(完整版)高考导数题型归纳.doc

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高考压轴题:导数题型及解题方法

(自己总结供参考)

一.切线问题

题型 1 求曲线 y f (x) 在 x x0处的切线方程。

方法: f ( x0 ) 为在 x x0处的切线的斜率。

题型 2 过点 (a,b)的直线与曲线y f ( x) 的相切问题。

方法:设曲线 y f ( x) 的切点 (x0 , f ( x0 )) ,由 ( x0 a) f ( x0 ) f (x0 ) b 求出 x0,进而解

决相关问题。

注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。

例已知函数 f ( x)=x3﹣ 3x.

( 1)求曲线 y=f ( x)在点 x=2 处的切线方程;(答案:9x y 16 0 )

( 2)若过点 A A(1,m)( m 2) 可作曲线 y f ( x) 的三条切线,求实数m 的取值范围、(提示:设曲线y f ( x) 上的切点( x0 , f (x0 ) );建立 x0 , f (x0 ) 的等式关系。将问题转化为关于 x0 , m 的方程有三个不同实数根问题。(答案: m 的范围是3, 2 )

练习 1. 已知曲线y x 3 3x

( 1)求过点( 1, -3 )与曲线y x3 3x 相切的直线方程。答案:( 3x y 0 或 15 x 4y 27 0 )( 2)证明:过点( -2,5 )与曲线y x3 3x 相切的直线有三条。

2. 若直线e2x y e2 1 0 与曲线 y 1 ae x相切,求 a 的值.(答案:1)

题型 3求两个曲线y f ( x) 、 y g ( x) 的公切线。

方法:设曲线y f ( x) 、 y g( x) 的切点分别为(x1 , f ( x1 ) )。( x2 , f (x2 ) );

建立x

1 , x

2 的等式关系,( x

2 x1 ) f ( x1 ) y2

,x

1 ) f ( x

2 ) y2 y1

;求出x

1 , x2

y1 ( x2

进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点,用导数求斜率,建立等式关系。

例求曲线

y x2与曲线 y 2eln x 的公切线方程。(答案 2 ex y e 0 )

练习 1.求曲线y x2与曲线 y( x 1) 2的公切线方程。(答案 2 x y 1 0 或 y 0)

2.设函数

f ( x) p( x 1

) 2 ln x, g( x) x2,直线l与函数 f (x), g (x) 的图象都相切,且与函数x

f ( x) 的图象相切于(1,0 ),求实数p的值。(答案p 1或3)

二.单调性问题

题型 1求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有: ( 1)在求极值点的过程中,未知数的系数与 0 的关系不定而引起的分类; ( 2)在求极值点的过程中,有无极值点引起的分类(涉及到

二次方程问题时,△与 0 的关系不定); (3) 在求极值点的过程中,极值点的大小关系不定而引起的分类; (4) 在求极值点的过程中,极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准 出发,做到不重复,不遗漏。 例 已知函数

f ( x)

aln x

1 x 2

(a

1) x

2

( 1)求函数 ( 2)若 x

f ( x) 的单调区间。(利用极值点的大小关系分类)

2, e ,求函数 f ( x) 的单调区间。(利用极值点与区间的关系分类)

练习

已知函数

f ( x) e x x (k 1)e

x

1

x 2

kx 1 ,若 x

1,2 , 求函数 f ( x) 的单调区间。(利

2

用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类)

题型 2 已知函数在某区间是单调,求参数的范围问题。

方法 1:研究导函数讨论。 方法 2:转化为 f ' ( ) 0 ' ( x ) 0

在给定区间上恒成立问题, x 或 f

方法 3:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增区间或减区间,然后让所给区间是求的增 或减区间的子集。

注意:“函数 f ( x) 在 m, n 上是减函数”与“函数 f ( x) 的单调减区间是 a,b ”的区别是前者是

后者的子集。

例 已知函数 f (x) x

2

a ln x + 2

在1,

上是单调函数,求实数 a 的取值范围.

