【三对角矩阵及其应用】(定稿)-20081314025-吴莉

毕业论文(设计) 题目三对角矩阵及其应用学生姓名吴莉学号20081314025院系数学与统计学院专业信息与计算科学指导教师杨兴东教授二Ｏ一二年五月八日目录O 引言 (1)1 三对角矩阵的行列式 (2)1.1 主要结论 (3)1.2 数值例子 (4)2 三对角矩阵的逆 (5)2.1 有关引理 (5)2.2 主要结论 (6)2.3 数值例子 (8)3 三对角矩阵的特征值及特征向量 (9)3.1 主要结论 (9)3.2 数值例子 (12)4 三对角矩阵的应用 (12)参考文献 (13)英文摘要 (15)致谢 (16)三对角矩阵及其应用吴莉南京信息工程大学数学与统计学院，南京210044摘 要 文章主要讨论了有关三对角矩阵的几个不同方面，首先讨论了一种特殊的三对角矩阵的行列式的计算方法，并且简要地给出了证明，接着通过几个引理和定理的证明给出了一种三对角矩阵的求逆算法，然后得到了计算一种三对角矩阵的特征值及其特征向量的公式，最后简要介绍了三对角矩阵法在粗甲醇精馏塔计算中的应用。

关键字 三对角矩阵；逆；特征值；特征向量;应用O 引言三对角矩阵在线性代数、计算数学、组合数学和应用数学上有着非常广泛的应用，在物理和工程方面也有着重要的应用，比如在数值分析中的差分方程、三次样条插值、及热传导方程的数值解等许多问题都涉及到了三对角矩阵，所以三对角矩阵的研究一直受到人们的关注。

本文主要介绍了一种特殊的三对角矩阵的行列式计算，三对角矩阵的求逆方法，三对角矩阵的特征值及其特征向量以及三对角矩阵在精馏中的应用，下文将一一给出说明。

1三对角矩阵的行列式1.1 主要结论为了便于计算，我们考虑如下的一种特殊三对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=αγβαγβαγβα n T ， 0≠βγ （1）定理1.1 设n T 为如（1）式所示的特殊三对角矩阵，则有（1）当042≠-βγαdet n T =βγαβγααβγαα42)4()4(211212-----++++n n n（2） 当042=-βγα时，det nn n n T α21+= 证明：令n n T D det =，按第一行展开便得到21---=n n n D D D βγα 设p ，q 为方程02=+-βγαx x 的两个解，即24,2422βγααβγαα--=-+=q p则（1）式可以写成)(211----=-n n n n pD D q pD D 。

我们发现 212q pD D =-， 根据递推法可得到n n n q pD D =--1， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+≠---=++++=++--04,)1(04,221111βγαβγαn n n nn n n n p n q p q p q pq q p p D对该式加以整理可以得证。

1.2 数值例子例1：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31002310023100234T ，求其行列式。

解：由定理1.1,0112432≠=⨯⨯-，所以我们得到3112)13()13(42)4()4(det 141414211212=--+=-----+=++++++βγαβγααβγααn n n n T2三对角矩阵的逆2.1 有关引理我们考虑如下形式的三对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------n n n n n b a c b a c b a c b 00000000011122211（2） （2）式中的负号仅仅是为了便于符号处理而添加的，另外,假设 A 的所有顺序主子式都非零.本文所需要引用的相关引理如下所示。

