交替最小化算法
Robust Principal Component Analysis
论文阅读报告题目：Robust Principal Component Analysis?作者：EMMANUEL J. CAND ` ES ,XIAODONG LI ,YI MA ,JOHN WRIGHT摘要大数据的降维与减轻规模是科学工程社会等领域的热点也是难点之一.它具有广泛的应用前景和重要的理论研究价值.给定一个数据矩阵,它是低秩成分和稀疏成分的叠加.在适当的假设下,通过解决一个称为"Principal Component Pursuit"的非常恰当的凸规划,就可以精确地恢复低秩和稀疏成分.在所有可行的分解方法范数的加权组合进行最小化.并表明了原则方法对鲁中,他们选择对核范数与1棒主成分分析的可能性,因为他们的方法和结果证明可以恢复数据矩阵的主成分即使它的元素的正定部分是任意毁坏的.这还拓展到小部分元素丢失的情形中.然后他们讨论解决这种最优问题的算法,以及在视频监控领域的应用现状.这里他们的方法考虑了在混乱背景中的检测目标,在人脸识别领域,提供了一种去除阴影和改善图片中人脸变形的情况的原则方法.对以后的工作启示为开发更好的伸缩性算法来处理大规模数据集.关键词：低秩成分稀疏成分PCP 伸缩性算法1、问题的提出最近的大量的高维数据在科学,工程和社会的爆炸给许多领域比如图片,视频,多媒体处理,关联网数据分析,搜索,生物医学成像和生物信息学带来了挑战和机遇.在这样的应用领域中,都需要解决极高维以及广泛条件下矩阵的低秩和稀疏分解问题,本文主要是去解决这些问题.2、理论性研究PCA 在今天已经证明是在数据分析与降维方面具有广泛应用的统计工具.然而,剧烈毁坏的观察值的脆弱性经常使他们处于危险状态.一些鲁棒PCA 的方法在几十年前就被提议和开发了.那些代表性的方法包括影响函数法,多元切尾法和随机抽样法,交替最小化法.但是,没有一种方法提出关于广泛的条件下强保证的多项式时间算法.我们研究的这个问题可以被认为是鲁棒PCA 的理想化版本.此外,这个问题已经被Chandrasekaran 以及其他人研究着.他们以公式化为基础,因此结果会有一些不同的性质. 问题的解决：假设给定一个数据大型M 矩阵,它是低秩成分和稀疏成分的叠加,即00S L M +=.这里0L 的是低秩矩阵,0S 是稀疏矩阵.所有成分的大小任意,以及0L 的低维行空间与列空间,维数,0S 的非零项的位置和个数都是未知的.对于这种棘手的问题,文章采用了凸规划来解决,即对核范数与1 范数的加权组合进行最小化.在弱的条件下,利用低秩矩阵不稀疏这个特点,主成分追求（PCP ）通过解决mi n 1S L λ+*s u b j e c t to M S L =+ (1.1)来精确的恢复低秩矩阵和稀疏矩阵.这里的∑=ii M M )(*σ表示M 矩阵的核范数,∑=ijij M M 1表示nn R⨯级M 长向量的1 范数.以及210n n R L ⨯∈的奇异值分解为01ri i i i L U V u v σ*==∑=∑这里的r是矩阵的秩,rσσσ,,,21 是正的奇异值,[]r u u u U ,,,21 =,[]r v v v V ,,,21 =分别是矩阵的左奇异向量和右奇异向量,则参数μ的关系为12max n re U i iμ≤* ,22*max n re V i iμ≤,21n n rUVμ≤∞* (1.2)这里的ij ji M M,max =∞,即把M 看成长向量的无穷范数,并且假设稀疏成分的稀疏模式被均匀随机的选择.在这些微小的假设下,PCP 方法很好的恢复了低秩成分和稀疏成分.当然低秩成分的秩不是很大,稀疏成分合理的稀疏.这篇文章中,()()211,max n n n =,()()212,min n n n =,下面给出主要结果证明的关键步骤,定理 1.1 假设0L 是n n ⨯的,满足(1.2)式.修正每一个n n ⨯矩阵∑的符号.假设0S 的支撑集Ω在所有基数为m 的集中是均匀分布的,以及对于所有()Ω∈j i ,的[]()ijijS ∑=0sgn .则存在一个数值常量c 使得PCP 对于n1=λ是准确恢复的概率至少为101--cn (超过0S 支撑的选择),,即0ˆL L =,0ˆS S =, 如果210)(log )(--≤n n L rank r μρ 和 2n m s ρ≤在这个方程中,r ρ和s ρ是正的常数.在普通方形矩阵中,0L 是21n n ⨯的,PCP 中取()11n =λ使得成功的概率至少为()1011--cn ,如果()()21120)(l o g)(--≤n n L r a n k r μρ和21n n m s ρ≤. 换句话说,矩阵0L 的奇异值向量或者主成分合理的分布着,它能从任意和完全未知的毁坏模式中(只要它们是随机分布的)恢复的概率接近 1.