(答案 0,

x )

练习已知函数 f ( x) 1 x3 (k 1)

x 2,且 f (x) 在区间 ( 2, ) 上为增函数.求实数k的取值范围。

3 2

(答案: k 1 3 )

题型 3已知函数在某区间的不单调,求参数的范围问题。

方法 1:正难则反,研究在某区间的不单调

方法 2: 研究导函数是零点问题,再检验。

方法 3: 直接研究不单调,分情况讨论。

例设函数 f (x) x3 ax 2 x 1,a R 在区间1

,1 内不单调,求实数 a 的取值范围。2

(答案: a2, 3 ))

三.极值、最值问题。题型 1求函数极值、最值。

基本思路:定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。

已知函数

f (x) e x

x (k 1)e x

1

x 2 kx 1 ,求在 x

1,2 的极小值。

2

(利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类)

练习 已知函数 f (x) x

3

mx 2 nx 2 的图象过点 ( 1, 6) ,且函数 g( x)

f ( x) 6x 的图象关于

y 轴对称 . 若 a

0 ,求函数 y f ( x) 在区间 (a 1,a 1) 内的极值 .

(答案:当 0 a 1 时, f ( x) 有极大值 2 ,无极小值;当 1 a 3 时, f (x) 有极小值 6 ,无

极大值;当 a 1 或 a 3 时, f (x) 无极值 . )

题型 2 已知函数极值,求系数值或范围。

方法: 1. 利用导函数零点问题转化为方程解问题,求出参数,再检验。 方法 2. 转化为函数单调性问题。

函数 f ( x)

1 x 4 1 (1 p)x 3 1 px

2 p(1 p) x 1。0 是函数 f (x) 的极值点。求实数

p 值。

4 3 2

(答案: 1)

练习

已知函数

f ( x) ax x 2

ln x, a R. 若函数 f ( x) 存在极值,且所有极值之和大

5 ln 1

,求 a 的取值范围。 (答案: 4,

2

题型 3 已知最值,求系数值或范围。

方法: 1. 求直接求最值; 2. 转化恒成立,求出范围,再检验。

例 设 a R ,函数 f ( x) ax 3

3x 2

.若函数 g( x) f ( x)

f ( x) , , ,在 x 0 处取得最大

x [0 2]

值,求 a 的取值范围.

(答案:

,

6

5

练习 已知函数 f ( x) ax 2

(a 2) x ln x ,当 a

0 时,函数 f ( x) 在区间 1, e 上的最小值是 2 ,

求实数 a 的取值范围。(答案: 1, )

四.不等式恒成立(或存在性)问题。

一些方法

1. 若函数 f ( x)值域 m, n , a > f ( x) 恒成立,,则 a n

2. 对任意 x 1 m, n , x 2 m, n , f ( x 1 ) g( x 2 ) 恒成立。则 f (x 1 ) min g( x 2 ) max 。

3. 对 x 1 m, n , x 2 m,n , f ( x 1 ) g ( x 2 ) 成立。则 f ( x 1 ) max g( x 2 )min 。

4. 对 x 1 m,n , ,恒成立 f ( x 1 )

g( x 1 ) 。转化 f (x 1 ) g (x 1 ) 0 恒成立

4. 对 x 1

m, n , x 2

m,n , f (x 1 )

g ( x 2 ) 成立。则 f ( x 1 )min

g (x 2 )min 。

5. 对 x 1 m, n , x 2 m,n , f (x 1 )

g ( x 2 ) 成立。则 f ( x 1 )max

g( x 2 ) max

6. 对 x 1

m, n , x 2

f ( x 1 ) f ( x 2 )

t(x) f (x) ax 。 转化证明 t (x)

m, n ,

x 2

a 成立。则构造函数

x 1 在 m, n 是增函数。

题型 1 已知不等式恒成立,求系数范围。

方法: (1) 分离法:求最值时,可能用罗比达法则;研究单调性时,或多次求导。

( 2)讨论法 : 有的需构造函数。 关键确定讨论标准。 分类的方法: 在求极值点的过程中, 未知数的系数与 0 的关系不定而引起的分类; 有无极值点引起的分类 (涉及到二次方程问题时, △与 0

的关系不定);极值点的大小关系不定而而引起的分类;极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。

( 3)数形结合:

