实变函数与泛函分析复试面试
长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001实变函数2篇
长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001实变函数长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001实变函数精选2篇（一）长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001 实变函数实变函数是数学分析中的重要概念，是探究实数域上函数性质的根底。
在考研复试中，通常会涉及到对实变函数的理论性和应用性的考察。
下面是长沙理工大学2024考研复试实变函数的大纲：一、根本概念和根本性质1. 实数集的根本性质和定义2. 函数的根本定义和性质3. 实变函数的有界性与有界变差性4. 函数的连续性、连续点和连续类型二、导数和微分1. 导数的定义和性质2. 导数的计算法那么〔如和、积、商的求导法那么〕3. 微分的定义和性质4. 高阶导数和高阶微分5. 导数的应用〔如极值、凹凸性、函数图像的绘制〕三、广义积分1. 黎曼积分的定义和性质2. 黎曼可积性的断定定理3. 定积分的根本性质和计算方法4. 不定积分的根本性质和计算方法5. 反常积分的定义和性质6. 初等函数的原函数与不定积分四、级数与幂级数1. 数项级数的根本概念和性质2. 级数的收敛断定方法〔如比拟判别法、比值判别法、根值判别法〕3. 幂级数的收敛半径和收敛域4. 幂级数的和函数性质和求和方法5. 幂级数的应用〔如函数展开、近似计算〕五、函数序列与函数级数1. 函数序列的收敛性定义和断定方法2. 函数序列的一致收敛和极限函数的性质3. 函数级数的收敛性定义和断定方法4. 函数级数的均匀收敛性与各种一致收敛级数的判别法5. 函数级数的一致收敛和逐项积分此外，考生还需要纯熟掌握实变函数相关的根本练习题和典型例题，以及对应的解题方法和技巧。
考生在复试前应该对这些内容进展系统性的复习和总结，掌握实变函数的根本概念、根本理论和应用方法，以便在考试中可以纯熟运用。
长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001实变函数精选2篇（二）长沙理工大学2024考研复试大纲：F0801通信原理一、绪论1. 通信原理的概念和开展历史〔200字〕通信原理是研究信息传输的根本原理和方法的学科，是现代通信技术的重要根底。
实变函数与泛函分析考试内容及答案
14、建立下面集合之间的具体双射 1）（-1,1）与[-1,1] 2)实数轴和全体无理数3）R 3中除去一点的单位球面与全平面R 24）平面中的开圆盘{（x,y ）:x 2+y 2<1}与闭圆盘{（x,y ）:x 2+y 2≤1}解：（1）、从（-1,1）与[-1,1]分别取出两个数集A={r 1,r 2,r 3,……，r n }与B={-1,1，r 1，r 2，……，r n-2}则A 、B 之间可定义以下双射：Ф(r 1)=-1, Ф(r 2)=1, Ф(r n )=r n (n>2)然后定义Ф：(-1,1)︱A →[-1,1]︱B x →x 得Ф（-1,1）→[-1,1]是所求双射（2）、从R 与R\Q 中分别取出两个可数集A=Q ∪B 与B=2，则A 与B 之间可定义如下双射：Ф2然后定义：Ф：R|A →(R\Q)|B x →x得：Ф：R →R\Q 是实数轴与全体无理数之间的双射。
(3)、假设单位球面上除去P 点按以下步骤建立双射： i)球心为O P 点关于O 点对称的点为球内的点Q 以Q 为切点作一个切面R 2以O 为原点作一直角坐标系ii ）过切点Q 连接PQ iii ）连接P 点与球面上异于P 点的任一点M 并延长，点肯定交R 2与一点记为M ’ 这就建立了R 3中除去一点的单位球面与全平面R 2之间的双射。
(4)、首先两个同心圆周之上的点之间可建立一一对应：做圆周集合子列 A n ={(x,y):x 2+y 2=12n } n ∈N 则 令E 1=n-2∞A n ⊂{(x,y):x 2+y 2<1}E 2=n-1∞ A n ⊂{(x,y):x 2+y 2≤1}且 E 1~E 2 又{(x,y):x 2+y 2<1}| E 1={(x,y):x 2+y 2≤1}|E 2 ，令B 1=(x,y):x 2+y 2<1}B 2={(x,y):x 2+y 2≤1}则 B 2=(B 1|E 1) E 2 令 Ф((x,y))= （x 1,y 1）若（x,,y ）∈B 1|E 1或（x 2,y 2）若（x,y ）∈E 2 由此得：Ф是B 1到B 2的双射。
《实变函数和泛函分析基础》第二版-程其襄--第十章答案-10§1-7-答案
第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。
