转换参数非线性递减的正弦余弦算法
正弦余弦换算公式-弦值换算公式之欧阳术创编
三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）例如：sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
三角恒等变换ppt
变换后的结果应与原方程具有相同的解。
恒等变换的基本方法
代入法
配方法
因式分解法
公式法
参数法
将一个或多个变量用另 一个变量或变量的表达 式代入方程中，从而使 原方程化简或变形。
将一个或多个变量配成 完全平方式，从而使原 方程化简或变形。
将一个或多个变量的乘 积分解为几个因式的乘 积，从而使原方程化简 或变形。
在求函数最值中的应用
应用1
利用三角恒等变换，可以将一些函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，从而利用三角函数的性质求解。
应用2
在求函数最值中，三角恒等变换可以用于将一些非线性函数的最值问题转化为线性函数的最值问题，从而简化 求解过程。
在数列中的应用
应用1
利用三角恒等变换，可以将一些数列的通项公式进行化简，从而更好地研究数列 的性质和规律。
02
余弦函数（cosine function）：定义为直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的 比值。
03
正切函数（tangent function）：定义为直角三角形中一个锐角的对边与邻边 的比值。
三角函数的性质
有界性
三角函数的取值范围为[-1,1]，具有有界性。
周期性
三角函数具有明显的周期性，如正弦函数和余弦函数的周期为2π。
应用2
在数列中，三角恒等变换可以用于将一些数列的求和问题转化为三角函数的求和 问题，从而利用三角函数的性质简化求和过程。
06
学习三角恒等变换的注意事项
准确理解公式内涵
掌握公式的推导过程
在学习三角恒等变换时，需要准确理解公 式的推导过程，了解公式中每个符号的含 义和作用。
注意公式的使用条件
三角恒等变换的公式都有一定的使用条件 ，如角度范围、边长关系等，需要仔细分 析，确保正确使用。
非线性电路分析方法
在非线性电路中，基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫 电压定律（KVL）仍然适用，用于建立节点电流方程和回 路电压方程。
状态变量的引入
对于含有记忆元件（如电容、电感）的非线性电路，需要 引入状态变量，建立状态方程。
数值求解方法
迭代法
有限差分法
有限元法
通过设定初值，采用迭代算法（如牛 顿-拉夫逊法、雅可比迭代法等）逐 步逼近方程的解。
实验设计思路及步骤
实验目的
01
明确实验的目标和意义，如验证非线性电路模型的正确性、探
究非线性电路的特性等。
实验器材
02
列出进行实验所需的设备和器材，如信号发生器、示波器、电
阻、电容、电感等。
实验步骤
03
详细阐述实验的操作过程，包括搭建电路、设置实验参数、记
录实验数据等。
实验结果分析与讨论
数据处理
描述函数法
通过描述函数将非线性元件的特性线性化，构造一个等效的线性化模型，再根据奈奎斯特稳定判据等方法判断稳 定性。
大信号稳定性分析方法
相平面法
在相平面上绘制非线性电路的状态轨迹，通过观察轨迹的形状和趋势来判断电 路的稳定性。
李雅普诺夫法
利用李雅普诺夫稳定性定理及其推论，构造适当的李雅普诺夫函数，通过分析 函数的性质来判断非线性电路的稳定性。
非线性电路分析方法
• 引言 • 非线性元件特性 • 非线性电路方程的建立与求解 • 非线性电路的时域分析 • 非线性电路的频域分析 • 非线性电路的稳定性分析 • 非线性电路仿真与实验验证
01
引言
非线性电路的定义与特点
定义：非线性电路是指电路中至少有一 个元件的电压与电流之间呈现非线性关 系的电路。
提取正弦信号参数的非线性寻优最小二乘算法
lim a i = 0, i→∞
∑a =
i= 1
∞, lim c i = 0, i→∞
∑
i= 1
ai ci
2
< ∞, 保证
在搜索过程中均方收敛, 且以概率 1 收敛于单峰正 弦函数的极大值处 . 其中∑i= 1 a i = ∞保证了整个搜
+ ∞ + ∞ 2
索过程具有足够的修正作用, 而∑
i= 1
ai ci
式中: E i 为 n ×n 矩阵,
E i = d iag 0, 0, …0 , 1, 0, …, 0
i- 1个
且对应第 i 个对角元素为 1; e i 为标准正交基; ∃Χ 为 非常小的向量. 因此代入式 ( 3) , 得 Χi+ 1 = Χi - a i