( 4)变更主元

解题思路

1. 代特值缩小范围。

2. 化简不等式。

3. 选方法(用讨论法时,或构造新函数) 。

方法一:分离法。

求最值时,可能用罗比达法则;研究单调性时,或多次求导。 例

函数 f ( x)

e x ( x 2 ln x) a 。在 x

1, e f ( x) e 恒成立,求实数 a 取值范围。(方法:分离

法,多次求导答案:

0,

练习 设函数 f (x)

x(e x 1) ax

2

,若当 x ≥ 0

时 f ( x) 0 a

的取值范围。 (方法: 分离法,

≥ ,求

用罗比达法则答案:

,1 )

方法二:讨论法。

有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法:在求极值点的过程中,未知数的系数与 0 的 关系不定而引起的分类;有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与 0 的关系不定);极值

点的大小关系不定而而引起的分类;极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。

设函数 f(x)= e x 1 x ax 2 . 若当 x ≥ 0 时 f(x) ≥ 0,求 a 的取值范围 .

(答案: a 的取值范围为 ,

1

2

练习 1 . 设函数 f ( x) 1 e x

, x

0 时, f ( x)

x ,求实数 a 的取值范围

ax 1

(答案:

0,

1

2

2. 函数 f ( x) a ln x

1 0.对 x > 0, ax(

2 ln x) 1 ,求实数 a 取值范围。

,当 a

x

(多种方法求解。 (答案: 0, e 1 ) )

方法三: 变更主元

例:设函数 y f (x) 在区间 D 上的导数为 f (x) , f (x) 在区间 D 上的导数为 g(x) ,若在区间 D

上 , g( x) 0 恒 成 立, 则 称 函 数 y f (x) 在 区 间 D 上 为 “ 凸 函 数 ”, 已 知 实数 m 是 常 数 , x 4 mx 3 3x 2

2 的任何一个实数 m ,函数 f ( x) 在区间 a, b 上都为“凸函 f (x)

6 ,若对满足 m

12 2

数”,求 b

a 的最大值 .

(答案: 2 )

练习 设函数 f (x) x ln x 。证明:当 a > 3 时,对任意 x 0 , f ( a x) f (a) e x 成立。

(提示 f ( a x)

f (a) e x

化为

f (a

x)f (a)

),研究 g (a) f (a) 的单调性。)

e x a

e a

e a

五.函数零点问题

题型 1:判断函数零点的个数。

方法:方程法;函数图象法;转化法;存在性定理

例 .设 a R, f (x)

1 x 3 ax (1 a)ln x .若函数 y f (x) 有零点,求 a 的取值范围.

3

(提示:当 a 1 时, f (1) 0 , f ( 3a) 0 ,所以成立,答案

1,

3

练习 .求过点( 1,0)作函数y x ln x 图象的切线的个数。(答案:两条)

题型 2:已知函数零点,求系数。

方法:图象法 (研究函数图象与x 轴交点的个数 );方程法;转化法(由函数转化方程,再转化函

数,研究函数的单调性。)

例 .函数f ( x)ln x x 1 a( x 1)3在(1,3)有极值,求实数 a 的取值范围。(答案,1

)18

练习: 1.证明:函数f (x) ln x 的图象与函数

1 2

g (x) 的图象无公共点。

e x ex

六.不等式证明问题

方法 1:构造函数,研究单调性,最值,得出不等关系,有的涉及不等式放缩。

方法 2:讨论法。

方法 2.研究两个函数的最值。如证f ( x) g(x) ,需证 f ( x) 的最小值大于g (x) 的最大值即可。

方法一:讨论法

例:已知函数 f (x) a ln x b

,曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x 2 y 3 0。证明:

x 1 x

当 x

0 ,且 x 1 时, f ( x) ln x 。

x 1

练习: .已知函数 f ( x) ax e x (a 0) .当 1

a e 1时, .试讨论 f ( x) 与 x 的大小关系。

方法二:构造函数

kbx(x 0) 与函数

、 、

例:已知函数 f ( x) ax

2

g(x) ax

为常数,( )若 g( x) 图

b ln x, a b k 1

象上一点 p(2, g(2)) 处的切线方程为: x 2 y 2ln 2 2 0 ,设 A( x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ),( x 1 x 2 ) 是

