3 理论力学--力偶理论
理论力学13力偶与力偶矩
习题: P.29 1-15、1-16
2020/4/30
19
谢谢大家!
2020/4/30
20
理论力学
主讲
广东海洋大学寸金学院
庞雪飞
2020/4/30
1
1.3 力偶与力偶矩
F ＝－F′
F' F
2020/4/30
2
F ＝－F′
■力偶的定义
F
两个大小相等、
作用线不重合的反
向平行力组成的力
系称为力偶
F′
(couple)。
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3
力偶中两个力的作
用线所确定的平面称 为力偶的作用面
(acting plane of a couple)，二力作用线 之间的垂直距离d称 为力偶臂(couple arm)。
x
黑版手书计算上例。
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17
练习
如图汽缸盖上4个相同的 孔，每个孔的切削力偶矩大 小为M1=M2=M3=M4=15 N.m。
求工件的总切削力偶矩
解：根据 M Mi 可得
M2
M1
M4
M3
M M 1 M 2 M 3 M 4
415 60N .m 负号表示合力偶矩的转向为顺时针方向
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d1 M=F0×d1=F×d
平面问题
由于力偶的作用面总是与力系所在的平面 重合，力偶矩由矢量变成代数量
M = Fd
正负号用来区别 转向，通常规定: 逆时针为正 顺时针为负
+–
这里的逆时针或顺时针转向是指物体在力偶的作用下转
动202的0/4/方30 向。
10
■力偶是最简单的力系之一
理论力学第3章-力偶系
例 3-1 图示机构，各杆自重不计，在两力偶作用下处于平 衡。已知：M1 = 100 N · m，O1A = 40 cm，O2B = 60 cm。 试求力偶矩M2的大小。 B A FB F B FA
30 o
B
O1
B
A FA M2
M1 FO1 O1 A M1
M
2
O2
O2
FO2
解：取O1A杆为研究对象，受力如图所示，
若两个力偶对刚体的作用效应相同，则称这二力 偶等效。
两力偶的等效条件 ：力偶矩矢相等，即
M1 M2
(3-2) FR'
B'
证明：
A'
FR F1 FR F'
A B
FR' F1'
F
力偶(FR，FR' ) 代了原力偶(F，F' ) 并与原力偶等效。
A'
FR
FR'
B'
D F' C
比较(F,F')和(FR,FR')可得 M(F,F')=2△ABD=M(FR,FR') =2 △ABC
合力偶矩矢的大小和方向余弦为
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2 (280)2 1602 (800)2 862.55 kN m
M cos( M , i )
280 0.3246 M 862.55 My 160 cos( M , j ) 0.1855 M 862.55
1 3 200 280kN m 5 5 4 M y M y M 1 y M 2 y 0 200 160kN m 5 2 M z M z M1z M 2 z 400 5 0 800kN m 5 M x M x M1x M 2 x 400 5
理论力学习题
1静力学公理及受力图1-1【是非题】作用在同一刚体上的两个力，使刚体处于平衡的必要和充分的条件是：这两个力大小相等、方向相反、沿同一条直线。
（）1-2【是非题】静力学公理中，二力平衡公理和加减平衡力系公理适用于刚体。
（）1-3【是非题】静力学公理中，作用力与反作用力公理和力的平行四边形公理适用于任何物体。
（）1-4【是非题】二力构件是指两端用铰链连接并且只受两个力作用的构件。
（）1-5【选择题】刚体受三力作用而处于平衡状态，则此三力的作用线。
A．必交汇于一点B．必相互平行C．必不在同一平面内D．必位于同一平面内1-6【选择题】如果力F R是F1、F2两力的合力，用矢量方程表示为F R = F1 + F2，则三力大小之间的关系为。
A．必有F R = F1 + F2B．不可能有F R = F1 + F2C．必有F R＞F1，F R＞F2D．可能有F R＜F1，F R＜F21-7【填空题】作用在刚体上的力，可沿其作用线任意移动作用点，而不改变力对刚体的作用效果。
所以，在刚体静力学中，力是矢量。
1-8【填空题】力对物体的作用效应一般分为效应和效应。
