2021-2022学年上海交通大学附属中学高一上学期期末考试数学试卷(练习版)
2022-2023学年上海交通大学附属中学高一上学期摸底数学试卷(含详解)
上海交通大学附属中学2022-2023学年度第一学期高一数学摸底试卷2022.9.20一､填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）1.已知2{1,0,}x x ∈，则实数x 的值为_______.2.若1x 和2x 分别是一元二次方程22530x x +-=的两根．则12||x x -=__．3.集合{32A xx =-<<∣且Z},{13x B x x ∈=-≤≤∣且Z}x ∈，则A B = ___________.4.反比例函数ky x =的图像经过点()()()11223,1,,A B x y C x y -､､.若120x x <<，则1y 与2y 的大小关系是1y ___________2y （填“>”、“=”或“<”）5.若关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是___________.6.若抛物线26y ax x c =-+的开口方向向下，交y 轴于正半轴，则拋物线的顶点位于第___________象限.7.集合6,Z,Z 2y y x y x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭∣中的元素个数为___________个.8.已知二次函数[]224,0,y x x x m =-+∈的最小值是3，最大值是4，则实数m 的取值范围是___________.9.如图，在一单位长度为1的方格纸上，依如图所示的规律，设定点1234,,,A A A A ，567,,,n A A A A ，连接点12,,O A A 组成三角形，记为1 ，连接23,,O A A 组成三角形，记为2, ，连接,,1n n O A A +组成三角形，记为n （n 为正整数），则当10n =时，n 的面积为___________平方单位.10.如图①，在边长2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点P 是对角线AC .上一动点.设PC 的长度为,x PE 与PB 的长度和为y ，图②是y 关于x 的函数图象，则图象上最低点H 的坐标为___________.11.设集合{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3A B ==，若C A ⊆且B C ≠∅ ，则满足条件的集合C 的个数是___________.12.数据库中有1111,,,,232022 共2022个数，爱好编程的小王同学编了一个程序，该程序每次从数据库中任选取2个数a 和b ，然后代入算式a b ab ++并将结果写入数据库，同时将取出的2个数a 和b 从数据库里移除，当数据库中只剩下一个数的时候，剩下的那个数是___________.二､选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）13.方程组2540x y x y +=⎧⎨--=⎩的解集是（）A.(){}3,1- B.{}3,1-C.{}3,1x y ==- D.{}1,3x y =-=14.已知全集为U ，非空集合,A B 满足A B ⊆.下列各式中，错误的是（）A.A B U ⋃=B.A B ⋂=∅C.A B B⋃= D.A B B⋂=15.集合{23,mnxx m n =+∣､是正整数，}30x ≤中的元素个数为（）A.6B.7C.8D.916.若集合C A B = 且A B =∅ ，则称,A B 构成C 的一个二次划分.任意给定一个正整数2n ≥，可以给出整数集Z 的一个n 次划分[[0],1],,[1]n n n n - ，其中()[]01n i i n ≤≤-表示除以n 余数为i 的所有整数构成的集合.这样我们得到集合[[{}/0],1],,[1]nnnZ nZ n =- ，称作模n 的剩余类集.模n 的剩余类集可定义加减乘三种运算，如[2][1][2(1)][1],[0][2][0(2)][2],[][][][]n n n n n n n n n n n n n n n n k l k l j +-=+-=--=--=⨯=⨯=，（其中j 为k l ⨯除以n 的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过[1]n 定义倒数就可以了，但不是所有/Z nZ 中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（）A./Z nZ 能构成素域当且仅当n 是素数B.[][]55534[2]÷=C./2Z Z 是最小的素域（元素个数最少）D.[][]77726[3]÷=三､解答题（本大题满分76分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤17.设集合{}(){}22220,|41410A xx x B x x a x a =+==+++-=∣.（1）若A B B ⋃=，求a 的值；（2）若A B B = ，求a 的取值范围.18.某校拟建一个面积为100平方米的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使周长最小的建造方案，下是其中一个小组的探究过程，请补充完整.填表画图xL 46101316202530L yL58a405381389250582003L（1）列式：设矩形的一边长是x 米，若周长为y 米，则y 与x 之间的函数关系式为___________.（2）①填表：其中=a ___________.②描点连线，请在图中画出该函数的图象.（3）请求出周长y 的最小值.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(),3a （其中4a >），射线OA 与函数12y x=的图像交于点P ，点B C ､均在函数12y x=的图像上，且AB x ∥轴，AC y 轴.（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；（2）连接BO ，当AB BO =时，求点A 坐标；（3）连接BP CP ､，猜想：ABP ACP S S 的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABPACPS S 的值；如果变化，请说明理由.20.已知集合()(){2},{310}A x k x k B x x m x m =<<=--+<∣∣，其中R k m ∈､.（1）若2A ∈，求k 的取值范围；（2）若3,k A B =⋂≠∅，求m 的取值范围；（3）设集合Z C A = ，若C 中元素个数恰为3个，求k 的取值范围.21.如图1，拋物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A B -､两点，与y 轴交于点()0,3C .直线34y x m =-+经过点C ，与抛物线另一个交点为D ，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交直线CD 于点E .（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线CD 上方，且CPE △是以CE 为腰的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）如图2，连接BP ，以点P 为直角顶点，线段BP 为较长直角边，构造两直角边比为1:2的Rt BPG ，是否存在点P ，使点G 恰好落在直线y x 上？若存在，请直接写出相应点P 的横坐标（写出两个即可）；若不存在，请说明理由.上海交通大学附属中学2022-2023学年度第一学期高一数学摸底试卷2022.9.20一､填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）1.已知2{1,0,}x x ∈，则实数x 的值为_______.【答案】1-【解析】【分析】根据集合元素与集合的关系确定x 的值，注意集合元素的互异性.【详解】21,,{}0x x ∈ ，2221,0,x x x x ∴===，解得1x =±或0x =当1x =时，集合为{1,0,1}不成立；当1x =-时，集合为{1,0,1}-满足条件；当0x =时，集合为{1,0,0}不成立.综上所述，1x =-.故答案为：1-【点睛】本题考查根据集合元素与集合的关系确定参数，解题时注意对元素的互异性进行验证，属于基础题.2.若1x 和2x 分别是一元二次方程22530x x +-=的两根．则12||x x -=__．【答案】72【解析】【分析】利用韦达定理与12||x x -=.【详解】因为1x 和2x 分别是一元二次方程22530x x +-=的两根,故121253,22x x x x +=-=-,所以127||2x x -=故答案为72【点睛】本题主要考查韦达定理的运用,属于基础题型.3.集合{32A xx =-<<∣且Z},{13x B x x ∈=-≤≤∣且Z}x ∈，则A B = ___________.【答案】{}1,0,1-【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3A B =--=-，所以{}1,0,1A B =- .故答案为：{}1,0,1-4.反比例函数ky x=的图像经过点()()()11223,1,,A B x y C x y -､､.若120x x <<，则1y 与2y 的大小关系是1y ___________2y （填“>”、“=”或“<”）【答案】<【解析】【分析】先求得k ，然后根据函数的单调性求得正确答案.【详解】由于反比例函数ky x=的图像经过点()3,1A -，所以31,3,3k k y x ==-=--，函数3y x=-在(),0∞-上单调递增，120x x <<，所以12y y <.故答案为：<5.若关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是___________.【答案】()9,00,8⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系列不等式组即可解得.