力矩与力偶
力矩与力偶
1.2.2 力矩的性质 1.力F对O点这矩不仅取决于F的大小，同时还与矩心的位置即力臂d有关。 2.力在刚体上沿作用线移动时，力对点之矩不变。 3.力的大小等于零或力的作用线过矩心时，力矩等于零。 4.互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
§1.2 力对点之矩
1.2.3 合力矩定理 平面力系有一合力时，合力对平面内任一点之矩，等于各分力对同一点之 矩的代数和。
Ft
D 2
0
Fn
cos
D 2
1000 160 103 cos 20 75.2N m 2
计算力对点之矩的方法：1.利用力对点之矩的定义式计算。 2.利用合力矩定理计算。
§1.3 力偶
生活实例：
1.3.1 力偶的概念 1．力偶的定义：一对大小相等、指向相反的平行力组成的特殊力系称为力
偶。记作F , F 。
§1.3 力偶
性质1 力偶在任一轴上的投影的代数和为零。 力偶无合力，力偶对刚体的移动不产生任何影 响，即力偶不能与一个力等效，也不能简化为 一个力。
性质2 力偶对于其作用面内任意一点之矩与该 点（矩心）的位置无关，它恒等于力偶矩。
1.3.2 力偶的基本性质
§1.3 力偶
推论1 力偶可在其作用面内 任意移而不会改变它对刚体 的转动效应。
思考题：如图所示的圆盘，在力偶M=Fr和力F的作用
下保持静止，能否说力偶和力保持平衡？为什么？
§1-4 力的平移定理
力的平移定理 力可以等效的平移到刚体上的任一点，
但必须附加一个力偶，其力偶矩的大小等 于原力对该点之矩。
§1.4 力的平移定理
力的平移定理换句话说，就是平移前的一个力与平移后的一个力和一个附 加力偶等效。即一个力可以分解成为同平面内另一点的一个力和一个力偶。反 之共面的一个力和一个力偶也可以合成为同平面内的一个力，这便是力的平移 定理的逆定理。
物理学中的力矩与力偶
物理学中的力矩与力偶力矩和力偶是物理学中的重要概念，它们在解析力学和刚体运动方面有着广泛的应用。
本文将会从力矩和力偶的概念入手，讨论它们的物理意义和应用。
力矩是物理学中用来描述力对物体产生的转动效应的物理量。
它是由力的大小和作用点到旋转轴的距离决定的。
具体而言，力矩等于力的大小乘以力臂，力臂是力作用在物体上的垂直距离，力矩的方向由右手螺旋法则确定。
（需要注意的是，由于无法绘制图像，我将无法在文章中插入示意图，但希望您能够通过文字来理解描述）力矩在物理学中有很多应用，特别是在解析力学中。
通过计算物体上的力矩，可以确定物体是否会发生平衡或转动。
在静力学中，力矩的和为零时，物体处于平衡状态。
这是因为在平衡状态下，物体上的所有力矩相互抵消。
而当力矩和不为零时，物体将发生转动。
通过严谨的计算和分析，可以准确地预测物体的旋转。
除了力矩，力偶也是解析力学中的一个重要概念。
力偶是由两个大小相等、方向相反的力构成的，它们作用在物体的不同点上。
力偶的特点是产生一个对称的转动效应，因为两个力的大小和方向相等，但作用点不同，所以它们在物体上产生的力矩相等但方向相反。
力偶的应用十分广泛，特别在刚体的平衡分析中。
当物体受到一个平行于旋转轴的力偶时，该物体将保持平衡。
这是因为力偶使物体上的所有力矩相互抵消，使物体不发生任何旋转。
这个原理在机械平衡中有着广泛的应用。
例如，在一个平衡的悬臂上悬挂一个负载，在给定的力等于负载重量的情况下，该负载将保持平衡，不会倾斜或旋转。
这种力偶平衡可以通过计算力矩和来证明。
除了上述的应用，力矩和力偶还在其他领域有广泛的应用。
例如，力矩和力偶在工程设计中起着关键作用。
在建筑设计中，力矩和力偶的应用可以帮助工程师确定材料的承受能力，确保建筑物的结构稳定和安全。
在机械设计中，力矩和力偶的计算可以用于确定机械部件的强度和稳定性。
综上所述，力矩和力偶在物理学中有着重要的地位和广泛的应用。
它们不仅在解析力学中发挥着重要作用，还在工程设计和机械设计等领域有着广泛的应用。
力矩和力偶
力矩 和力
偶
1.力偶的概念
