第三章力矩平面力偶系a
工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
第三章 力偶与平面力偶理论)
M 0 F F h
力对点之矩（力矩）是一个代数量，它的绝 对值等于力的大小与力臂的乘积；
它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 常用单位为 N· m 或 kN· m。 注意：力矩在下列几种情况下等于零 （1）力的大小等于零；
（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零；
（3） 互成平衡的二力对同一点之矩为零。
78.93N m
按合力矩定理 M O F M O Ft M O Fr
F cos θ r 78.93N m
例3-2 已知：q,l； 求： 合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
x q q l l x 1 P q dx ql 0 l 2
M Mi Mi
i 1 n
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi
0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
求: M O F .
解:直接按定义
MO
F F h F r cos θ
M1 F1 d M2 F2 d
M1 F1d
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
F1 F2 Fn FR
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
定理：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶 彼此等效。 推论： 任一力偶可在它的作用面内任意转移，而不改变它对刚体 的作用。因此力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无 关。 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与 力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
工程力学第3章
第3章 力矩和平面力偶系 图3-4
第3章 力矩和平面力偶系
这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的 力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d 称为力偶臂， 如图3-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称 为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实 践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移 动效应。力偶对物体的转动效应，可用力偶中的力与力偶臂的 乘积再冠以适当的正负号来确定，称为力偶矩，记做M(F，F′), 或简写为M，
解：(1) 求三个主动力偶的合力偶矩
M Mi M1 M2 M3
13.5 13.5 17 44N m
负号表示合力偶矩为顺时针方向。
第3章 力矩和平面力偶系 图 3-10
第3章 力矩和平面力偶系 (2) 求两个螺栓所受的力。
选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的 反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示， 由平面力偶系的平衡条件，有
根据合力矩定理，力F对A点之矩
M A (F ) M A (F1 ) M A (F2 ) F1l1 F2l2 F (l1 cos150 l2 sin150 ) 3970N cm 39.7N m
负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动。
第3章 力矩和平面力偶系 图3-3
设在刚体上作用一力F，如图3-11所示，由经验可知，当力 F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到 刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果
发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对 刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。
第三章_力对点的矩_平面力偶系
4
平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系的合成
平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。 平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。
=
FR = F1 + F2 + Fn
=
=
′ FR = F1′ + F2′ + Fn′