【详解】关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有两个不相等的实数根，则0Δ980m m ≠⎧⎨=->⎩，解得()9,00,8m ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭.故答案为：()9,00,8⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.6.若抛物线26y ax x c =-+的开口方向向下，交y 轴于正半轴，则拋物线的顶点位于第___________象限.【答案】二【解析】【分析】根据顶点坐标公式确定正确答案.【详解】抛物线26y ax x c =-+的开口方向向下，交y 轴于正半轴，所以0,0a c <>.抛物线2y ax bx c =++的定点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.其中26340,0224b ac b a a a a---=-=<>，所以拋物线26y ax x c =-+的顶点位于第二象限.故答案为：二7.集合6,Z,Z 2yy x y x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭∣中的元素个数为___________个.【答案】8【解析】【分析】根据元素,x y 为整数求得正确答案.【详解】由于6Z,Z 2x y x ∈=∈+，所以{}26,3,2,1,1,2,3,6x +∈----，则{}6,Z,Z 1,2,3,6,6,3,2,12yy x y x ⎧⎫=∈∈=----⎨⎬+⎩⎭∣，共8个元素.故答案为：88.已知二次函数[]224,0,y x x x m =-+∈的最小值是3，最大值是4，则实数m 的取值范围是___________.【答案】[]1,2【解析】【分析】结合二次函数()2240y x x x =-+≥的图象求得正确答案.【详解】二次函数()2224133y x x x =-+=-+≥，由2244x x -+=解得0x =或2x =，画出二次函数()2240y x x x =-+≥的图象如下图所示，由图可知，m 的取值范围是[]1,2.故答案为：[]1,29.如图，在一单位长度为1的方格纸上，依如图所示的规律，设定点1234,,,A A A A ，567,,,n A A A A ，连接点12,,O A A 组成三角形，记为1 ，连接23,,O A A 组成三角形，记为2, ，连接,,1n n O A A +组成三角形，记为n （n 为正整数），则当10n =时，n 的面积为___________平方单位.【答案】55【解析】【分析】找到n 面积的规律，从而求得10 的面积.【详解】根据图象可知：12311112,23,34222S S S =⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯ ，……依此类推，所以1011011552S =⨯⨯= .故答案为：5510.如图①，在边长2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点P 是对角线AC .上一动点.设PC 的长度为,x PE 与PB 的长度和为y ，图②是y 关于x 的函数图象，则图象上最低点H 的坐标为___________.【答案】3⎛ ⎝##【解析】【分析】F 为AD 中点，连接F 、BF 交AC 于G ，则可得PE PB PB PF FB +=+≥，故当P 与G 重合时，y 最小，根据几何性质求得对应的x 、y 即可.【详解】F 为AD 中点，连接F 、BF 交AC 于G ，由正方形对称性易得，PE PF =，故PE PB PB PF FB +=+≥，故当P 与G 重合时，y =.又AF BC ∥，∴12AG AF GC BC ==，∴24233GC AC ==，故答案为：423⎛ ⎝.11.设集合{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3A B ==，若C A ⊆且B C ≠∅ ，则满足条件的集合C 的个数是___________.【答案】224【解析】【分析】利用结论：若集合A 含有n 个元素，则集合A 子集数为2n 个，非空子集数为21n -个，即可求解.【详解】因为B C ≠∅ ，所以C ≠∅.因为{}1,2,3,4,5,6,7,8A =,C A ⊆,C ≠∅,所以符合此条件的集合C 有821255-=(个).因为A 中含有且B 中不含有的元素为4,5,6,7,8,而集合{}4,5,6,7,8的非空子集有52131-=(个)，所以满足C A ⊆且B C ≠∅ 的集合C 的个数为255-31=224，故答案为:224.12.数据库中有1111,,,,232022共2022个数，爱好编程的小王同学编了一个程序，该程序每次从数据库中任选取2个数a 和b ，然后代入算式a b ab ++并将结果写入数据库，同时将取出的2个数a 和b 从数据库里移除，当数据库中只剩下一个数的时候，剩下的那个数是___________.【答案】2022【解析】【分析】根据()()111a b ab a b +++=++，对“最后一个数加1”进行因式分解，从而求得最后剩下的数.【详解】()()111a b ab a b +++=++，设最后剩下的一个数是x ，则()111111111232022x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⨯+⨯+⨯⨯+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭34202322023232022=⨯⨯⨯⨯= ，所以202312022x =-=故答案为：2022二､选择题（本大题满分20分，共有4题，每题5分）13.方程组2540x y x y +=⎧⎨--=⎩的解集是（）A.(){}3,1- B.{}3,1-C.{}3,1x y ==- D.{}1,3x y =-=【答案】A 【解析】【分析】结合二元一次方程组的解法以及集合的知识求得正确答案.【详解】由2540x y x y +=⎧⎨--=⎩两式相加得39,3x x ==，则5231y =-⨯=-，所以方程组2540x y x y +=⎧⎨--=⎩的解集是(){}3,1-.故选：A14.已知全集为U ，非空集合,A B 满足A B ⊆.下列各式中，错误的是（）A.A B U ⋃=B.A B ⋂=∅C.A B B ⋃=D.A B B⋂=【答案】C 【解析】【分析】根据非空集合、子集的知识求得正确答案.【详解】依题意，全集为U ，非空集合,A B 满足A B ⊆，所以A B U ⋃=、A B ⋂=∅、A B A ⋃=、A B B ⋂=，所以ABD 选项正确，C 选项错误故选：C15.集合{23,mnxx m n =+∣､是正整数，}30x ≤中的元素个数为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】利用列举法求得正确答案.【详解】依题意,m n 是正整数，30x ≤，111,1,23530m n x ===+=<；121,2,231130m n x ===+=<；131,3,232930m n x ===+=<；141,4,238330m n x ===+=>（不符合）；212,1,23730m n x ===+=<；222,2,231330m n x ===+=<；232,3,233130m n x ===+=>（不符合）；313,1,231130m n x ===+=<；323,2,231730m n x ===+=<；333,3,233530m n x ===+=>（不符合）；414,1,231930m n x ===+=<；424,2,232530m n x ===+=<；434,3,234330m n x ===+=>（不符合）；515,1,233530m n x ===+=>（不符合）.,m n 取其它正整数值时，均不符合题意，所以集合的元素有9个.故选：D16.若集合C A B = 且A B =∅ ，则称,A B 构成C 的一个二次划分.任意给定一个正整数2n ≥，可以给出整数集Z 的一个n 次划分[[0],1],,[1]n n n n - ，其中()[]01n i i n ≤≤-表示除以n 余数为i 的所有整数构成的集合.这样我们得到集合[[{}/0],1],,[1]nnnZ nZ n =- ，称作模n 的剩余类集.模n 的剩余类集可定义加减乘三种运算，如[2][1][2(1)][1],[0][2][0(2)][2],[][][][]n n n n n n n n n n n n n n n n k l k l j +-=+-=--=--=⨯=⨯=，（其中j 为k l ⨯除以n 的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过[1]n 定义倒数就可以了，但不是所有/Z nZ 中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（）A./Z nZ 能构成素域当且仅当n 是素数B.[][]55534[2]÷=C./2Z Z 是最小的素域（元素个数最少）D.[][]77726[3]÷=【答案】D 【解析】【分析】先证明出A 选项正确，从而说明C 选项正确，BD 选项根据定义求解即可.【详解】/Z nZ 能构成素域当且仅当n 是素数，理由如下：当n 为素数时，除0外，1,2,3,,1n - 均与n 互素，此数记作x ，根据辗转相除法可得，存在[][][][]{}1,2,3,,1n n n n y n ∈- ，使得：[][][][]1n n n n x y xy ⨯==，即可定义除法，/Z nZ 能构成素域；当n 不是素数时，对于[][][][]{}1,2,3,,1n n n n m n ∈- ，则存在[][][][]{}1,2,3,,1n n n n q n ∈- 使得mq kn =，即[]0n mq =，故不能定义除法，此时/Z nZ 不能构成素域，综上：/Z nZ 能构成素域当且仅当n 是素数，A 正确；因为[][][]555544[16]1==⨯，所以[][][][][][]5555553434122=⨯==÷，B 正确；根据A 选项，由于2为最小的素数，[][]{}22/20,1Z Z =有2个元素，元素个数最少，所以/2Z Z 是最小的素域（元素个数最少），C 正确；因为[][][]777766[36]1==⨯，所以[][][][][][]7777772626125=⨯==÷，D 错误；故选：D.