力矩和力偶
力矩与力偶
1.2.2 力矩的性质 1.力F对O点这矩不仅取决于F的大小，同时还与矩心的位置即力臂d有关。 2.力在刚体上沿作用线移动时，力对点之矩不变。 3.力的大小等于零或力的作用线过矩心时，力矩等于零。 4.互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
§1.2 力对点之矩
1.2.3 合力矩定理 平面力系有一合力时，合力对平面内任一点之矩，等于各分力对同一点之 矩的代数和。
Ft
D 2
0
Fn
cos
D 2
1000 160 103 cos 20 75.2N m 2
计算力对点之矩的方法：1.利用力对点之矩的定义式计算。 2.利用合力矩定理计算。
§1.3 力偶
生活实例：
1.3.1 力偶的概念 1．力偶的定义：一对大小相等、指向相反的平行力组成的特殊力系称为力
偶。记作F , F 。
§1.3 力偶
性质1 力偶在任一轴上的投影的代数和为零。 力偶无合力，力偶对刚体的移动不产生任何影 响，即力偶不能与一个力等效，也不能简化为 一个力。
性质2 力偶对于其作用面内任意一点之矩与该 点（矩心）的位置无关，它恒等于力偶矩。
1.3.2 力偶的基本性质
§1.3 力偶
推论1 力偶可在其作用面内 任意移而不会改变它对刚体 的转动效应。
思考题：如图所示的圆盘，在力偶M=Fr和力F的作用
下保持静止，能否说力偶和力保持平衡？为什么？
§1-4 力的平移定理
力的平移定理 力可以等效的平移到刚体上的任一点，
但必须附加一个力偶，其力偶矩的大小等 于原力对该点之矩。
§1.4 力的平移定理
力的平移定理换句话说，就是平移前的一个力与平移后的一个力和一个附 加力偶等效。即一个力可以分解成为同平面内另一点的一个力和一个力偶。反 之共面的一个力和一个力偶也可以合成为同平面内的一个力，这便是力的平移 定理的逆定理。
力矩-力偶系
a b
M o (F ) Fd F (ob ab) F (l sin h cos )
2.合力矩定理 • 力系与其合力等效，对于使物体转动的效果，这种 性质依然存在，即合力对于一点O之矩，等于各分 力对点O之矩的代数和，这一普遍规律称为合力矩 定理。可用下式表示。
式中：
§1-3 力对点之矩、力偶
一、力对点之矩 —— 力矩 1 力矩
力的转动效果由两个因素决定： 1)、力的大小与点O到力作用线 的垂直距离 2)、力使物体绕O转动的方向
式中， Mo(F)=±Fh 表示此二因素，称为 力对点之矩简称力矩 力对点之矩的实质是 力 对通过矩心且垂直于平面 的轴的矩
其中O称为矩心，h 称为力臂，力矩为代数量，力使物体绕矩心逆 时针转动时为正，顺时针为负。
例题：梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100 Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束 反力。 • 解 （1）以梁为研 究对象，进行受力 分析并画出受力图 • 因系统为力偶系， 故FA必须与FB大 小相等、方向相反、 作用线平行。 • （2）列平衡方程
∑M=0
FBl - M = 0
（1）力偶无合力。 力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。 可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。 （2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
2.力偶的性质
（3）力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它 们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。 则可得： • 1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作 用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。 • 2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和 力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
《力矩和力偶》 讲义
《力矩和力偶》讲义一、引言在物理学和工程学中，力矩和力偶是两个非常重要的概念。
它们对于理解物体的旋转运动、机械系统的工作原理以及结构的稳定性都起着至关重要的作用。
接下来，让我们深入探讨一下力矩和力偶的相关知识。
二、力矩的定义和概念力矩，简单来说，就是使物体绕着某个固定点或轴转动的趋势。
它等于力与力臂的乘积。
力臂是指从转动轴到力的作用线的垂直距离。
如果用M 表示力矩，F 表示力，L 表示力臂，那么力矩的计算公式就是 M ＝ F × L 。
为了更好地理解力矩，我们可以想象一个门。
当我们在门的把手处施加一个力来推动或拉动门时，门就会绕着门轴转动。
施加的力越大，或者力臂越长，产生的力矩就越大，门就越容易转动。
在实际生活和工程应用中，力矩的概念无处不在。
例如，用扳手拧螺丝时，我们通过施加力在扳手上，利用扳手的长度（力臂）产生足够的力矩来拧紧或松开螺丝。
三、力矩的性质1、力矩的方向力矩是一个矢量，它的方向根据右手定则来确定。
伸出右手，让四指沿着力臂的方向弯曲，大拇指所指的方向就是力矩的方向。
2、合力矩定理当一个物体受到多个力的作用时，这些力对某一点的合力矩等于各个分力对同一点的力矩的代数和。
3、力矩的平衡如果一个物体处于静止状态或者绕某一轴匀速转动，那么作用在物体上的所有力矩之和为零。