i i S ( Χ + ∃Χ) - S ( Χ -
< ∞消除
了噪声的积累效应 . 将上面一维情况推广到 n 维向量情况, 使用如 下的迭代公式: Χi+ 1 = Χi F i
i i S ( Χ + ∃Χ) - S ( Χ -
式中: 8 = { Χ A ∈ [ 0, 2D - 1 ]; B ∈ [ 0, 2D - 1 ]; <∈ [ 0, . N ]}; D 为 A D 转换器的位数 δ 为参 由 S ( Χ) 可得, 满足 m in S ( Χ) 的估计量 Χ 数 Χ 的一个最小二乘估计量. 当 f ( n , Χ) 不是 Χ 的 线性函数时, 该问题为非线性中无约束的极小值问 题 . 设 S ( Χ) 定义于区间 D ∈R n , 且 S ( Χ) 一阶连续 可 微, Χ3 为 D 的 内 点, 则 Χ3 是 无 约 束 极 小 问 题 m in S ( Χ) 最优解的必要条件为 S ( Χ) = 0,
正弦余弦转换
正弦余弦转换一、引言正弦和余弦函数是数学中常见的周期函数，它们在几何学中也有着重要的应用。
正弦函数和余弦函数可以用来描述波动、周期性运动以及旋转等现象。
本文将介绍正弦余弦函数的基本定义和性质，并探讨它们与几何图形之间的关系。
二、正弦函数的定义和性质1. 正弦函数的定义：正弦函数是一个周期为2π的函数，记作sin(x)，其中x为自变量。
正弦函数的值在区间[-1, 1]之间变动。
2. 正弦函数的性质：正弦函数具有以下性质：a. 对称性：sin(x + π) = -sin(x)，即正弦函数关于原点对称。
b. 奇函数性质：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数关于y轴对称。
c. 周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数的周期为2π。
三、余弦函数的定义和性质1. 余弦函数的定义：余弦函数是一个周期为2π的函数，记作cos(x)，其中x为自变量。
余弦函数的值在区间[-1, 1]之间变动。
2. 余弦函数的性质：余弦函数具有以下性质：a. 对称性：cos(x + π) = -cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
b. 偶函数性质：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数关于原点对称。
c. 周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数的周期为2π。
四、正弦余弦函数与几何图形的关系1. 正弦函数与几何图形的关系：正弦函数可以用来描述周期性波动的图形，如水波、声波等。
当我们观察一条波浪线时，可以发现波浪线的形状与正弦函数的图像非常相似。
正弦函数的峰值和谷值对应于波浪线的波峰和波谷，而周期性变化则对应于波浪线的连续波动。
2. 余弦函数与几何图形的关系：余弦函数可以用来描述周期性旋转的图形，如风车、地球自转等。
当我们观察一个旋转的物体时，可以发现物体的角度变化与余弦函数的图像非常相似。
余弦函数的峰值和谷值对应于物体旋转时的最大角度和最小角度，而周期性变化则对应于物体的连续旋转。
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转换参数非线性递减的正弦余弦算法刘勇;马良【摘要】正弦余弦算法是一种新型智能优化算法，利用正弦函数和余弦函数值的变化来实现优化搜索。
转换参数直接影响算法全局探索和局部开发的平衡，对算法的性能有着重要影响。
为提高该算法的优化性能，首先对转换参数的设置进行分析，然后设计出转换参数抛物线函数递减和指数函数递减两种正弦余弦算法，并采用标准测试函数进行数值实验，和转换参数线性递减的基本正弦余弦算法进行比较。
结果表明指数函数递减的正弦余弦算法具有更高的计算精度和更快的收敛速度。
最后以协同过滤推荐算法中相似度函数的计算为应用对象，进一步验证新算法的可行性和有效性。