【点睛】集合新定义，需要先读懂题干信息，正确理解，再此基础上举一反三，进行求解，本题中A 选项的证明是解题的关键.三､解答题（本大题满分76分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤17.设集合{}(){}22220,|41410A xx x B x x a x a =+==+++-=∣.（1）若A B B ⋃=，求a 的值；（2）若A B B = ，求a 的取值范围.【答案】（1）12a =-（2）51,82⎛⎫⎧⎫-∞-⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【解析】【分析】（1）结合A B B ⋃=以及根与系数关系来求得a 的值；（2）根据A B B = ，结合判别式进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.【小问1详解】()2220x x x x +=+=，解得10x =或22x =-，所以{}0,2A =-.对于一元二次方程()2241410x a x a +++-=，至多有2个不相等的实数根，由于A B B ⋃=，故{}0,2B A ==-，由根与系数关系得()2204120410a a ⎧-+=-+⎨-⨯=-=⎩，解得12a =-【小问2详解】对于一元二次方程()2241410x a x a +++-=，()()221614413220a a a ∆=+--=+，当∆<0，即58a <-时，B =∅，满足A B B = .当0∆=，即58a =-时，()2222393414102164x a x a x x x ⎛⎫+++-=++=+= ⎪⎝⎭，解得34x =-，则34B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，A B B ≠I ，不符合题意.当0∆>，即58a >-时，一元二次方程()2241410x a x a +++-=有两个不相等的实数根，由于A B B = ，所以{}0,2B A ==-，由（1）得12a =-.综上所述，a 的取值范围是51,82⎛⎫⎧⎫-∞-⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.18.某校拟建一个面积为100平方米的矩形健身区，张老师请同学们小组合作设计出使周长最小的建造方案，下是其中一个小组的探究过程，请补充完整.填表画图xL 46101316202530L yL58a405381389250582003L（1）列式：设矩形的一边长是x 米，若周长为y 米，则y 与x 之间的函数关系式为___________.（2）①填表：其中=a ___________.②描点连线，请在图中画出该函数的图象.（3）请求出周长y 的最小值.【答案】（1）()20020y x x x=+>（2）①1363；②图象详见解析（3）40米【解析】【分析】（1）根据矩形面积求得另一边长，从而求得y 与x 之间的函数关系式.（2）由（1）求得a 的值并画出图象.（3）配方求得y 的最小值.【小问1详解】矩形的一条边长为x ，另一边长为100x，则周长()100200220y x x x x x⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭【小问2详解】①，由（1）得2001362663a =⨯+=.②，x51015202530y5040130350582003由此画出函数()20020y x x x=+>的图象如下图所示：【小问3详解】220022(4040y x x x x =+=-+≥（米）当且仅当0,10x x x==米时等号成立.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(),3a （其中4a >），射线OA 与函数12y x=的图像交于点P ，点B C ､均在函数12y x=的图像上，且AB x ∥轴，AC y 轴.（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；（2）连接BO ，当AB BO =时，求点A 坐标；（3）连接BP CP ､，猜想：ABP ACP S S 的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABPACPS S 的值；如果变化，请说明理由.【答案】（1）13y x =（2）()9,3A （3）1【解析】【分析】（1）根据自变量的值，可得函数值，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数值，可得自变量的值，根据勾股定理，可得OB 长，根据AB OB =，可得点A 坐标；（3）联立函数解析式，可得方程组，根据解方程组，可得点P 坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得点B 和点C 坐标，根据三角形面积公式，可得答案．【小问1详解】因为P 在直线12y x =的图像上，当6x =时，2y =，∴()6,2P ，设直线AO 的解析式为y kx =，代入()6,2P 得13k =，∴直线AO 的解析式为13y x =；【小问2详解】由//AB x 轴，得点B 横坐标是4，当3y =时，4x =，∴()4,3B ，22345OB =+=，∵AB OB =，∴54a =-，得9a =，∴()9,3A 【小问3详解】直线AO 的解析式为3y x a =，联立12y x =，得312y x ay x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2x a a y a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴6Pa⎛⎝⎭，如图，作PM AB⊥，PN AC⊥，当x a=时，12ya=，即12,C aa⎛⎫⎪⎝⎭，当3y=时，4x=，即()4,3B，123ACa=-，PN a=-4AB a=-，3PMa=-，∴()1432ABPS aa⎛=--⎝⎭，(11232ACPS aa⎛⎫=--⎪⎝⎭，∴243121ABPACPaS aS--=．所以ABPACPSS的值不会随a的变化而变化，1ABPACPSS=.【点睛】本题考查反比例函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，根据三角形面积求点坐标的方法，以及利用点坐标表示三角形面积的方法，需要熟练掌握数形结合的思想．20.已知集合()(){2},{310}A x k x kB x x m x m=<<=--+<∣∣，其中Rk m∈､.（1）若2A∈，求k的取值范围；（2）若3,k A B=⋂≠∅，求m的取值范围；（3）设集合ZC A= ，若C中元素个数恰为3个，求k的取值范围.【答案】（1）12k <<（2）463m <<（3）()(]{}2.5,33,3.54⋃⋃【解析】【分析】（1）由22k k <<求得k 的取值范围.（2）对m 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法以及A B ⋂≠∅求得m 的取值范围.（3）先求得k 的大致取值范围，然后对k 进行分类讨论，结合“C 中元素个数恰为3个”求得k 的取值范围.【小问1详解】由于2A ∈，所以22k k <<，即21222k k k <⎧⇒<<⎨>⎩.【小问2详解】当3k =时，{}|36A x x =<<，对于一元二次不等式()()310x m x m --+<，由31m m =-得12m =，所以当12m =时，()()213102x m x m x ⎛⎫--+=-< ⎪⎝⎭，无解，,B A B =∅⋂=∅，不符合题意.当12m <时，31m m >-，由()()310x m x m --+<解得31m x m -<<，即{}|31B x m x m =-<<，此时A B =∅ ，不符合题意.当12m >时，31m m <-，由()()310x m x m --+<解得31m x m <<-，即{}|31B x m x m =<<-，由于A B ⋂≠∅，所以331m m <<-或631m m <<-，解得463m <<.【小问3详解】依题意：{}|2A x k x k =<<，集合Z C A = ，且C 中元素个数恰为3个，所以224k k <-≤，即24k <≤.①当4k =时，{}|48A x x =<<，{}Z 5,6,7C A == ，C 中元素个数恰为3个，符合题意.②当3k =时，{}|36A x x =<<，{}Z 4,5C A == ，C 中元素个数恰为2个，不符合题意.③当34k <<时，628k <<，要使C 中元素个数恰为3个，则需627k <≤，即3 3.5k <≤.④当23k <<时，426k <<，要使C 中元素个数恰为3个，则需526k <<，即2.53k <<.综上所述，k 的取值范围是()(]{}2.5,33,3.54⋃⋃.21.如图1，拋物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A B -､两点，与y 轴交于点()0,3C .直线34y x m =-+经过点C ，与抛物线另一个交点为D ，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交直线CD 于点E .（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线CD 上方，且CPE △是以CE 为腰的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）如图2，连接BP ，以点P 为直角顶点，线段BP 为较长直角边，构造两直角边比为1:2的Rt BPG ，是否存在点P ，使点G 恰好落在直线y x =上？