1-9【填空题】对非自由体的运动所预加的限制条件成为；约束反力的方向总是与约束所能阻止的物体的运动趋势的方向；约束反力由力引起，且随其改变而改变。
1-10 画出下列各物体的受力图。
凡未特别注明者，物体的自重均不计，且所有的接触面都是光滑的。
1-11 画出下列每个标注字符的物体的受力图，各题的整体受力图。
凡未特别注明者，未画重力物体的重力不计，且所有的接触处都是光滑的。
2 汇交力系2-1【选择题】已知F 1、F 2、F 3、F 4为作用于刚体上的平面汇交力系，其力矢关系如图所示，由此可知 。
A ．该力系的主矢F ′R = 0B ．该力系的合力F R = F 4C ．该力系的合力F R = 2F 4D ．该力系平衡2-2【选择题】图示系统受力F 作用而平衡。
欲使A 支座约束力的作用线与AB 成30º角，则斜面的倾角α应为 。
理论力学--力偶理论
Fn dn
Fn1
F1
d1
d2 F2
A
B
F11 d
F21
A
B
d
FR
M1 F1d1 F11d
图3-4 M 2 F2d2 F21d ，…，
M n Fndn Fn1d
FR F11 F21 (Fn1 ) FR F11 F21 (Fn1 )
3 力偶理论
与力一样，力偶是力学中的一个基本量。作用于刚体上的力偶 不能使刚体产生移动效应，只能使刚体产生转动效应。
力偶是一种特殊的力系，没有合力，不能与单个力平衡。
但它具有可移转性、可改变性等重要性质，它对刚体的转动效 应完全取决于力偶矩矢。
3.1 力偶、力偶矩矢
3.1.1 力偶的概念
如图3-1所示，作用于刚体上大小相等、方向 相反的一对平行力，称为力偶（Couple），记作 （F，F′）。
在实际计算中，通常采用投影形式。
M FR d (F11 F21 (Fn1)) d M1 M2 Mn M
3.2.2 平面力偶系的平衡方程
平面力偶系平衡的必要与充分条件是：所有各力偶矩的代数和等 于零，即
M M1 M2 Mn 0
（3-4）
式（3-4）称为平面力偶系的平衡方程。由于只有一个平衡方程，因此 只能求解一个未知量。
M
（1）乘积Fd； （2）力偶的转向； （3）力偶作用面的方位。
F d F′
图3-2
这三个因素用一个矢量表示，称为力偶矩矢，记为M。力偶矩矢的 表示法如下：矢的长度按一定的比例表示力偶矩的大小Fd ；矢的方位垂 直于力偶作用面；矢的指向按右手规则确定，即右手四指的指向符合力 偶转向而握拳时，大拇指伸出的方向就是力偶矩矢的转向。
理论力学第三章力矩与平面力偶理论（H）
理论⼒学第三章⼒矩与平⾯⼒偶理论（H）第3章⼒矩与平⾯⼒偶理论※平⾯⼒对点之矩的概念及计算※⼒偶及其性质※平⾯⼒偶系的合成与平衡※结论与讨论§3-1 平⾯⼒对点之矩的概念及计算1.⼒对点之矩AFBhhF M O ?±=)(F h ——⼒臂O ——矩⼼OABM O Δ±=2)(F M O (F ) ——代数量（标量）“＋”——使物体逆时针转时⼒矩为正；“－”——使物体顺时针转时⼒矩为负。
2. 合⼒之矩定理平⾯汇交⼒系合⼒对于平⾯内⼀点之矩等于所有各分⼒对于该点之矩的代数和。
3. ⼒矩与合⼒矩的解析表达式xA FF xF yOαyx yx y y O x O O yF xF M M M ?=+=)()()(F F F )()()()()(21i O n O O O R O M M M M M F F F F F ∑=+++=")()(ix i iy i R O F y F x M ?∑=FF nαOrF rF 已知：F n ，α，r求：⼒F n 块对轮⼼O 的⼒矩。
h解：（1）直接计算αcos )(r F h F M n n n O ==F （2）利⽤合⼒之矩定理计算αcos )()()()(r F M M M M n O O r O n O ==+=F F F F 例题1§3-2 ⼒偶及其性质1.⼒偶与⼒偶矩⼒偶——两个⼤⼩相等、⽅向相反且不共线的平⾏⼒组成的⼒系。
⼒偶臂——⼒偶的两⼒之间的垂直⼒偶的作⽤⾯——⼒偶所在的平⾯。
（1）⼒偶不能合成为⼀个⼒，也不能⽤⼀个⼒来平衡。
⼒和⼒偶是静⼒学的两个基本要素。
（2）⼒偶矩是度量⼒偶对刚体的转动效果；它有两个要素：⼒偶矩的⼤⼩和⼒偶矩的转向。
F′FABOdx FdFxxdFMMMOOO=+′=′+=′)()()(),(FFFF⼒偶矩±=FdM2.平⾯⼒偶的等效定理1F ′F ′2F ′0F ′F 00F ′F 0ABDCdF F 1F 2★在同平⾯内的两个⼒偶，如果⼒偶矩相等，则两⼒偶彼此等效。
力矩力偶
力偶系的合成和平衡
空间力偶系的合成：
M Mi
M x M xi M y M yi M z M zi
合力偶矩的大小：