%Sine Cosine Algorithm(SCA)is a novel intelligent optimization algorithm. SCA finds the best solution by the changes in the values of sine and cosine functions. The conversion parameter can balance the global exploration and local exploitation abilities of SCA. It has an important influence on the algorithm. To improve the optimization performance of SCA, the setting of conversion parameter is analyzed firstly and then SCA with parabolic function decreasing conversion parameter and SCA with exponential function decreasing conversion parameter are proposed. The numerical experiments on benchmark functions are performed to compare the presented algorithms and conversion parameter linearly decreasing SCA. The results show that SCA with exponential function decreasing conversion parameter has higher calculation accuracy and faster convergence speed. Finally, the calculation of similarity function forcollaborative filtering recommendation algorithm is used to further verify the feasibility and effectiveness of the algorithm.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2017(053)002【总页数】6页(P1-5,46)【关键词】正弦余弦算法;转换参数;全局探索和局部开发;最优化【作者】刘勇;马良【作者单位】上海理工大学管理学院，上海 200093;上海理工大学管理学院，上海 200093【正文语种】中文【中图分类】TP301.6LIU Yong,MA Liang.Computer Engineering and Applications,2017,53（2）：1-5.正弦余弦算法（Sine Cosine Algorithm，SCA）是由Mirjalili在2016年提出的一种新型智能优化算法[1]。
在SCA算法中，当正弦函数值或者余弦函数值大于1或者小于 -1时，算法进行全局探索；当正弦函数值或者余弦函数值介于-1到1之间时，算法进行局部开发。
SCA算法最显著的特点是基于正弦函数和余弦函数值的变化来实现优化搜索。
SCA算法原理不同于现有的任何一种智能优化算法。
例如，遗传算法模拟生物进化论中“自然选择、适者生存”的原则；模拟退火算法来源于固体退火原理的模拟；蚁群优化算法基于蚁群觅食的模拟等等。
SCA算法不仅具有独特的优化原理，而且具有良好的优化潜力。
通过SCA算法求解多个标准测试函数和与多种智能优化算法的比较中，验证了算法的有效性[1]。
在SCA算法中，最关键的因素是转换参数r1，直接影响算法全局探索和局部开发的平衡[1]。
大量文献表明该类控制参数对智能优化算法的性能有着重要的影响[2-8]。
例如，微粒群优化算法的惯性权重参数ω，对算法的全局探索和局部开发能力的平衡有着重要作用。
不同的ω设置方式对微粒群优化算法的搜索性能有显著的影响[9-10]。
受此启发，本文对参数r1的设置进行研究。
通过分析发现，较大的r1值有利于提高SCA算法的全局探索能力，而较小的r1值有助于增强算法的局部开发能力。
而智能优化算法通常先进行全局探索再进行局部开发。
因此，r1的取值应该随迭代次数逐步减小。
满足这个条件的函数有很多，可以分为直线函数、凸函数和凹函数。
目前，r1的设置方法采用直线函数，其值随迭代次数线性递减。
本文考虑采用非线性递减函数设置r1。
非线性递减函数可以分为凸函数和凹函数两类，本文选择抛物线函数和指数函数分别作为凸函数和凹函数的代表函数来设置参数r1。
采用多个典型函数测试新算法的优化效果，实验结果表明采用指数函数进行r1的设置效果最好。
最后将新算法用于协同过滤推荐算法中相似度函数的计算，为该问题的求解提供一种可行和有效的智能型方法。
2.1 基本正弦余弦算法在正弦余弦算法中，首先个体被随机初始化，然后根据正弦或者余弦函数值进行更新。