证明 必要性。
若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。
若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。
令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。
对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()kkv v v v v v f f t x t α===∑∑。
因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。
由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。
f 显然满足条件（1）和（2）。
证毕。
2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。
证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。
在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。
其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。
(完整版)《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点
试卷一：一、单项选择题（3分×5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
大连理工复试内容及形式
大连理工大学学术型硕士研究生各学科、专业
复试内容及形式
院、系（部）名称：电子与信息工程学院 (7)
院、系（部）名称：电气工程及应用电子技术系 (10)
院、系（部）名称：应用数学系
院、系（部）名称：物理与光电工程学院
院、系（部）名称：运载工程与力学学部院、系（部）名称：工程力学系
院、系（部）名称：船舶工程学院
院、系（部）名称：汽车工程学院
院、系（部）名称：机械工程学院
院、系（部）名称：材料科学与工程学院
院、系（部）名称：土木水利学院
院、系（部）名称：化工学院
院、系（部）名称：电子与信息工程学院
院、系（部）名称：能源与动力学院
院、系（部）名称：人文社会科学学院
院、系（部）名称：电气工程及应用电子技术系
院、系（部）名称：外国语学院
院、系（部）名称：体育教育部
院、系（部）名称：建筑与艺术学院
院系名称：软件学院
院、系（部）名称：环境与生命学院
院、系（部）名称：马克思主义学院
院、系（部）名称：经济系。
(完整版)实变函数面试题
实变函数面试题要求：时间5分钟，自选一题，抽问一题1.叙述集合序列上下限集的定义，简单说一下两者的关系。
2.简述Bernstein 定理。
3.给出聚点的定义。
4.叙述波尔察诺—魏尔斯特拉斯定理。
5. cantor 集是如何构成的？它的势是多少？6. 1R 中任何非空的有界开集是如何构成的？7. ),(+∞-∞的势比[0,)+∞的势大，对吗？不对的话，它们的势有何关系？8. 无穷集合最小的势是多少？9. 什么是完备集？完备集和自密集之间有什么关系？10. 可数集就是元素能数得清楚的集合，对吗？11. [0,1]的有理数可排列为12,,......,n r r r 因而可按大小重新排列，对吗？为什么？12. 任意闭集的并一定是闭集吗？举例说明.13. 任意开集的交一定是开集吗？举例说明.14. 用简单例子，描述测度的定义。
15. 简单说说为什么可数点集的测度为0. 测度为0的集合一定可数吗？16.可测函数的定义是什么？17.请简要叙述简单函数的定义。
18.请列举出可测函数的运算性质。
19.什么是可测函数列{}()m f x 在E 上几乎处处收敛到f ？20. 可测函数列可测函数列{}()m f x 在E 上几乎处处收敛到f ，与{}()m f x 在E 上一致几乎收敛于f 有什么关系？21.请说出()f x 在0x 点相对于E 连续的定义。
22.请说出()f x 在E 上处处连续的定义。
23.区间连续函数一定是可测函数吗？反之成立吗？24.什么是()n f x 在E 上依测度收敛于()f x ？25.几乎处处收敛的可测函数序列必定依测度收敛吗？反之成立吗？26.依测度收敛与几乎处处收敛的关系是什么？依测试收敛中能找到几乎处处收敛的子序列吗？27.依测度收敛的可测函数序列在几乎处处相等意义下有唯一的极限，这种说法正确吗？28.闭区间[,]a b 上任一有界可测函数都是L-可积的，此结论正确吗？29.Lebesgue 积分的性质有哪些？30. 闭区间[,]a b 上R-可积与L-可积的关系是什么？31.在什么条件下，L-积分与求极限可以交换顺序？32.在什么条件下，L-积分与求和可以交换顺序？33.请叙述Lebesgue 有界控制收敛定理。
