三次样条曲线推导过程
三次参数样条曲线.
M1 - M2=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1;
Mn-1 - Mn=0;
三次样条曲线-程序
程序演示
三次参数样条曲线
有空间的n个点,p1,p2, p3，……,pn 要用一条三次参数样条曲线插值
p2
pn
p3 p1
p4
三次参数样条曲线定义
三次样函数的形式推导
由定义可知在[xi , xi+1]上，Si(x)可写成： Si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3 ai, bi, ci, di为待定系数
(1)由于yi=Si(xi), Si(xi+1)= Si+1(xi+1)= yi+1， 有 yi = ai
Sn-1' (xn)=yn' 亦即yn-1'= bn-1= ( yn- yn-1)/ hn-1- hn-1(Mn-1/3+ Mn/6) Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1 得方程组为：
2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1;
2 p1 t2
p2 ]t 2 t2
[
2(
p1 t23
p2 )
p1 t22
三次周期B样条曲线的算法
（2）的矩阵的形式：p0 = pN, pN+1 = p1.
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 1 p1 p2 . . . pN-1 pN Q1 Q2 . . . QN-1 QN
=6
1 4 1 1 4
（3）的矩阵的形式：p0 = p1, pN+1 = pN.
6 -6 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 4 1 6 -6 p0 p1 p2 . . . pN pN+1 0 Q1 Q2 . . . QN-1 QN 0
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 -1 0 1 0
P′′(u) = (u 1) -1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性 记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0)，这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0)，这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0)，这是C2连续性
三次参数样条曲线PPT精选文档
p 2
t
2 2
p (t)
p1
p 1t
[
3
(
p
2
t
2 2
p1)
2 p 1 t2
p 2 ] t 2 t2
导
[
2
(
p1
t
3 2
p2)
p 1
t
2 2
p 2
t
2 2
]t
3
14
三
次
参 数 样 条 曲
对pi, pi1段有
pi
(t)
pi
pit
[3(piti121
pi
)
2pi ti1
pi1]t2 ti1
ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1' (xi)= Si' (xi) 有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令：λi= hi-1/(hi-1+hi),μi= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1]
可得：λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，
其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
7
三次样函数的端点条件
(1)夹持端：
端点处一阶导数已知，即
S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6) 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1
三次样条插值算法原理
三次样条插值算法原理
三次样条插值算法是一种用于在已知离散数据点上插值的方法。
它使用三次多项式来拟合数据点，并保证拟合的曲线在每个数据点处具有一阶和二阶连续性。
具体原理如下：1.假设有n个已知的数据点(x_i, y_i)，其中i=0,1,...,n-1。
2.在每个相邻的数据点之间插入一个三次多项式p_i(x)，将插值问题转化为求解n个多项式的系数。
3.三次多项式p_i(x)的表达式为
p_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i)^2+d_i(x-x_i)^3，其中a_i, b_i, c_i, d_i为待求系数。
4.要确定这些系数，需要满足以下条件：(1) 在每个数据点处，曲线通过该点：p_i(x_i)=y_i。
(2) 在相邻数据点之间，曲线一阶连续：
p_i(x_i+1)=p_{i+1}(x_i)，即p_i(x_i+1)=p_{i+1}(x_i)，对于1 ≤i ≤n-2。
(3) 在相邻数据点之间，曲线二阶连续：p'_i(x_i+1)=p'_{i+1}(x_i)，即
p'_i(x_i+1)=p'_{i+1}(x_i)，对于1 ≤i ≤n-2。
5.通过求解上述条件，可以得到一系列线性方程组，其中未知数为待求系数。
解出这些系数后，即可得到每个数据段的三次多项式，从而完成插值。
三次样条插值算法的优点是插值曲线的平滑性好，并且对于不符合插值条件的数据点有较好的适应性。
它广泛应用于数据分析、图形绘制等领域。
三次样条插值算法详解
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
