材料力学第三章-02 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
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2020年材料力学 PPT 扭转
单位长度扭转角 扭转刚度条件
许用单位扭转角
47
圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算
πD23 1 4
40MPa
D2
3
π
16 716.2
1- 4 40106
0.046m=46mm
d2＝0.5D2=23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm d2＝23 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1
l GI p
42
例 两端固定的阶梯形圆轴AB，在C处作用一外力偶矩。 已知CB段轴的抗扭刚度为AC段的二倍，试求轴两端的支反力
偶矩和C截面的扭转角jC。
解：为一次超静定问题。
Me
1.求支反力偶矩 (1)平衡方程 MA MB Me 0
A
_l_ 2
C
_l_ 2
(2)变形协调方程
jC jCA jCB
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
Wt
Ip
/R
1 D3
16
Wt I p /(D / 2)
31
§3.4 圆轴扭转时的应力
扭转强度条件：
max
Tmax Wt
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：ຫໍສະໝຸດ maxTmax Wt
max
(
Tmax Wt
)max
32
§3.4 圆轴扭转时的应力
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31% 。
36
§3.4 圆轴扭转时的应力
材料力学第03章02-扭转强度和刚度
解：1、求外力偶矩
M 9549 N n
9549 150 1.55KN.m 15.4 60
2、作扭矩图 T
M
2=75
1=70
M
3=135
+1.55KN.m
3、计算并校核剪应力强度
max
T
Wt
16 1.55 103 3.14 0.073
23MPa [ ]
x
满足强度要求。
例题7 已知阶梯轴如图示，m1=1800N.m,m2=1200N.m,
解：1、求外力偶矩
M 9549 N 9549 331 10.54(KN .m)
n
300
2、内力-----扭矩T
T M 10.54KN.m
3、由强度条件：
max
T
Wt
16 10.54 103
d 3
[ ]
d 11.02 102 (m)
4、由刚度条件：
T GI p
32 10.54 103
max
T Wt
51.7MPa
17
(2)等强度轴的直径
max
T Wt
T
1 16
D03
51.7MPa
D0
3
16T
max
0.053m
(3)实心轴与空心轴质量比
Q0 Q
A0 A
D02 / 4 (D2 d2) / 4
3.2
18
[例3] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 368 KW， 输出功率分别 P2 = 147KW, P3 = 221KW，已知：G=80GPa ， [ ]=70M Pa，[ ]=1º/m ，试确定：
①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？
材料力学第三章 扭转
B
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
材料力学刘鸿文第五版第三章扭转
例 传动轴,已知转速 n=300r/min，主动轮A输入功 率PA=45kW，三个从动轮输出功率分别为PB=10kW, PC=15kW，PD=20kW。试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M e 9549P / n
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
T3 M A 1432N m
a
d
b
c
C、剪（切）应力大小
（1）由于沿圆周线方向各点的 变形相同，同一圆周线上各点 的 r相同，故可认为剪应力沿圆 周线处处相等。
（2）又因壁厚很薄，又可近似的认为沿壁厚方向均匀 分布。
因此认为剪应力在横截面均匀分布
由 d A r T A
根据应力沿壁厚 均匀分布可知
r0
PkW 103 60 2πnrpm
9549
PkW nrpm
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
T = Me T:截面上的扭矩
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则 右手大拇指指向横截面外法线方向为正,反之为负
2(1 )
先看实验
圆轴扭转时的应力
一、实验与假设
1、实验现象
﹢各圆周线的形状、大小，两 圆周线间的距离都没有发生变化， 但都绕轴转过了不同的角度。
﹢纵线仍近似为直线，但都倾斜了一个角度，使原来的矩形都变 成了平行四边形。
2、平面假设
平面假设：圆轴扭转时，各横截面如同刚性平面一样绕轴转
动，即：假设圆轴各横截面在变形过程中，始终保持为平面， 其形状和大小不变，半径仍为直线。
Tmax 1432N m
刘鸿文版材料力学课件全套
pq
Me
x
圆轴扭转的平面假设：
pq
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍 保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线； 且相邻两截面间的距离不变。
§3.4 圆轴扭转时的应力
Me
pq
Me
_ 扭转角（rad）
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
d _ dx微段两截面的
x
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.4
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不 得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确 定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