其中0L 的奇异向量不能是尖的.为了避免不明确,关于0S 的模型是,取任意一个矩阵,随机集cΩ的项设置零,这就是0S 矩阵.这篇文章的思想主要来源于矩阵完成文献的几个方面,不同的结果是它拓展了矩阵完成的结果以及参数λ的问题.这里λ是一个普遍值,即n 1=λ,这对于M 的生成模型完全未知的情况具有很好的意义.定理1.1的证明依赖于双认证的两个临界性质.其中需要一个消去定理,解随机处理,以及双认证和高尔夫计划的双认证.为了解释本文的思想很容易适用于从欠采样的可能毁坏严重的数据中处理低秩矩阵恢复问题.给出下面的定理：定理 1.2 假设0L 是n n ⨯的,满足(1.2)式.在所有基数21.0n m =的集中是一致分布的.简单假设,每一个观察元素都是以概率为τ且独立于其他元素毁坏.则,存在一个数值常量c 使得PCP 关于n 1.01=λ的精确恢复的概率至少为101--cn ,也就是0ˆL L =,0ˆS S =, 如果210)(l o g )(--≤n n L r a n k r μρ, 和 s ττ≤.在这个方程中,r ρ和s ρ是正的常数.在普通21n n ⨯方形矩阵中,,PCP 关于()11n =λ从211.0n n m =毁坏元素中成功的概率至少为()1011--cn ,如果()()21120)(lo g )(--≤n n L r a n k r μρ.4.数值实验给出理论性结论之后,这篇文章执行数值实验去验证主要结果,使用的是 Lin et al. [2009a]和Yuan and Yang [2009]中介绍的增广拉格朗日乘子算法.这一节首先研究了PCP 精确地恢复各种密度误差的各种秩的矩阵的能力.降低了迭代计算成本.实验一表明了这篇文章在恢复过程中主张的内容除了在理论上成立,在实际中也很实用.下一个实证调查PCP 恢复不同秩不同稀疏误差矩阵的能力.实验更进一步证明了0S 的符号不是很重要,只要支撑的选择是均匀随机的就能保证恢复.使用增广拉格朗日乘子算法解决核范数最小化问题,如果3010-- FFL L L ,0L 就能被成功的恢复.紧接着,给出两个真实数据的例子,一个是视频监控的背景模型,一个是去除阴影和人脸图像的反光.在视频监控背景模型中,把背景变化当成低秩模型.而前景目标,一般只占用小部分图像的像素,因此视为稀疏错误.举这个例子并不是要设计一个完整的视觉监视系统而是证明这篇文章的理论与方法的潜在的现实实用性.应当注意真实数据的迭代次数明显高于仿真数据次数,原因可能是真实数据的结构稍微偏离了理想的低秩和稀疏模型.但是实际应用提供的额外信息很重要,可以轻易的与更精确的信号模型合并,以至于获得更高效和精确地解决方案.人脸识别问题,因为面部既不是完全凸也不是郎伯特型,而且人脸图形经常违反低秩模型,错误量极大.但是PCP 消除这些误差的可能性还是很大.实验证实不仅能在理论中保证低计算成本,而且对于实际图像来说也很实用.5.主要算法对于PCP 问题,可以使用内点法,内点法的有限伸缩性催生了迭代阈值的一个一阶算法,这个算法的收敛性又通过使用Nesterov 等人的非光滑化最小化的最优一阶算法大大改善.基于矩阵完成问题开发了一个近端加速梯度法（APG ）,这个算法继承了这类问题的最优收敛速率.在这篇文章中使用的却是增广拉格朗日乘子算法（ALM ）.根据经验,ALM 比APG 的精确度更高,迭代次数更少.在整个优化过程中,迭代的秩总是限制在()0L rank 范围内,这是APG 没有的.而交替方向法是更一般的增广拉格朗日乘子法的一个特殊情况.ALM 算法 算法流程：ALM 算法一般用于解决：minf(X), subject to h(X) = 0,这类约束优化问题，这里的f : n R → R 和 h : n R → m R . 然后定义拉格朗日函数为：()()()2(,,),2F L X Y f X Y h X h X μμ=++这里的Y是拉格朗日乘子，用于去除等式约束. 是正定标量.6.结束语这篇文章表明,人们可以在广泛的条件下通过凸规划来分解低秩和稀疏成分.更进一步,矩阵完成于矩阵恢复有着密切的关系.本篇甚至推广到了那种既有完整又有毁坏的元素的情况中（即定理1.2）.目前的研究受限于完全低秩的低秩成分,稀疏成分被完全稀疏.这篇文章对以后工作的意义是开发具有更好伸缩性的算法,可以很容易的实现与分布的计算基础设施平行.。
非凸优化的方法
⾮凸优化的⽅法
关于⾮凸优化的⽅法，提到，可以把⾮凸优化转换为凸优化，通过修改⼀些条件。
⾮凸优化问题如何转化为凸优化问题的⽅法：
1）修改⽬标函数，使之转化为凸函数
2）抛弃⼀些约束条件，使新的可⾏域为凸集并且包含原可⾏域
⽽的论⽂提到了解决⾮凸优化问题的⼏种⽅法：