若存在，请直接写出相应点P 的横坐标（写出两个即可）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2y x 2x 3=-++（2）P 的坐标是563,416⎛⎫ ⎪⎝⎭或315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点P 的横坐标为3-或2或5976、5976【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）当△CPE 是以CE 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当CE =CP 时，过C 作CG ⊥PF 于G ，根据OC =FG 列方程解出即可；②当CE =PE 时，先表示CE 、EG 、CG 的长，利用勾股定理得：CG 2+EG 2=CE 2，列方程解出即可；（3）作辅助线，构建两个相似三角形，证明△PHG ∽△BNP ，则PN BN PB GH PH PG==，由两直角边比为1：2列方程组解出横坐标m ．【小问1详解】将(1,0),(0,3)A C -代入2y x bx c =-++得0=13b c c --+⎧⎨=⎩,解得：=2=3b c ⎧⎨⎩所以抛物线的解析式是2y x 2x 3=-++；【小问2详解】把()0,3C 代入直线34y x m =-+得：3m =，∴直线的解析式为：334y x =-+，设()23,23,34P m m m E m m ⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭、，①当CE CP =时，如上图，在图1中做辅助线，过C 作CG PF ⊥于G ，∴()2231123344PE m m x m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，∵,CG PF PC CE =⊥，∴PG EG =，∴2141128m m EG PE -+==，∵OC FG EF EG ==+，∴234113348m m m -+-++=，解得：1250,4m m ==，当54m =时，22556323234416y m m ⎛⎫=-++=-+⨯+= ⎪⎝⎭，∴563,416P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，②当CE PE =时，在Rt CEG △中，33,3344CG m EG FG EF m m ⎛⎫==-=--+= ⎪⎝⎭，2114CE PE m m ==-+，由勾股定理得：222CG EG CE +=，222211344m m m m ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：14m =（舍），232m =，当32m =时，931523424y =-+⨯+=，∴315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上所述，当CPE △是以CE 为腰的等腰三角形时，点P 的坐标是563,416⎛⎫⎪⎝⎭或315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问3详解】设2(,23)P m m m -++，(,)G a a ，如图3，过B 作BN ∥y 轴，过P 作PH ∥x 轴，交于N ，过G 作GH ⊥PN ，垂足为H ，则∠PHG=∠BNP=90°，∴∠NBP+∠BPN=90°，∵∠BPG=90°，∴∠BPN+∠NPG=90°，∴∠NBP=∠NPG ，∴△PHG ∽△BNP ，∴PN BN PB GH PH PG ==，∵2PB PG =，∴2PN BN GH PH==，∴22323223m m m a m m a m--++==+---则222246=3-2322a m m m m m a m⎧+--⎨-++=-⎩，解得：123,2m m =-=；如图4，过P 作NH ∥x 轴，过G 作GN ⊥NH ，过B 作BH ⊥NH ，垂足分别为N 、H ，同理得：△PNG ∽△BHP ，∴1,2PN NG PG BH PH PB ===，222312332a m a m m m m m -+--++==-++-∴22222322463a m m m a m m m⎧-+=-++⎨--++=-⎩解得：56m =综上所述，相应点P 的横坐标为3-或2或5976、5976.【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了利用待定系数法求解析式；还考查了二次函数的性质、相似三角形的性质和判定，注意根据解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，利用等量关系列方程或方程组求解．。
2021-2022年高一数学上学期期末模拟测试试题
2021-2022年高一数学上学期期末模拟测试试题注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围：必修1、必修2。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集，集合，，则 A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，在区间上是增函数的是 A ． B ． C ．D ．3．圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4480C x y x y +-+-=的位置关系是 A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．相离 4．设的一个顶点是，，的平分线方程分别是，，则直线的方程是A． B．C． D．5．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则的大小关系为A． B．C． D．6．已知是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则共面 D．若共点，则共面7．若函数在区间上单调，则实数的取值范围为A． B．C． D．8．已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为A．B．C． D．9．若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是A． B．C． D．10．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．11．若正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积比为：2，则其侧面与底面的夹角为A ．B ．C ．D ．12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；②函数有2个零点；③的解集为.其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3第II 卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若点关于y 轴的对称点为，关于坐标平面的对称点为，则 ． 14．函数232()(01)xx f x a a -++=<<的单调递增区间是_______.15．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为___________. 16．对于实数和，定义运算，则式子的值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知集合222{|190}{|560}A x x ax a B x x x =-+-==-+=，，. （1）若，求的值；（2）若，，求的值. 18．（本小题满分12分）已知圆，直线.（1）判断直线与圆C 的位置关系；（2）若定点分弦AB 为，求此时直线的方程. 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，45,1,ADC AD AC O ∠===为的中点，平面，为的中点. （1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.20．（本小题满分12分）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重.市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后，预测某一天的空气污染指数与时刻(时)的函数关系为25()|log (1)|21,[0,24]f x x a a x =+-++∈，其中为空气治理调节参数，且. （1）若，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？21．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，分别是棱的中点．（1）设是棱的中点，证明：直线平面；（2）证明：平面平面；（3）求点D到平面的距离．22．（本小题满分12分）已知函数，，．（1）求的解析式，并判断的奇偶性；（2）用定义证明：函数在上是减函数；（3）求函数的值域．xx 上学期期末考试 模拟卷（3）高一数学·参考答案13． 14． 15． 16．9 17．（本小题满分10分）【解析】由已知，得.（2分） （1），∴是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系，知，解得.（4分） （2）由，可知，又，则，（6分） 由，得，解得.（8分）当时，}3,2{}065|{2==+-=x x x A ，与矛盾； 当时，2{|2150}{3,5}A x x x =+-==-，符合题意. 综上可知，.（10分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）直线，即，易知直线过定点.（2分） 因为，所以点在圆内，故直线与圆C 相交.（5分） （2）设，由得，化简得 ①.（7分）由消去，得2222(1)250m x m x m +-+-= （*）， 则 ②.（10分）由①②解得，代入（*），解得.（11分） 故所求直线的方程为或.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）,45,90AD AC ACD ADC DAC =∴∠=∠=∴∠=，（2分）∵平面，（4分） 又平面.（6分）（2）如图，连接，取的中点，连接.