这就是力矩平衡的条件。
四、力偶的定义和概念力偶是由大小相等、方向相反、但不共线的两个平行力所组成的力系。
这两个力的作用线之间的垂直距离称为力偶臂，力偶中的力与力偶臂的乘积称为力偶矩。
力偶的特点是它不能用一个单一的力来等效替代，只能产生转动效应。
例如，用两只手同时在方向盘的两侧施加方向相反、大小相等的力，方向盘就会转动，这就是力偶的作用。
五、力偶的性质1、力偶无合力由于力偶中的两个力大小相等、方向相反且不共线，所以它们的合力为零。
但这并不意味着力偶没有作用效果，它能够使物体产生纯转动。
2、力偶矩的大小和方向力偶矩的大小等于其中一个力的大小与力偶臂的乘积，其方向由力偶的转向决定。
第三章力矩和力偶
4.空间力偶 空间力偶 只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它 的作用面内任意移转；并且作用面可以平行移动。
空间力偶对刚体 刚体的作用效果决定于下列三个因素 刚体 (1)力偶矩的大小； (2)力偶作用面的方位； (3)力偶的转向。
解得
例2 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆 BC 上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩 为 ，OA ＝ r = 0.5 m。图示位置时OA与OB垂 直， 。且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩及铰链 O、B处的约束反力。 解：取圆轮为研究 对象。
解得
以摇杆BC为研究对象。
§3-4 力的平移
3.平面力偶的等效定理 平面力偶的等效定理 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩大小相等，转向 相同，则两力偶彼此等效。
推 论： (1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它 对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作 用面内的位置无关。 (2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时 改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对 刚体的作用。
当力系平衡时，各力对任—点O之矩的代数和皆为零。即
注：可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平衡。
§3–2 2
力偶和力偶矩
等值反向平行力的矢量和显然等于零，但是由于它们不共 线而不能相互平衡，它们能使物体改变转动状态。
:由两个大小相等 方向相反 不共线 平行 大小相等、方向相反 不共线的平行 力偶 大小相等 方向相反且不共线 力组成的力系。 力偶臂d： 力偶臂 ：力偶的两力之间的垂直距离。 力偶的作用面： 力偶的作用面：力偶所在的平面。
力矩的单位常用N·m或kN·m。
力矩、力偶的概念及其性质
Ad B
F
是独立量；
⑶ 性质3 平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相
等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。
[证] 设物体的某一平面
QA
FR
F
A
FR
FR
B
DC
F
FR
B
Q
上作用一力偶(F,F') 现沿力偶臂AB方向 加一对平衡力(Q,Q'), 再将Q,F合成FR，
Q',F'合成F'R ， 得到新力偶(FR, F'R ),
解： 简支梁上的载荷为力偶。由于力偶只能被力偶所平衡，
故支座A 、B 处反力必须组成一个力偶。B为滚动支座、约束
反力 NB应沿支承面的法线，固定支座A的约束反力RA ，它与 NB 应组成一力偶，故也应沿铅垂线而与NB方向相反，且 RA=NB。 根据平面力偶系平衡方程有:
m 0, m NB cos l 0
工程力学
力矩、力偶的概念及其性质
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向；
转动效应--取决于力矩的大小、转向。
一、力对点的矩 ⒈ 定义
A F
d
+
MO (F )
B
-
O
3
二、合力矩定理
⒈ 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和
即：
⒉ 证明（略）
由合力投影定理有： od=ob+oc
得：NB 5.66kN RA
A
M
B
A
M
B
C l
C RA l
NB 45
(a)
(b)
力矩与力偶
力矩与力偶矩——关于两道习题的一点分析力矩与力偶矩是力学中很重要的两个概念，它们对于解决力系简化及平衡问题是不可缺少的。
以下对于二者的概念、具体的应用作些比较：概念力矩（力对点之矩）是一个矢量。
对于平面内任意的一个力F，在同一平面内任取一点O，称为矩心，点O到F的作用线的距离称为F的力臂，力矩的大小即力的大小与力臂的乘积，其方向与F对O的旋转效应满足右手定则。
事实上，设F的作用点为C，则r = r oc时有M o=r×F，其大小与图示三角形的面积相等。
对于作用在刚体上的力系{F1，F2，…，F n}，定义向量和：M o=Σr i×F i为力系{F1，F2，…，F n}对O的主矩，O为矩心。
可见，一个力（或一个力系）的力矩（或主矩）的大小方向与矩心的选取有关，矩心不同，结论不同。
