2021年高三数学(文科)高考总复习阶段测试卷(第28周) 含答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学(含答案)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学一、选择题1.设集合{1,3,5,7,9}M =，{|27}N x x =>，则M N⋂=（ ）A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}答案：B解析：依题意可知{| 3.5}N x x =>，所以{5,7,9}M N ⋂=.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案：C解析：A.低于4.5万元的比率估计为0.0210.0410.066%⨯+⨯==，正确.B.不低于10.5万元的比率估计为(0.040.023)10.110%+⨯⨯==，正确.C.平均值为(30.0240.0450.160.1470.280.290.1100.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 110.04120.02130.02140.02)17.68⨯+⨯+⨯+⨯⨯=万元，不正确.D.4.5万到8.5万的比率为0.110.1410.210.210.64⨯+⨯+⨯+⨯=，正确.3.已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A.312i -- B.312i -+C.32i -+ D.32i -- 答案：B解析：232322331(1)222i i i z i i i ++-+====-+--. 4.下列函数中是增函数的是（ ）A.()f x x =-B.2()()3xf x =C.2()f x x =D.()f x =D解析：∵()f x x =-，2()()3x f x =，在R 上单调递减，2()f x x =在(,0)-∞上单调递减，故A ，B ，C 错误；()f x =R 上单调递增，故D 正确.5.点(3,0)到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（ ） A.95B.85C.65D.45 答案：A解析： 双曲线221169x y -=的渐近线为34y x =±，则点(3,0)到双曲线221169x y -=的一条渐近线的95=. 6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足5lg L V =+.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ 1.259≈）（ ）A.1.5B.1.2D.0.6答案：C解析：代入5lg L V =+，知lg 4.950.1V =-=-，故0.1100.8V -==≈. 7.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ，该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）A.B.C.D.答案：D解析： 由题可得直观图，如下图.故选D.8.在ABC ∆中，已知120B =︒，AC =2AB =，则BC =（ ）A.1D.3答案：D解析：由余弦定理可得22222cos 2150AC AB BC AB BC ABC BC BC =+-⋅∠⇒+-=，解得3BC =.9.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ）A.7B.8C.9D.10答案：A解析：由等比数列的性质可知：24264,,S S S S S --成等比数列，即64,2,6S -成等比数列，所以661S -=，即67S =，故选A.10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8答案：C解析：求出所有的排列数，先将3个1排成一排，有4个空位，当每个空位排一个0，即从4个空位中选2个，有6种排法，此时2个0不相邻；当两个0相邻时，即从4个空位中选出一个来排两个0，有4种选法，从而总的排法数有10个，再根据古典概型概率公式可得概率60.610=，故选C.11.若(0,)2πα∈，cos tan 22sin ααα=-，则tan α=（ ）A.15B.5C.答案：A解析：cos tan 22sin ααα=-. 2222tan 2sin cos cos tan 21tan cos sin 2sin ααααααααα===---∴222sin (2sin )cos sin αααα-=-∴22224sin 2sin cos sin 12sin ααααα-=-=- ∴1sin 4α=.又∵(0,)2πα∈.如图，tan α==.12.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且(1)()f x f x +=-.若11()33f -=，则5()3f =（） A.53- B.13- C.13 D.53答案：C解析：∵()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)()()f x f x f x +=-=-∴(1)()f x f x +=-，∴(2)(1)()f x f x f x +=-+=∴()f x 周期为2的周期函数.∴5511()(2)()3333f f f =-=-=. 二、填空题 13.若向量,a b 满足||3a =，||5a b -=，1a b ⋅=，则||b = .答案：解析：||5a b -=，∴22225a ab b -+=，∴22||2||25a ab b -+=，∴292||25b -+=，∴2||18b =，∴||32b =. 14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为.答案：39π解析：圆锥底面半径6r =，体积21303V r h ππ==，则圆锥的高52h =，则母线长132l ==，则圆锥的侧面积12392S rl ππ=⨯=. 15.已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()2f π= .答案：解析：由图可知31332241234T T πππππωω=-=⇒==⇒=，由131313()22cos()2212666f ππππϕϕπϕ=⇒+=⇒+=⇒=-，所以()2cos(2)226f πππ=⨯-=16.已知1F ，2F 为椭圆22:1164x y C +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，则四边形12PF QF 的面积为 .答案：解析：答案：8解析：如图，由12||||PQ F F =及椭圆对称性可知，四边形12PFQF 为矩形.设1||PF m =，2||PF n =，则222128||48m n m n F F +=⎧⎪⎨+==⎪⎩①②，22-①②得216mn =.所以，四边形12PFQF 面积为8mn =.三、解答题17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，答案：见解析解析：（1）由表格数据得： 甲机床生产的产品中一级品的频率为1503=2004； 乙机床生产的产品中一级品的频率为12032005=； （2）由题意222()400(1508012050)()()()()20020027030n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯10.256 6.635≈>. 所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，213a a =，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列.答案：见解析解析：∵为等差数列，设公差为dd =d =.d ==(1)n d nd -=.∴22n S n d =，∴222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-(2)n ≥，即222n a d n d =⋅-(2)n ≥，又211a S d ==同样满足通项公式，所以{}n a 是等差数列.19．已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形．AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AC 和CC 1的中点，BF ⊥A 1B 1．(1)求三棱锥F －EBC 的体积；(2)已知D 为棱A 1B 1上的点，证明：BF ⊥DE ． AB C D EFA 1B 1C 1答案：见解析；解析；（1）11BF A B ⊥，则2229BF AB AF BF AB ⊥⇒=+=.又22228AF FC AC AC =+⇒=则AB BC ⊥. AC =1111122122323F EBC F ABC V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=. （2）连1A E ，取BC 中点M 连1B M ，EM ，由EM 为AC ，BC 的中点，则//EM AB ，又11//AB A B ，11//A B EM ，则11A B ME 共面，故DE ⊂面11A B ME .又在侧面11BCC B 中1FCB MBB ∆≅∆，则1BF MB ⊥又1111111111111,BF A B MB A B B BF A B ME MB A B A B ME ⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⎭面面，则BF DE ⊥.20.设函数2()3ln 1f x a x ax x 2=+-+，其中0a >.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.答案：见解析解析：（1）222323(23)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x +-+-'=+-== ∵0a >，0x >，∴230ax +>，∴当1(0,)x a∈时()0f x '<函数单调递减， 当1(,)x a∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增. ∴()f x 在1(0,)a 上递减，在1(,)a +∞上递增，（2）当0x →时()0f x >，结合函数单调性可知若()f x 与x 无交点时min ()0f x > 即221111()3ln 10f a a a a a a=⨯+⨯-+>. 化简可得1ln 1a <即11e a a e <⇒<.所以参数a 的取值范围为1(,)e+∞ 21.抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线:1l x =交C 于P ，Q两点，且OP OQ ⊥，已知点(2,0)M ，且M 与l 相切.（1）求C ，M 的方程；（2）设1A ，2A ，3A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切，判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由.答案：见解析解析：（1）2:C y x =，22:(2)1M x y -+= .（2）设21(,)A a a ，22(,)A b b ，23(,)A c c .1221:()()0A A l y a x a x a b y ab a b -=-⇒-++=+，所以1d r =⇒=①. 1321:()()0A B l y a x a x a c y ac a c -=-⇒-++=+，所以所以b ，c是方程2221(1)230a x ax a =⇒-+-+=的两根.又23:()0A A l x b c y bc -++=，所以2223|2|1a d -+====. 所以dr =，即直线23A A 与M 相切.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=.（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P 满足2AP AM =，写出P 的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点.答案：见解析解析：（1 （2）设(,)P x y ，00(,)M x y ，由222(1,)(1,0)(1,)22222AP AM OM AP OA x y x y =⇒=+=-+=-+. 又M 在C 上，所以22221))2(3)4x y x y -+=⇒+-+=.则1C 为(3为圆心，半径为2的圆，所以112C Cr r <-所以，两圆为内含关系，所以，圆C 与圆1C 无公共点.23.已知函数()|2|f x x =-，()|23||21|g x x x =+--.（1）画出()y f x =和()y g x =的图象；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围.答案：见解析；解析：（1）2,2()2,2x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩；34,231()42,2214,2x g x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩（2）当0a ≤时，恒不满足，此时(2)0(2)4f a a g a -+=<-=；当0a >时，()()f x a g x +≥恒成立，必有11311()()||42222f ag a a +≥⇔-≥⇒≥. 当112a ≥时， 3(,)2x ∈-∞时，()0g x ≤，()0f x ≥，所以()()f x g x ≥. 31[,]22x ∈-时，()42g x x =+，()2f x x a =+-，令()()()34F x f x g x x a =-=-+-，所以111()()022F x F a ≥=-≥. 1(,)2x ∈+∞时，()2f x x a =+-，()4g x =.()()()6F x f x g x x a =-=+-。