在日常生产、生活中，常会看到物体同时受到大 小相等、方向相反、作用线平行的两个力的作用。如 汽车司机转动方向盘时加在方向盘上的两个力，如图2 -17所示；钳工师傅用双手转动丝锥攻螺纹时，两手作 用于丝锥扳手上的两个力，如图2-18所示；拧水龙头 时加在开关上的两个力等。这样的两个力显然不是前 面所讲的一对平衡力，它们作用在物体上将使物体产 生转动效应。
力矩 和力
偶
当力的作用线与转轴平行或相交，即力的作用线
与轴线共面时，力对转轴之矩为零。当力的作用线不
在与轴线垂直的平面上，如图2-13所示的正六面体，
求其所受力F对z轴的力矩时，可将其分解成两个分力
F1和F2。令F1与转轴z平行、F2在与转轴z垂直的平面内，
则F1对z轴不产生力矩作用，而F对z轴之矩实际上就是
力矩和力偶
1.1 力矩 1.2 力偶
1.力对点之矩
以扳手拧紧螺丝 为例来分析力对物体 的转动效应。如图211所示，作用于扳手 一端的力F使扳手绕O 点转动。
1）力对点之矩的概念
力矩 和力
偶
1.力对点之矩
1）力对点之矩的概念
O点称为力矩中心，简称矩心。扳手绕矩
心的转动效应不仅与力F的大小有关，还与矩
F2对O点的力矩，即
Mz(F)=MO(F2)=±F2d
（2-19）
力矩 和力
偶
式（2-19）表明，力F对轴之矩等于该力 在垂直于此轴的平面上的分力（投影）对该 轴与此平面的交点的力矩。通常情况下，力 对轴之矩是代数量，其正负用右手法则来确 定，即用右手握住转轴，弯曲的四指指向力 矩的转向，拇指所指的方向如果与转轴的正 向相同，对应的力矩为正，反之为负。也可 以从轴的正向看，当力矩绕轴逆时针转动时 为正，反之为负，如图2-14所示。
力系的简化和平衡-2.2力矩和力偶
定理叙述：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等
于各分力对同一点力矩的代数和
n
M o FR
M o Fi
i 1
定理证明：
FR
F1
r
A
O
Fn
F2 Fi
若 n 个力汇交于A点，则其合力为：
n
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
r 用 同时矢积上式两端
r FR
r F1
zFx
xFz
j
xFy yFx k
由此可得：
M x
F
yFz zFy
M y
F
zFx xFz
M z F xFy yFx
Fz Fx Fy
18
力矩的单位： N m 或 kN m
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
③力对点之矩矢的性质： a) 当力沿其作用线移动时，
M O F 保持不变。
12
①力对点之矩矢的概念 力对刚体产生的绕点转动效应取决于三要素： a.强度：力与力偶臂乘积 b.方位：转动轴的方位 c.方向：转动方向
13
力矩矢量的方向
MO
r
F
按右手定则
MO r F
14
②力对点之矩矢的矢量积和解析表达式
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
力矢： F Fx , Fy , Fz
求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解：由力偶只能由力偶平衡的 性质，其受力图为：
M 0
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
力矩、力偶的概念及其性质
Ad B
F
是独立量；
⑶ 性质3 平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相
等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。
[证] 设物体的某一平面
QA
FR
F
A
FR
FR
B
DC
F
FR
B
Q
上作用一力偶(F,F') 现沿力偶臂AB方向 加一对平衡力(Q,Q'), 再将Q,F合成FR，
Q',F'合成F'R ， 得到新力偶(FR, F'R ),
解： 简支梁上的载荷为力偶。由于力偶只能被力偶所平衡，
故支座A 、B 处反力必须组成一个力偶。B为滚动支座、约束