力偶是一个力系{F，－F}，由大小相等，方向相反，作用线平行（但不重合）的两个力组成。
我们来看看力偶对空间任意一点的主矩：M o=r1×F＋r2×（－F）= r21×F其中r21 = r2－r1，是从一个力的作用点指向另一个力作用点的向量，这与O点的选取是无关的。
力偶对任一点的主矩即定义成力偶的力偶矩。
比较两者的概念可知：力偶矩是一个特殊力系的主矩，因此在力系主矩的合成中，力偶矩必须考虑在内；但因为构成该力系的两力的特殊关系，使力偶这个力系的主向量恒为0，而主矩与矩心无关，对任意一点的主矩恒定且不为0。
应用例1 图示简支梁AB上,受作用线相距为d=20cm的反向力F，－F组成的力偶和力偶矩为M的力偶的作用。
若F=100N，M=40N·m，θ=60°，梁长l=1.6m，求支座A和B 的约束反力。
解：这是个平衡问题，先确定研究对象，本题较简单，取AB梁，分析受力情况（如图4）：B处辊轴约束，仅能提供垂直斜面向上的支持力，∴F NB方向如图所示。
思路一 ：因力偶{F，－F}和M均对主向量无贡献，而R=0, ∴F NA=-F NB,方向如图所示。
力矩与力偶理论资料
O
l2
D ND
解： 杆AB为二力杆。
§3-3 力偶系的合成与平衡
分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：
A O
α SAB l1
l 0,
l1 S ABr cos 0 l2 2S BAr cos 0
S AB S BA l2 2l1
NO
SBA
B
l2 α
D
ND
§3-3 力偶系的合成与平衡
一、力偶系的合成
空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等
于各分力偶矩的矢量和。
M m1 m2 mm m
§3-3 力偶系的合成与平衡
二、空间力偶系平衡的充要条件
合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩矢的矢量
和等于零。
m 0
平衡方程的投影形式
mx 0 my 0 mz 0
Lz l1z l2 z l3z 20 0 30 cos 45 41.2N m
3、合力矩矢L的大小和方向：
L
2 lx
2 ly
2 lz
42 .7 N m
L, i 90
L, j 74 48'
x
z
cosL, j
Lx cosL, i 0, L
F Xi Yj Zk
则：：
i X
j Y
k Z
m0 ( F ) x 单位 y z
§3–1 力对点之矩
二、 力对点之矩的矢积式与解析式
[m0 ( F )]x yZ zY [m0 ( F )] y zX xZ [ m0 ( F )]z xY yX
§3–1 力对点之矩
力矩和力偶
力矩和力偶
力矩和力偶是力学中的两个基本概念，它们在力的作用方式和使用效果上存在一些区别。
力矩是一个向量，它描述了力对物体产生转动作用的效果，是力对某一轴线或点的作用力矩。
力矩的大小等于力的大小和其到旋转轴或点的距离的乘积，方向垂直于轴或点。
在计算上，力矩等于力与力臂的乘积，其中力臂是从旋转轴或点到力的作用线的垂直距离。
力偶是一对大小相等、方向相反且不共线的平行力，它们的作用效果是使物体产生转动。
这对力在相互垂直的平面上，其中一个力垂直于这个平面，另一个力平行于这个平面。
在实际应用中，力偶可以用来转动锁紧物体，例如螺栓、螺母等。
综上所述，力矩和力偶虽然都涉及到力的作用，但它们的作用方式和使用效果有所不同。
力矩描述的是力对物体产生转动作用的效果，而力偶则是一种产生转动作用的特殊方式。
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3.1.1 力对点的矩的概念
工程实践表明，作用在刚体上的力除了产生移动效应外，有时还产生转动效应。而且除了 刚体绕质心的转动效应，还有刚体绕任一点的转动效应。这在生产和生活中是常见的。 如用扳手拧螺母,作用于扳手上的力F使其绕固定点O转动，如图3.1所示。同时，力对刚 体绕某一固定点的转动效应不仅与力的大小有关，而且与固定点到该力的作用线的距离有 关。因此，在力学上以固定点到力作用线的距离的乘积作为度量力F使刚体绕固定点O转 动效应的物理量。这个量称为力F对O点的矩，简称为力矩。以公式记为： Mo(F)=±Fh (3-1) O点称为力矩中心，简称为矩心，距离h称为力臂。 在平面力系中，力对点的矩是一个代数量，力距的大小等于力的大小与力臂的乘积。其正 负号表示力使刚体绕矩心转动的方向。通常规定，力使刚体逆时针方向转动时力矩为正， 反之为负。力矩的单位是：牛顿·米（N·m） 必须指出的是，作用于刚体上的力可以对任意点取矩。 力矩在下列两种情况下为零： (1)力的大小等于零； (2)力的作用线通过矩心既力臂为零。
3.3.2 固定端约束
工程实践中还有一种常见的基本约束，称为固定端约束。如 图3.13所示，建筑物上的阳台，插入地下的电线杆，固定 在刀架上的车刀等。这些构件的结构形式都是固定端约束的 例子。 固定端约束的特点是构件的受约束端既不能向任一方向移动， 也不能转动。故固定端约束在一般情况下有一组正交的约束 反力和一个约束力偶矩，如图3.14所示。
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3.3.2 固定端约束
图3.13 固定端约束
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3.3.2 固定端约束
图3.14 固定端的约束反力
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3.4 实训与练习