∵分别为的中点，∴，又平面平面为所求的直线与平面所成的角.（10分）15145,1,tan 2425AN DO MN PO MAN ====∴∠=. 故直线与平面所成角的正切值为.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）当时，251()|log (1)|222f x x =+-+≥.（2分）当时，，得，即.所以一天中凌晨点时，该市的空气污染指数最低.（5分） （2）设，则当时，.（6分）设()21,[0,1]g t t a a t =-++∈，则31,0()1,1t a t ag t t a a t -++≤≤⎧=⎨++≤≤⎩，（8分）显然在上是减函数，在上是增函数，则{}max ()max (0),(1)f x g g =.易得，令，得，所以max12,02()131,12a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩.（10分） 当时，，符合要求；当时，由，得.故要使该市每天的空气污染指数不超过，调节参数应控制在内.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）∵，，，∴，，则四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面，则平面.（ 2分）在直四棱柱中，，又平面，平面，则平面. 又，平面，∴平面平面. ∵平面，∴平面.（4分） （2）如图，连接.∵，∴平行四边形是菱形，∴. 易知，∴.（5分）在直四棱柱中，平面，平面，则. 又，∴平面.（7分）又平面，∴平面平面.（8分） （3）易知，（9分）设点D 到平面的距离为，则111133AD C ADC S d S DD ⋅=⋅△△，易得，，，（11分）故，即点D 到平面的距离为.（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）由，得，故，则.（2分）又1221()()1221x x x x g x g x -----===-++()，故是奇函数. （4分） （2）设，且，则1212121212()()1212x x x x g x g x ---=-++，（6分） ，，又，，∴，即，∴函数在上是减函数.（8分） （3）由题意得，.（9分） ，，，，.（11分）故函数的值域为. （12分）029120 71C0 燀cZ31353 7A79 穹21252 5304 匄20806 5146 兆422423 5797 垗25102 620E 戎:34394 865A 虚 R。
2021-2022年上海市虹口区高一数学上学期期末试卷及答案
2021-2022年上海市虹口区高一数学上学期期末试卷及答案一．填空题1. 已知集合，，则______．{}1,0,1A =-{}220B x x x =-=A B ⋃=【答案】{1,0,1,2}-2. 不等式的解集为______． 20221x ≤【答案】(,0]-∞3. 已知a 、b 是方程的两个根，则______． 23410x x -+=11a b+=【答案】44. 已知，则的最大值为______． 04x <<()4x x -【答案】45. 设：；：．若是的充分条件，则实数m α()124R m x m m +≤≤+∈β13x ≤≤βα的取值范围为______． 【答案】 102m -≤≤6. 已知，则________. 236a b ==11a b+=【答案】17. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部2m 分），则其一边长x （单位m ）的取值范围是___________.【答案】[10，30]8. 若存在实数x 满足，则实数a 的最小值为______． 2125x x a a ++-≤-++【答案】1-9. 不等式的解集为______． 136x x ++-≤【答案】 []2,4-10. 若函数的反函数为，则关于x 的不等式的()()10f x x x x=->()1y f x -=()13f x -≤解集为______． 【答案】8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11. 已知函数（且）在的最大值与最小值之差等于，则实数的x y a =0a >1a ≠[]1,22aa 值为______． 【答案】或 321212. 若函数有2个零点，则实数a 的取值范围是______．()2,1,x x x x a f x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩【答案】(](]2,01,2- 13. 在实数运算中定义新运算“”：，则函数的零⊕2,,a a b a b b a b≥⎧⊕=⎨<⎩()()232y x x =-⊕点个数为______． 【答案】 2二．选择题14. 设a 、b 都是实数，则“且”是“且”的（ ）条件 1a >2b >3a b +>2ab >A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要【答案】A15. 函数的图象关于（ ）对称()22x xy x -=-A. x 轴B. y 轴C. 原点D. 直线y x =【答案】B16. 函数的零点所在的区间为（ ） 12xy x=-A. B.C.D.()1,0-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2【答案】C17. 已知a 、，有以下3个命题：①若，则；②若，则b ∈R 01a b <<<a b a b <01a b <<<；③若，则．其中真命题的个数是（ ）log log a b b a <1a b >>b a a b <A. 3个 B. 2个C. 1个D. 0个【答案】C18. 设关于x 的一元二次不等式与的解集分别为20ax bx c ++≤20dx ex f ++≤与，则不等式的解集为（ ）(][),23,-∞⋃+∞∅()()220ax bx c dx ex f ++++≥A. B.C.D.()2,3[]2,3R ∅【答案】B19. 已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩x [()]0f f x =则实数的取值范围是（ ） a A. B. (,0)(0,1)-∞ (,0)(1,)-∞⋃+∞C. D.(,0)-∞(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B20. 已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a 的取()131log ,311,33xx x f x a x ⎧>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩()f x R 值范围是（ ） A.B.)∞+()0,∞+C.D.))∞+【答案】D三．解答题21. 设全集为，已知，．R 301x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭{}223B x a x a =-<<+（1）若，求；1a =A B ⋂（2）若，求实数a 的取值范围． A B ⋃=R 【答案】（1）； {|13}x x <≤（2）.3a >22. 设函数，且；()y f x =()2,1,11x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪-⎩（1）作出函数的大致图像，并指出它的单调区间； ()y f x =（2）当实数a 变化时，讨论关于x 的方程的解的个数．()f x a =【答案】（1）函数的图像见解析，递减区间为，，递增区间是()y f x =(,0)-∞(1,2)，；(0,1)(2,)+∞（2）关于x 的方程的解的个数见解析.()f x a =23. 设函数，且．()y f x =()211f x x =--（1）作出函数的大致图像，并指出它的单调区间； ()y f x =（2）当实数a 变化时，讨论关于x 的方程的解的个数．()f x a =【答案】（1）函数的图像见解析，递减区间为，，递增区间是()y f x =(,1)-∞-(0,1)，；(1,0)-(1,)+∞（2）关于x 的方程的解的个数见解析.()f x a =24. 某小微公司每年燃料费约20万元．为了“环评”达标，需要安装一块面积为()0x x ≥（单位：平方米）可用10年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互2x补工作，从此，公司每年的燃料费为（，k 为常数）万元．记y 为该公司101040kx +0x ≥年的燃料费与安装太阳能板的费用之和．（1）求k 的值，并写出函数的表达式；()y f x =（2）求y 的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积x ． 【答案】（1），()； 800k =80042xy x =++0x ≥（2）38万元，安装的太阳能板的面积为36平方米.25. 已知函数，．()()()22log 1log 1f x x x =--+()1421xx g x m m +=+-+（1）判断函数的奇偶性与单调性，并说明理由； ()y f x =（2）若对满足的实数p 、q ，都有，求实数m 的取值范()()0f p f q +=()()0g p g q +≥围．【答案】（1）奇函数，减函数，理由见解析 （2） 2512m ≥-26. 已知函数，．()()()22log 1log 1f x x x =--+()1421xx g x m m +=+-+（1）判断函数的奇偶性与单调性，并说明理由；()y f x =（2）若对任意都成立，求实数m 的取值范围． ()0g x ≥[)0,x ∈+∞【答案】（1）奇函数，减函数，理由见解析（2） m ≥27. 已知函数． ()221x f x x-=（1）求函数的值域；()y f x =（2）若不等式在时恒成立，求实数k 的最大值；()231x f x x kx +≥+[]1,2x ∈（3）设（，，），若函数的值域()()1g x t f x =⋅+11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0m n >>0t >()y g x =为，求实数t 的取值范围． []23,23m n --【答案】（1） (,1)-∞（2）2-（3）(0,1)28. 