反力 NB应沿支承面的法线，固定支座A的约束反力RA ，它与 NB 应组成一力偶，故也应沿铅垂线而与NB方向相反，且 RA=NB。 根据平面力偶系平衡方程有:
m 0, m NB cos l 0
工程力学
力矩、力偶的概念及其性质
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向；
转动效应--取决于力矩的大小、转向。
一、力对点的矩 ⒈ 定义
A F
d
+
MO (F )
B
-
O
3
二、合力矩定理
⒈ 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和
即：
⒉ 证明（略）
由合力投影定理有： od=ob+oc
得：NB 5.66kN RA
A
M
B
A
M
B
C l
C RA l
NB 45
(a)
(b)
力偶和力矩
力偶和力矩
力偶是指两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的复合效应。
它的数值等于其中一个力的大小乘以它们之间的距离。
力偶的效应是使物体绕一个垂直于力偶作用线的轴旋转。
而力矩是指力对物体产生的旋转效应。
它等于力的大小乘以力臂（力臂是力的作用线与物体旋转轴之间的垂直距离），因此力矩的数值也可以表示为力臂乘以力的大小。
力矩的方向由右手法则决定，即将右手的拇指指向旋转轴，四指指向力的方向，在手掌方向就是力矩的方向。
《力矩和力偶》 讲义
《力矩和力偶》讲义在物理学和工程学中，力矩和力偶是两个非常重要的概念。
它们在理解物体的平衡、转动以及机械系统的运作中起着关键作用。
接下来，让我们深入地探讨一下力矩和力偶的相关知识。
一、力矩力矩，简单来说，就是力使物体绕着某个点或轴转动的趋势。
它等于力的大小乘以从转动点到力的作用线的垂直距离。
这个垂直距离被称为力臂。
为了更形象地理解力矩，我们可以想象一个门。
当我们在门的把手处施加一个垂直于门面的力时，门就会绕着门轴转动。
力越大，或者力臂越长，门就越容易转动，也就是说产生的力矩越大。
在数学上，如果用 F 表示力的大小，L 表示力臂的长度，那么力矩M 就可以表示为 M ＝ F × L 。
力矩的单位是牛顿·米（N·m）。
力矩的方向也很重要。
它遵循右手螺旋定则。
如果用右手握住转动轴，四指的方向沿着力使物体转动的方向，那么大拇指所指的方向就是力矩的方向。
在实际应用中，力矩有着广泛的用途。
比如在机械设计中，工程师需要计算各个部件所受到的力矩，以确保机械结构的稳定性和可靠性。
在日常生活中，我们使用螺丝刀、扳手等工具时，也是在利用力矩的原理。
二、力偶力偶则是由两个大小相等、方向相反、但不在同一直线上的平行力所组成的力系。
这两个力的作用线之间的垂直距离称为力偶臂，力偶中的一个力乘以力偶臂就得到力偶矩。
力偶的特点是它只能使物体产生转动效应，而不能使物体产生移动。
比如，当我们用两只手同时在一个轮子的两侧施加一对大小相等、方向相反的力时，轮子就会转动起来，这就是力偶的作用。
力偶矩的大小等于其中一个力的大小乘以力偶臂的长度，方向同样遵循右手螺旋定则。
力偶在很多工程和物理问题中都有着重要的应用。
例如，在汽车的方向盘转动、电动机的转子转动等情况中，力偶都发挥着关键的作用。
三、力矩与力偶的关系力矩和力偶既有联系又有区别。
联系方面，力偶可以看成是由一对力矩组成的，它们的作用效果都是使物体产生转动。
而且，在一定条件下，力偶可以用一个等效的力矩来代替，或者一个力矩也可以用一个力偶来等效。
力矩力偶
力偶系的合成和平衡
空间力偶系的合成：
M Mi
M x M xi M y M yi M z M zi
合力偶矩的大小：
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
合力偶矩矢的方向：
cos(M , i )
M x
cos(M ,
MO (F) = MO (F cos)+MO(F sin )
例题 1
如 图 所 示 圆 柱 直 齿 轮 ， 受 到 啮 合 力 Fn 的 作 用 。 设 Fn=1400N。压力角α=20o ，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r = 60