其具体更新方程为：或者其中，表示个体X在第t+1次迭代时第i个位置分量，r2为0到2π的随机数；r3为0到2之间的随机数；表示在t次迭代时最好个体位置变量的第i个分量。
在计算过程中，以一定的概率使用上述的位置更新方程：其中，r4是0到1之间的随机数，r为阈值，取值为0.5。
在上述位置更新方程中，r1是一个关键参数，会影响算法全局探索和局部开发的平衡[1]。
r1的定义如下：其中，a表示预设的常数，t表示当前迭代次数，T表示最大迭代次数。
和其他智能优化算法一样，全局探索和局部开发能力的平衡与否对正弦余弦算法优化性能的高低有重要影响。
全局探索是指算法在优化过程中从整个解空间范围内进行搜索，以确定全局最优解所处的区域。
而局部开发是指算法对解空间中有可能包含最优解的区域进行精细搜索，以找到全局最优解具体位置。
智能优化算法的优化过程可以分为两个阶段，在第一个阶段（前期）进行全局探索，在第二个阶段（后期）进行局部开发。
正弦余弦算法的优化原理如图1所示。
根据该算法的设置，当正弦函数r1sin(r2)值或者余弦函数r1cos(r2)值在(1,2]或者[-2,-1)之间时，算法进行全局探索；当正弦函数r1sin(r2)值或者余弦函数r1cos(r2)值在[-1,1]之间时，算法进行局部开发。
2.2 转换参数非线性递减的正弦余弦算法在基本正弦余弦算法中，主要有r1、r2、r3和r44个参数。
其中，最关键的参数是r1，控制算法从全局探索到局部开发的转换。
当正弦函数r1sin(r2)值或者余弦函数r1cos(r2)值大于1或者小于 -1时，算法进行全局探索；当正弦函数r1sin(r2)值或者余弦函数r1cos(r2)值介于 -1到1之间时，算法进行局部开发。
虽然r1和r2对正弦函数值和余弦函数值都有影响，但是r1的影响更大。
因为只有当r1＞1时，正弦函数r1sin(r2)值或者余弦函数r1cos(r2)值才有可能大于1或者小于-1。
当r11时，正弦函数r1sin(r2)值或者余弦函数r1cos(r2)值必定介于-1到1之间。
因此，r1是一个重要参数，控制算法从全局探索到局部开发的转换。
因此，r1的取值函数对算法的全局探索和局部开发能力的平衡将起到决定性的作用。
当r1的值较大时，算法倾向于在整个解空间进行全局探索；当r1的值较小时，算法偏向于在当前最优解附近区域进行局部开发。
根据正弦余弦算法设计原理，算法先进行全局探索再进行局部开发。
因此，r1的取值函数应该为单调递减函数。
最基本的r1的取值函数是线性递减函数，如公式（4）所示，其值随迭代次数的增加逐步线性递减。
除采用线性递减函数设置r1之外，还可以考虑非线性递减函数。
而非线性递减函数可以分为凸函数和凹函数两类，本文选择抛物线函数和指数函数分别作为凸函数和凹函数的代表函数来设置参数r1。
这两种函数定义分别如下。
抛物线函数：指数函数：其中，a表示预设的常数，t表示当前迭代次数，T表示最大迭代次数。
2.3 转换参数非线性递减的正弦余弦算法步骤综合以上对转换参数的设置策略，本文提出的新型正弦余弦算法的主要步骤如下：步骤1 随机产生初始群体，参数初始化包括群体规模和最大迭代次数等。
步骤2 转换参数r1根据公式（5）或者（6）按照抛物线函数递减或者指数函数递减。
步骤3 每个个体根据公式（4）进行位置更新。
步骤4 计算每个个体的函数值并更新整个群体的最优值。
步骤5 如果没有达到最大迭代次数，则转步骤2，否则算法结束，输出当前最优解。
为测试转换参数的设置对正弦余弦算法优化性能的影响，主要采用标准测试函数进行数值实验，并以协同过滤算法中相似度函数的计算为应用对象，作进一步分析。
在实验中，主要将转换参数线性递减的基本正弦余弦算法、转换参数抛物线函数递减和指数函数递减的正弦余弦算法进行比较，并将这三种算法和优化性能较好的引力搜索算法（Gravitational Search Algorithm，GSA）进行对比分析。
本文算法都采用Matlab7.12编程实现（需要源程序的可与第一作者联系），所有实验都在CPU为3.60 GHz，内存为8 GB的Inter®CoreTMi7的计算机上运行。
为方便起见，转换参数采用抛物线函数递减的正弦余弦算法记为PSCA（Parabolic Sine Cosine Algorithm，PSCA），转换参数采用指数函数递减的正弦余弦算法记为ESCA（Exponential Sine Cosine Algorithm，ESCA）。
3.1 标准测试函数采用10个具有不同特征的标准测试函数进行数值实验，这些函数定义如下：在实验中，SCA、PSCA和ESCA算法参数根据文献[1]进行设置，即群体规模为30，a=2。
GSA算法参数根据文献[11]进行设置。