力偶与力偶矩 3.2.2 平面力偶等效的条件 3.2.3 力偶的性质 3.2.4 平面力偶系的合成与平衡
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3.2 平面力偶与力偶矩
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3.2.1 力偶与力偶矩
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第3章 力矩和力偶
教学重点和难点： 平面内力对点的矩的概念及计算 合力矩定理 力偶的概念及平面力偶系的简化 力偶系的合成与平衡
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第3章 力矩和力偶
3.1 力对点的矩 3.2 平面力偶与力偶矩 3.3 力线的平移定理 3.4 实训与练习
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3.2.4 平面力偶系的合成与平衡
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3.2.4 平面力偶系的合成与平衡
图3.8 水平放置的工件
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3.2.4 平面力偶系的合成与平衡
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3.1.1 力对点的矩的概念
图3.1 力对点之矩
图3.1 力对点之矩
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3.1.2 力矩的计算
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3.1.3 合力矩定理
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3.1.3 合力矩定理
图3.4 齿轮力矩的计算
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3.1.3 合力矩定理
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3.2 平面力偶与力偶矩
3.2.1
1.力偶的概念 一对大小相同、方向相反而作用线相平行的力组成的力系称为力偶。如 上图的用丝锥攻丝和汽车司机转动方向盘等的一对作用力。记作（F、 F`）。力偶的两个力所在的平面，叫作力偶的作用面，两力作用线间的 距离叫作力偶臂，一般用d表示。由以上例子可知，力偶对刚体的作用 效应是使刚体产生转动。 2、力偶的矩 力偶由两个力组成，它的作用是改变刚体的转动状态。因此，力偶对刚 体的转动效果，可以用力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数和 来度量。
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3.4 实训与练习
图3.15 转动轮
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3.4 实训与练习
图3.16 平衡的轮子
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3.2.1 力偶与力偶矩
图3.6 力偶矩的计算
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3.2.2 平面力偶等效的条件
平面力偶的等效是指它们对刚体的作用效果相同。由于力偶 对刚体只产生转动效应，而力偶的转动效应取决于力偶的三 要素。因此平面力偶等效条件是：同一作用面内的力偶矩大 小相同，力偶的转向相同。因此可以得出两个推论： ① 只要不改变力偶矩的大小和力偶矩的转向，力偶的作用 位置可以在它作用平面任意移动而不改变它对刚体的作用效 果。 ② 只有保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和 力偶臂的大小，而不改变力偶对刚体的作用效果。
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3.2.2 平面力偶等效的条件
图3.7 力偶矩的等效
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3.2力组成的，因此具有与单个力所 不同的性质。 ① 力偶无合力 力偶的两个力在任何坐标轴上的投影代数和为零，既力偶不 能与力等效，因此力偶也不能与力平衡。 ② 力偶对刚体的作用效果取决于力偶的三要素，而与力偶 的作用位置无关。 ③ 力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩。既力偶无 矩心。
第3章 力矩和力偶
（时间：2次课，4学时）
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第3章 力矩和力偶
教学目标： 本章我们研究力对刚体的转动效应，由此引入力对点的矩与 力偶的概念。通过本章的学习，学生将掌握平面力对点的矩 的概念及计算方法，熟练而正确地计算力对任意点之矩。理 解和掌握力偶的概念及平面力偶系的简化及平面力偶系的平 衡条件，正确应用平衡方程求解平面力偶系平衡问题。
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3.4 实训与练习
