1. 变量与变量间的两种关系：（1） 函数关系：这是一种确定性的关系，即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定．例如圆的面积．S 与半径r 之间的关系S=πr 2为函数关系．（2）相关关系：这是一种非确定性关系．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，这两个变量之间的关系叫做相关关系。
例如人的身高不能确定体重，但一般来说“身高者，体重也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系． 2. 相关关系的分类：（1）在两个变量中，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，如施肥量与水稻产量； （2）两个变量均为随机变量，如某学生的语文成绩与化学成绩． 3. 散点图：将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图．它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系．这是我们判断的一种依据． 4. 回归分析：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系，对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。
要点二、线性回归方程：1．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。
2．回归直线方程ˆˆˆybx a =+ 对于一组具有线性相关关系的数据11(,)x y ，22(,)x y ，……，(,)n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：121()()ˆ()niii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =- 其中x 表示数据x i （i=1，2，…，n ）的均值，y 表示数据y i （i=1，2，…，n ）的均值，xy 表示数据x i y i （i=1，2，…，n ）的均值．a、b 的意义是：以 a 为基数，x 每增加一个单位，y 相应地平均变化b 个单位． 要点诠释：①回归系数121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，也可以表示为1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，这样更便于实际计算。
回归分析的基本思想及其初步应用
t检验用于检验单个自变量对因变量的影响是否显著。如果t检验的P值小于显著性水平，则认为该自变 量对因变量的影响是显著的。
回归系数的解释
偏效应
回归系数表示在其他自变量保持不变 的情况下，某一自变量变化一个单位 时因变量的平均变化量。它反映了自 变量对因变量的偏效应。
标准化回归系数
为了消除自变量量纲的影响，可以对 回归系数进行标准化处理。标准化回 归系数表示自变量和因变量的标准化 值之间的相关系数，具有可比性。
03
回归分析的初步应用
一元线性回归分析
01
建立一元线性回归模型
通过收集样本数据，以自变量 和因变量的线性关系为基础， 建立一元线性回归模型。
02
参数估计
利用最小二乘法等估计方法， 对模型中的参数进行估计，得 到回归方程的系数。
03
假设检验
对回归方程进行显著性检验， 判断自变量和因变量之间是否 存在显著的线性关系。
通过调整模型参数或引入新的 变量等方式优化模型，提高模 型的拟合精度和预测能力。
逐步回归分析
1 引入变量
从所有自变量中逐步引入对因变量有显著影响的变量， 建立初始回归模型。
2 检验与调整
从所有自变量中逐步引入对因变量有显著影响的变量， 建立初始回归模型。
3 逐步筛选
从所有自变量中逐步引入对因变量有显著影响的变量， 建立初始回归模型。
立
详细阐述了线性回归模型的构建 过程，包括模型的假设、参数的 估计和模型的检验等步骤。
回归分析的初步应
用
通过实例演示了回归分析在解决 实际问题中的应用，包括预测、 解释变量关系和控制变量等方面 的应用。
对未来学习的建议与展望
深入学习回归分析的理论知识
1回归分析的基本思想及其初步应用
3．1. 1回归分析的基本思想及其初步应用一、教学内容与内容解析学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
二、教学目标与目标解析1、通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。
2、本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路—进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤。
3、通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。
加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。
教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时。
体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。
培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。
回归分析，是一种从事物因果关系出发进行预测的方法．操作中，是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式），预测今后事物发展的趋势．然而，所建立的回归方程与样本点的分布之间还存在有差异，这一差异就是我们本节课学习的主要内容：随机变量．教学重点：熟练掌握回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤；通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。
回归分析的基本思想及其初步应用
例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体
重数据如表11所示.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/ cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/ kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,
并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系
函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一 般的情况
问题2：对于线性相关的两个变量用什么方法 来刻划之间的关系呢
2、最小二乘估计 最小二乘估计下的线性回归方程：
yˆ bˆx aˆ
n
(xi X )( yi Y )
z bxa(alnc1,bc2) 的周围 .这样,就可以利用线性回型 归来 模建立 y和x之 间的非线性回归方 了程 .
当回归方程不是形如y bx a时,我们称之为非
线性回归方程.
