三次样条程序框图
详细讲解三次样条插值法及其实现方法61页PPT
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
三次参数样条曲线PPT精选文档
p 2
t
2 2
p (t)
p1
p 1t
[
3
(
p
2
t
2 2
p1)
2 p 1 t2
p 2 ] t 2 t2
导
[
2
(
p1
t
3 2
p2)
p 1
t
2 2
p 2
t
2 2
]t
3
14
三
次
参 数 样 条 曲
对pi, pi1段有
pi
(t)
pi
pit
[3(piti121
pi
)
2pi ti1
pi1]t2 ti1
ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1' (xi)= Si' (xi) 有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令：λi= hi-1/(hi-1+hi),μi= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1]
可得：λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，
其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
7
三次样函数的端点条件
(1)夹持端：
端点处一阶导数已知，即
S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6) 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1
三次B样条曲线
(2)在半节点 x
S (k ) ( x
1 i 2
i
0) S ( k ) ( x
1 2
(i=1，2，…，n)处成立
1 i 2
0),
k 0,1,
(3)满足插值条件 yi S ( xi ),
数字图像处理
i 0,1,...,n.
2. B 样条曲线
以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面 有许多优越性，但有两点不足：其一是Bezier曲 线或曲面不能作局部修改，控制多边形的一个 顶点发生了变化，整条Bezier曲线的形状便发生 变化；其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。 因此，1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了 B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时， 克服了Bezier方法的弱点。
二次B样条曲线段 P0, 2 (t ) Pi Gi , 2 (t ) 是一段抛物线。
i 0 2
数字图像处理
二次B 样条曲线
二次B样条曲线的矩阵表示为：
1 1 0 P0 1 P0, 2 (t ) [1 t t 2 ] 2 2 0 P 1 2 1 2 1 P2 t [0,1]
当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不 相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h1阶几何连续(G n-h-1)。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
4. 对称性
2. B 样条曲线
2.1: B样条曲线的定义
第5章-3-三次样条插值PPT课件
(x
a)
m
m次截断多项式
a
.
7
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
s(x)pm(x) cj(xxj)m , x (4-31) j1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
8
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S ( x) 2825x9x2x3 3x1
2619x3x2x3 1x0
2619x3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3x2
0x1
S(x) a3xb2 xc x11x2
信息;
样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值
信息。
.
2
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x 1 x 2 x n ,
n
p n (x )p n 1 (x ) c n (x x n )m p0(x) cj(xxj)m j1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x a)m
(x a)m , x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
数学数值分析三次样条插值PPT课件
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
第10页/共40页
2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
第18页/共40页
S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
三次样条程序
function [a b f]=spline3(x,y,flag,vl,vr)%三次样条插值函数%(x,y)为插值节点，xx为插值点；%flag表端点边界条件类型：%flag=1:第一类边界条件(端点一阶导数给定)；%flag=2:第二类边界条件(端点二阶导数给定)；%flag=3:第三类边界条件；%vl,vr表左右端点处的在边界条件值。
%样条函数为：Si(x)=yi+bi*(x-xi)+ci*(x-xi)^2+di*(x-xi)^3 %b,c,d分别为各子区间上的系数值%yy表插值点处的函数值.if length(x)~=length(y)error('输入数据应成对!');endn=length(x);a=zeros(n-1,1);b=zeros(n-1,1);dx=a;dy=a;A=zeros(n);B=zeros(n,1);for i=1:n-1dx(i)=x(i+1)-x(i);dy(i)=y(i+1)-y(i);endfor i=2:n-1A(i,i-1)=dx(i-1)/(dx(i-1)+dx(i));A(i,i)=2;A(i,i+1)=dx(i)/(dx(i-1)+dx(i));B(i,1)=6*(dy(i)/dx(i)-dy(i-1)/dx(i-1))/(dx(i)+dx(i-1)); end%---------------------------------%%端点一阶导数条件%if flag==1A(1,1)=2;A(1,2)=1;A(n,n-1)=1;A(n,n)=2;B(1,1)=6*(dy(1)/dx(1)-vl)/dx(1);B(n,1)=6*(vr-dy(n-1)/dx(n-1))/dx(n-1);c=A\B;end%---------------%%端点二阶导数条件%if flag==2A(1,1)=2;A(n,n)=2;B(1,1)=2*vl;B(n,1)=2*vr;c=A\B;end%---------------%%第三类边界条件%if flag==3A(1,1)=2;A(1,2)=dx(1)/(dx(1)+dx(n-1));A(1,n-1)=dx(n-1)/(dx(1)+dx(n-1));A(n-1,1)=A(n-1,n);B(1,1)=6*(dy(1)/dx(1)-dy(n-1)/dx(n-1))/(dx(1)+dx(n-1));A(n,:)=[];A(:,n)=[];B(n,:)=[];c=A\B;c(end+1)=c(1);endfor i=1:n-1a(i) = dy(i)/dx(i)-dx(i)*(c(i+1)-c(i))/6;b(i) = (y(i)/dx(i)-dx(i)*c(i)/6)*x(i+1)+(-y(i+1)/dx(i)+dx(i)*c(i+1)/6)*x(i);endsyms zfor i=1:n-1f(i) = expand(c(i)*(x(i+1)-z)^3/dx(i)/6+c(i+1)*(z-x(i))^3/dx(i)/6+a(i)*z+b(i)); %合并同类项f = vpa(f); %系数化为小数end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%A,d=B,M = c,a,bfor i=1:n-1f(i) %输出的样条插值方程end。
三次样条插值MATLAB程序及结果展示
23、汽车门曲线三次样条插值曲线相关程序以及结果原始数据点：x = 0:10; %取自变量为1,2,3， (10)y = [2.51 3.30 4.04 4.70 5.22 5.54 5.78 5.40 5.57 5.70 5.80];%输入因变量y的值xx = linspace(min(x),max(x),200);%在x的上下界之间取200个插值节点pp = csape(x,y,'comlete',[0.8,0.2]);%分段三次样条插值，边界条件为左右端点的一阶导数为0.8和0.2 yy = ppval(pp,xx);%计算200个插值节点对应的y值plot(x,y,'ko',xx,yy,'k') %画出给定的11个点以及插值函数的图像24、飞鸟外形上部自然边界条件的三次样条插值曲线相关程序以及结果原始数据如下：x =[0.9 1.3 1.9 2.1 2.6 3.0 3.9 4.4 4.7 5.0 6.0 7.0 8.0 9.2 10.5 11.3 11.6 12.0 12.6 13.0 13.3];y = [1.3 1.5 1.85 2.1 2.6 2.7 2.4 2.15 2.05 2.1 2.25 2.3 2.25 1.95 1.4 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.25];xx = linspace(min(x),max(x),200);pp = csape(x,y,'second'); %分段三次样条插值，边界条件为左右端点的二阶导数为0，也称为自然边界条件yy = ppval(pp,xx);plot(x,y,'ko',xx,yy,'k')。