平面力偶系合成的结果是一个合力偶， 平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 中各力偶矩的代数和。 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。
力对点的矩
F
h
O
M 0 ( F ) = ± Fh
力对点的矩是一个代数量，它的绝对值 绝对值等于力的大小 力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定， 正负可按下法确定 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定，力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 量度
A α M1
OBBiblioteka M2DB 解： 因为杆AB为二力杆，故其反力F 和F 只 因为杆AB为二力杆 故其反力FAB 为二力杆， BA A
α
M1 M2
D
能沿A 能沿A，B的连线方向。 的连线方向。 分别取杆OA和DB为研究对象 分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能 为研究对象。 与力偶平衡，所以支座O 与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只 的约束力F ∴ 能分别平行于F 能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。 且与其方向相反。 B 写出杆OA和DB的平衡方程 写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0 的平衡方程：
力对点的矩
静力学第3章力矩平面力偶系
平面力偶由两个大小相等、方向相反、作用线重合的平行力组成，其合力矩等于两力与两力之间的距离的乘积。
平面力偶平衡方程的应用
平面力偶平衡方程的应用主要涉及确定物体在平面力偶作用下的平衡位置。 通过将物体的重力、支持力和已知力矩表示为未知数的函数，可以建立平面力偶平衡方程并求解未知数。 求解平面力偶平衡方程时，需要利用代数方法，如加减消元法、代入法等。
力矩具有方向性，遵循右手定则。
力矩的简化表示
力矩可以表示为代数和，即所有力和力臂的乘积相加。
1
力矩可以用矢量表示，包括大小和方向。
2
力矩可以用单位表示，例如牛顿·米（N·m）。
3
在某些情况下，力矩可以简化为更简单的形式，例如在某些坐标系中。
4
02
平面力偶系
平面力偶的定义
表示方法
定义
用实线表示主动力，用虚线表示反作用力，箭头指向表示力的方向。
平面力偶的性质
合成规则
合成结果
合成结果的应用
平面力偶系的合成
合成的力偶大小等于各分力偶大小之和，方向与各分力偶方向相同或相反，取决于各分力偶的方向是相同还是相反。
通过平面力偶系的合成，可以求出作用于刚体的总力偶，从而进一步分析刚体的平衡状态和运动状态。
当有多个平面力偶作用于同一刚体时，这些力偶可以按照平行四边形法则进行合成。合成结果是一个单一的力偶，其大小和方向由合成规则确定。
平面力偶是两个大小相等、方向相反、作用线重合的平行力，它们不在同一直线上。
力偶无合力
力偶无作用点
力偶无转动中心
平面力偶由两个大小相等、方向相反的力组成，它们在同一直线上但不在同一点上，因此无法合成一个合力。
工程力学第三章力矩与平面力偶系
位置无关，因此力偶对刚体的效
应用力偶 矩度量。
F
A B
d
F'
x
O
mO ( F ) mO ( F ') F ( x d ) F 'x F d
4.力偶的表示方法
用力和力偶臂表示，或用带箭头的弧线表示，箭头表示 力偶的转向，M表示力偶的大小。
第三章力矩与平面力偶系
湖南工业大学土木工程学院
y
Fx
x
则
r cos x, r sin y
mo ( F ) xFy yFx
湖南工业大学土木工程学院
( )
a
第三章力矩与平面力偶系
§3-1力矩的概念和计算
mo (F ) xFy yFx
若作用在
( )
a
y
Fy
F
F2 、 A 点上的是一个汇交力系（ F1 、 则可将每个力对 o 点之矩相加，有 Fn ）， o
r
d
，
x
A
y
Fx
m (F ) x F
o
y
y Fx
(b)
x
由式（ a ），该汇交力系的合力 R 它对矩心的矩
F
m0 (R) xRy yRx x Fy y Fx ( c )
比较（ b ）、（ c ）两式有
mo (R) M o (F )
第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院
l
A
o
第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院
d
F
力矩计算
简支刚架如图所示，荷载F=15kN，α=45 ,尺寸如图。试分别计 算F对A、B两点之矩。
力对点的矩和平面力偶系
第三章 力对点的矩和平面力偶系一、内容提要本章研究了力矩和力偶。
1．力矩及计算（1）力矩 力矩表示力使物体绕矩心的转动效应。
力矩等于力的大小与力臂的乘积。
在平面问题中它是一个代数量。
一般规定：力使物体绕矩心产生逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为()Fd F M O ±=（2）合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各力对同一点的力矩的代数和。