若函数满足，则称函数为“倒函数”． ()y f x =()()1f x f x ⋅-=()y f x =（1）判断函数和是否为倒函数，并说明理由； ()11x f x x+-=()13x g x +=（2）若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求()()()q x x p x ϕ⎡⎤=⎣⎦()p x ()p x ()q x 证：是倒函数； ()x ϕ（3）若为倒函数，求实数m 、n 的值；判定函数的()()0h x nx n =>()y h x =单调性，并说明理由．【答案】（1）函数和都不是“倒函数”；()f x ()g x （2）因函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于数0对称， ()p x ()q x 依题意，的定义域是函数与定义域的交集，也必关于数0对称， ()x ϕ()p x ()q x 因此，， ()()()()()()()()()()()01q x q x q x q x x x p x p x p x p x p x ϕϕ--⎡⎤⎡=⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-=⋅-⋅⎣⎦⎣⎦⎣=⎣⎦⎣⎦=⎦所以是倒函数.()x ϕ（3）显然，函数的定义域关于数0对称，又是倒函数，()h x ()h x于是得，则，()()22))(1)1h x h x nx nx n x m ⋅-=+⋅-=-+=2101n m ⎧-=⎨=⎩又，解得，0n >1,1m n ==所以实数m 、n 的值分别为； 1,1m n ==函数是R 上的增函数，()h x x =，，12,R x x ∀∈12x x <则()()121212))h x h x x x x x -=-+=+-，12(1)x x =-+，，1212||||x x x x +>+=+≥--1>-而，即，于是有，即，12x x <120x x -<12(1)0x x -<()()12h x h x <所以函数是R 上的增函数.()h x x =+。
2021-2022学年上海市浦东新区高一(上)期末数学试卷(附详解)
2021-2022学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. “a =12”是“指数函数y =a x 在R 上是严格减函数”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 任意x ∈R ，下列式子中最小值为2的是( )A. x +1x B. 2x +2−x C. x 2+2x 2D. √x 2+2+1√x 2+23. 已知log 189=a ，18b =5，则log 3645=( )A.a+b2aB.a+b a 2C. a+b2+aD. a+b2−a4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数f(x)=x 2+a|x|(a ∈R)的图像不可能是( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,2,3}，则A −=______． 6. 函数y =ln x−12−x 的定义域为______．7. 已知幂函数y =f(x)的图像过点(2,√2)，则f(3)=______．8. 当a <0时，求|a|+√a 66+2√a33的值______．9. 计算：2log 22+log 224−log 23=______．10. 在用反证法证明“已知a 3+b 3=2，求证：a +b ≤2”时应先假设______． 11. 已知α、β是关于x 的方程x 2−2mx +m 2−4=0(m ∈R)的两个根，则|α−β|=______．12. 已知x >−3，则x +1x+3的最小值为______．13. 若函数f(x)=x 3−x −1在区间[1,1.5]内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：那么方程x 3−x −1=0的一个近似解为x =______(精确到0.1)．14. 若y =f(x)是奇函数，当x >0时，f(x)=log 2(2+x)，则f(−2)=______． 15. 已知问题：“|x +3|+|x −a|≥5恒成立，求实数a 的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题．请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数a 的取值范围______． 16. 已知函数f(x)={2x +1,x ≤02,x >0，若f(a 2−2a)≤f(a −1)，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17. 已知a ，b 都是正实数，求证：a 3+b 3≥a 2b +ab 2，并指出等号成立的条件．18. 设不等式|2x −1|≤3的解集为P ，不等式2≤2x ≤8的解集为Q ．(1)求集合P 、Q ；(2)已知全集U =R ，求P ∩Q −．19. 已知函数f(x)=12x +1．(1)求函数f(x)的值域；(2)求证：函数y =f(x)在R 上是严格减函数．20. 浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡(观光或消费)，某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内(以30天计)，每天打卡人数P(x)与第x 天近似地满足函数P(x)=8+kx (万人)，k 为正常数，且第8天的打卡人数为9万人． (1)求k 的值；(2)经调查，打卡市民(含观光)的人均消费C(x)(元)与第x 天近似地满足如表：现给出以下三种函数模型：①C(x)=ax +b ，②C(x)=a|x −22|+b ，③C(x)=a x +b.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民(含观光)的人均消费C(x)(元)与第x 天的关系，并求出该函数的解析式； (3)请在问题(1)、(2)的基础上，求出该购物中心日营业收入f(x)(1≤x ≤30,x 为正整数)的最小值(单位：万元)．(注：日营业收入=日打卡人数P(x)×人均消费C(x))．21.已知函数f(x)=2x−4．(1)求方程f(x)=3的解；x+λ在x∈[2,4]上有实数解，求实数λ的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)=log12(3)若x i(i=0,1,2,⋯,2021)将区间[1,3]划分成2021个小区间，且满足1=x0<x1<x2<⋯<x2021=3，使得和式|f(x1)−f(x0)|+|f(x2)−f(x1)|+|f(x3)−f(x2)|⋯+|f(x2021)−f(x2020)|≤M恒成立，试求出实数M的最小值并说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由a=12，可得指数函数y=a x=(12)x在R上是严格减函数，故充分性成立；由指数函数y=a x在R上是严格减函数，可得0<a<1，不能推出a=12，故必要性不成立，故a=12”是“指数函数y=a x在R上是严格减函数”的充分不必要条件，故选：A．由题意，利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，指数函数的单调性，得出结论．本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，指数函数的单调性，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：选项A：当x<0时，则x+1x<0，所以最小值不为2，故A错误，选项B：因为2x+2−x≥2√2x⋅2−x=2，当且仅当2x=2−x，即x=0时取等号，此时取得最小值为2，故B正确，选项C：因为x2+2x2≥2√x2⋅2x2=2√2，当且仅当x2=2x2，即x2=√2时取等号，此时最小值不为2，故C错误，选项D：因为√x2+2√x2+2≥2√√x2+2√x2+2=2，当且仅当√x2+2=√x2+2，即x2=−1时取等号，显然不成立，故D错误，故选：B．利用基本不等式对各个选项逐个判断即可求解．本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵log 189=1−log 182=a ， ∴log 182=1−a ，且b =log 185， ∴log 3645=log 1845log 1836=log 189+log 1851+log 182=a+b 2−a．故选：D ．根据条件可求出log 182=1−a ，b =log 185，从而得出log 3645=log 189+log 1851+log 182=a+b2−a ．本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，易知函数f(x)为偶函数， 当x >0时，若a =0时，f(x)=x 2，选项B 符合， 当a >0时，f(x)=x 2+a x=x 2+a 2x+a2x ≥33x 2⋅a 2x ⋅a2x=3√a243，当且仅当x 2=a2x ，即x =√a23时取等号，选项D 符合，当a <0时，f(x)=x 2+ax 在(0,+∞)上单调递增，当f(x)=x 2+ax =0时，解得x =−√−a 3，有且只有一个零点，选项C 符合， 故选：A ．易知函数为偶函数，只要研究当x >0时即可，分a =0，a >0，a <0，根据函数单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和单调性是关键，属于中档题．5.【答案】{4,5}【解析】解：∵全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,2,3}， ∴A −={4,5}． 故答案为：{4,5}． 利用补集的定义直接求解．本题考查集合的运算，考查补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】(1,2)【解析】解：要使原函数有意义，则x−12−x >0， ∴x−1x−2<0，解得1<x <2．