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
合力偶矩矢的方向：
cos(M , i )
M x
cos(M ,
MO (F) = MO (F cos)+MO(F sin )
例题 1
如 图 所 示 圆 柱 直 齿 轮 ， 受 到 啮 合 力 Fn 的 作 用 。 设 Fn=1400N。压力角α=20o ，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r = 60
mm，试计算力 Fn 对于轴心O的力矩。
解： 计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得
其力偶矩矢为：
解得
FA
M1 r sin 30
再取摇杆BC为研究对象：
∑M = 0：
M 2 FA
r
sin
0
其中 FA FA
解得 M2 4M1 8 kN m
FO
FB
FA
M1 r sin 30
8
kN
例题 4
图示三角柱刚体是正方体的一半，其上作用着三个力偶。已知力 偶（F1，F1）的矩 M1= 20 N·m；力偶（F2， F2）的矩 M2= 20 N·m；力偶（F3，F3）的矩 M3= 20 N·m，试求合力偶矩矢 M。 又问若要使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶？
0
0l
3
力偶及其性质
力偶及其性质
1. 力偶与力偶矩 2. 力偶等效定理 3. 力偶系的合成和平衡
力偶的实例
空间力系—空间力偶(理论力学)
一、空间力偶对刚体的作用效应以矢量表示
力偶矩矢M
空间力偶三要素
力偶矩大小:M=F × d 力偶作用面 矢量方位与作用面垂直
M
A
F´
d
F B
力偶使物体转动的方向
注意
矢量方位与力偶转向服从右手螺旋法则
力偶矩矢的解析表达式为：M=Mxi+My j+Mzk
例1 计算并表示物体上的力偶矩矢。
z
M1
解：物体上有两组力偶，两个力偶矩矢分别
M1
B
A
O y
C
x
M3 合力偶矩矢M的方向
cos(M, i) Mx M
Mz=M1z+M2z+…+Mnz=∑Miz
cos(M, j) M y M
合力偶矩矢M的大小 M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
cos(M, k) Mz M
例1 F1=F2=5N，d1=d2=3m，试计算物体上的合力偶矩大小。
z
解：将各分力偶用力偶矩矢来表示,如图所示。
计算各分力偶矩矢在坐标轴上的投影。 M1x=0，M1y=0，M1z=F1·d1=5×3=15N·m
M2x=0，M2y=-F2·d2=-5×3=-15N·m，M2z=0
合力偶在坐标轴上的投影。 Mx=M1x+M2x=0
F1 d1 F1´ F2
y
F2´ d2 O
3.在保持力偶矩大小不变的条件下，可以任意改变力偶中力的大小和力臂的长短，
而不改变它对刚体的转动效应。
2F
F
2a
F´
a
2F´
解：画整体受力图。 空间力偶系平衡，列平衡方程
M x 0 F2 400 FAZ 800 0 M z 0 F1 400 FAx 800 0
理论力学课件 力矩、主矩、力的作用量、力偶
力对轴之矩正负由右手法则确定，从轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。
FxFyr三、平面上力对点的矩平面上力对点的矩为代数量。
()()kF r F M xy xy O v v vv ⋅×=例1-9 已知α，AO =h ，OC =r ，求水平力F 对C 点的矩。
()ααcos sin Fh Fr r F h F F M y x C −=+−=vxFyF 解F v分解力αcos F F x =αsin F F y =板式的、均匀的，且沿翁。
绘出不倒翁的重心大体在什么范围才能保证不倒翁真正不倒？门轴略内倾。
这种柜子可以自动关门，定性说明其原因。
思考题1、如图所示的楔形块A、B自重不计，接触处光滑，则A、B的平衡情况是怎样的？不平衡2、根据力的可传性,可以将力F沿其作用线移至那里?A，B二、力偶的特征量0v v v v =′+=F F F V F r F r r OB OA v v v v v ×=×−=)()(F r F r OB OA v v v v −×+×=力偶的主矢为对任意点主矩恒等于矢量积，而与矩心的位置无关。
F r v v ×主矩与矩心无关,力偶只能使刚体转动主矢为零.力偶不能使刚体移动力偶对任意点O 的主矩为F r F r M OB OA O v v v v v ′×+×=力偶矩矢量是自由矢量（大小、方向）4.01+×−×=F F F m。