2021年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）一､选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}M =，{3,4}N =，则)(U C M N = （)A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}2.设43iz i =+，则z =（）A.34i --B.–34i +C.34i -D.34i+3.已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<；命题||:,1x q x R e ∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（）A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.()p q ⌝∨答案：A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，sin 1x <，故x R ∃∈，p 为真命题，而函数||x y e =为偶函数，且0x ≥时，1xy e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.则q 也为真命题，所以p q ∧为真，选A.4.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A.3π和B.3π和2C.6π和D.6π和2答案：C解析：())34x f x π=+max ()f x =，2613T ππ==.故选C.5.若,x y 满足约束条件2,3,4,y x y x y ≤≤+≥⎧⎪-⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为（）A.18B.10C.6D.4答案：C 解析：根据约束条件可得图像如下，3z x y =+的最小值，即3y x z =-+，y 轴截距最小值.根据图像可知3y x z =-+过点(1,3)B 时满足题意，即min 336z =+=.6.225cos cos 1212ππ-=（）A.12B.33C.22D.32答案：D 解析：2222223()sin cos 25cos cos cos cos cos 12121212121262ππππππππ-=-=--==∴选D.7.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A.34B.23C.13D.16答案：B解析：在区间1(0,2随机取1个数，可知总长度12d =，取到的数小于13，可知取到的长度范围13d '=，根据几何概型公式123132d p d '===，∴选B.8.下列函数中最小值为4的是（）A.224y x x =++B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x xy -=+D.4n ln l y x x=+答案：C 解析：对于A，22224213(1)33y x x x x x =++=+++=++≥.不符合，对于B，4|sin ||sin |y x x =+，令|sin |[0,1]t x =∈，∴4y t t =+，根据对勾函数min 145y =+=不符合，对于C，242222xxx x y -==++，令20xt =>，∴4224y t t =+≥=⨯=，当且仅当2t =时取等，符合，对于D，4n ln l y x x =+，令ln t x R =∈，4y t t=+.根据对勾函数(,4][4,)y ∈-∞-+∞ ，不符合.9.设函数1(1)xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案：B 解析：12()111x f x x x-==-+++，()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数.所以选B.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为A.2πB.3πC.4πD.6π答案：D 解析：做出图形，11//AD BC ，所以1PBC ∠为异面直线所成角，设棱长为1.1BC =，122B P =，122PC =，62BP =.222111131222cos 22BC BP C P PBC BP BC +-+-∠==⋅，即16PBC π∠=，故选D.11.设B 是椭圆C :2215x y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为A.5265D.2答案：A 解析：方法一：由22:15x C y +=，(0,1)B 则C 的参数方程：5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.22||(sin 1)(5cos )PB θθ=-+24sin 2sin 6θθ=--+212554(sin )442θ=-++.∴max 5||2PB =，故选A.方法二：设00(,)P x y ，则220001([1,1])5x y y +=∈-①，(0,1)B .因此22200||(1)PB x y =+-②将①式代入②式化简得：22012525||4()444PB y =-++≥，当且仅当014y =-时||PB 的最大值为52，故选A.12.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a >答案：D 解析：2()2()()()()(32)f x a x a x b a x a a x a x b a '=--+-=---当0a >时，原函数先增再减后增.原函数在()0f x '=的较小零点时取得极大值.即23a b a +<，即a b <，∴2a ab <.当0a <时，原函数先减再增后减.原函数在()0f x '=的较大零点时取得极大值.即23a b a +>，a b >，2a ab <，故选D.二、填空题13.已知向量(2,5)a = ，(,4)b λ= ，若//a b，则λ=.答案：85解析：由已知//a b 可得82455λλ⨯=⇒=.14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为.答案：解析：22145x y -=的右焦点为(3,0)，到直线280x y +-=的距离d ==.15.记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒,223a c ac +=，则b =.答案：解析：由面积公式1sin 2S ac B ==，且60B =︒，解得4ac =，又由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，223a c ac +=，且0b >解得b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ==，BA BC =，2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，AC AB =，2BC =，俯视图为④.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.答案：见解析解析：9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x ++++++++==+；10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y ++++++++==+.211(0.040.090.040.010.040.010.040.09)10s =+++++++10.360.03610=⨯=221(0.040.010.040.090.040.090.040.010.04)10s =++++++++10.40.0410=⨯=.（2）10.3100.3y x -=-===∵则0.3=>=，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ﹔（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.答案：见解析解析：19.设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3n n na b =.已知1a ，23a ，39a ，成等差数列.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S ，和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2n n S T <.答案：见解析解析：设{}n a 的公比为q ，则1n n a q -=，因为1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21923q q +=⨯，解得13q =，故11()3n n a -=，11313(1)12313n n n S -==--.又3n n n b =，则1231123133333n n n n n T --=+++++ ，两边同乘13，则234111231333333n n n n n T +-=+++++ ，两式相减，得23412111113333333n n n n T +=+++++- ，即1111(1)1133(1)332333121n n n n n n n T ++-=-=---，整理得31323(14323423n n n n n n T +=--=-⨯⨯，323314322())04232323n n n n nn n T S ++-=---=-<⨯⨯，故2n n S T <.20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2.（1）求C 的方程，（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF = ，求直线OQ 斜率的最大值.答案：见解析解析：（1）由焦点到准线的距离为p ，则2p =.抛物线c 的方程：24y x =.（2）设点200(,)4y P y ，(,)Q Q Q x y ，(1,0)F .∵9PQ QF = .∴2022000009499(,)9(1,)4104910Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q y y x x x y x y y x y y y x y y ⎧+⎪⎧-=-=⎪⎪--=--⇒⇒⎨⎨⎪⎪-=-⎩=⎪⎩则020*********QOQ Q y y k y y x y ===≤++.∴直线OQ 斜率的最大值为13.21.已知函数32()1f x x x ax =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标.答案：见解析解析：（1）2()32f x x x a'=-+（i）当4120a ∆=-≤，即13a ≥时，()0f x '≥恒成立，即()f x 在()f x 在x ∈R 上单调递增.（ii）当4120∆=->，即13a <时，()0f x '=解得，11133x -=，21133x +=.∴()f x 在113(,)3a --∞，113()3a -+∞单调递增，在113113()33a a --++单调递减，综上所述：当13a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当13a <时，()f x 在113113()33a a -++单调递减.（2）设可原点切线的切点为32(,1)t t t at -++，切线斜率2()32k f t t t a '==-+.又321t t at k t -++=，可得322132t t at t t a t-++=-+.化简得2(1)(21)0t t t -++=，即1t =.∴切点为(1,1)a +，斜率1k a =+，切线方程为(1)y a x =+，将(1)y a x =+，321y x x ax =-++联立可得321(1)x x ax a x -++=+，化简得2(1)(1)0x x -+=，解得11x =，21x =-.∴过原点的切线与()y f x =公共点坐标为(1,1)a +，(1,1)a ---.22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为)(2,1C ，半径为1.（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）C 的参数方程为2cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（2）C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=①当直线斜率不存在时，直线方程为4x =，此时圆心到直线距离为2r >，舍去；②当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)y k x -=-，化简为410kx y k --+=，此时圆心(2,1)C 到直线的距离为1d r ===，化简得2||k =，两边平方有2241k k =+，所以33k =±代入直线方程并化简得40x +=或40x +-=化为极坐标方程为5cos sin 4sin()46πρθθρθ-=-⇔+=-或cos sin 4sin()46πρθθρθ+=++=+.23.已知函数()|||3|f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()f x a >-，求a 的取值范围.答案：见解析解析：当1a =时，()6|1||3|6f x x x ≥⇔-++≥，当3x ≤-时，不等式136x x ⇔---≥，解得4x ≤-；当31x -<<时，不等式136x x ⇔-++≥，解得x ∈∅；当1x ≥时，不等式136x x ⇔-++≥，解得2x ≥.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞ .（2）若()f x a >-，即min ()f x a >-，因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+（当且仅当()(3)0x a x -+≤时，等号成立），所以min ()|3|f x a =+，所以|3|a a +>-，即3a a +<或3a a +>-，解得3(,)2a ∈-+∞.。
【高三】2021届高考数学文科模拟试题(附答案)