三次参数样条曲线
目 录
• 参数样条曲线简介 • 三次参数样条曲线的数学模型 • 三次参数样条曲线的构建过程 • 三次参数样条曲线的应用实例 • 三次参数样条曲线的优缺点分析 • 三次参数样条曲线与其他插值方法的比较
01
CATALOGUE
参数样条曲线简介
定义与特性
定义
三次参数样条曲线是一种数学函 数，通过给定的数据点，使用参 数化方法拟合出一条光滑的曲线 。
与多项式插值的比较
1
多项式插值适用于已知数据点之间存在某种特定 关系的情况，而三次参数样条曲线则不需要事先 知道这种关系。
2
多项式插值在处理高阶数据时可能会遇到计算量 大和稳定性差的问题，而三次参数样条曲线则相 对较稳定。
3
多项式插值在处理非线性数据时可能会产生较大 的误差，而三次参数样条曲线能够更好地适应非 线性数据的处理。
算法实现
可以使用数值计算方法和编程语言来实现三次参数 样条曲线的计算，例如Python、MATLAB等。
优化方法
为了提高计算效率和精度，可以采用一些优 化方法，如共轭梯度法、牛顿法等。
03
CATALOGUE
三次参数样条曲线的构建过程
数据准备
数据收集
01
收集用于拟合曲线的离散数据点，确保数据具有代表性且分布
易于理解和实现
三次参数样条曲线具有直观的几 何意义，易于理解和实现，不需 要复杂的数学背景。
缺点分析
01
对异常值敏感
三次参数样条曲线对异常值比较 敏感，如果数据中存在异常值， 可能会导致拟合结果偏差。
02
对初始程可 能会陷入局部最优解，影响拟合 效果，需要合理设置初始值。
合理。
数据清洗
三次样条曲线介绍
定义:函数S(x)∈C2[a,b] ，且在每个小区间[ xj,xj+1 ]上是三次多项式...< xn= b 是给定节点，则称S(x)是节点x0,x1,...xn上的三次样条函数。
若在节点x j 上给定函数值Yj= f (Xj).( j =0, 1, , n) ，并成立
S(xj ) =yj .( j= 0, 1, , n) ，则称S(x)为三次样条插值函数。
由于插值节点有n+1个，故得到n个小区间，而每个小区间上要求一个三次多项式，每个区间需要4个条件，所以要确定样条函数S，共需要4n个条件。
在插值节点上，S(xj) = f(xj),j = 0,1,2,...,n,得到n+1个条件，在j = 1,2,...,n-1,由S，S的一阶导数，S的二阶导数连续可以得到3(n-1)个条件，所以总共得到了，4n-2个条件，要确定S还需要两个条件。就是通常所说的边界条件。
边界通常有自然边界（边界点的导数为0），夹持边界（边界点导数给定），非扭结边界（使两端点的三阶导与这两端点的邻近点的三阶导相等）。一般的计算方法书上都没有说明非扭结边界的定义，但数值计算软件如Matlab都把非扭结边界条件作为默认的边界条件
三次样条插值算法详解
三次样条插值函数的定义
如果函数f (x)在节点x0 , x1 ,, xn处的函数值为 f (x j ) y j , j 0,1,, n
并且关于这个节点集的三次样条函数s(x)满足插值条件：
S(x j ) y j , j 0,1,, n
则称这个三次样条函数s(x)为三次样条插值函数。
3
三次样条插值函数的边界条件
因为分段三次Hermite插值多项式已经至少是一阶连续可导了
，为了让它成为三次样条函数只需确定节点处的一阶导数使这 些节点处的二阶导数连续即可！
S(xi 0) S(xi 0),i 1,, n 1
S(x)
yi0
(
x xi hi
)
y ( ) m h ( ) m h ( ) xi1x i1 0 hi
化为矩阵形式
17
2 1
2
2
2
m1 g1 1m0
m2
g2
3 2 3 4 2
m3
g3
n2 2 n2 mn2
gn2
n1 2 mn1 gn1 n1mn
这是一个严格对角占优的三对角方程组，
用追赶法可以求解！
18
第二类三次样条插值问题的方程组
x xi i i 1 hi
xi1 x i1 i 1 hi
hi xi1 xi , i 0,1,, n 1
H3 (x) HH33((10))((xx))
x0 x x1 x1 x x2HFra bibliotek( 3
n1)
(
x)
xn1 x xn
12
我们采用待定一阶导数的方法即设
S(x j ) m j , j 0,1,, n
这个方程 组的系数 矩阵仍然 是严格对 角占优阵
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三次样条曲线推导过程
三次样条曲线是一种常用的曲线插值方法，可以通过一系列已知控制点来生成平滑的曲线。
下面是推导三次样条曲线的基本过程：
1.整理控制点：给定一组已知控制点P0, P1, P2, ..., Pn，其中
每个点Pi的坐标为(xi, yi)。
我们的目标是找到一个曲线函
数C(t)，其中t的范围在[0, 1]之间。
2.定义曲线段：将整个插值范围[0, 1]划分为一系列曲线段，
每个曲线段由相邻的两个控制点构成。
我们有n个控制点，则会有n个曲线段。
3.插值求解：对于每个曲线段，我们希望找到一条插值曲线，
使得该曲线通过两个相邻控制点，并且在相邻曲线段的连
接处保持平滑。
4.建立方程：为了推导每个曲线段的曲线方程，我们需要定
义一些参数。
引入参数t，其中t的范围为[0, 1]。
假设我
们有一个曲线段的控制点Pi和Pi+1。
我们需要定义两个参
数h和u，其中h = xi+1 - xi，u = (t - xi) / h。
5.插值方程：通过插值方法，我们可以得到曲线段的插值方
程。
一个典型的三次样条曲线方程为： C(t) = (1 - u)^3 * P_i
+ 3 * (1 - u)^2 * u * P_i+1 + 3 * (1 - u) * u^2 * P_i+2 + u^3 *
P_i+3
这个方程表示了在t范围内从Pi到Pi+3的曲线。
对每个相邻的
控制点对应的曲线段都应用相同的方法，然后将它们拼接在一起，就可以得到整个三次样条曲线。
请注意，以上是三次样条曲线的简化推导过程，实际的推导可能会涉及更多的数学推导和符号表示。