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3.1.3.2 力偶的可改变性 在保持力偶矩矢不变的前提下，可以任意改变力 偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体 的转动效应。可见，力偶中力的大小和力偶臂的长短 都不是决定力偶效应的独立因素。
在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶的这些变化 都不会改变力偶对刚体的作用效应。因此，今后我们 只关心力偶的力偶矩矢，而不过问该力偶中力的大小、 方向和作用线。故在表示力偶时，只要在力偶作用面 内用一带箭头的弧线表示力偶的转向，旁边标注力偶 矩M的值即可，如图3-3所示。
M 1 F1 d1 200 42 22 400 5 kN m
d2 F1 M1 F2 O d1 2m y 3m
F2 F1
4m M2
M 2 F2 d2 100 2 200 kN m
x
图3-6
取Oxyz直角坐标系，将各力偶矩矢平移到O点，如图3-6 所示。则合力偶矩矢在三个直角坐标轴上的投影分别为
3.2 平面力偶系的合成与平衡 3.2.1 平面力偶系的合成
设作用于刚体上同一平面内的n个力偶（F1，F1′）， （F2，F2′），…，（Fn，Fn′）对刚体的作用效应与力 偶（FR，FR′）对刚体的作用效应相同，则称力偶（FR， FR′）是力偶（F1，F1′），（F2，F2′），…，（Fn， Fn′）的合力偶。一般情况下，平面力偶系可合成为一 个合力偶，合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩的代数 和，即
Fn dn
A
Fn1
F1
d1
d2
F2
B
A
F11 F21
d
FR
B
d
图3-4
M 1 F1d1 F11d M 2 F2 d 2 F21d ，…， M n Fn dn Fn1d
FR F11 F21 ( Fn1 )
FR F11 F21 ( Fn1 )
M FR d ( F11 F21 ( Fn1 )) d M 1 M 2 M n M
3.2.2 平面力偶系的平衡方程 平面力偶系平衡的必要与充分条件是：所有各 力偶矩的代数和等于零，即
M M
1
M 2 M n 0
（3-4）
式（3-4）称为平面力偶系的平衡方程。由于只有一 个平衡方程，因此只能求解一个未知量。
例 3-1 如图3-5所示机构，各杆自重不计，在两力偶作用 下处于平衡。已知：M1 = 100 N · m，O1A = 40 cm，O2B = 60 cm。 试求力偶矩M2的大小。 B A FB FA F B
M M1 M 2 M n M
（3-3）
证明：设作用于刚体上的平面力偶系（F1，F1′）， （F2，F2′），…，（Fn，Fn′），其力偶臂分别为d1， d2，…，dn，如图3-4所示。 则各力偶的力偶矩分别为 M1 F1d1 M 2 F2 d 2 ，…，M n Fn d n
1 3 M x M x M1x M 2 x 400 5 200 280kN m 5 5 4 M y M y M1 y M 2 y 0 200 160kN m 5 2 M z M z M1z M 2 z 400 5 0 800kN m 5
x
cos( M , k )
M
M
z
800 0.9275 862.55
例 3-3 作用于如图3-7所示楔块上的三个力偶处于平衡。 已知： F3 F3 150 kN 。试求力F1和F2的大小。 解：取楔块为研究对象 将各力偶矩矢平移到O点，
30 cm
z
F3
F1 M3
列空间力偶系平衡方程
M M1 M 2 M n M
在实际计算中，通常采用投影形式。
M x M1x M nx M x M y M1 y M ny M y M z M1z M nz M z
（3-5）
（3-6）
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2 Mx cos( M , i ) M My cos( M , j ) M Mz cos( M , k ) M
（3-7）
3.3.2 空间力偶系的平衡方程 空间力偶系平衡的充分必要条件为：合力偶对应 的力偶矩矢量为零矢量。
FB FA FA 500 N
取O2B杆为研究对象，受力如3-5(b)所示。 列平衡方程有
M 0
FB O2 B M 2 0
M 2 FB O2 B FB O2 B 500 60 102 300 N