【高三】2021届高考数学文科模拟试题（附答案）安徽省阜阳市第一中学2021届高三上学期第二次模拟考试数学（）试题一、单选题（每小题5分，共50分）1.已知集合，，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.2.已知的图像在上连续，则“ ”是“ 在内有零点”的（）条件。
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要3. 下列函数中周期为且在上为减函数的是（）A. B. C. D.4.设为定义R上在的奇函数，当时，（为常数），则（）A. B. C. 1 D. 35.若非零向量，满足，且，则向量，的夹角为（）A. B. C. D.6. 等差数列中，已知，则（）A. B. 24 C. 22 D. 207.已知，是两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若∥ ，，则∥ ；B.若∥ ，，，则∥ ；C.若⊥ ，⊥ ，则∥ ；D. 若∥ ，⊥ ，⊥ ，则∥ .8.直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.10.若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数的图像上；②P 和Q关于原点对称,则称点对是函数的一对“友好点对”（与看作同一对“友好点对”）。
已知函数，则此函数的“友好点对”有（）A. 0对B. 1对C.2对D. 3对二．题（每小题5分，共25分）11. 已知i是虚数单位，为实数,且复数在复平面内对应的点在虚轴上，则=_______.12. 空间直角坐标系中，已知点，P点关于平面的对称点为，则 =_________13.设满足，则的最小值为_________14. 已知数列满足，，则的最小值是_________.15.下列命题中正确命题的序号是：___________①两条直线，和两条异面直线，相交，则直线，一定异面；② ，使；③ 都有；④ ，使是幂函数，且在上递减；⑤ 函数都不是偶函数。
2021年高考文数真题试卷(全国乙卷)含答案
2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共12题；共51分）1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则C u（MUN）=（）A. {5}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2,3,4}【答案】A【考点】交集及其运算，补集及其运算【解析】【解答】因为U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4} 则MUN ＝{1，2，3，4}，于是C u（MUN）= {5} 。
故答案为：A【分析】先求MUN，再求C u（MUN）。
2.设iz=4+3i，则z等于（）A. -3-4iB. -3+4iC. 3-4iD. 3+4i【答案】C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】因为iz=4+3i ，所以Z＝4+3ii =4i−3−1=3−4i。
故答案为：C【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。
3.已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A. p ∧qB. ¬p ∧qC. p ∧¬qD. ¬(pVq)【答案】A【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题q也是真命题，故答案为：A【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。
4.函数f（x）=sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是（）A. 3 π和√2B. 3 π和2C. 6π和√2D. 6π和2【答案】C【考点】正弦函数的图象，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值【解析】【解答】因为f（x）=sin x3+cos x3＝√22sin(x3+π4),所以周期T＝2π13＝6π ，值域[－√2，√2]。
高考数学模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷文科附详细答案104
高考数学模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（文科）（附详细答案）(10)一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.（0，1）C.（0，1]D.[0，1）3.（5分）已知复数z=2﹣i，则z•的值为（）A.5B.C.3D.4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣15.（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A.4πB.3πC.2πD.π6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=x3B.f（x）=3xC.f（x）=xD.f（x）=（）x8.（5分）原命题为“若＜an，n∈N+，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真、真、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假9.（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A.，s2+1002B.+100，s2+1002C.，s2D.+100，s210.（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=x3﹣x2﹣xB.y=x3+x2﹣3xC.y=x3﹣xD.y=x3+x2﹣2x二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11.（5分）抛物线y2=4x的准线方程是.12.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=.14.（5分）已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N+，则f（x）的表达式为.选考题（请在1517三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.几何证明选做题16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=.坐标系与参数方程选做题17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是.三、解答题（共6小题，共75分）18.（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值.19.（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC 三边围成的区域（含边界）上，且=m +n（m，n∈R）（Ⅰ）若m=n=，求||；（Ⅱ）用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.21.（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：0 1000 2000 3000 4000赔付金额（元）500 130 100 150 120 车辆数（辆）（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.22.（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程.23.（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R.（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（文科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解.【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B.【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题.2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.（0，1）C.（0，1]D.[0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项.【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）.故选：D.【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键.3.（5分）已知复数z=2﹣i，则z•的值为（）A.5B.C.3D.【分析】由z求出，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解.【解答】解：由z=2﹣i，得z•=（2﹣i）（2+i）=4﹣i2=5.故选：A.【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题.4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式. 【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n.故选：C.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.5.（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A.4πB.3πC.2πD.π【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积.【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故选：C.【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论.【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=.故选：B.【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=x3B.f（x）=3xC.f（x）=xD.f（x）=（）x【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案.【解答】解：A.f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f （y），故A错；B.f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故B正确；C.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故C 错；D.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f （x）在R上是单调减函数，故D错.故选：B.【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题.8.（5分）原命题为“若＜an，n∈N+，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真、真、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假【分析】先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假.【解答】解：∵＜an=⇔an+1＜an，n∈N+，∴{an}为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若≥an，n∈N+，则{an}不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题.故选：A.【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键.9.（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A.，s2+1002B.+100，s2+1002C.，s2D.+100，s2【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论.【解答】解：由题意知yi=xi+100，则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100，方差s2=[（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2.故选：D.【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式.10.（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=x3﹣x2﹣xB.y=x3+x2﹣3xC.y=x3﹣xD.y=x3+x2﹣2x【分析】由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案.【解答】解：由函数图象知，此三次函数在（0，0）上处与直线y=﹣x相切，在（2，0）点处与y=3x﹣6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线.A、，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是﹣1，3，符合题意，故A 正确；B、，将0代入，此时导数为﹣3，不为﹣1，故B错误；C、，将2代入，此时导数为﹣1，与点（2，0）处切线斜率为3矛盾，故C 错误；D、，将0代入，此时导数为﹣2，与点（0，0）处切线斜率为﹣1矛盾，故D错误.