∴函数y =ln x−12−x 的定义域为(1,2)． 故答案为：(1,2)．由对数函数的真数大于0，求解分式不等式得答案． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．7.【答案】√3【解析】解：设幂函数f(x)=x α， ∵幂函数y =f(x)=x α的图像过点(2,√2)， ∴f(2)=2α=√2，解得α=12， ∴f(x)=√x ， 则f(3)=√3， 故答案为：√3．幂函数y =f(x)=x α的图像过点(2,√2)，列方程求出α=12，从而f(x)=√x ，由此能求出f(3)．本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】0【解析】解：a <0时，|a|+√a 66+2√a33=−a +|a|+2a =−a −a +2a =0， 故答案为：0．根据根式的运算性质以及a 的符号求出代数式的值即可． 本题考查了根式的运算性质，考查转化思想，是基础题．9.【答案】5【解析】解：原式=2+log28=2+3=5．故答案为：5．进行对数的运算即可．本题考查了对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】a+b>2【解析】解：在用反证法证明“已知a3+b3=2，求证：a+b≤2”时应先假设a+b>2．故答案：a+b>2．利用反证法证题的第一步，从要证结论的反面出发，提出假设得答案．本题主要考查反证法证题的步骤，正确找出要证结论的对立面是关键，是基础题．11.【答案】4【解析】解：根据题意，α、β是关于x的方程x2−2mx+m2−4=0(m∈R)的两个根，则α+β=2m，αβ=m2−4，则|α−β|2=(α+β)2−4αβ=16，故|α−β|=4；故答案为：4．根据题意，由根与系数的关系可得α+β=2m，αβ=m2−4，由此变形可得答案．本题考查二次方程根与系数的关系，涉及因式的恒等变形，属于基础题．12.【答案】−1【解析】解：因为x>−3，则x+3>0，所以x+1x+3=x+3+1x+3−3≥2√(x+3)⋅1x+3−3=2−3=−1，当且仅当x+3=1x+3，即x=−2时取等号，此时取得最小值为−1，故答案为：−1．利用基本不等式以及配凑法即可求解．本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．13.【答案】1.3【解析】解：根据题意，由表格可得：函数f(x)=x3−x−1的零点在(1.3125,1.3475)之间，故方程x3−x−1=0的一个近似解为x=1.3；故答案为：1.3．根据题意，由列表分析f(x)=x3−x−1的零点所在的区间，由近似解的要求分析可得答案．本题考查二分法的应用，注意函数零点判定定理，属于基础题．14.【答案】−2【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=log2(2+x)，则f(2)=log24=2，又由f(x)为奇函数，则f(−2)=−f(2)=−2；故答案为：−2．根据题意，由函数的解析式求出f(2)的值，结合函数为奇函数分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15.【答案】(−∞,−8]∪[2,+∞)【解析】解：∵|x+3|+|x−a|≥|x−a−x−3|=|3+a|，∴要使|x+3|+|x−a|≥5恒成立，则|a+3|≥5即可，∴a+3≥5或a+3≤−5，解得a≥2或a≤−8，即实数a的取值范围是(−∞,−8]∪[2,+∞)，故答案为：(−∞,−8]∪[2,+∞)．利用三角不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的求解，利用三角不等式的性质是解决本题的关键，是基础题．16.【答案】[3−√52,+∞)【解析】解：函数f(x)={2x +1,x ≤02,x >0的图象如图，若f(a 2−2a)≤f(a −1)，则{a 2−2a ≤0a −1≤0a 2−2a ≤a −1或{a 2−2a ≤0a −1≥0或{a 2−2a >0a −1>0，解得3−√52≤a ≤1或1≤a ≤2或a >2．综上所述，实数a 的取值范围是[3−√52,+∞)．画出分段函数的图象，由f(a 2−2a)≤f(a −1)，分类得到关于a 的不等式组求解． 本题考查分段函数的应用，考查数形结合、分类讨论思想，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】证明：a 3+b 3−(a 2b +ab 2)=(a +b)(a 2−ab +b 2)−ab(a +b)=(a +b)(a 2−2ab +b 2)=(a +b)(a −b)2， 因为a ，b 都是正实数，所以a +b >0，(a −b)2≥0， 所以a 3+b 3−(a 2b +ab 2)≥0， 所以a 3+b 3≥ab 2+a 2b ， 当且仅当a =b 时等号成立．【解析】利用作差法即可证明．本题主要考查不等式的证明，考查作差法的应用，考查逻辑推理能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵不等式|2x −1|≤3的解集为P ，不等式2≤2x ≤8的解集为Q ，∴P =[−1,2]，Q =[1,3]． (2)∵全集U =R ，∴P ∩Q =[1,2]，P ∩Q −=(−∞,1)∪(2,+∞)．【解析】(1)解含绝对值不等式，求出集合P ，解指数不等式，求出集合Q ；(2)先求出P ，Q 的交集，再计算P ∩Q −即可．本题考查集合的运算，考查交集、补集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)由题 2x ∈(0,+∞)，则2x +1∈(1,+∞)，所以函数f(x)的值域为(0,1)；(2)设x 1，x 2是R 上任意给定的两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=12x 1+1−12x 2+1=2x 2−2x 1(2x 1+1)⋅(2x 2+1)，∵x 1<x 2，∴2x 2>2x 1，∴f(x 1)>f(x 2)，∴函数y =f(x)在R 上是严格减函数．【解析】(1)先求出2x 的范围，接着得到2x +1的范围，从而可以求解；(2)根据单调性的定义即可证明．本题考查了函数的单调性，涉及到单调性的定义，属于基础题．20.【答案】解：(1)由第8天的打卡人数为9万人，则P(8)=8+k 8=9，解得k =8．(2)由表中数据可得，函数图象关于x =22对称，故函数模型②满足要求，代入点(10,131)，(14,135)，则{131=12a +b 135=8a +b，解得a =−1，b =143， ∴C(x)=−|x −22|+143．(3)f(x)=P(x)C(x)=(8+8x )(143−|x −22|)，当x ≥22且x 为正整数时，f(x)=8(1+1x )(165−x)=8(164−x +165x )，∵f(x)在x ≥22且x 为正整数时为严格减函数，∴f(x)≥f(30)=1116，当1≤x ≤21且x 为正整数时，f(x)=8(1+1x )(121+x)=8(122+x +121x )， ∴f(x)=8(122+x +121x )≥8(122+2√x ⋅121x )=1152且等号当且仅当x ≥11时成立，综上所述，该商场在第30天时日营业收入最小，为1116万元．【解析】(1)根据已知条件，结合第8天的打卡人数为9万人，即可求解．(2)由表中数据可得，函数图象关于x =22对称，故函数模型②满足要求，再将表格中的数据代入函数模型②，即可求解．(3)根据已知条件，结合函数的单调性，以及基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于中档题．21.【答案】解：(1)由2x −4=3得2x =7，得x =log 27；(2)∵λ=2x −log 12x −4在x ∈[2,4]上是严格增函数， 又2x −log 12x −4∈[1,14]，∴λ∈[1,14]； (3)由指数函数的单调性可得，f(x)在区间[1,3]上是严格增函数，对任意划分1=x 0<x 1<x 2<⋯<x 2021=3(k 为正整数)，|f(x 1)−f(x 0)|+|f(x 2)−f(x 1)|+|f(x 2)−f(x 1)|⋯+|f(x 2021)−f(x 2020)| =f(x 1)−f(x 0)+f(x 2)−f(x 1)+f(x 3)−f(x 2)+⋯+f(x 2021)−f(x 2020) =f(x 2021)−f(x 0)=f(3)−f(1)=6，∴M ≥6，∴实数M 的最小值为6．【解析】(1)解方程2x −4=3即可求解；(2)将问题转化为λ=2x −log 12x −4在x ∈[2,4]上有实数解，求函数yλ=2x −log 12x −4在x ∈[2,4]上的值域即可；(3)根据函数单调性分析最值即可得解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查函数的性质，转化思想，属于中档题．。
2021-2022年高一上学期期末考试 数学试题 含答案(I)
2021年高一上学期期末考试数学试题含答案(I)一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案，每题5分，共60分.请把答案涂在答题卡上）1. 集合，，则A. B. C. D.2．已知角的终边经过点，则的值为A． B． C． D．3. 函数的定义域为A.(0，2]B.(0，2)C.D.4．设向量，若，则A. B. C. D.5.下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6.已知，则A． B． C． D．7．若，则的值为A． B．C．2 D．18．把函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，则所得图象的解析式为A． B． C． D.9．平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知()()DB+DC 20DA AB AC -⋅-=，则的形状为A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 10．设0.30.33,log 3,log a b c e π===,则的大小关系是 A ．B ．C ．D ．11．已知在中，，点为边所在直线上的一个动点，则关于的值，正确的是A ．为定值2B ．最大值为4C ．最小值为1D ．与的位置有关 12.设方程的两个根分别为，则A ．B ．C ． D.二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）. 13．函数的图象恒过定点，定点坐标为 . 14. 函数图象的一部分如图所示，则的值为_ _____.15．已知，且，则22sin sin 2=cos()4ααπα+- .16．定义在上的函数满足，当时，，当时，，则(1)(2)(3)(2013)f f f f ++++的值为 .三、解答题（本题共6个小题 共计70分。