mm，试计算力 Fn 对于轴心O的力矩。
解： 计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得
其力偶矩矢为：
解得
FA
M1 r sin 30
再取摇杆BC为研究对象：
∑M = 0：
M 2 FA
r
sin
0
其中 FA FA
解得 M2 4M1 8 kN m
FO
FB
FA
M1 r sin 30
8
kN
例题 4
图示三角柱刚体是正方体的一半，其上作用着三个力偶。已知力 偶（F1，F1）的矩 M1= 20 N·m；力偶（F2， F2）的矩 M2= 20 N·m；力偶（F3，F3）的矩 M3= 20 N·m，试求合力偶矩矢 M。 又问若要使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶？
0
0l
3
力偶及其性质
力偶及其性质
1. 力偶与力偶矩 2. 力偶等效定理 3. 力偶系的合成和平衡
力偶的实例
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第2章力矩与力偶2.1力对点的矩从实践中知道，力对物体的作用效果除了能使物体移动外，还能使物体转动，力矩就 是度量力使物体转动效果的物理量。
力使物体产生转动效应与哪些因素有关呢？现以扳手拧螺帽为例，如图 2.1所示。
手加在扳手上的力F ，使扳手带动螺帽绕中心 0转动。
力F 越大，转动越快；力的作用线离转动中心越远，转动也 越快；如果力的作用线与力的作用点到转动中心0点的连线不垂直，则转动的效果就差；当力的作用线通过转 动中心0时，无论力F 多大也不能扳动螺帽， 只有当力 的作用线垂直于转动中心与力的作用点的连线时，转动 效果最好。
另外，当力的大小和作用线不变而指向相反 时，将使物体向相反的方向转动。
在建筑工地上使用撬 杠抬起重物，使用滑轮组起吊重物等等也是实际的例子。
通过大量的实践总结出以下的规律：力使物体绕某点转 动的效果，与力的大小成正比，与转动中心到力的作用线的垂直距离 d 也成正比。
这个垂直距离称为力臂，转动中心称为力矩中心 (简称矩心)。
力的大小与力臂的乘积称为力F 对点0之矩(简称力矩)，记作m °(F)。
计算公式可写为m °(F)二-F d式中的正负号表示力矩的转向。
在平面内规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时,力矩为正；力使物体作顺时针方向转动时，力矩为负。
因此，力矩是个代数量。
力矩的单位是N m 或kNm 。
由力矩的定义可以得到如下力矩的性质:(1)力F 对点0的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。
矩心的位置不 同，力矩随之不同;(2)当力的大小为零或力臂为零时，则力矩为零；⑶力沿其作用线移动时，因为力的大小、方向和力臂均没有改变，所以，力矩不变。
(4)相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。
例2.1分别计算图2.2中F ,、F 2对0点的力矩。
解 从图2 - 2中可知力F 1和F 2对0点的力臂是h 和|2。
(2.1)\P图2, 1故 m °(F)= ± F i l 1 = F i l 1 sin30° =49 X 0.1 X 0.5=2.45N.mm o(F)= ± F 2 l 2 = — F 2 l 2 = — 16.3 X0.15=2.45N.m必须注意：一般情况下力臂并不等于矩心与 力的作用点的距离，女口F 1的力臂是h ，不是11 。
22合力矩定理在计算力对点的力矩时，有些问题往往力臂不易求出，因而直接按定义求力矩难以计 算。
此时，通常采用的方法是将这个力分解为两个或两个以上便于求出力臂的分力，在由 多个分力力矩的代数和求出合力的力矩。
这一有效方法的理论根据是合力矩定理，即：如果有n 个平面汇交力作用于 A 点，则平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等 于力系中各分力对同一点力矩的代数和：即m °(F R )=m °(F 1)+ m °(F 2)+, + m o (F n )=刀 m o (F)(2.2)称为合力矩定理。