P 7 .5 M x T 9 5 4 9 n 9 5 4 9 1 0 0 7 1 6 .2 N m
d
T GI p dx
G
d
dx
T Ip
§3.4 圆轴扭转时的应力
公式适用于：
1）圆杆
2） max
p
横截面上某点的切应力的方向与扭矩 方向相同，并垂直于半径。切应力的大 小与其和圆心的距离成正比。
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
m ax
T Wt
在圆截面边缘上， 有最大切应力
§3.4 圆轴扭转时的应力
个平面的交线，
方向则共同指向
各个截面上只有切应
或共同背离这一 力没有正应力的情况称为
交线。
纯剪切
§3.3 纯剪切
NUAA材料力学课件_03章
2) 求各段的扭矩 I-I 截面，取左段
TI = −mB = −351N ⋅ m
14
2) 求各段的扭矩 I-I 截面，取左段
TI = −mB = −351N ⋅ m
II-II 截面，取左段
TII = −(mB + mC ) = −702 N ⋅ m
15
II-II 截面，取左段
TII = −(mB + mC ) = −702 N ⋅ m
41
Tρ τρ = Ip
最大切应力：
TR τ max = , Ip T τ max = Wt
记:
Wt =
Ip R
Wt 称为 抗扭截面系数。
注意：以上公式只对等直圆杆成立。 对截面变化比较缓慢的圆截面直杆近似 成立。 42 此外，τmax应小于剪切比例极限。
4 圆轴扭转强度条件 强度条件为:
注意：计算 τmax 应综合考虑T和Wt。 5 极惯性矩和抗扭截面系数的计算 I p = 实心圆轴
纯剪切试验 剪切胡克 定律 当切应力不超 过剪切比例极 限时:
τ = Gγ
G ⎯⎯ 剪变模量(剪切弹性模量) 24
剪切胡克定律 当切应力不超过剪 切比例极限时:
τ = Gγ
G ⎯⎯ 剪变模量(剪 切弹性模量) G 具有应力的量纲。 对各向同性材料，三个弹性常数 E, μ, G之间 满足关系:
E G= 2(1 + μ )
1 u = τγ 2
τ 1 2 u = G γ 或: u = 2G 2
2
35
§3. 4 圆轴扭转时的应力
1 变形几何关系 试验观察 试验现象: (1) 各圆周线绕 轴线相对转动一 微小转角，但大 小，形状及相互 间距不变； (2) 各纵向线平行地倾斜一个微小角度，认为仍 36 是直线；
TI = −mB = −351N ⋅ m
14
2) 求各段的扭矩 I-I 截面，取左段
TI = −mB = −351N ⋅ m
II-II 截面，取左段
TII = −(mB + mC ) = −702 N ⋅ m
15
II-II 截面，取左段
TII = −(mB + mC ) = −702 N ⋅ m
41
Tρ τρ = Ip
最大切应力：
TR τ max = , Ip T τ max = Wt
记:
Wt =
Ip R
Wt 称为 抗扭截面系数。
注意：以上公式只对等直圆杆成立。 对截面变化比较缓慢的圆截面直杆近似 成立。 42 此外，τmax应小于剪切比例极限。
4 圆轴扭转强度条件 强度条件为:
注意：计算 τmax 应综合考虑T和Wt。 5 极惯性矩和抗扭截面系数的计算 I p = 实心圆轴
纯剪切试验 剪切胡克 定律 当切应力不超 过剪切比例极 限时:
τ = Gγ
G ⎯⎯ 剪变模量(剪切弹性模量) 24
剪切胡克定律 当切应力不超过剪 切比例极限时:
τ = Gγ
G ⎯⎯ 剪变模量(剪 切弹性模量) G 具有应力的量纲。 对各向同性材料，三个弹性常数 E, μ, G之间 满足关系:
E G= 2(1 + μ )
1 u = τγ 2
τ 1 2 u = G γ 或: u = 2G 2
2
35
§3. 4 圆轴扭转时的应力
1 变形几何关系 试验观察 试验现象: (1) 各圆周线绕 轴线相对转动一 微小转角，但大 小，形状及相互 间距不变； (2) 各纵向线平行地倾斜一个微小角度，认为仍 36 是直线；
材料力学第三章PPT学习教案
1. 变形几何关系： 2. 物理关系：
d
dx
虎克定律： 代入上式得
G
：
G
G
d
dx
G
d
dx
G
d
dx
第28页/共57页
§3–4 圆轴扭转时的应力
3. 静力学关系：
T A dA
代入物理关系式得：
G
d
dx
T
A
G2
d dx
dA
G
d dx
A
2dA
令 I p A 2dA ——极惯性矩
dA O dA
第8页/共57页
扭矩图
扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T |max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
T
x
第9页/共57页
例题1已知：一传动轴，n =300r/min，主动轮输入
P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，
P4=200kW，试绘制扭矩图。
32
D
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
第32页/共57页
4. 公式的讨论： 应力分布 实心截面
空心截面
第33页/共57页
当 max＝R
令：
Wt
IP R
T
Ip
T R Ip
max
T Wt
横截面上最大切应力公式
式中：
T ——横截面上的扭矩 Wt ——抗扭截面系数
第34页/共57页
x
9.6
第12页/共57页
解：（3）绘制扭矩图 M2
M3
M1
M4
T1 4.8kN m T2 9.6kN m A T3 6.3kN m T
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3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
看功率单位；功率是瓦用上者，功率是马力用下者。
1、分二留一
2、内力代弃，内力设正；
3、ΣMx=0
右手法则
取左段
轴线在手掌心，拇指做求内力截面的外法线 远离求内力方向 四
指方向做扭矩正方向
如果取右段同理
两个内力之间力偶不变 只和外力偶有关系
1、轴力 轴力的方向作用面 2、剪力 和剪切面平行 3、扭矩 力偶矩失与杆件的轴线平行
对于等截面来说，内力偏大截面尺寸偏小的段为危险截面；
如果AD交换；行不行？
不合理 最大的扭矩值最小最合理
D