故选：A.【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一.二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）11.（5分）抛物线y2=4x的准线方程是 x=﹣1 .【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程.【解答】解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=﹣1.故答案为x=﹣1.【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误.12.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值.【解答】解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=.故答案为：.【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=.【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ【解答】解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=，故答案为：.【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.14.（5分）已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N+，则f（x）的表达式为.【分析】由题意，可先求出f1（x），f2（x），f3（x）…，归纳出fn（x）的表达式，即可得出f（x）的表达式【解答】解：由题意...…故f（x）=故答案为：【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征.选考题（请在1517三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决.【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题.几何证明选做题16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= 3 .【分析】证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论.【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3.故答案为：3.【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题.坐标系与参数方程选做题17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 .【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出.【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P.直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0.∴点P到直线的距离d==1.故答案为：1.【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题（共6小题，共75分）18.（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值.【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值.【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===.【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.19.（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形.【分析】（Ⅰ）证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH是矩形.【解答】（Ⅰ）解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V==；（Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形.【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且=m+n（m，n∈R）（Ⅰ）若m=n=，求||；（Ⅱ）用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.【分析】（Ⅰ）由点的坐标求出向量和的坐标，结合m=n=，再由=m+n求得的坐标，然后由模的公式求模；（Ⅱ）由=m+n得到，作差后得到m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，然后利用线性规划知识求得m﹣n的最大值.【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，又m=n=，∴.∴；（Ⅱ）∵，∴，两式相减得，m﹣n=y﹣x.令y﹣x=t，由图可知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为：1.【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.21.（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：0 1000 2000 3000 4000赔付金额（元）500 130 100 150 120 车辆数（辆）（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.【分析】（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，求得P（A），P（B），再根据投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，问题得以解决.（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率.【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P（A）=，P（B）=，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为P（A）+P（B）=0.15+0.12=0.27.（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得P（C）=0.24.【点评】本题主要考查了用频率来表示概率，属于中档题.23.（14分）设函数f（x）=lnx+，m∈R.（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x ）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围.【分析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h （x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围.【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）.∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）.【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题.22.（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A、B两点，与以F1F2为直径的圆交于C、D两点，且满足=，求直线l的方程.【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可.（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1.利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及d＜1，可得m的取值范围.利用弦长公式可得|CD|=2.设A （x1，y1），B（x2，y2）.把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|=.由=，即可解得m.【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，c=1，a=2.∴椭圆的方程为.（Ⅱ）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1.∴圆心到直线l的距离d=，由d＜1，可得.（*）∴|CD|=2==.设A（x1，y1），B（x2，y2）.联立，化为x2﹣mx+m2﹣3=0，可得x1+x2=m，.∴|AB|==.由=，得，解得满足（*）.因此直线l的方程为.【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.高考数学试卷（理科）一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（0，1] D．（0，1）2．（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π3．（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣14．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A．an=2n B．an=2（n﹣1）C．an=2n D．an=2n﹣15．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=x3 C．f（x）=（）x D．f（x）=3x8．（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假9．（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a10．（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A．y=﹣x B．y=x3﹣xC．y=x3﹣x D．y=﹣x3+x二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=．12．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=．14．（5分）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数棱数（E）（V）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是．（不等式选做题）15．（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为．（几何证明选做题）16．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=．（坐标系与参数方程选做题）17．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．19．（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m +n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．21．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300 500作物产量（kg）概率0.5 0.56 10作物市场价格（元/kg）概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．22．（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．23．（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（0，1] D．（0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）．故选：B．【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键．2．（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选：B．【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1【分析】根据微积分基本定理计算即可．【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）﹣（0+e0）=e．故选：C．【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A．an=2n B．an=2（n﹣1）C．an=2n D．an=2n﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n．故选：C．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．5．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：C．【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．7．（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=x3 C．f（x）=（）x D．f（x）=3x【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：A．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f （y），故A错；B．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错．D．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．8．（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，∴原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．故选：B．【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．9．（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．【解答】解：方法1：∵yi=xi+a，∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4．方法2：由题意知yi=xi+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．10．（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）。