由表 13的数据可以得 的到 样变 本换 数 1后 4据 ,图表
1.15给出1了 4中 表数据的 .从散 1图 .1点 5中图 可以 看,出 变换后的样一 本条 点直 分线 布 ,因 的 在 此 附 可 近 以 用线性回归.方程来拟合
n
yi yˆi2
其
计
算
公
式 :R2是1
i1 n
.
yi y2
i1
显然,R2取值越大,意味着残差平方和越小,也就是说 模型的拟合效果越好.在线性回归模型中, R2 表示解 释变量对于预报变量变化的贡献率. R2 越 接近于1, 表 示 回 归 的 效 果 越 好(因 为R2越 接 近 于1, 表 示 解 释 变 量和预报变量的线性相关性越强) .如果对某组数据
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年龄 45 50 55 60 65
方案3、如果多取几对点，确定多条直线， 方案 、如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。 直线的斜率和截距。而得回归方程。 如图
• 我们还可以找到 更多的方法， 更多的方法，但 这些方法都可行 科学吗？ 吗?科学吗？ 科学吗 准确吗？ 准确吗？怎样的 方法是最好的？ 方法是最好的？
脂肪含量
那么， 那么，我们该 怎样来求出 这个回归方 程？ 请同学们展开 讨论， 讨论，能得 出哪些具体 的方案？ 的方案？
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40
年龄 45 50 55 60 65
. .方案 、先画出一条直线，测量出各点与它 方案1、先画出一条直线， 方案 的距离，再移动直线， 的距离，再移动直线，到达一个使距离的 和最小时，测出它的斜率和截距， 和最小时，测出它的斜率和截距，得回归 方程。 方程。 脂肪含量
我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 像这样， 近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在 像这样 一条直线附近， 一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线叫做回归直线 该直线叫回归直线 这条直线叫做回归直线， 回归直线。 关关系 这条直线叫做回归直线，该直线叫回归直线。
练习：在下列两个变量的关系中， 练习：在下列两个变量的关系中，哪些是相 关关系？ 关关系？ 正方形边长与面积之间的关系； ①正方形边长与面积之间的关系； 作文水平与课外阅读量之间的关系； ②作文水平与课外阅读量之间的关系； 人的身高与年龄之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系；
重点知识回顾
1、相关关系 概念：自变量取值一定时， （1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有 一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。 一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。 相关关系与函数关系的异同点。 （2）相关关系与函数关系的异同点。 相同点：两者均是指两个变量间的关系。 相同点：两者均是指两个变量间的关系。 不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系； 不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系； 相关关系是一种非确定的关系。 相关关系是一种非确定的关系。
年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根据以上数据， 根据以上数据，人体脂肪含量与年龄有怎样 的关系？ 的关系？.
年龄 23 脂肪 9.5 年龄 53
27 39 41 45 49 50 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 54 56 57 58 60 61
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考4 观察散点图的大致趋势， 思考4：观察散点图的大致趋势，人的 年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关 系？ 人体脂肪含量随着人的年龄的增加而增加
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
1．1回归分析的基本思想及其 初步应用
第1课时
现实生活中两个变量间的关系: 现实生活中两个变量间的关系: 不相关 函数关系 两个变量的关系 线性相关 相关关系 非线性相关
思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？ 思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？
相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时， 相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因 变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系. 变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系. 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在， 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况
思考5 在上面的散点图中， 思考5：在上面的散点图中，这些点散布在从左下 角到右上角的区域，且一个变量随着另一个变量 角到右上角的区域， 的增加而增加，对于两个变量的这种相关关系， 的增加而增加，对于两个变量的这种相关关系， 我们将它称为正相关正相关
• 1、定义：一个变量随着另一个变量的增加 一个变量随着另一个变量的增加 而增加的相关关系。 而增加的相关关系。 • 2、前提：相关关系 、前提： • 3、图像特征： 、图像特征： 散点图中， 散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域 • 4、举例： 、举例： 施肥量与粮食产量；数学成绩与物理成绩 施肥量与粮食产量；数学成绩与物理成绩……