引理2.1 设 A 是一个三对角矩阵,A 的主对角线上、下的元素都是非零元素.我们不妨假设存在 C A=-1=（ij c ）,则存在以下4个列向量x =)(i x ，y=（i y ），u =（i u ），v =（i v ），并使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nnn n n v u y x y x y x v u v u y x y x v u v u v u y x v u v u v u v u C321333323123222211312111 (3) 其中所有的 i 满足i i i i y x v u =，下面我们给出三对角矩阵 A 的 LU 分解和 UL 分解.引理2.2 设A 是形如式 (2) 的三对角矩阵，则 把A 分解，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==--n n n n p c p c p c p q q q U L A 11221132~1~11111式中的 {i p }, {i q }可按以下公式计算所得 1p =1b ,i q =i a /1-i p ( i = 2,…, n) ,i p =i b -1-i c i q ( i = 2, …, n)引理 2.3 设A 是形如式 (2) 的三对角矩阵,则A 可以分解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==--111132112211~22~n n n n c c c L U A γγγαααα 式中 序列 {i α} , {i γ} 可以由以下公式计算所得 n n b =α,i γ=i a /i α( i =n, …, 2) ,i α= i b -i c 1+i γ ( i = n - 1, …, 1)根据引理 2.1 ,得到4组列向量是三对角矩阵的求逆关键.而定理 2.1解决了该问题 ,由此可以得到一个简单算法从而求得三对角矩阵的逆.2.2 主要结论定理 2.]1[1 设 A 是形如 (2) 式的三对角矩阵,则 A 是非奇异矩阵.我们同样令1-A = C =(ij c ) ,则 C 的结构形如式 (3). 列向量 u = (i u ) , v = (i v ) , x =( i x ) 和 y = (i y ) 可以表示为 (1)1,1+==i ii i n n n u p c u v p u i=(n-1, ,1) (4) (2),,11111--==i ii i v c v v αα i=(2, ,n) (5)(3),,111++==i i i n n n x q x y p x i=(n-1, ,1) (6) (4) ,,111-==i i i iy y y γα i=(2, ,n) (7)证明 根据假设 ,形如式 (2)的三对角矩阵的所有顺序主子式均非零,则A 是非奇异的.因为AC = I,根据引理2.1和引理2.2,可得到)(~1~1u v U L n =n e , 我们发现,1~n n e e L = 则n ne v u U 11~=， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------n n n n n n v u u u u p c p c p c p 1000121112211 解出该线性方程组即可以得到式(4) . 同理,令 1x = 1,根据12~2~e y L U =和1112~1e e U =⎪⎪⎭⎫⎝⎛α 解出此线性方程组，则可以得到式 (7) .现在来求向量 x = (i x ) .我们发现 (n y x)T位于C 的最后一行且有 1)(-T A = T A )(1-,所以n n T Tn Te x y L U x y U L ==)()()()()(1~1~1~1~根据 T U )(1~的特殊结构,可得到T U )(~1n e = n n e p因此得到n nn T e p y x L 1)(1~=解该线性方程组,就可以得到式 (6) .当我们令 u 1 = 1时,用同样的方法可以得到式（5）.于是,根据引理 2.1与式 (4) ～ (7) ,得到了一个简单算法用于进行三对角矩阵的求逆. 显然,此算法要求 A 的所有顺序主子式都是非零的.实际上,可以证明,如果矩阵A 符合p i ≠0或i α≠0(i=1,2,…,n)的条件 （8） 则 A 的所有顺序主子式均非零,从而有A 的 LU 、 UL 分解.所以对于满足式 (8) 的矩阵，该求逆算法都适用.分别递推定理 2.1中 4个向量序列的公式并且结合引理2.1,则A 的逆元素的表达式就很容易得出了.定理 2.]1[2 设 A 是形如 (2) 式的三对角矩阵,则A 是非奇异矩阵.令 A 1-=C=(ij c ),则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>====<==+++-+ji p p a a y x j i p p y x v u j i p p c c v u c n j i j n i i j ni n i i i i i n i j i n j j i ij ,))((,)(,)()(11111 αααααα至此，就得到了一般三对角矩阵的求逆方法。

除此以外，其余类型的三对角矩阵的逆在文献[7-10]中有详细的说明。

2.3 数值例子例1 设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=210112011A ，利用以上所示方法求其逆。

解：容易得到1,2,1,2,13221321=======a a c c b b b 。

将A 进行LU 分解，得到⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==300110011110012001~1~1U L A将A 进行UL 分解，得到⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==12100140012001210013~2~2L U A 最后，利用定理2.1，求得31,32,31312111-=-=-=v u v u v u31,32,34322221-=-=-=v u v u y x31,31,32333231=-=-=v u y x y x所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------===-313132313234313231)(1ij c C A3 三对角矩阵的特征值及其特征向量3.1 主要结论我们考虑实数域R 上的三对角矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=βγαβγαβγαβγαβ0000000000000000000000 n A （9）在文 [2-3]及前文中我们得到了三对角矩阵n A 的行列式的计算公式：∑=-==+=nk kn k nxy y x y x A 0,,)det(αγβ其中 （10）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+≠------+=+++04,)2)(1(04,42)4()4()det(22211212αγββαγβαγβαγββαγββn n n n n n A （11）∑⎥⎦⎥⎢⎣⎢=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=202)()1()det(n k kk n k n k k n A αγβ （12）根据以上的公式，我们可以得到以下有关特征值的定理定理]5[1.3 i ）三对角矩阵n A 的特征多项式是∑⎥⎦⎥⎢⎣⎢=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=202)()()1()(n k kn k kx k k n x f βαγii)三对角矩阵的特征值是n k n k k ,,2,1),1cos(2 =++=παγβλ 证明：i ）根据特征多项式的定义，应用（12）式即可得到结论。