(全国I)2021届高三第二次模拟考试卷 文科数学(一) Word版含答案【KS5U 高考】
2021届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，(){}20,B x x x x =-≥∈Z ，则A B =（ ）A ．{}0,2,3,4B ．{}0,2C ．{}3,4D ．{}0,1,22．复数4i1+3i的虚部为（ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i3．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤5．已知函数()π2sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2ϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为()3,0，为了得到函数()π2cos 4g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象（ ）A ．向左平移1个单位长度B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移π4个单位长度6．已知函数()22cos sin x xx xf x e e--=+，则函数()f x 的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．7．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ）A ．小寒比大寒的晷长长一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．小雪的晷长为一丈五寸D ．立春的晷长比立秋的晷长长8．中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷100颗米粒（大小忽略不计，取π3=），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（ ） A ．55B ．50C ．45D ．409．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为圆()2212x y +-=的圆心，又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A 、B 两点，则AB =（ ） A ．12B ．14C ．16D ．1810．已知向量≠a e ，1=e ，对任意t ∈R 恒有t -≥-a e a e ，则（ ） A ．⊥a e B ．()⊥-a a e C ．()⊥-e a eD ．()()+⊥-a e a e11．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号ABCD ，2AB =，若四棱锥P ABCD -，则该四棱锥的表面积为（ ） A．B．C．D．12．已知函数()()221ln 202x aa xf x e ex a x a --=++-->，若()f x 有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A．(B ．()20,eC．)+∞D ．)2,e ⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．正实数x ，y 满足：21x y +=，则当21x y+取最小值时，x =________． 14．已知圆222)1)5:((C x y -+-=及点(0,2)A ，点P 、Q 分别是直线20x y ++=和圆C 上的动点，则||||PA PQ +的最小值为___________．15．设函数()212221xx f x x--=++，若对x ∀∈R ，不等式()()24f mx f x ≥+成立，则实数m 的取值范围是_________．16．在ABC △中，a ，b ，c ，分别为角A ，B ，C 的对边，cos sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭．若ABC △的内切圆面积为4π，则ABC △面积S 的最小值_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S n kn =-+(*k ∈N )，且n S 的最大值为25．（1）求k 的值及通项公式n a ； （2）求数列{}112n a n -⋅的前n 项和nT ．18．（12分）在某地区的教育成果展示会上，其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位：个)有如下统计表：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）根据线性回归方程预测2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数)． 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线方程ˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-；(参考数据：61628i ii x yxy =-=∑)．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点． （1）证明：1AB ∥平面1BC D ；（2）若12AA AB =，求点1B 到平面1BC D 的距离．20．（12分）已知椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F △3 （2）点M 为椭圆C 的右顶点，若不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 均不是椭圆C 的右顶点），且满足AM BM ⊥，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数()1xf x e ax =--．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的参数方程为sin cos 2x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线2C 的极坐标方程为π6θ=-．（1）将1C 的参数方程化为普通方程，2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求与直线2C 平行且与曲线1C 相切的直线l 的直角坐标方程．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|31|2|3|f x x x =-+-．（1）若关于x 的方程|31|2|3|x x a -+-=有两个不同的实数根，求a 的取值范围； （2）如果不等式()f x bx ≤的解集非空，求b 的取值范围．文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】由集合()(){}150,A x x x x =+-<∈Z ，得{}0,1,2,3,4A =，(){}20,{|0B x x x x x x =-≥∈=≤Z 或2,}x x ≥∈Z ，所以{}0,2,3,4AB =，故选A ．2．【答案】A()4i 1i 4==，所以虚部为1，故选A ． 3．【答案】B【解析】因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，因为478<<，所以2222log 4log 7log 83=<<=，所以23a <<， 因为3log y x =在()0,∞+上单调递增，389<<， 所以3331log 3log 8log 92=<<=，所以12b <<， 因为0.3xy =在R 上单调递减，0.20>， 所以0.2000.30.31<<=，即01c <<， 所以c b a <<，故选B ． 4．【答案】C 【解析】命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤为真命题，即{|19}x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤成立，即36a x x≥+能成立， 设36()f x x x =+，则36()12f x x x =+≥=，当且仅当36x x=，即6x =时，取等号，即min ()12f x =，12a ∴≥， 故a 的取值范围是12a ≥，故选C ． 5．【答案】A【解析】因为函数()f x 图象的一个对称中心为()3,0，所以3ππ4k ϕ+=，k ∈Z ，所以3ππ4k ϕ=-，k ∈Z ， 又π2ϕ<，所以π4ϕ=，所以()ππ2sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()()πππππ2cos2sin 2sin 144244g x x x x ⎛⎫⎛⎫==+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以为了得到()π2cos 4g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度，故选A ． 6．【答案】B【解析】函数()22cos sin x xx xf x e e--=+的定义域为R ，且()()f x f x -=， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称， 排除选项A ，D ； 因为()1012f =<，所以排除选项C ， 故选B ． 7．【答案】C【解析】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a ， 其中115a =寸，13135a =寸，公差为d 寸， 则1351512d =+，解得10d =（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b ，首项1135b =，末项1315b =，公差10d =-（单位都为寸），故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A 正确； 春分的晷长为7b ，7161356075b b d ∴=+=-=，秋分的晷长为7a ，716156075a a d ∴=+=+=，故春分和秋分两个节气的晷长相同， 所以B 正确；小雪的晷长为11a ，1111015100115a a d ∴=+=+=，115寸即一丈一尺五寸， 故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C 错误； 立春的晷长，立秋的晷长分别为4b ，4a ，413153045a a d ∴=+=+=，41313530105b b d =+=-=，44b a ∴>，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D 正确， 故选C ． 8．【答案】C【解析】17=，设三角形内切圆的半径为r ，面积为S ， 利用等面积法可知()118158151722S r =⨯⨯=⨯++，解得3r =， 向该直角三角形内随机抛掷100颗米粒，设落在三角形内切圆内的米粒数大约为x ，则利用几何概型可知2π311008152x ⨯=⨯⨯，解得2π31004518152x ⨯⨯==⨯⨯颗， 所以落在三角形内切圆内的米粒数大约为45，故选C ． 9．【答案】C【解析】由题可得抛物线焦点为()0,1，则12p=，即2p =，则抛物线方程为24x y =， 直线AB 的倾斜角为60°，故直线AB的方程为1y =+，联立直线与抛物线241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，可得240x --=，设()11,A x y ，()22,B x y，则12x x +=124x x =-，则16AB ==，故选C ．10．【答案】C【解析】对任意t ∈R 恒有t -≥-a e a e ，22t ∴-≥-a e a e ，即2222222t t -⋅+≥-⋅+a a e e a a e e ，即()22210t t -⋅+⋅-≥a e a e 对任意t ∈R 恒成立，则()()()222421410Δ=⋅-⋅-=⋅-≤a e a e a e ，1∴⋅=a e ，故a 和e 不垂直，故A 错误；≠a e ，1=e ，22()10∴⋅-=-⋅=-≠a a e a a e a ，故B 错误；2()110⋅-=⋅-=-=e a e a e e ，()∴⊥-e a e ，故C 正确； 222()()10+⋅-=-=-≠a e a e a e a ，故D 错误，故选C ． 11．