用公式表达为()()F M F M O O ∑=R2．力偶的基本理论（1）力偶 由两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的力系，称为力偶。
力偶与力是组成力系的两个基本元素。
（2）力偶矩 力与力偶臂的乘积称为力偶矩。
为代数量，规定：逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为：Fd M ±=（3）力偶的性质力偶不能合成为一个合力，不能用一个力代替，力偶只能与力偶平衡。
力偶在任一轴上的投影恒为零。
力偶对其平面内任一点矩都等于力偶矩，与矩心位置无关。
在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。
力偶对物体的转动效应完全取决于力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶所在的作用面。
（4）平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成结果为一个合力偶，合力偶矩等于平面力偶系中各个力偶矩的代数和。
用公式表达为：M R =ΣM平面力偶系的平衡条件是合力偶矩等于零。
用公式表达为：ΣM = 0二、思考题提示或解答3-1 试比较力矩与力偶矩的异同点。
答：平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。
这就是平面力系的合力矩定理。
应用合力矩定理在于简化力矩的计算。
当力臂不易确定时，可将力分解为易找到力臂的两个互相垂直的分力，在求出两分力的力矩后，再代数相加即可。
3-3 二力平衡中的两个力，作用与反作用公理中的两个力，构成力偶的两个力各有什么不同?答：二力平衡中的两个力等值、反向、共线，共同作用在一个物体上；作用与反作用公理中的两个力等值、反向、共线，分别作用在两个物体上； 构成力偶的两个力等值、反向、互相平行，也作用在一个物体上。
理论力学第三章力矩与平面力偶理论（H）
理论⼒学第三章⼒矩与平⾯⼒偶理论（H）第3章⼒矩与平⾯⼒偶理论※平⾯⼒对点之矩的概念及计算※⼒偶及其性质※平⾯⼒偶系的合成与平衡※结论与讨论§3-1 平⾯⼒对点之矩的概念及计算1.⼒对点之矩AFBhhF M O ?±=)(F h ——⼒臂O ——矩⼼OABM O Δ±=2)(F M O (F ) ——代数量（标量）“＋”——使物体逆时针转时⼒矩为正；“－”——使物体顺时针转时⼒矩为负。
2. 合⼒之矩定理平⾯汇交⼒系合⼒对于平⾯内⼀点之矩等于所有各分⼒对于该点之矩的代数和。
3. ⼒矩与合⼒矩的解析表达式xA FF xF yOαyx yx y y O x O O yF xF M M M ?=+=)()()(F F F )()()()()(21i O n O O O R O M M M M M F F F F F ∑=+++=")()(ix i iy i R O F y F x M ?∑=FF nαOrF rF 已知：F n ，α，r求：⼒F n 块对轮⼼O 的⼒矩。
h解：（1）直接计算αcos )(r F h F M n n n O ==F （2）利⽤合⼒之矩定理计算αcos )()()()(r F M M M M n O O r O n O ==+=F F F F 例题1§3-2 ⼒偶及其性质1.⼒偶与⼒偶矩⼒偶——两个⼤⼩相等、⽅向相反且不共线的平⾏⼒组成的⼒系。
⼒偶臂——⼒偶的两⼒之间的垂直⼒偶的作⽤⾯——⼒偶所在的平⾯。
（1）⼒偶不能合成为⼀个⼒，也不能⽤⼀个⼒来平衡。
⼒和⼒偶是静⼒学的两个基本要素。
（2）⼒偶矩是度量⼒偶对刚体的转动效果；它有两个要素：⼒偶矩的⼤⼩和⼒偶矩的转向。
F′FABOdx FdFxxdFMMMOOO=+′=′+=′)()()(),(FFFF⼒偶矩±=FdM2.平⾯⼒偶的等效定理1F ′F ′2F ′0F ′F 00F ′F 0ABDCdF F 1F 2★在同平⾯内的两个⼒偶，如果⼒偶矩相等，则两⼒偶彼此等效。
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上述推论表明：在同一平面内研究力偶问题时，只须考虑力偶矩，而 不必研究其中力和力偶臂的大小。
问题：力偶等效及其推论能否适用于变形效应？
x
由几何关系，力臂 d 可表示为：
代入 d，力矩 m0 ( F )为：
§3-2 力偶与力偶矩
一、力偶
大小相等、方向相反、
作用线相互平行而不重
合的两个力，记为
(
F,
F)
力偶作用面：力偶中两力所在的平面。 力偶臂d：两力作用线之间的垂直距离。
力偶对物体的作用效应
力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线相互平行，因 此在任意坐标轴上的投影之和等于零。根据合力投影定理可 知，它的合力等于零，这就是说，力偶对物体不产生移动效 应，只有转动效应。
B
r D
M
C
l
F
’ B
B
FB
E
B 45 0
r
A
D
D
FA
M
C
FC l
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同 时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为
m1 m2 m3 m4 15N m,