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40
年龄 45 50 55 60 65
• 回归直线方程的推导 • 已知：两个具有现行相关关系的变量的一组数据
( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), … , ( xn , y n )且回归直线方程为 y = bx + a , (期中 a , b为待定系数 )，当变量取 x1， x 2 … , xn的时候， 可以得到回归直线上对 应的点的纵坐标 yi = bx + a 求 a与 b的值
^ ^
我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强， 我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强， 人们经过长期的实践与研究， 人们经过长期的实践与研究，已经找到了 计算回归方程的斜率与截距的一般公式: 计算回归方程的斜率与截距的一般公式
b=
∑(x −x)(y −y) ∑x y −nxy
i=1 i i
n
n
∑(x −x)
脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思考1：对某一个人来说，他的体内脂 思考1 对某一个人来说， 肪含量不一定随年龄增长而增加或减少， 肪含量不一定随年龄增长而增加或减少， 但是如果把很多个体放在一起， 但是如果把很多个体放在一起，就可能 表现出一定的规律性. 表现出一定的规律性.观察上表中的数 大体上看，随着年龄的增加， 据，大体上看，随着年龄的增加，人体 脂肪含量怎样变化？ 脂肪含量怎样变化？
（1）请画出数据的散点图； （2）请根据提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归直线方程 （3）是根据（2）预测生产100吨甲产品的生产能耗
（参考取值：× 2.5 + 4 × 3 + 5 × 4 + 6 × 4.5 = 66.5） 3
作业： 作业：
• 某产品的广告支出 与销售y之间对应数据如下表： 某产品的广告支出x与销售 之间对应数据如下表 与销售 之间对应数据如下表： 广告支出x 广告支出 2 30 销售额y 销售额 4 40 5 60 6 50 8 70
40 35 30
如图 ：
25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40
年龄 45 50 55 60 65
• .方案 、在图中选两点作直线，使直线两侧 方案2、在图中选两点作直线， 的点的个数基本相同。 的点的个数基本相同。
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考3 上图叫做散点图， 思考3：上图叫做散点图，你能描述一 散点图 下散点图的含义吗？ 下散点图的含义吗？
在平面直角坐标系中，把两个变量作为横、 在平面直角坐标系中，把两个变量作为横、 纵坐标， 纵坐标，在平面直角坐标系中描点做出两 个变量的对应点，这样的图像叫做散点图 个变量的对应点，这样的图像叫做散点图
i=1 i
n
=
i=1 n
i
i
2
∑x −nx
i=1 2 i
,
2
a = y−bx
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原 理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最 小，这一方法叫最小二乘法。（参看如书P80）
例题讲解
• 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程 中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤） 的机组对照数据： X 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5
1 n x = ∑ xi n i =1
1 n y = ∑ yi n i =1
知识探究（ ）：散点图 知识探究（二）：散点图 问题】 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄 关系的研究中， 关系的研究中，研究人员获得了一组样 本数据： 本数据：
年龄 23 脂肪 9.5 27 39 41 45 49 50 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
2、两个变量的线性相关 、 （1）回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫 回归分析。通俗地讲， 回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非 确定关系的某种确定性。 确定关系的某种确定性。 （2）散点图 定义； 正相关、负相关。 A、定义；B、正相关、负相关。 3、回归直线方程 回归直线：观察散点图的特征， （1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大 致分布在一条直线的附近， 致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有 线性相关的关系， 线性相关的关系，这条直线叫做回归直线
2、散点图
• （1）定义
在平面直角坐标系中，把两个变量作为横、纵坐标， 在平面直角坐标系中，把两个变量作为横、纵坐标，在平面 直角坐标系中描点做出两个变量的对应点，这样的图像叫做 直角坐标系中描点做出两个变量的对应点， 散点图
• （2）意义：
通过散点图，可以判断两个变量之间的关系： 通过散点图，可以判断两个变量之间的关系： 1）如果所有样本点都落在某一函数曲线上，则称变量之间具有函 ）如果所有样本点都落在某一函数曲线上，则称变量之间具有函 数关系； 数关系； 附近， 2）如果所有样本点都落在某一函数曲线附近，则称变量之间具有 ）如果所有样本点都落在某一函数曲线附近 相关关系； 相关关系； 3）如果所有样本点都落在某一直线附近，则称变量之间具有线性 附近， ）如果所有样本点都落在某一直线附近 则称变量之间具有线性 相关关系；这条直线成为回归直线。 相关关系；这条直线成为回归直线。 3）如果不能看出所有样本点都落在某一函数曲线上，则称变量之 不能看出所有样本点都落在某一函数曲线上 ）如果不能看出所有样本点都落在某一函数曲线上， 不具有相关关系； 间不具有相关关系；