【答案】B【解析】设四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，过O 作底面ABCD 的垂线，垂足为M ， 因为四边形ABCD 是长方形，所以M 为底面中心，即对角线AC BD 、的交点， 过O 作三角形APD 的垂线，垂足为N ，所以N 是正三角形APD 外心，设外接球半径为r ，外接球的体积为34π33r=，所以r =OA = 过N 作NE AD ⊥，则E 是AD 的中点，连接EM ，所以112EM AB ==，EM AD ⊥， 因为平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD平面ABCD AD =，所以NE ⊥平面ABCD ，所以//NE OM ，所以EM ⊥平面APD ，所以//EM ON ， 所以四边形MENO 是平行四边形，即OM NE =，设2AD x =，则AM ==，113323NE PE AD x ==⨯=，所以OM NE x ==，由勾股定理得222OA OM AM =+，即221213x x =++，解得x =所以AD =21sin 602PAD S AD =︒=△，因为////CD AB OM ，所以AB ⊥平面APD ，CD ⊥平面APD ， 所以PA AB ⊥，PD CD ⊥，132PAB PCD S S AB AP ==⨯⨯=△△， 因为227PB PC PA AB ==+=，3BC =，作PH BC ⊥于H ，所以H 为BC 的中点，所以221357242PH PB BC ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 所以1532PBC S PH BC =⨯⨯=△，23ABCD S =矩形， 所以63PAD PAB PCD ABCD S S S S S =+++=△△△表矩形，故选B ．12．【答案】C【解析】()0f x =可转化为2212ln 2x a a xe x a x e --+-=-+． 设()2x aa x g x ee --=+-，由基本不等式得2220x a a x x a a x e e e e ----+-≥⋅=， 当且仅当x a =时，()g x 取到最小值0．设()()221ln 02h x x a x a =-+>，则()222a a x h x x x x-'=-+=， 当0x a <<时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当x a >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以当x a =时，()h x 取到最大值221ln 2a a a -+．若()f x 有2个零点，则()g x 与()h x 有两个交点，此时221ln 02a a a -+>，解得a e >，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】13【解析】0x >，0y >，21x y +=，()2121222225525249y x y x x y x y x y x y x y∴+=++=++≥+⋅=+⎛⎫ ⎝⎭=⎪， 当且仅当22y x x y =，即13x y ==时，等号成立． 故答案为13． 14．【答案】25 【解析】如图所示：设点A 关于直线:20l x y ++=的对称点为(),A x y '，则2202221x y y x+⎧++=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得42x y =-⎧⎨=-⎩，则()4,2A '--， 因为PA PA '=，所以PA PQ+的最小值为()()22422155A C r '-=--+--=故答案为 15．【答案】[]4,4- 【解析】函数()212221xx f x x--=++的定义域为R ， ()()()()221122222211xxx x f x f x xx -------=+=+=++-，所以，函数()f x 为偶函数， 当0x ≥时，()()2122312321121x x x f x x x--+=+=+-++， 由于函数122x y =为减函数，2231y x =+在[)0,+∞上为减函数， 所以，函数()212221xx f x x--=++在[)0,+∞上单调递减， 由()()24f mx f x ≥+可得()()24fmx f x≥+，可得24mx x ≤+，所以，240x m x -⋅+≥对任意的x ∈R 恒成立， 设0t x =≥，则240t m t -+≥对任意的0t ≥恒成立， 由于二次函数24y t m t =-+的对称轴为直线02mt =≥， 2160Δm ∴=-≤，解得44m -≤≤，因此，实数m 的取值范围是[]4,4-，故答案为[]4,4-．16．【答案】【解析】cos sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭)sin sin cos cos sin B C B C A -=，即()sin B C A +=sin A A =，即tan A =π3A ∴=， 由题意知ABC △内切圆的半径为2，如图，内切圆的圆心为I ，,M N 为切点，则4AI =，AM AN ==从而43a b c =+-(22243b c b c bc +-=+-，整理得)34883163bc b c bc +=+≥，解得48≥bc 或163≤bc （舍去）， 从而113sin 4812322S bc A =≥⨯=， 即ABC △面积S 的最小值为123123三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）10k =，211n a n =-+(*n ∈N )；（2）434993n n n T +=-⋅． 【解析】（1）由题可得2224n k k S n ⎫⎛=--+ ⎪⎝⎭，*k ∈Z ， 所以当k 为偶数时，()2max2254n k k S S ===，解得10k =；当k 为奇数时，()21max 21254n k k S S +-===，此时k 无整数解，综上可得：10k =，210n S n n =-+．①1n =时，119a S ==．②当2n ≥时，()()()()221101101211n n n n n n n n a S S -=-+---+-=-+=-，当1n =时也成立． 综上可得211n a n =-+，所以10k =，211n a n =-+(*n ∈N )． （2）112224n a n n n n n --⋅=⋅=，1212444n n n T =++⋅⋅⋅+① 231112144444n n n n n T +-=++⋅⋅⋅++② 两式相减得21311144444n n n nT +=++⋅⋅⋅+-，1111131144144334414n n n n n n n T ++⎫⎛- ⎪⎝⎭=-=--⋅-， 则14199434n n n n T -=--⋅⋅，则434993n n n T +=-⋅． 18．【答案】（1） 1.664.4y x =+；（2）75． 【解析】（1）由题意，123456 3.56x +++++==，666770717274706y +++++==，()()()()7222222212.5 1.50.50.5 1.5 2.517.5i i x x=-=-+-+-+++=∑，()171277281.617.5i i i iix x x y x yb ==--∴===∑∑，70 1.6 3.564.4a y bx =-=-⨯=， ∴y 关于x 的线性回归方程为 1.664.4y x =+．（2）由（1）可知，当年份为2021年时，年份代码7x =，此时 1.6764.475.6y =⨯+=， 保留整数为75人，所以2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为75人． 19．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）设11B CBC E =，连接DE ，由直棱柱的性质可知四边形11BCC B 是矩形，则E 为1B C 的中点， 因为D 是AC 的中点，所以1//DE AB ，因为1AB ⊄平面1BC D ，DE ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D ． （2）连接1AC ，由（1）知1//AB 平面1BC D ，所以点1B 到平面1BC D 的距离等于点A 到平面1BC D 的距离， 因为底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，因为2AB =，所以1AD =，则3BD =， 从而ABD △的面积为13132⨯⨯=， 故三棱锥1C ABD -的体积为132343⨯⨯=， 由直棱柱的性质可知平面ABC ⊥平面11ACC A ，则BD ⊥平面11ACC A ， 因为1C D ⊂平面11ACC A ，所以1BD C D ⊥， 又221117C D CC CD =+=，所以1BC D △的面积为1513172⨯⨯=， 设点A 到平面1BC D 的距离为h ，则151233h ⨯=，解得417h =， 故点1B 到平面1BC D 的距离为41717．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由椭圆的对称性可知：当点P 落在椭圆的短轴的两个端点时，12PF F △的面积最大，此时1232b ⨯⨯=3b = 由222a bc =+，得2314a =+=，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为y kx m =+，联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222348430k x mkx m +++-=，则()()222264163430Δm k km=-+->，即22340k m +->，122834mk x x k ∴+=-+，()21224334m x x k-=+．()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -∴=++=+++=+．椭圆的右顶点为()2,0M ，AM BM ⊥，0MA MB ∴⋅=，()()1212220x x y y ∴--+=，即()121212240y y x x x x +-++=， ()()22222234431640343434m k m mkk k k--∴+++=+++， 整理可得2271640m km k ++=， 解得12m k =-，227k m =-，（1m ，2m 均满足22340k m +->）． 当2m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线l 过右顶点()2,0，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2,07⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线l 过定点，定点坐标为2,07⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）(,2]e -∞-．【解析】（1）当1a =时，()1x f x e x =--，所以()1x f x e =-'．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)0f =，无极大值．（2）因为2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，所以210x e x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立． 当0x =时，00≥恒成立，此时a ∈R ；当0x >时，1()x e a x x x≤-+在(0,)+∞上恒成立．令1()()x e g x x x x =-+，则2222(1)1(1)((1))()()x x e x x x e x g x x x x ----+'=-=． 由（1）知0x >时，()0f x >，即(1)0xe x -+>．当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，min ()2g x e =-，所以2a e ≤-， 综上可知，实数a 的取值范围是(,2]e -∞-．22．【答案】（1）2112:y x C =-，()230,0C y x +=≥；（2）25324y x =-+． 【解析】（1）因为曲线1C 的参数方程为sin cos 2x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以2sin 12sin x y αα=⎧⎨=-⎩，消去α，得212y x =-． 因为直线2C 的极坐标方程为π6θ=-，所以πsin tan tan 6cos ρθθρθ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，即3y x =-()30,0y x +=≥． （2）设切线方程为33yx b，由212y x b y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，得2210x x b +-=，所以()238103Δb ⎛⎫=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得2524b =， 所以切线方程是325324y x =-+． 23．【答案】（1）16|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）{5b b <-∣或83b ⎫≥⎬⎭． 【解析】（1）57,31()31235,33157,3x x f x x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=-+-=+≤<⎨⎪⎪-+<⎪⎩， 当3x ≥时，函数()f x 单调递增，并且()8f x ≥； 当133x ≤<时，函数()f x 单调递增，并且16()3f x ≥； 当13x <时，函数()f x 单调递减，并且16()3f x >， 综上：当13x >时，函数()f x 单调递增，当13x <时，函数()f x 单调递减，且16()3f x ≥．作出()f x 的图象如图所示：要使关于x 的方程|31|2|3|x x a -+-=有两个不同的根， 则a 的取值范围16|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．（2）因为(3)8f =，记点(3,8)M ，坐标原点为(0,0)O ，则直线OM 的斜率为83k =． 当直线y bx =与57y x =-+平行时，无交点， 所以当5b <-或83b ≥时，该直线与函数()|31|2|3|f x x x =-+-的图象相交． 因为不等式()f x bx ≤的解集非空， 所以b 的取值范围是{5b b <-或83b ⎫≥⎬⎭．。