3.3 空间力偶理论 3.3.1 空间力偶系的合成 一般情况下，平面力偶系可合成为一个合力偶， 合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩的代数和，即
M
M
y
0
0
60 F1 50 F3 sin 0
60 F2 50 F3 cos 0
F1
M1 O M2 F2
F2
F3 c 60
y
m
z
x
40 cm
sin 0.6
cos 0.8
F2 100kN
图3-7
解得
F1 75kN
此各力偶矩矢的方位相同。这时，力偶矩矢可用一
代数量表示(见图3-3)，即
M Fd
M
图3-3
一般规定，当力偶使刚体产生逆时针的转动时， 力偶矩取正号，反之则取负号。力偶矩的单位为 牛·米（N · m），或千牛·米（kN · m）。
3.1.3 力偶的等效
若两个力偶对刚体的作用效应相同，则称这二力 偶等效。 两力偶的等效条件 ：力偶矩矢相等，即
B d A F F
F
图3-1
由二力平衡公理可知，力偶不是平衡力系，它是一种 特殊的力系。在力偶的作用下，刚体会产生转动效应。例 如，汽车司机用双手转动方向盘，钳工用丝锥攻螺纹，电 动机转子受到电磁力作用旋转等等，都是力偶作用下刚体 的转动效应。
力偶是力学中的一个基本量。 力偶没有合力。 力偶不能与单个力等效，也不能与单个力平衡。 力偶只能与力偶等效，只能与力偶平衡。
M1 M 2
(3-2)
3.1.3.1 力偶的可移、可转性 在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶可在其作用 面内任意移动、转动，不改变力偶对刚体的转动效应。 因此，力偶对刚体的作用与其在作用面内的位置无关。 在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶可以平行地 移至另一个平面内，而不改变力偶对刚体的转动效应。 因此，力偶矩矢为自由矢量。
作用于刚体上的一群力偶构成力偶系（System of couples）。
力偶系可分为平面力偶系（Coplanar couple system） 和空间力偶系（Three dimensional couple system）。
3.1.2 力偶矩矢 力偶（F，F′）的两个力的作用线所确定的平面 称为力偶作用平面(见图3-2)。两个力作用线之间的垂 直距离d称为力偶臂，力偶对刚体的作用效应取决于三 M 个因素: （1）乘积Fd； （2）力偶的转向； （3）力偶作用面的方位。
F
d F′
图3-2
这三个因素用一个矢量表示，称为力偶矩矢，记 为M。力偶矩矢的表示法如下：矢的长度按一定的比 例表示力偶矩的大小Fd ；矢的方位垂直于力偶作用面； 矢的指向按右手规则确定，即右手四指的指向符合力 偶转向而握拳时，大拇指伸出的方向就是力偶矩矢的 转向。
对于平面力偶系，各力偶作用面相互重合，因
M 0
（3-8）
空间力偶系的平衡方程
M M M
x y z
0 0 0
（3-8）
例 3-2 如图3-6所示，在长方体的两个对角面上分别作用二 力偶 (F1，F1′)。已知：F1 = 200 kN，F2 = 100 kN。试求这两个 力偶的合力偶矩矢。 z 解：设力偶(F1，F1′)，(F2，F2′) 的力偶矩矢分别为M1和M2，
合力偶矩矢的大小和方向余弦为
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2 (280) 2 160 2 ( 800) 2 862.55 kN m
M cos( M , i )
280 0.3246 M 862.55 M y 160 0.1855 cos( M , j ) M 862.55
30 o
B
B
A M2 FA FO1 A O1 M1 O2
O1
M1
M
2
O2
FO2
(a)
图3-5
(b)
解：取O1A杆为研究对象，受力如图3-5(b) 所示，
列平衡方程有
M 0
FA 100 1 40 102 2
M1 FA O1 A sin 30 0
500 N
AB杆为二力构件，则有
3 力偶理论
与力一样，力偶是力学中的一个基本量。作 用于刚体上的力偶不能使刚体产生移动效应，只 能使刚体产生转动效应。 力偶是一种特殊的力系，没有合力，不能与 单个力平衡。 但它具有可移转性、可改变性等重要性质， 它对刚体的转动效应完全取决于力偶矩矢。
3.1 力偶、力偶矩矢
3.1.1 力偶的概念
如图3-1所示，作用于刚体上大小 相等、方向相反的一对平行力，称为 力偶（Couple），记作（F，F′）。