2020高中数学竞赛标准讲义：第十八章：组合
2020高中数学竞赛标准讲义：第十八章：组合
一、方法与例题 1．抽屉原理。
例1 设整数n ≥4,a 1,a 2,…,a n 是区间(0,2n)内n 个不同的整数，证明：存在集合{a 1,a 2,…,a n }的一个子集，它的所有元素之和能被2n 整除。
[证明] 〔1〕假设n ?{a 1,a 2,…,a n },那么n 个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1}，
{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屉原理知其中必存在两个数a i ,a j (i ≠j)属于同一集合，从而a i +a j =2n 被2n 整除； 〔2〕假设n ∈{a 1,a 2,…,a n }，不妨设a n =n ，从a 1,a 2,…,a n -1(n-1≥3)中任意取3个数a i , a j , a k (a i ,0)不被n 整除，考虑n 个数a 1,a 2,a 1+a 2,a 1+a 2+a 3,…,a 1+a 2+…+a n-1。
ⅰ〕假设这n 个数中有一个被n 整除，设此数等于k n ，假设k 为偶数，那么结论成立；假设k 为奇数，那么加上a n =n 知结论成立。
ⅱ〕假设这n 个数中没有一个被n 整除，那么它们除以n 的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以n 的余数相同，它们之差被n 整除，而a 2-a 1不被n 整除，故那个差必为a i , a j , a k-1中假设干个数之和，同ⅰ〕可知结论成立。 2．极端原理。
例2 在n ×n 的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，同时在某一行和某一列的交叉点处假如写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于n 。证明：表中所有数之和不小于2
2
1n 。 [证明] 运算各行的和、各列的和，这2n 个和中必有最小的，不妨设第m 行的和最小，记和为k ，那么该行中至少有n-k 个0，这n-k 个0所在的各列的和都不小于n-k ，从而这n-k 列的数的总和不小于(n-k)2，其余各列的数的总和不小于k 2，从而表中所有数的总和不小于(n-k)2+k 2
≥
.2
12)(2
2n k k n =+- 3.不变量原理。
俗语讲，变化的是现象，不变的是本质，某一情况反复地进行，查找不变量是一种策略。 例3 设正整数n 是奇数，在黑板上写下数1，2，…，2n ，然后取其中任意两个数a,b,擦去这两个数，并写上|a-b|。证明：最后留下的是一个奇数。
[证明] 设S 是黑板上所有数的和，开始时和数是S=1+2+…+2n=n(2n+1)，这是一个奇数，因为|a-b|与a+b 有相同的奇偶性，故整个变化过程中S 的奇偶性不变，故最后结果为奇数。 例4 数a 1, a 2,…,a n 中每一个是1或-1，同时有S=a 1a 2a 3a 4+ a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0. 证明：4|n. [证明] 假如把a 1, a 2,…,a n 中任意一个a i 换成-a i ，因为有4个循环相邻的项都改变符号，S 模4并不改变，开始时S=0，即S ≡0，即S ≡0(mod4)。经有限次变号可将每个a i 都变成1，而始终有S ≡0(mod4)，从而有n ≡0(mod4)，因此4|n 。 4．构造法。