高三数学(文)测试题(11月28日) Word版含答案
浠水实验高中届高三数学训练试题（月日）
命题人：田敏林
一、选择题（本大题小题，每小题分，共分）
．在等差数列中，若，则的值为（ ） ． ． ． ． ．设，，且，则锐角为( )
. . . .
.给出下列命题
()
命题“若
，则
”的逆否命题为“若
中至少有一个不为则”
() 若命题，则 ()中，是的充要条件 () 若向
量满
足，则与的夹角为钝角.
其中正确命题个数为（）
. . .
．如图（），是⊙的直径，点，是半圆弧上的两个三等分
点，设
，，则（ ）
．
．
．
． 若变量满足，则关于的函数图象大致是（ ）
、函数（）（ωφ）（ω＞，＜φ＜）的部分图象
如图所示，则ω，φ的值分别是
( )
图（）
、、、、
、已知函数，（）﹣，设为实数，若存在实数，使（）﹣（），则
实数的取值范围为( )
、、、、
.已知函数的最小正周期为，且其图像向右平移个单位后得到函数的图像，则函数的图像 ( )
．关于直线对称．关于直线对称
．关于点对称．关于点对称
.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是
( )
．．．．
.已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有个根，则实数的取值范围是（）
．．．．
二填空题（本大题共个小题，每题分，满分分）
、已知满足条件，则的最小值是。
高三文科数学综合测试试题- 附参考答案
高三文科数学综合测试试题（三）数学试题（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上， 用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用 铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）A ．1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB ．1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC ．1sin ,:>∈∃⌝x R x pD ．1sin ,:>∈∀⌝x R x p 2．函数xx x f 1ln )(-=的零点个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．若xxb x g a x f b a b a ==≠≠=+)()()1,1(0lg lg 与，则函数其中的图象 （ ）A ．关于直线y=x 对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称4．下列能使θθθtan sin cos <<成立的θ所在区间是 （ ）A ．)4,0(πB ．)2,4(ππ C ．),2(ππD ．)23,45(ππ 5．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间),2(ππ上为减函数的是（ ）A ．x y 2cos =B ．x y sin 2=C ．xy cos )31(=D ．x y tan -= 6．已知数列{a n }中，a 1=2，前n 项和S n ，若n n a n S 2=，则a n =（ ）A ．n2 B ．14+n C ．)1(2+n nD ．)1(4+n n7．不等式02||2<--x x 的解集是（ ）A ．}22|{<<-x xB ．}22|{>-<x x x 或C ．}11|{<<-x xD ．}11|{>-<x x x 或8．已知函数1)(0,01),sin()(12=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-a f x e x x x f x ，若π，则a 的所有可能值组成的集合为（ ）A ．}22,1{-B ． {1，22}C ．{－22}D ．{1}9．设函数P M x f x P x f x M x ax x f ≠⊂≥'=<=--=，若，集合}0)(|{},0)(|{1)(，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,(-∞B ．（0，1）C ．),1(+∞D ．),1[+∞10．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若b a b a R b a =⇒=-∈0，则、”类比推出“b a b a C c a =⇒=-∈0,则、” ②“若d b c a di c bi a R d c b a ==⇒+=+∈,，则复数、、、”类比推出“d b c a d c b a Q d c b a ==⇒+=+∈,22，则、、、”③“若b a b a R b a >⇒>-∈0，则、、”类比推出“若b a b a c b a >⇒-∈0.,则、”④“若111||<<-⇒<∈x x R x ，则”类比推出“若111||<<-⇒<∈z z C z ，则” 其中类比结论正确．．．．的个数有 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）. 11．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z=12．在等比数列{a n }中，∏∏==+=⋅===92110131i i n nki k k ia a a a aa a ，则，若，13．已知xy y x R y x ，则，且14,=+∈+的最大值为14．将正整数排成下表： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……则数表中的300应出现在第 行.三、解答题；本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分） 已知a>0且1≠a命题P ：函数),0()1(log +∞+=在x y a 内单调递减； 命题Q ：曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于不同的两点. 如果“P\/Q ”为真且“P/\Q ”为假，求a 的取值范围.16．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（量大供应量）如下表所示：17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c. 已知.272cos 2sin 42=-+C B A a+b=5，c=7，（1）求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积. 18．（本小题满分14分）在公差为d （d ≠0）的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中，已知a 1=b 1=1，a 2=b 2，a 8=b 3.（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）令n n n b a c ⋅=，求数列{c n }的前n 项和T n .19．（本小题满分14分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，|AB|=3米，|AD|=2米.（Ⅰ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AM 的长应在什么范围内？ （Ⅱ）当AM 、AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积.20．（本小题满分14分）定义域为R 的偶函数)(ln )(0)(R a ax x x f x x f ∈-=>时，，当，方程0)(=x f 在R 上恰有5个不同的实数解. （Ⅰ）求x<0时，函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题 1．C2．B 利用数形结合求解，令xy x y x x x x 1ln 1ln 01ln ====-与，即求函数，得的交点个数.3．C 解析：取满足2121lg lg ===+b a b a ，则的特殊值可得答案C. 4．B 解析：取答案各区间的特点值343236ππππ、、、代入检验即可.5．D 解析：B 、C 的函数周期为2π，不合题意，A 的函数在区间),2(ππ上为增函数，不合题意6．D 解析：由a 1=2知答案A 不正确，再由a 1+a 2=S 2=4a 2322=⇒a 可得答案B 、C 不正确 7．A 解析：2||02||01||0)1|)(|2|(|02||2<⇒<-⇒>+<+-⇒<--x x x x x x x ，由 22<<-⇒x ，故选A.8．A 解析：2221221)sin(01;110a k a a a a e a a ⇒+=⇒=⇒<<-=⇒=⇒≥-ππππ时时=2k+2221-=a ，由范围得，故选A. 9．D 解析：0)(,1,1)(110)1(1)(2='=⇒≠==≥⇒≥--='x f M x x f a a x a x f φ时，，当满足}0|{),,1(1;}0|{0)(≠==>⊂⇒≠=⇒≥'≠x x P a M a P M x x P x f 时，当 P M ≠⊂，故a 的取值范围是),1[+∞，故选D.10．B 解析：①、②正确，③、④错误，因为③、④中对于虚数的情况没有大小关系，故选B. 二、填空题11．答案：1－i 解析：i z i ii z -=⇒+=-=11112．答案：81 解析：813)())()()((441016574839298765432====a a a a a a a a a a a a a a a a a a 13．答案：161 解析：∵161)24(41441,,2=+≤⋅=⋅∴∈+y y x y x y x R y x ，当且仅当81,214===y x y x 即时取等号. 14．答案：18 解析：每行的数字取值从（n －1）2+1到n 2，而172<300<182，故300在第18行.三、解答题：15．解：∵1,0≠>a a ， ∴命题P 为真时1,0a <⇔命题P 为假时1>⇔a命题Q 为真时，252101,004)32(2><<≠>>--=∆⇔a a a a a 或，即，且 命题Q 为假时 2521≤≤⇔a 由“P\/Q ”为真且“P/\Q ”为假，知P 、Q 有且只有一个正确.情形（1）：P 正确，且Q 不正确)1,21[252110∈⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<⇔a a a ，即情形（2）：P 不正确，且Q 正确),25(252101+∞∈⎪⎩⎪⎨⎧><<>⇔a a a a ，即或 综上，a 取值范围是),25()1,21[+∞⋃ 另解：依题意，命题P 为真时，0<a<1曲线x x a x y 与1)32(2+-+=轴交于两点等价于04)32(2>--a ， 得 2521><a a 或 故命题Q 为真时，2521><a a 或 由“P\/Q ”为真且“P/\Q ”为假，知P 、Q 有且只有一个正确.等价于P 、Q 为真时在数轴表示图形中有且只有一个阴影的部分. 由图形知a 取值范围是),25()1,21[+∞⋃ （注：如果答案中21端点取了开区间，扣2分） 16．解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨. 获得利润z 万元依题意可得约束条件：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001032005436049y x y x y x y x作出可行域如右图利润目标函数z=6x+12y由几何意义知当直线l ：z=6x+12y ，经过可行域上的点M 时，z=6x+12y 取最大值.解方程组 ⎩⎨⎧=+=+20054300103y x y x ，得M （20，24）答：生产甲种产品20t ，乙种产品24t ，才能使此工厂获得最大利润 17．解：（Ⅰ）∵A+B+C=180°由272cos 2cos 4272cos 2sin422=-=-+C C C B A 得 ∴27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C 整理，得01cos 4cos 42=+-C C 解得：21cos =C∵︒<<︒1800C ∴C=60°（Ⅱ）由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－2ab ∴ab b a 3)(72-+==25－3ab 6=⇔ab∴23323621sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC 18．解：（1）由条件得：126,4565711-=-=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+n n n b n a q d qd qd （2）123216)45(611661--++⨯+⨯+=++++=n n n n c c c c T ① ∴6T n =6+6×62+11×63+…+（5n －4）6n ② ①－②：n n n n T 6)45()666(51512--++++=--n n n n n 6)1(556)45(5)61(6511---=----⋅+=-∴16)1(+-=n n n T 19．解：设AM 的长为x 米(x>3)∵||||||||AM DC AN DN = ∴32||-=x x AN∴32||||2-=⋅=x x AM AN S AMPN…………3分（Ⅰ）由S AMPN >32得32322>-x x ， ∵12430)12)(4(04816,32><<∴>-->+-∴>x x x x x x x 或，即即AM 长的取值范围是（3，4）),12(+∞⋃（Ⅱ）令2222)3()6(3)3(3)3(633--=---='-=x x x x x x x y x x y ，则 ∴当),6(0,6+∞>'>，即函数在y x 上单调递增，x<6，0<'y ，函数在（3，6）上单调递减∴当x=6时，322-=x x y 取得最小值即S AMPN 取得最小值24（平方米）此时|AM|=6米，|AN|=4米答：当AM 、AN 的长度分别是6米、4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积是24平方米.