福建师范大学2008年实变函数与泛函分析考博试题
2008年《实变函数与泛函分析》考博题本试卷共五大题，每题20分，要求在指定答卷纸中答题.一、设0f ≠是Banach 空间X 上的一个连续线性泛函，对给定的一个数c ，相应定义了一个超平面():{:()}H c x X f x c =∈=.（1） 证明空间任一点x X ∈到()H c 的距离()(,())f x cd x H x f −=.（2） 就三维欧氏空间3X R =的情况，说明上述结论的几何意义.二、（1）叙述赋范线性空间X 上的线性泛函保范延拓的Hahn Banach −定理.（2）写出你所熟悉的上述Hahn Banach −定理的两个推论.（3）Hahn Banach −定理有这样一个几何形式的表现：设M 是X 的一个线性子空间，0x X ∈，0:g x M =+=0{:}x x x M +∈是X 中的一个线性族，如果g 与单位开球:{:1}B x X x =∈<不相交，则有超平面H 包含g 而且与B 不相交.请证明之.三、设X 和Y 是Banach 空间，:T X Y →是有界线性算子，且T 的值域()R T 是Y 中的第二类型（也称第二纲）集.证明存在一个正数0c >，使对每个y Y ∈，有x X ∈，使 ,Tx y x c y =≤.四、1{}n n x ∞=是Banach 空间X 中的点列，如果对任何连续线性泛函*f X ∈，都有1()n n f x ∞=<∞∑，证明存在0c >，使对每个*f X ∈都成立1()n n f x c f ∞=≤∑. 五、给定一个有界数列1{}n n A a ∞==，对每一复数列12{}n n x x l ∞==∈，按1{}n n n Tx a x ∞==定义了一个2l 到自身的线性映射.（1）证明T 是有界线性算子，并求出T ；（2）求出T 的谱()T σ（要求尽可能地细分出()T σ的成份）；（3）说明T 是否可能为紧算子；（4）如果X 是一个有Schauder 基1{}n n e ∞=的复Banach 空间，对每个1n n n x x e ∞==∑，仍然按1n n n n Tx a x e ∞==∑定义算子:T X X →，情况又如何？讨论之.。
福建师范大学实变函数复试题及答案
福建师范大学实变函数复试题及答案
1.设(X,,)为测度空间，请叙述f(x)为可测函数的定义.并问：若f2(x)
或f(x)可测，那么f(x)是否可测？请证明或举例说明你的结论.
答：设f(x)是X上的广义实函数，若对任意∈R，集X(f
但f(x)在[0，1]上不是Riemann可积.
答：f(x)常义Riemann可积⇒
f(x)Lebesgue可积，且两种积分值相等.
f(x)广义Riemann可积⇔
f(x)Lebesgue可积⇔
f(x)Lebesgue可积.
但f(x)
Lebesgue可积∈Q[0,1]
⎨0,x∈[0,1]\QI[0,1]，则f(x)在[0，1]上Lebesgue可积，
)恒可测，
则称f为X上的可测函数.
从函数f2(x)或
f(x)可测不能保证f(x)也可测.
例如：设X[0,1]，E为[0，1]中的不可测子集，令f(x)⎧1,x∈E1，
⎩1
则X(f
0)E1
为不可测集，从而f(x)
在[0，1]上不可测，但
f2(x)
f(x)1为[0，1]上可测函数.
2.请说明Riemann可积与Lebesgue可积的关系.
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实变函数与泛函分析复试面试
Q1：复试面试中如何介绍自己？
首先介绍自己的基本情况很重要，然后开始介绍出你的闪光点，毕竟每个人自己只有2分钟时间，让导师看到你的研究成果、工作经历，这些闪光点，让老师记住你。
Q2：该怎么回答面试中的问题？
首先当你抽到题后，不要慌张，给自己几秒钟，将逻辑思维整理好，然后该用那个点回答，那条理论回答，是否需要举例子，这些都需要想好。
当然有的同学也会用正反两个观点来回答，据说还不错。
Q3：如果问读过哪些书该怎么回答？
这个一定会问的，其实很简单，学校指定的参考书即可，因为有的学校有指定的参考书，如果你不回答，学校会怎么想？
Q4：问你对某本书的看法？
这个和上题一样，其实一定要中性，不能带有偏见的想法，万一你说的书老师不喜欢，你却夸奖，那岂不是很糟糕，如果想得高分，那就要深度解读。
Q5：对今年某件事的看法？
这个是每年必问的问题，所以大家一定要关注一下最近的时政热点，然后用自己的专业进行解析出来，或者观察导师的研究方向，然后用导师研究方向去说出来。
Q6：对于所报考专业你看中的那一本书比较有印象？
这个最好准备一两个案例，如果没有如实回答；
Q7：请你举例和你专业相关的热点事件？
这个需要准备一下，用自己所学的专业知识进行作答；。