求工件的总切削力偶矩和A 、B端在水平面 的约束反力。
解：工件的总切削 力偶矩的大小为
M m1 m2 m3 m4 4 15 60N m（顺时针）
A F1
F
’ 1
Hale Waihona Puke BAF’ 1
B
F1
§3-4 平面力偶系的合成与平衡条件
一、平面力偶系的合成
d
d
m1 F1d1 m2 F2d2
P1d m1 P2d m2
RA P1 P2' RB P1' P2
M RAd (P1 P2)d P1d P2d m1 m2
平面力偶系合成的结果为作用于同一平面内的 合力偶，合力偶矩等于诸力偶矩的代数和。
思路：系统平衡问题，可以先求出系统A, B两处的约 束反力，然后以杆CD为研究对象，求出 C 和D处的反 力，最后求 E 处的反力。
解：（一）先取整个系统为研究对象 （1）画出受力图。受力有力偶 m，B处的约束反力
RB、铰链 A处的反力 RA。
（2）列出平衡方程。根据平面力偶系平衡条件，RA 必 与 RB 构成一力偶，且与 m 相平衡。由平衡方程有：
（1）力偶矩的大小 (2）力偶的转向（3）力偶的作用平面。称为力偶的 三要素。
§3-3 力偶的等效
力偶的等效—在同一个平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小 相等，转动方向相同，则两力偶等效。该定理称为平面力偶的等效 定理。
F
’ 1
F’2
F2
F
’ 2
F
’ 1
F1
F2 F1
力偶等效的两个重要推论：
M mi
二、平面力偶系的平衡条件
力偶系中诸力偶矩的代数和等于零。
M mi 0
例题3-5 如图所示框架CD上作用一力偶，其力 偶矩 m = 40 N ·m，转向如图。A为固定铰链， C, D 和E均为中间铰链，B为光滑面。不计各 杆件质量。试求系统平衡时，A, B, C, D 和 E 处的约束反力。
第三章 力矩 平面力偶系
中国矿业大学（北京）
§3-1 力对点的矩
力矩是力对点之矩，是使物体绕 一点转动效应的度量。
力F对O点的力矩，以符号mo(F)表
示：
mo(F) Fd
O点称为力矩中心（简称矩心）；d为O点到力F作用线的垂直距离，称 为力臂。
符号规定：逆时针转向为正，顺时针转向为负。
平面内力对点之矩为代数量。
力偶对物体转动效应的度量
力偶对 O 点之矩的和为：
y
F’ d F
F’
x
d
O
B
A
F
力偶矩
以乘积 F · d 作为量度力偶对物体的转动效应的物理量，该量称为力偶矩，用 符号 m (F , F’ ’) 或 m 表示，即:
m (F, F ’) 单位是 N • m 或者 kN • m 。力偶矩 m (F, F ’) 使物体逆时针转动为正， 顺时针转动为负。
260 mm 140 mm 320 mm
240 mm
m
E
C
D
A
B
300
320 mm
m
E
A
RA
C
D B
RB
（二）再取CD杆为研究对象
（1）画出受力图： 作用的力有力偶 m ，C 和 D处的铰链反力 RC、 RD 。DE为二力杆，故，必沿ED的方向。
（2）列出平衡方程。根据平面力偶系平衡条件，RC 必与 RD 平行且方向相反，构成一力偶，且与 m 相平 衡。由平衡方程有：
单位是 N·m。
综上：
力对矩心之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心 的位置有关；
力对任一点的矩，不会因该力沿其作用线移动而改 变；
力的作用线通过矩心时，力矩为零； 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。
mo(F) Fd
0
0 d
F
y
例题3-1 图示为两齿轮啮合传动， 已知大齿轮的节圆半径为 r2，直径 为 D2 , 小齿轮作用在大齿轮上的压 力为 F，压力角为 0，试求压力 F 对大齿轮转动中心 O2 点之矩。 解： 过 O2 点作垂直于力 F 作用线的垂线， 可知与 y 轴夹角为 0 。
F’
d F
=
=
力偶矩 m(F, F’) 也可以用 F 或 F ’、d 组成的三角形面积来表示：
力偶的性质
力偶无合力
力偶的定义说明其合力 R=0。力偶没有合力，因此，力偶不能用力来平衡。 这表明，力偶不能简化为力，力和力偶是两个非零的最简单力系。
力偶对刚体的作用效应完全取决于力偶矩
力偶对物体的转动效应与力偶矩大小有关，且与矩心位置无关。力偶对 物 体的作用效应，取决于以下因素：
由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组 成一力偶，根据平面力偶系平衡方程有:
NB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
NB
NA
60 0.2
300 N
小结
主要介绍力矩和力偶的概念、力偶的性质、平面力偶系的合成 与平衡等问题。
主要内容有：力对点之矩、力偶与力偶矩、力偶的等效、平面 力偶系的合成与平衡。
要求掌握的重点：力矩与力偶的性质、力偶系的合成与平衡问 题。
作业
3-3 3-7 3-8
E
A
RA
m
C D
B
RB
E
RE
m
C
D
RD
D
例题 如图所示的结构中，杆件AB为1/4圆弧，其半径为r，构件BDC为直角构件， BD垂直于CD，其上作用一个力偶 M。已知：l =2r。试求 A, C两处的约束力。
解：（1）选取AB杆为研究对象。再
取BDC杆为研究对象。
（2）分别画出各自受力图。
A
（3）根据平面力系和平面力偶系的 平衡条件，有：