1.利⽤传统的凸松弛(Convex relaxation)技术，把⾮凸优化问题转为凸优化问题。
凸松弛，其实就是放开⼀些限制条件，但是不改变问题的本质。
参考：
2.不经过转换，某些符合特定结构的⾮凸优化问题也可以直接解决。
例如使⽤：投影梯度下降、交替最⼩化、期望最⼤化算法、随机优化等⽅法。
如何利用AI技术进行图像超分辨率处理
如何利用AI技术进行图像超分辨率处理引言：近年来，随着人工智能（Artificial Intelligence, AI）技术的不断进步和发展，图像超分辨率处理作为一项重要的图像处理技术逐渐受到广泛关注。
图像超分辨率处理是指通过算法或模型，将低分辨率（Low Resolution, LR）的图像转化为高分辨率（High Resolution, HR）的图像。
利用AI技术可以提高现有超分辨率算法的性能，使得生成的高分辨率图像更加清晰、细致。
本文将介绍如何利用AI技术进行图像超分辨率处理。
一、了解基础知识1.1 图像超分辨率处理原理在进行图像超分辨率处理时，主要思路是通过对低分辨率图像进行信息补充，在尽量保持原有细节内容的同时提高图像的清晰度和精度。
这一过程通常包括两个主要步骤：获取低分辨率输入图像的特征表示；根据特征表示恢复出对应的高分辨率输出图像。
1.2 AI技术在图像超分辨率中的应用传统方法通常采用插值算法等手段进行图像放大，但结果往往模糊不清。
而AI技术能够利用大量的图像数据进行学习和训练，从而实现更加精准的图像超分辨率处理。
目前在图像超分辨率处理领域广泛应用的AI技术主要包括卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）和生成对抗网络（Generative Adversarial Network, GAN）。
二、使用卷积神经网络实现图像超分辨率处理2.1 数据集准备在使用卷积神经网络进行图像超分辨率处理之前，需要准备一个适合的数据集。
可以选择一些具有高分辨率图像和对应低分辨率版本的数据集，比如DIV2K等。
2.2 构建网络模型在构建卷积神经网络模型时，常用的架构包括SRCNN、VDSR、ESPCN等。
这些模型通常包含多层卷积层和上采样层，以及ReLU激活函数等组件。
其中，SRCNN是一种经典的单尺度超分辨率算法，通过三层卷积操作完成图像超分辨率处理任务；VDSR是一种多层超分辨率重建算法，在每一层中进行残差学习以提高处理效果，而ESPCN则通过转化为问题的非线性回归任务来实现超分辨率操作。
运动秩1分解及其在运动检索中的应用
运动秩1分解及其在运动检索中的应用 1. 引言 -阐述运动检索的重要性和当前存在的问题 -介绍运动秩1分解在运动检索中的应用
2. 运动秩1分解 -定义运动秩1分解以及其特点 -解释如何从一个视频序列中进行运动秩1分解
3. 运动秩1分解在运动检索中的应用 -介绍运动秩1分解在运动检索中的意义 -阐述运动秩1分解如何计算相似度以及匹配视频序列
4. 运动秩1分解的实验结果 -描述运动秩1分解算法的实验环境以及数据集 -比较运动秩1分解算法与其他算法在检索性能上的差距
5. 结论和未来展望 -总结运动秩1分解在运动检索中的应用 -探讨运动秩1分解在未来的发展方向与应用前景第1章节：引言
运动检索作为一种重要的视频检索技术，可以帮助用户快速、准确地找到相关的视频内容，已经成为了现代视频管理系统中必不可少的一部分。然而，在实际应用中，由于视频数据的维度高，内容丰富，运动差异大等原因，传统的视频检索技术存在着一些问题，如低效、不准确和耗时等。因此，如何提高运动检索技术的准确性和效率，成为了当前运动检索技术的研究热点和难点。
运动秩1分解技术是一种新兴的运动检索技术，它能够从高维度的视频序列中提取出具有代表性的信息，从而实现高效、准确的视频检索。本文将从运动秩1分解技术及其在运动检索中的应用展开论述。
首先，本文将从运动秩1分解技术的定义、特点和实现方法这三个方面介绍运动秩1分解技术，为读者提供了解和理解该技术的基础。其次，本文将详细阐述运动秩1分解在运动检索中的应用，包括运动秩1分解在计算相似度和匹配视频序列中的应用，以及与传统视频检索技术的比较。此外，为了验证运动秩1分解技术在运动检索中的有效性，本文还将介绍通过实际实验得到的运动秩1分解技术的实验结果与性能分析。最后，本文将对运动秩1分解技术在运动检索中的应用前景进行展望。
本文旨在通过对运动秩1分解技术的探讨和应用，为运动检索技术的发展提供一些新思路和思考方向。第2章节：运动秩1分解
基于增广拉格朗日乘子的快速高阶全变分图像去噪方法