请把解答过程写在答题纸上）17．（本题满分10分） 设全集，集合，. （1）求（2）若集合,满足求实数的取值范围.18．（本题满分12分）已知(1,0),(0,1),(cos ,sin )A B C αα, 且．（1）为坐标原点，若求角的大小； （2）若求的值.19．（本题满分12分） 已知函数．（1）若的解集是，求实数的值；（2）若,且函数在上有两个不同的零点，求的取值范围．20．（本题满分12分）边上在中，12021BAC AB AC ∠===，，°，是一点，，设，． （1）试用，表示； （2）求的值．21．（本题满分12分）已知函数2()cos(2)2sin .3f x x x π=++(1)求函数在上的单调递减区间；(2)若在上，总存在使得成立，求的取值范围．22．（本题满分12分）已知奇函数()(1)(0x x f x a k a a -=-+>且)的定义域为．（1）求实数的值；（2）若，令22()2()x x g x a a mf x -=+-,求实数的取值范围，使得在恒成立．xx 第一学期数学期末考试答案一、选择题（每小题5分，共60分BACBC DBCCB AD二、填空题（每小题5分，共20分）13. ； 14.； 15.； 16. .三、解答题（本题满分70分）17．（本题满分10分） 解：（1）………………2分 ………………4分{}2,10>≤≤=x x x B A 或{}21,1)(≤<<=x x x B A C U 或 …………6分（2） ， ………………7分 ………………8分………………10分 18．（本题满分12分） 解：（1） ……………2分 ，……………4分 ，……………6分 （2）1(cos 1,sin )(cos ,sin 1)3αααα∴-⋅-=……………8分整理得：，，……………10分 由可知，，……………12分 19．（本题满分12分） 解（1）不等式解集是，故方程的两根是，，……………2分1212121x x a b x x a ⎧⋅==-⎪⎪∴⎨⎪+==⎪⎩……………4分 ． ……………6分（2）显然的一个根为，设另一根为，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅>=+>-=∆=+-∴011010401002a x a b x a b b a ……………9分解得： ……………12分 20．（本题满分12分）解：（1）∵ ，121333AD AB BD =+=+a b ．…………4分（2）cos1201⋅⋅︒=-a b =a b ，……………6分22121333AD BC ⋅=-+⋅b a a b ＝．………………12分21．（本题满分12分） （1）x x x x f 2cos 13sin2sin 3cos2cos )(-+-=ππ1)62sin(++-=πx …………4分由222262k x k πππππ-≤+≤+，解得：…………6分，函数的单调递减区间为和…8分 （2）时，，，…………10分，解得： …………12分22．（本题满分12分）解（1）∵为奇函数，且定义域为R ，∴ ， 即，解得；……………4分 （2）∵，所以，解得（舍去负的）22()2()x x g x a a mf x -=+-2)(2)(2+---=--x x x x a a m a a …………6分令，∵，∴， 令……………8分若，当则时，，解得；若，当时，，解得，；综上可知.………………12分石家庄一中xx～xx第一学期高一年级期末考试数学（理）试卷命题方案依据《石家庄市第一中学考试命题制度》制定本次考试命题的方案如下：一、命题分工李清华孙邈二、考试范围：学过所有内容三、考试目的：过程评价四、考试方式：考试形式为闭卷、笔试。
2021-2022学年上海闵行区高一(上)期末数学试题及答案
由 y = 2 在 (−, 0) 上递增，当 k 0 时值域为 (0, 2) ，当 k = 0 时值域为 (0, +) ，
−x + k
k
∴要使函数存在最大值，则
k
0
且
k
+1
2
，即
k 2
+
k
−
2
=
(k
−1)(k
+
2)
0
，
k k 0
∴ k ³ 1.
故答案为： k ³ 1.
12. 已知 m R ，若存在定义域为 的函数
−x + k +1, x 0
11.
已知 k
0 ，函数
y
=
2 −x + k
,x
0
有最大值，则实数 k 的取值范围是___________.
( ) ( ) 12. 已知 m R ，若存在定义域为 R 函数 y = f x 满足：对任意 x0 R ， f x0 + m = 101−x0 +10x0 −3 ，
7. 陈述句“ x 1或 y 1 ”的否定形式是________.
8.
设
x
1 3
= 2 ，则 3
x5
x−1
= ___________.
9. 已知实数 a､b 满足 a2 + b2 = 2 ，则 ab 最大值为___________.
的 10. 如图，函数 y = f ( x) 的图象为折线 ABC ，则不等式 f ( x) 2log1 x 的解为___________. 2
x2
况.
闵行区高一期末数学试卷
2022.01 一､填空题（第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分，满分 54 分）
2021-2022学年上海华二附中高一(上)期末数学试题及答案
故答案为： ( − ,8)
6. 已知函数 y = a x ， y = x b ， y = log c x 的图象如下图所示，则 a ， b ， c 的大小关系为
__________．
（用“ ”号连接）
【答案】 b a c
【解析】
【详解】函数 y=ax，y=xb，y=logcx 的图象如图所示，
【详解】令 2 x − 4 0 2 x 2 2 x [2, +) .
故答案为： [2, +) .
2. 已知 y = f ( x ) = log 5 (2 x + 1) ，则 y = f −1 ( x ) = ___________.
【答案】
5x − 1
2
【解析】
【分析】根据反函数定义求解.
4
2 2
【详解】因为 P0
POx =
π π
2π
2π
3
3
+ 5 =
，故 sin POx = sin
，所以点 P 的纵坐标 y = sin POx =
=
4 12
3
3
2
2
故答案为：
3
2
8. 已知函数 f ( x) =
4x − 1
，则函数 f ( f ( x)) 的值域为______．
1+ a
1+ a
2
（1）求实数 a 值；
的
π
+ + cot ( π − ) .
2
（2）求 tan
16. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在一段平坦的国道上进
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）若 ，求不等式 解集；
（2）若 ，求证：函数 的图象关于点 成中心对称；
（3）若方程 解集恰有一个元素，求a的取值范围．
21.设函数 ．
（1）设 与坐标轴交于A、B、C三点，且△ABC为直角三角形，求a 值；
（2）解不等式 ；
（3）对于给定的负数a，有一个最大的正数l（a），使得在整个区间 上，不等式 都成立，求l（a）的最大值及相应a的值．
18.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点 车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
19 已知不等式 ，其中x，k∈R．
（1）若x＝4，解上述关于k的不等式；
（2）若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．
.已知函数 ，若 ，则实数a的值为___．
11.已知函数 的定义域是R，则实数a的取值范围是___．
12.已知正实数a，b，满足 ，则 的最大值为___．
二、选择题
13.已知x∈R，则“ 成立”是“ 成立”的（）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
14.已知 ， ， ， ， ， ，则下列关于集合P，Q，S关系的表述正确的是（）
A.P＝QB.Q＝SC.Q⊂PD.P⊂S
15.在同一坐标系中，函数 与函数 的图象可能为（）
A. B.
C. D.
16.已知a、 ，有以下3个命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ．其中真命题的个数是（）
A.3个B.2个C.1个D.0个
三、解答题
17.已知函数 ．
（1）作出函数 的图象；
（2）求方程 的解集．
7.若 ，则满足 的x的取值范围是___．
8.已知函数 ，若当 时， 能取到最小值，则实数 的取值范围是___．
9.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t（单位：min）后的温度是T，则 ，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20min，那么这杯咖啡要从40℃降到30℃，大约还需时间___（min）．（精确到1min）
2021-2022学年上海交大附中高一（上）期中数学试卷
一、填空题
1.集合 ，则m＝___．
2.已知 ， 为正数，化简 _______．
3.若指数函数的图像经过点 ，则指数函数的解析式为___．
4.关于x的不等式 的解集为 ，则b的值为___．
5.已知集合 ， ，则 ＝___．
6.若 ，则 ________．