另解：以AM 、AN 分别为x 、y 轴建立直角坐标系，设1),2,3()3(),,0(),0,(=+>by a x MN C a b N a M 的方程为直线，则 由C 在直线MN 上得 ab b a 312123-=⇔=+ ∴)31(162163232ab b a ab S AMPN-=⋅=>⇔>=124048162><⇔>+-⇔a a x a 或∴AM 的长取值范围是（3，4）),12(+∞⋃（Ⅱ）∵4,62324232231===≥⇒⋅≥+=b a ba ab b a b a ，即，当且仅当时等号成立. ∴|AM|=6米，|AN|=4米时，S AMPN 达到最小值24答：当AM 、AN 的长度分别是6米、4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积是24平方米. 20．解：（1）设x<0，则－x>0∵)(x f 为偶函数， ∴ax x x f x f +-=-=)ln()()( （2）∵)(x f 为偶函数，∴)(x f =0的根关于0对称.由)(x f =0恰有5个不同的实数解，知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根. 且两个正根和二个负根互为相反数∴原命题)(0x f x 时当>⇔图像与x 轴恰有两个不同的交点 下面研究x>0时的情况∵),0(0)(01)(+∞∈>'≤∴-='x x f a a xx f ，时，当即 ),0(ln )(+∞-=在ax x x f 为单调增函数，故),0(0)(+∞=在x f 不可能有两实根 ∴a>0 令ax x f 10)(=='，得 当)(0)(1)(,0)(10x f x f a x x f x f a x ，时，递增，当时，<'>>'<<递减， ∴ax x f 1)(=在处取到极大值1ln --a又当-∞→+∞→-∞→→)(,)(0x f x x f x ，当时， 要使x x f x 与时，)(0>轴有两个交点当且仅当1ln --a >0 解得e a 10<<，故实数a 的取值范围（0，e1） 方法二：（2）∵)(x f 为偶函数， ∴)(x f =0的根关于0对称.由)(x f =0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根. 且两个正根和二个负根互为相反数∴原命题)(0x f x 时当>⇔图像与x 轴恰有两个不同的交点 下面研究x>0时的情况x y x f ln 0)(=⇔=的零点个数与直线ax y =交点的个数.∴当0≤a 时，x y ln =递增与直线y=ax 下降或是x 国， 故交点的个数为1，不合题意 ∴a>0由几何意义知x y ln =与直线y=ax 交点的个数为2时，直线y=ax 的变化应是从x 轴到与x y ln =相切之间的情形. 设切点tx k t t t x 1|)(ln )ln ,(='=⇒= ∴切线方为 )(1ln t x tt y -=-由切线与y=ax 重合知ea e t t t a 1,1ln ,1==⇒==1故实数a的取值范围为（0，）e。
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2021年高三数学（文科）高考总复习阶段测试卷（第28周）含答案说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置．4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案．参考公式：圆锥表面积公式：（是圆锥底面半径，是母线）圆锥体积公式：（是圆锥底面半径，是高）球体积公式：（R是球的半径）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．命题“存在R，0”的否定是（）A．不存在R，>0 B．存在R，0C．对任意的R，0 D．对任意的R，>03．已知：，则的大小关系为（）A．B．C．D．4．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的体积为：（）C．cm3 D．cm3（）D．“”的（）B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件（）A．B．C．D．8．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，则（）A．B．C．D．10．已知向量，，那么= （）A．B．C．D．111．定义两种运算：，，则函数（）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数12．已知定义在上的函数满足，且，，有穷数列()的前项和等于, 则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上．）13．函数的定义域为____________________．14．已知m>0,n>0,向量，且，则的最小值是 .15．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值－1叫做的下确界，则函数的下确界为 .16．已知中，所对的边长分别为,则下列条件中能推出为锐角三角形的条件是_________. （把正确答案的序号都写在横线上）①. ②.③,. ④.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本题满分10分)设函数，（Ⅰ）不等式的解集为，求的值;（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求不等式的解集.18．(本题满分12分)已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．19．(本题满分12分)设数列的前项和为，对，都有成立，(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列，试求数列的前项和.20．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，直线的倾斜角为，，设，.(Ⅰ)用表示；(Ⅱ)若，求的值．21．(本题满分12分)已知数列的各项都为正数，，前项和满足（）.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令（），数列的前项和为，若对任意正整数都成立，求实数的取值范围.22． (本题满分12分)已知函数（）.（Ⅰ）若，求在上的最大值；（Ⅱ）若，求的单调区间.参考答案：1.【答案】D【分析】根据集合的含义，把集合具体求出来，再根据集合的运算法则进行计算。
【解析】集合是函数的定义域，即满足，解得，即；集合是不等式的解集，即，所以。
【考点】集合。
【点评】本题考查集合的意义和交集运算。
在集合的试题中明确集合的含有是解题的关键之一，其要点是关注集合的代表元素，如本题中集合的代表元素是，是函数的定义域，不是函数的值域。
2.【答案】D。
【分析】根据含有量词的命题否定的法则解决即可。
【解析】已知命题的否定是“对于任意的，”。
【考点】常用逻辑用语。
【点评】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题。
3.【答案】C。
【分析】以为标准进行比较即可。
【解析】，，故，。
所以。
【考点】基本初等函数Ⅰ。
【点评】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用。
在使用函数性质比较大小时，一个方面是用好函数的单调性，另一个方面是确定中间值，根据中间值进行比较，常用的中间值是。
4.【答案】A。
【分析】根据空间几何体的三视图把几何体还原出来，根据面积和体积公式进行计算即可。
【解析】根据三视图，这个空间几何体是底面半径为，母线长度为的圆锥，其高度为，故其表体积为。
【考点】空间几何体。
【点评】本题考查空间几何体的三视图和圆锥的表面积、体积计算。
在高考中空间几何体的三视图一般是与表面积、体积计算相互交汇，在计算面积时要注意计算的是表面积（全面积）还是侧面积。
5.【答案】B.【分析】对分子上的进行降幂。
【解析】211cos701sin 35cos701222sin 20sin 202sin 202-︒--︒==-=-︒︒。
【考点】简单的三角恒等变换。
【点评】在三角恒等变换中二倍角的余弦公式占有重要位置，这个公式可以实现升幂和降幂。
6.【答案】A【分析】根据不等式，当时一定有，反之不成立，举反例即可。
【解析】条件是充分的，但不是必要的，如，显然满足，但不满足。
【考点】常用逻辑用语【点评】充要条件的考查一般要以数学基础知识为素材，这个考点可能涉及的知识面是极为广泛的。
7.【答案】D 。
【分析】在注意定义域的情况下，根据复合函数是单调性判断方法进行。
【解析】函数的定义域是，根据复合函数单调性的判断方法，函数的单调递减区间是。
【考点】基本初等函数Ⅰ。
【点评】本题考查复合函数单调性的判断方法。
复合函数单调性的判断方法是：在函数的定义域内，内外两层函数的单调性相同时，复合后的函数单调递增，内外两层的函数单调性相反时，复合后的函数单调递减。
8.【答案】C【分析】根据函数的导数的值域确定曲线上切线的斜率范围，根据斜率与倾斜角的关系，再确定倾斜角的范围。
【解析】，这个函数的值域是，故曲线上在任意点处的切线的斜率在，根据性质是斜率和倾斜角的关系，直线的倾斜角的正切在取值，故倾斜角的范围是。
【考点】导数及其应用【点评】本题在导数的几何意义和正切函数的性质、直线的斜率和倾斜角的关系的交汇处命制，较为全面地考查基础知识和方法。
9.【答案】B 。
【分析】根据基本不等式和等差数列、等比数列的性质即可。
【解析】39689722a a a b b b +≥====+。
【考点】不等式、数列。
【点评】本题在基本不等式和数列之间交汇命制。
在等差数列中，在等比数列中，其中，是最经常使用的重要性质，本题中就是使用的其特殊情况时的情况。
10.【答案】D 。
【分析】根据平面向量模的意义进行具体运算。
【解析】222()()212cos(7515)11a b a b a b a a b b -=--=-+=-︒-︒+=，所以。
【考点】平面向量、简单的三角恒等变换。
【点评】本题交汇平面向量和三角恒等变换命制。
在平面向量中，这个关系式是根据平面向量数量积的概念得到的，利用这个关系可以把求平面向量的模转化为求平面向量的数量积。
11.【答案】A.【分析】根据给出的新运算法则，把函数的解析式求出来，再根据奇偶函数的定义进行判断。
【解析】，，所以()f x ===故函数是奇函数。
【考点】基本初等函数Ⅰ。
【点评】本题根据给出的新定义求函数解析式，再判断函数的奇偶性，属于创新类试题。
在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域，只有定义域区间关于坐标原点对称时这个函数才可能具备奇偶性，否则就是非奇非偶的函数。
12.【答案】B。
【分析】根据给出的导数关系，利用导数判断函数的单调性，确定的取值范围，再根据已知的求出值，进而求出数列的前项和，列方程求解值。
【解析】令，则，故函数为减函数，即。
再根据，得，解得（舍去）或者。
，数列的前项和是，由于，所以。
【考点】导数及其应用、数列。
【点评】本题交汇了指数函数、导数研究函数的单调性、等比数列等知识，以方程思想为指导命制，充分体现了高考命题的原则。
13.【答案】【分析】对数的真数大于零，分母不等于零。
【解析】满足，故函数的定义域是。
【考点】基本初等函数Ⅰ。
【点评】求函数的定义域就是求出使函数的解析式有意义的自变量的范围。
14.【答案】。
【分析】根据两个向量平行的充要条件，得出正数满足的关系式，再根据基本不等式求最值。
【解析】向量∥的充要条件是，即，故12122()33n mm nm n m n m n⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭【考点】平面向量、不等式。
【点评】使用基本不等式求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，在求解过程中尽可能的只使用一次基本不等式，如果使用两次基本不等式则需要验证两次不等式是否等号成立的条件相同，如果两次不等式等号成立的条件产生矛盾，则求解结果就是错误的。
本题采用的常数代换法可以避免两次使用基本不等式。
15.【答案】。
【分析】根据题意，函数的下确界就是函数的最小值，问题等价于求函数的最小值。
【解析】，其中，即由于，故，所以函数的最小值为。
【考点】不等式。
【点评】本题是新定义试题，这类试题就是把新定义域转化为我们熟悉的数学问题进行解答。
16.【答案】④【分析】个悲剧给出的各个条件，判断三角形内角的范围。
【解析】由，两端平方得，此时为钝角；根据数量积的定义得是钝角；由正弦定理，得，可得或者，也不是锐角三角形；根据三角形的内角关系可得tan tan tan tan tan tan0A B C A B C++=>，只能是均大于零。
【考点】解三角形。
【点评】这类试题属于多项选择题，在解题中要逐个认真验证，稍有不慎就容易出错、17.【分析】（1）等价于，解带有参数的这个不等式即可得到不等式的解集，再根据已知的解集，比较即得值；（2）把不等式的一端化为零，然后采取等价转化的方法转化为一元二次不等式的解、【解析】（Ⅰ）当时,41,482a aa⎧=-⎪⎪∴∴=-⎨⎪-=⎪⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，变形得：解得：.∴原不等式的解集为【考点】不等式。
【点评】带有绝对值的不等式是《不等式选讲》的内容，简单的分式不等式课标也没有要求，但是简单分式不等式可以根据不等式的性质转化为一元二次不等式，在转化时注意转化的等价性。
18.【分析】（1）把已知的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式，根据三角函数的性质求解；（2）不等式，等价于，故只要即可。
【解析】（Ⅰ），（II），，即，．∵，()1()1()1-<⇔-<<+f x m f x m f x，，即的取值范围是．【考点】基本初等函数Ⅱ。
【点评】本题考查三角函数的性质。