基于增广拉格朗日乘子的快速高阶全变分图像去噪方法胡悦;仲崇潇;曹梦宇;赵旷世【摘要】高阶全变分图像去噪方法利用图像方向导数的可分L1范数,构建优化方程进行图像去噪,可以在去除图像噪声的同时有效保留图像中的细节信息.然而传统高阶全变分方法计算复杂度较高、耗时较长.针对此问题,提出了一种基于增广拉格朗日乘子的快速高阶全变分图像去噪方法.首先,利用Huber方程重建高阶全变分优化方程;其次,通过添加辅助变量及引入拉格朗日乘子,将优化方程转换为两个较易求解的子问题进行交替最小化迭代求解.实验证明,在相同条件下,与传统方法相比,基于增广拉格朗日乘子的高阶全变分图像去噪方法可以大幅提高运算速度,并且能在去除图像噪声的同时更好地保留图像边缘、纹理、细节等信息,获得视觉效果更好的去噪图像.%Higher degree total variation (HDTV) denoising algorithm is the fully separable L1 norm of the image directional derivatives.The usage of this denoising algorithm is seen to effectively denoise images while preserving details and features in the image.However,the traditional HDTV method has the disadvantage of low computation speed due to the comparatively high computational complexity.An augmented Lagrangian multiplier based fast HDTV image denoising algorithm isintroduced.Firstly,the Huber function is used to reformulate the HDTV optimization function.Secondly,by introducing the auxiliary variable and the Lagrangian multiplier,the original problem is converted into two sub-problems which can be solved using the alternating minimization method efficiently.The results demonstrate that compared with the traditional algorithm,the proposed algorithm is able to obtain ten timesspeedup.Besides,the proposed algorithm is able to better preserve the image details and edges information.【期刊名称】《系统工程与电子技术》【年(卷),期】2017(039)012【总页数】9页(P2831-2839)【关键词】高阶全变分;图像去噪;增广拉格朗日乘子;交替最小化【作者】胡悦;仲崇潇;曹梦宇;赵旷世【作者单位】哈尔滨工业大学电子与信息工程学院,黑龙江哈尔滨150001;哈尔滨工业大学电子与信息工程学院,黑龙江哈尔滨150001;哈尔滨工业大学电子与信息工程学院,黑龙江哈尔滨150001;中船重工第七○三研究所,黑龙江哈尔滨150078【正文语种】中文【中图分类】TP391在信息化时代,图像信息具有重要的意义。
基于交替方向乘子法的模型预测控制方法研究
基于交替方向乘子法的模型预测控制方法研究随着智能化时代的来临，越来越多的控制领域开始采用模型预测控制（MPC）技术来实现对系统的精准控制。
而交替方向乘子法（ADMM）则成为了常用的优化算法之一。
本文就基于ADMM算法，对MPC方法进行了研究探索。
一、MPC技术概述MPC是一种基于数学模型的控制方法。
其基本思想是建立系统的数学模型，通过计算机模拟系统的未来状态，采取优化算法得到控制信号，以达到控制系统状态的理想目标。
MPC技术主要应用于控制系统中的非线性、时变和多变量系统。
相比传统控制方法，其能够更好地适应系统的变化，提高了系统的动态响应和鲁棒性，在过程控制、机器人控制、交通控制等领域均有应用。
二、交替方向乘子法原理ADMM算法是一种分布式算法，其解决的问题主要包括解决凸优化问题和求解约束优化问题。
其基本思想是，将原问题转化为一系列子问题，每个子问题采用乘子法求解，不断反复迭代求解子问题，直至收敛。
具体来说，ADMM算法将凸优化问题转化为一系列子问题，相当于引入一些额外的变量和约束。