合力矩定理一方面常常可以用来确定物体的重心位置；另一方面也可以用来简化力矩 的计算。
这样就使力矩的计算有两种方法：在力臂已知或方便求解时，按力矩定义进行计算;在计算力对某点之矩，力臂不易求出时，按合力矩定理求解，可以将此力分解为相互垂直 的分力，如两分力对该点的力臂已知，即可方便地求出两分力对该点的力矩的代数和，从 而求出已知力对该点矩。
例2.2计算图2.3中F 对O 点之矩。
解 F 对O 点取矩时力臂不易找出。
将F 分解 成互相垂直的两个分力 F x 、F Y ,它们对O 点的矩分 别为m °(F x )=F x b=Fbsin 二 m °(F Y )= F Y a=Facos-：i 由合力矩定理m o (F)= m o (F x )+ m o (F Y )= Fbsin ： + Facos :例2.3槽形杆用螺钉固定于点O ，如图2.4 (a )所示。
在杆端点 A 作用一力F ，其 大小为400N ，试求力 F 对点 O 的矩。
Zi =0 Im( O3圏2.1解方法1(按力矩定义计算)：本题中力F的大小和方向均已知，要计算力F对点O的矩，关键是找出力臂的长度。
为此，自矩心0作力F作用线的垂线OC，线段0C就是力臂d，如图2.4 (b)所示。
由图2.4( b)中的ABO可得tan ：=10Z6 =o.33312:-=18.43AO 二-B0 412.65cmsi n。
0.3162而在.ACO 中，=60 —18.43 =41.57，所以d =AOsin ： = 12.65sin41.57 = 8.39cm于是力F对点O的矩为m°(F)=Fd= —400x 83.9=33560Nmm“一”号表示力F将使槽形杆绕点O有顺时针方向转动的趋势。
方法2(按合力矩定理计算):将力F分解为水平力F X和铅直力F Y,如图2.4 ( c)所示。
由合力矩定理知，力F对点O的矩就等于分力F X、F Y对同一点O的矩的代数和，即m o(F)= m o(F x)+ m o(F Y)= —F X x 120+F Y x 40 =—400sin60°x 120+400cos60°X 40=—41560+8000= —33560Nmm可见两种方法结果完全一样。
但在方法1中，求力F P对点O的矩需要通过几何关系才能找出力臂，计算比较麻烦；而方法2用合力矩定理计算则比较简便。
在实际计算中，常用合力矩定理来求力矩或合力作用线的位置。
力偶和力偶矩在生产实践和日常生活中，为了使物体发生转动，常常在物体上施加两个大小相等、方向相反、不共线的平行力。
例如钳工用丝锥攻丝时两手加力在丝杠上 （图2.5所示）。
当大小相等、方向相反、不共线的两个平行力F 和F ，作用在同一物体时，它们的合力F R =0，即F 和F /没有合力。
但因二力不共线，所以也不能平衡。
它们的作用效果是 使物体发生转动。
力学上把这样大小相等、方向相反、不共线的两个平行力叫力偶。
用符 号（F , F /）表示。
两个相反力之间垂直距离d 叫力偶臂（如图2.6所示），两个力的作用线所在的平面称为力偶作用面。
力偶不能再简化成比力更简单的形式，所以力偶与力一样被看 成是组成力系的基本元素。
如何度量力偶对物体的作用效果呢？由实践可知，组成力偶的力越大，或力偶臂越大，则力偶使物体转动的效应越强；反之，就越弱。
这说明力偶的转动效应不仅与两个力的大 小有关，而且还与力偶臂的大小有关。
与力矩类似，用力偶中一个力大小和力偶臂的乘积 并冠以适当正负号（以示转向）来度量力偶对物体的转动效应，称为力偶矩，用m 表示。
即m = Fd（2.3）使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正；反之为负。
如图 2.6所示。
所以力偶矩是代数量。
力偶矩的单位与力矩的单位相同，常用牛顿•米（N m ）。
通过大量实践证明，度量力偶对物体转动效应的三要素是： 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面。