要求： 1.图示与文字叙述的结合表明力线平移的结论 2.结合力线平移的结论说明乒乓球运动中的各种旋转球的产 生与力向一点平移的关系
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3.4 实训与练习
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3.3.1 力线平移定理
图3.11 力线平移
图3.11 力线平移
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3.3.1 力线平移定理
图3.12 园周力F对齿轮与轴的作用
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力线平移定理 3.3.2 固定端约束
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3.3 力线的平移定理
由力的可传性原理知道，作用在刚体上的力 可以沿其作用线移至刚体上任意一点而不改 变其对刚体的作用效果。这一节的问题是， 在不改变力对刚体作用效应的前提下，能不 能将作用在刚体上的力平行移动到作用线以 外的任一点呢?力线平移定理回答这个问题。
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3.3.1 力线平移定理
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3.3.1 力线平移定理
力线平移定理：作用在刚体上的力，可以平行移动至刚体内任一点，移 动结果得到一个和原来大小相同，方向相同，作用线平行的力；同时产 生一个附加力偶，其力偶矩等于该力对新作用点之矩。 力线平移定理表明了力对绕力作用线以外的点转动的刚体有两种作用， 一是平移力的作用，一是附加力偶矩的使刚体产生的转动作用。如图 3.12所示，圆周力F作用于齿轮上，为观察力的作用效应，将力F平移 至轴心O点，由此，对齿轮与轴而言，有力F`作用在轮轴上同时附加力 偶矩M使齿轮转动。力线平移定理是力系向一点简化的理论依据，也是 分析和解决工程实践中力学问题的重要方法。
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3.2.4 平面力偶系的合成与平衡
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3.2.4 平面力偶系的合成与平衡
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3.3 力线的平移定理
3.3.1
思考内容 1.在什么情况下力对点之矩为零。 2.为什么力偶不能与一力平衡，力偶系的平衡条件是什么。 3.如图3-15-所示的力F和力偶（F`、F``）对轮的作用有何不同，轮的 半径均为r, F`= F``=F/2。 4.一力偶不能与一力平衡，而如图3.16所示的轮子为什么又能平衡呢。 5.如图3.17所示的四个力偶，其中有三个在Oxz平面内，有一个在Oxy 平面内，力偶中力的单位为(N)，长度单位为(mm)，试分析这些力偶 哪些是等效的，哪些是不等效的。 6.如图所示的构架，在杆AC上作用一力偶矩为M的力偶，当求铰链A、 B、C的约束反力时，试问能否将力偶M移到BC杆上，为什么。如果图 的结构形式改成图3.18(b)的形式，当求铰链A、B、C的约束反力时， 试问能否将力偶M移到BC杆上。
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3.2.1 力偶与力偶矩
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3.2.1 力偶与力偶矩
在力偶的作用中，两个力中其中任一个力与两个力之间的距离既力偶臂 的乘积称为力偶矩，一般记为Mo(F、F`)，简单为M。 力偶在其作用面内转向不同，其作用效果也不同。因此，力偶对刚体的 作用效果，由两个因素决定。 ① 力偶的矩的大小； ② 力偶在其作用面内的转向。 由此可见：力偶矩与力对点的矩一样也是代数量。其单位与力矩相同， 为牛顿·米（N·m） 既 M=± Fd (3-2) 其中力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面称为力偶的三要素。
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3.1 力对点的矩
3.1.1
力对点的矩的概念 3.1.2 力矩的计算 3.1.3 合力矩定理
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3.1 力对点的矩
力对刚体的作用效应有两种：一个是如果力 的作用线通过刚体的质心，将使刚体在力作 用的方向上平移。另一个是如果力的作用线 不通过刚体的质心，则刚体将在力的作用下 边移动边转动。这一节我们研究的是力对刚 体的转动效应。
实训目的 掌握平面内力对点的矩的概念及计算方法 掌握合力矩定理 掌握力偶的概念及平面力偶系的简化与力偶 系的合成与平衡
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3.4 实训与练习
实训内容 实训 作用在刚体上的力若沿其作用线平移，并不影 响其对刚体的运动效应。但是，若将作用在刚体上 的力从一点平行移动至另一点，其对刚体的运动效 应将发生变化。怎样才能使作用在刚体上的力从一 点平移至另一点，而其对刚体的运动效应相同呢？