其形式化就是：min(f(x)+g(z))s.t. Ax+Bz=c通过向原问题中添加变量和约束来将问题转化为求解两个子问题的相加形式。
ADMM算法的主要流程包括初始化、循环迭代和判断收敛三个步骤。
三、基于ADMM的MPC算法基于ADMM算法的MPC问题的主要是求解一个优化问题，即在满足各种约束条件情况下，最小化系统性能指标。
由于MPC问题的特殊性质，即硬约束和软约束的结合，ADMM算法被广泛用于求解MPC问题。
具体来说，基于ADMM的MPC问题的数学模型可以表示为：min Us.t. x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)h(x(k),u(k))⩽0g(x(k),u(k))=0u(k)∈U其中，x(k)表示系统在第k个采样时间的状态，u(k)表示第k个采样时间的控制信号，h(x(k),u(k))表示系统的硬约束条件，g(x(k),u(k))表示系统的软约束条件，U是控制信号的限制空间。
一类非光滑优化问题的邻近交替方向法
一类非光滑优化问题的邻近交替方向法钱伟懿;杨岩【摘要】非光滑优化问题在现实生活中有着广泛应用.针对一类带有结构特征为两个连续凸函数与具有Lipschitz梯度的二次可微函数的和的无约束非光滑非凸优化问题,给出了一种邻近交替方向法,称之为二次上界逼近算法.该算法结合交替方向法与邻近点算法的思想,将上述优化问题转化为平行的子问题.在求解子问题的过程中,对目标函数中的光滑部分线性化,此时子问题被转化为凸优化问题.然后分别对两个凸优化子问题交替利用邻近点算法求解.基于以上思想,首先我们给出算法的伪代码,然后建立了算法收敛性的充分条件,最后证明在该条件下,算法产生迭代序列的每个极限点是原问题的临界点.【期刊名称】《渤海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)002【总页数】5页(P134-138)【关键词】非光滑优化;交替方向法;邻近点算法;收敛性分析;临界点【作者】钱伟懿;杨岩【作者单位】渤海大学数理学院, 辽宁锦州121013;渤海大学数理学院, 辽宁锦州121013【正文语种】中文【中图分类】O2210 引言考虑下列非凸非光滑的极小化问题(P) min{φ(x,y):=f(x)+g(y)+h(x,y)|x∈Rn,y∈Rm}其中函数φ有下界→(-∞,+∞)，g: Rm→(-∞,+∞)都是正常的连续凸函数，h:Rn×Rm→R是具有Lipschitz梯度的二次可微函数，即存在常数L∈(0,∞)，使得‖▽h(x,y)-▽h(x′,y′)‖≤L‖(x,y)-(x′,y′)‖Attouch等人〔1〕最先对问题(P)进行研究，将常规的Gauss-Seidel迭代引入算法中，给定初始点(x0,y0)，由下列公式产生迭代序列{(xk,yk)}k∈N该方法被称为交替极小化方法. Gauss-Seidel方法的收敛性分析在很多文献中可见〔2-4〕，证明其收敛性的必要假设条件之一是每步迭代得到唯一最小解〔5〕，否则算法可能无限循环没有收敛性〔6〕 . 当一个变量固定，假设连续可微函数φ关于另一个变量是严格凸的，按照以上的方法迭代产生的迭代序列{(xk,yk)}k∈N 的极限点极小化目标函数φ〔3〕. 对凸光滑约束最小化问题，Beck和Tetruashvili〔7〕提出了块坐标梯度投影算法，并讨论了其全局收敛速率.去掉严格凸的假设，考虑邻近正则化Gauss-Seidel迭代其中αk，βk是正实数.该方法最先是Auslender〔8〕提出的，并进一步研究了含有非二次邻近项的线性约束凸问题〔9〕. 以上结果只是得到子序列的收敛性.当φ非凸非光滑情况下，收敛性分析是一个值得研究的课题.当φ是非凸非光滑的条件下，Attouch等人〔1,10〕证明了由邻近Gauss-Seidel 迭代〔10〕产生的序列是收敛的. 在文献〔10〕中，Attouch用熟知的proximal-forward-backward (PFB)算法求解非凸非光滑最小化问题，也得到了相似的结论. Bolte〔11〕和Daniilidis〔12〕等人在假设目标函数φ满足Kurdyka-Lojasiewicz(KL)性质的条件下，研究了一类非光滑最优化问题.交替方向法(Alternating direction method,简称ADM)最初是由Gabay和Mercier〔13〕提出. 该方法与Douglas-Rachford算子分裂算法紧密相关〔14-16〕. Eckstein〔17〕将邻近点算法(Proximal point algorithm,简称PPA)与ADM方法相结合得到了邻近交替方向法(PADM). 