不同的力偶只要它们的三要素相同，对物体的转动效应就是一样的。
力偶的基本性质性质1力偶没有合力，所以力偶不能用一个力来代替，也不能与一个力来平衡。
从力偶的定义和力的合力投影定理可知，力偶中的二力在其作用面内的任意坐标轴上 的投影的代数和恒为零，所以力偶没有合力，力偶对物体只能有转动效应，而一个力在一2.42.3力偶及其基本性质2.4.1图26般情况下对物体有移动和转动两种效应。
因此，力偶与力对物体的作用效应不同，所以其不能与一个力等效，也不能用一个力代替，也就是说力偶不能和一个力平衡，力偶只能和转向相反的力偶平衡。
性质2力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，且与矩心位置无关。
图2.7所示力偶（F , F，），其力偶臂为d，逆时针转向，其力偶矩为m二Fd，在其所在的平面内任选一点O为矩心，与离F/的垂直距离为x，则它到F的垂直距离为x d。
显然，力偶对O 点的力矩是力F与F •分别对O点的力矩的代数和。
其值为：m o（ F, F > F（ d * Fx Fd m由于O点是任意选取的，所以性质2已得证。
性质3在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。
称为力偶的等效条件。
从以上性质可以得到两个推论。
推论1力偶可在其作用面内任意转移，而不改变它对物体的转动效应，即力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关。
例如图2.8（a）作用在方向盘上的两上力偶（F,，F ）与（F2，F '）只要它们的力偶矩大小相等，转向相同，作用位置虽不同，转动效应是相同的。
EI 2. 8推论2 在力偶矩大小不变的条件下，可以改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短; 而不改变它对物体的转动效应。
例如图2.8（b）所示，工人在利用丝锥攻螺纹时，作用在螺纹杠上的（F,，F ）或（F2，F ■），虽然d!和d2不相等，但只要调整力的大小，使力偶矩Fd i二F2d2，则两力偶的作用效果是相同的。
ISf 2.9从上面两个推论可知，在研究与力偶有关的问题时，不必考虑力偶在平面内的作用位置，也不必考虑力偶中力的大小和力偶臂的长短，只需考虑力偶的大小和转向。
所以常用带箭头的弧线表示力偶，箭头方向表示力偶的转向，弧线旁的字母m或者数值表示力偶矩的大小，如图2.9所示。
2.5 平面力偶系的合成与平衡2.5.1 平面力偶系的合成作用在物体上的一群力偶或一组力偶，称为力偶系。
作用面均在同一平面内的力偶系称为平面力偶系。
因为力偶对物体的作用效果是转动，所以同一平面上的多个力偶对物体的作用效果也是转动，作用在同一物体上的多个力偶的合成的结果必然也应该是一个力偶，并且这个力偶的力偶矩等于各个分力偶的力偶矩之和。
即作用在同一平面上的若干力偶，可以合成为一个合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和：即M = mi m2 ........ _ 7 m (2.4)例2.4如图2.10所示，在物体的某平面内受到三个力偶的作用，设R =200N，F2 =600N，m =300N m，求它们的合力偶矩。
解各力偶矩分别为ir| _ -F|d _ -200 1 ■ -200N mm2=F2d “〔600 -025300N msin 30m, - -m - -300N m由(2 —4)式可得合力矩为M 八m = m, m, m3二-200 300 - 300 二-200N m即合力偶矩的大小为200N m，顺时针转向，作用在原力偶系的平面内。
2.4.2平面力偶系的平衡条件平面力偶系可以合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时，物体处于平衡状态；反之, 力偶矩不为零，则物体必产生转动效应而不平衡。
这样可得到平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。