基于ADM方法，Beck〔18〕对凸最小化问题提出了次线性收敛速度的迭代再加权最小二乘法. Bolte和Sabach 等人〔19〕在强Kurdyka-ojasiewicz性质下对非光滑非凸优化问题提出了邻近交替线性化算法，该方法是对优化问题中光滑部分向前一个梯度步，非光滑部分向后一个邻近步，非精确求解每个线性化的子问题，迭代产生序列收敛到一个临界点. Fazel等人〔20〕提出了带半正定邻近项的交替方法，是在一定的条件下将邻近项中的正定算子扩展到半正定算子.1 预备知识本节，我们陈述一些基本概念和性质〔21〕，方便之后的证明.定义1.1 设S⊂Rn，如果对∀x1，x2∈S，0≤λ≤1,有λx1+(1-λ)x2∈S，则称S为凸集.定义1.2 设S为Rn上的凸集，如果对任意x，y ∈S，0≤λ≤1,有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y),∀x,y∈S,λ∈[0,1]则称f(x)为S上的凸函数.定理1.1 对于定义在一个开凸集O⊂Rn上的可微函数f，下面条件等价：(a)f在O上是凸函数；(b)<x1-x0,▽f(x1)-▽f(x0)>≥0对于任意的x0和x1在O上成立；(c)f(y)≥f(x)+<▽f(x),y-x>对于任意的x和y在O上成立；(d)▽2f(x)是半正定对任意的x在O上.定义1.3 函数f的次微分∂f:Rn→Rn，定义为∂f(x)={w∈Rn:f(x)-f(v)≤<w,x-v>,∀v∈Rn}若那么点称为函数f:Rn→R的临界点.定义1.4 设S⊆Rn为非空闭凸集，若f:S→R可微，其满足对任意的x,y∈S，μ>0总有f(y)≥f(x)+<▽则称f在非空闭凸集C上是μ强凸的.2 算法及收敛性分析设(1)(2)其中s∈Rn,x∈Rn，y∈Rm,t∈Rm,x∈Rn,y∈Rm. 式子(1)和(2)是将问题(P)用交替方向法产生的逼近子问题，因而称为二次上界逼近算法(Quadratic Upper-bound Approximation algorithm，简称QUA算法.QUA算法的伪代码:1. 给定初始点x0∈Rn,y0∈Rm,正实数选择正实数αk↘↘令k=0，2. k=k+13. xk+1∈arg min{ux(x,xk,yk,αk):x∈Rn}(3)4. yk+1∈arg min{uy(y,xk+1,yk,βk):y∈Rm}(4)回到第二步，直到满足某一终止条件.引理2.1 设(xk,yk)是由QUA算法迭代产生的序列，那么(5)且无穷级数和是可和的，从而有‖xk+1-xk‖→0和‖yk+1-yk‖→0.证明由二阶梯度的定义得‖▽2h(x,y)‖≤L, ∀x,y∈Rn函数h分别对x和y泰勒展开，可得下列不等式(6)(7)由αK>L ，βk>L 得f(xk+1)+g(yk)+h(xk+1,yk)≤ux(xk+1,xk,yk,αk)(8)f(xk+1)+g(yk+1)+h(xk+1,yk+1)≤uy(yk+1,xk+1,yk,βk)(9)因为在xk+1和yk+1取得极小，所以有ux(xk+1,xk,yk,αk)≤ux(xk,xk,yk,αk)=f(xk)+g(yk)+h(xk,yk)(10)uy(yk+1,xk+1,yk,βk)≤uy(yk,xk+1,yk,βk)=f(xk+1)+g(yk)+h(xk+1,yk) (11)▽xh(xk,yk)>-f(xk+1)▽yh(xk+1,yk)>-g(yk+1)应用不等式(6)和(7)得(12)(13)将不等式(12)和(13)相加得不等式(5).进一步，由不等式(5)得因此，无穷级数是可和的. 证毕.定理2.1 QUA算法迭代序列(xk,yk)的每个极限点(x*,y*)是问题(P)的临界点. 证明对迭代序列(xk,yk)的每个极限点(x*,y*)总是存在一个子序列，使得(xkj,ykj)→(x*,y*). 因为xkj+1∈arg min{ux(x,xkj,ykj,αkj):x∈Rn}(14)ykj+1∈arg min{uy(y,xkj+1,ykj,βkj):y∈Rm}(15)可得ux(xkj+1,xkj,ykj,αkj)≤ux(x,xkj,ykj,αkj), ∀x∈Rn(16)uy(ykj+1,xkj+1,ykj,βkj)≤uy(y,xkj+1,ykj,βkj), ∀y∈Rm(17)由引理2.1知‖xkj+1-xkj‖→0，‖ykj+1-ykj‖→0，从而(xkj+1,ykj+1)→(x*,y*).令j→∞得∀x∈Rn(18)∀y∈Rm(19)由最优性条件得-▽xh(x*,y*)∈∂f(x*)-▽yh(x*,y*)∈∂g(y*)极限点(x*,y*)是问题(P)的临界点.证毕.参考文献:【相关文献】〔1〕ATTOUCH H, BOLTE J, REDONT P, et al. 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als算法与apS
als算法与apSALS（Alternating Least Squares）算法和APS（Approximate Personalized Ranking）算法都是用来解决协同过滤推荐问题的算法，但在实现上有一些不同之处。
ALS算法是一种基于矩阵分解的协同过滤方法，主要用于解决推荐系统中的矩阵填充问题。
其基本思想是将用户-物品评分矩阵分解成两个低秩矩阵的乘积，然后通过交替更新这两个矩阵的行向量来优化模型。
具体而言，算法分为两个步骤：首先，固定用户向量，通过最小化误差函数来求解物品向量；其次，固定物品向量，通过最小化误差函数来求解用户向量。
通过不断迭代这两个步骤，最终得到的用户和物品的向量即为推荐系统的模型。
与ALS算法不同，APS算法是一种基于代价函数最小化的协同过滤算法，主要应用于推荐系统中的个性化排序。
其基本思想是将用户个性化排序问题转化为一个排序问题，并通过最小化排序代价函数来优化模型。
具体实现上，APS算法将用户-物品评分矩阵分解成两个低秩矩阵的乘积，并引入了排序代价函数。
通过迭代更新矩阵的行向量，使得排序代价函数最小化，从而优化模型。
APS算法的优点是能够更好地处理排名问题，适用于个性化排序场景。
两种算法的主要区别在于应用场景和优化目标。
ALS算法主要应用于填充用户-物品评分矩阵的问题，通过矩阵分解来优化模型。
而APS算法主要应用于个性化排序问题，将用户-物品评分矩阵转化为排序代价函数最小化的问题。
此外，ALS算法的优化目标是最小化误差函数，而APS算法的优化目标是最小化排序代价函数。
在实际应用中，选择使用ALS算法还是APS算法要根据具体场景和需求来决定。
如果需要填充用户-物品评分矩阵并进行推荐，可以选择ALS 算法；如果需要进行个性化排序，推荐系统中的物品展示顺序需要个性化定制，可以选择APS算法。
此外，还可以根据实际情况来选择不同的调参策略和性能优化方法，以提高算法的推荐效果和运行效率。
osqp算法原理
osqp算法原理OSQP(Optimal Solvers for Quadratic Programs)是一种用于解决凸二次规划问题的算法。
该算法的设计目标是快速求解具有大规模稀疏问题的凸二次规划问题。
本文将对OSQP算法的原理进行详细介绍。
1.凸二次规划问题描述：凸二次规划问题的标准形式如下：minimize: 0.5 * x^T * P * x + q^T * xsubject to: l <= A * x <= u其中，x是待求解的变量向量，P是一个对称正定矩阵，A是约束矩阵，q、l和u分别为目标向量、下界向量和上界向量。
2.算法原理：OSQP算法基于ADMM(Alternating Direction Method ofMultipliers)算法。
ADMM算法通过增加一个补偿项来求解带有约束条件的目标函数问题。
具体来说，ADMM算法将原问题转化为两个子问题的求解，然后通过交替优化这两个子问题来获得最终解。
OSQP算法的第一步是根据原问题的约束条件将其转化为一种特殊的形式。
这种转化将约束条件添加到目标函数中，并引入一组拉格朗日乘子来表示约束的满足程度。
接下来，OSQP算法使用ADMM算法将转化后的问题分解为两个子问题：主问题和对偶问题。
主问题和对偶问题的求解是通过迭代方法进行的。
主问题的求解：主问题求解的目标是在给定对偶变量的情况下最小化原问题的拉格朗日函数。
主问题可以通过求解带有固定对偶变量的二次规划子问题来实现。
该子问题的求解是通过使用一种名为增广拉格朗日函数的函数来得到的。
增广拉格朗日函数是原问题的拉格朗日函数加上松弛变量和平方惩罚项。
对偶问题的求解：对偶问题的目标是在给定主变量的情况下最大化增广拉格朗日函数。
对偶问题的求解可以通过求解一系列凸二次约束问题来实现。
这些子问题可以通过迭代使用一种名为“速度更新”的方法来求解。
迭代过程：OSQP算法通过迭代的方式求解主问题和对偶问题，直到达到收敛条件为止。
基于小波树和互补分解的CS-MRI重建算法
基于小波树和互补分解的CS-MRI重建算法PEI Ying;ZHU Jin-xiu;YANG Yu-chen;WU Wen-xia【摘要】针对压缩感知(CS)核磁共振成像(MRI)重建算法中全变分(TV)正则项会导致图像细节丢失的问题,引入互补分解模型,结合小波树结构稀疏(简称小波树),提出一种基于小波树和互补分解的CS-MRI重建算法.利用互补分解将图像分成平滑分量和残差分量两个部分,并将平滑分量用于TV正则项,残差分量用于e1范数,可避免TV正则项在滤除噪声的同时滤除过多的细节信息;利用小波树结构稀疏可进一步补充小波稀疏等先验信息,减少测量值或提高信噪比.针对目标函数中存在平滑和残差两个未知分量,将目标函数分解为相应的两个子问题交替最小化进行求解.实验结果表明,与基于小波树的WaTMRI和基于TV的TVCMRI、FCSA等重建算法相比,其能在滤除噪声的同时有效改善MRI图像的细节信息.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2018(028)012【总页数】5页(P152-156)【关键词】核磁共振成像;压缩感知;互补分解;小波树结构稀疏(小波树);目标函数;重建算法【作者】PEI Ying;ZHU Jin-xiu;YANG Yu-chen;WU Wen-xia【作者单位】;;;【正文语种】中文【中图分类】TP301.60 引言核磁共振成像(magnetic resonance imaging，MRI)是医学成像，应用广泛。
目前MRI应用的关键在于快速成像。
Nyquist采样定理需两倍带宽，不符合实际应用[1]，现常用方法是在压缩感知(compressed sensing，CS)[2-3]框架下，从欠采样k空间中重建MRI数据，能有效减少采样时间，达到快速成像的目的。
关于CS-MRI重建算法的研究有很多。
例如，Lusting等[4]利用全变分(total variation，TV)和小波构建目标函数，提出共轭梯度算法(CG)，但重建时间有待提高；FISTA算法[5]通过计算更合适的起始点以加快收敛速度；TVCMRI[6]、RecPF[7]和FCSA[8]算法利用算子分割、变量分割思想求解联合正则算子，提高重建速度和质量；文献[9]利用图像在频域的特性优化测量矩阵并提出迭代加权算法，提高了重建精度；文献[2,10]利用MR图像低秩特性进行奇异值分解，但过程过于复杂；文献[11-12]提出结构稀疏理论，图像不仅在小波域有稀疏性，其小波稀疏系数也有特定的四叉树结构，在此基础上文献[13]提出YALL1算法，利用小波树结构稀疏代替小波稀疏构建目标函数，以提高图像稀疏度；文献[14]提出WaTMRI算法，联合小波树结构稀疏和小波稀疏分别拥有的结构稀疏和稀疏性，联合改善图像质量；Park等[15]提出互补分解，将完整图像分为平滑和残差两个分量，仅将平滑分量用于TV，残差分量用于1范数，以解决全变分导致的细节过平滑问题；文献[16]利用贪婪算法提高重建速度，但需要确定图像稀疏度，缺乏实际性；文献[17]基于p范数构建重建算法，计算较为复杂。
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交替最小化算法
交替最小化算法(Alternating Minimization Algorithm)是一种迭代优化算法，用于解决最小化多元函数的问题。
与其他优化算法不同的是，交替最小化算法的每个迭代步骤只涉及到函数的一个变量，而不是所有变量。
这种分离的方式使得交替最小化算法在某些情况下比其他优化算法更加高效。
交替最小化算法通常用于解决具有一定局部结构的问题，例如线性规划、二次规划和矩阵分解等。
在这些问题中，函数通常具有一些性质，例如可分离性或块对角性，使得交替最小化算法可以通过分离变量来加速求解过程。
算法的基本思路是：给定一个多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，交替最小化算法的目标是找到函数的最小值，并返回最小值对应的变量值$x_1^{*},x_2^{*},...,x_n^{*}$。
算法的迭代步骤如下：
1. 初始化变量$x_1,x_2,...,x_n$。
2. 对于$iin{1,2,...,n}$，使用
$x_1,x_2,...,x_{i-1},x_{i+1},...,x_n$作为参数，将函数$f$关于$x_i$最小化，得到$x_i^{(t+1)}$。
3. 如果算法收敛，则返回$x_1^{*},x_2^{*},...,x_n^{*}$；否则，返回第2步。
在每一步中，我们只需要最小化$f$关于一个变量$x_i$，而将其它变量视为常数。
这样可以将原问题分解成多个较小的子问题，从而使得求解过程更加高效。
交替最小化算法的优点是在迭代过程中只需要处理一个变量，因此可以减小计算量，加快求解速度。
但是，这种算法的缺点也很明显，即可能会收敛到局部最小值，而不是全局最小值。
因此，使用交替最小化算法时需要注意选择合适的初值和迭代次数，以尽可能减小收敛到局部最小值的风险。
总之，交替最小化算法是一种简单而有效的迭代优化算法，适用于具有一定局部结构的多元函数最小化问题。
在实际应用中，可以根据问题的特点选择是否使用该算法，并注意其优缺点，以便更好地解决实际问题。