函数 y

g ( x) 的图象上两点, g (x 0 ) y 2

y 1

,证明: x 1 x 0 x 2

x 2 x 1

练习: 1.设函数 f (x) x ln x 。证明:当 a > 3 时,对任意 x 0 , f (a x)

f (a) e x 成立。

方法三:构造函数,不等式放缩

例 . 已知函数 f ( x ) ln x mx 2 ( m

)

R

(I) ;若 m=0, A(a,f(a))

、B(b , f(b)) 是函数 f(x) 图象上不同的两点 . 且 a>b>0,

f (x) 为 f(x) 的

导函数,求证:

f (

a

b ) f (a)

f (b)

f (b)

a b

2

(II)求证:222

...

2

ln(n 1) 1

11

... 1 (n N*) 3 5 72n 1 2 3n

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增, 在 (- ( 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ,导函数为 f '( x) , (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1,3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】(I ) f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ,(下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ,到了分类讨论的时机,分 类标准是零) 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减; 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表: x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时, f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减; a a (II )由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由(I )知, f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机,分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个, 1)分类讨论的时机,也就是何时分类讨论,先按自然的思路推理, 由于参数的存在,到了不能一概而论的时候,自然地进入分类讨论阶段;(2)分类讨论的标准,要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是,最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 , 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数,求 a 的取值范围

2020高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x .

所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令 以下分两种情况讨论: ①a 若> 3 2 ,则a 2-<2-a .当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表: )(所以x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=,且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极小值在函数 ②a 若<3 2 ,则a 2->2-a ,当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表:

高考数学导数题型归纳(_好)

导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数, 4323()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2 ()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-? ?<--

高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令

高考数学导数题型归纳(文科)-

文科导数题型归纳 高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); (请同学们参看2010省统测2) 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常 数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” , 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-? ?<--

导数高考常见题型

导数的应用常见题型 一、常用不等式与常见函数图像 1、1+≥x e x x x ≤+)1ln( 1-ln 1-1x x x ≤≤ 2、常见函数图像 二、选择题中的函数图像问题 (一)新型定义问题 对与实数,a b ,定义运算“*”:a *b=22,,a ab a b b ab a b ì-??í?->?,设()(21)*(1)f x x x =--且关于x 的方程()()f x m m R =?恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围为 (二)利用导数确定函数图像 ①已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围为( ) A 、(2,)+? B 、(,2)-? C 、(1,)+? D 、(,1)-? ②设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1,若存在唯一的整数0x ,使得0()f x 0,则a 的取值范围是( ) (A)[-32e ,1) (B)[-32e ,34) (C)[32e ,34) (D)[32e ,1) 三、导数与单调性

实质:导数的正负决定了原函数的单调性 处理思路:①求导,解不等式[0)('0)('<>x f x f 或] ②求解0)('=x f ,分段列表 ③根据)('x f y =的图像确定 (一)分段列表 ①已知函数()f x =2x x e e x --- (Ⅰ)讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)设()()()24g x f x bf x =-,当0x >时,()0g x >,求b 的最大值; ②已知函数x x xe e x x f -+-=2)2()(,讨论函数的单调性 ③设函数mx x e x f mx -+=2)( (Ⅰ)证明:)(x f 在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞+)单调递增; (Ⅱ)若对于任意]1,0[,21∈x x ,都有1)()(21-≤-e x f x f ,求m 的取值范围 (二)根据导函数图像确定 ①已知函数x x a ax x f ln )1(2 1)(2+-+-=,试讨论函数的单调性 ②已知函数a a ax x x a x x f +--++-=2222ln )(2)(,其中0>a .设)(x g 是)(x f 的导函数,讨论)(x g 的单调性

(完整word版)高考导数题型归纳

高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法:)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法:设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ,进而解决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f (x )=x 3﹣3x . (1)求曲线y=f (x )在点x=2处的切线方程;(答案:0169=--y x ) (2)若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围、 (提示:设曲线)(x f y =上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。(答案:m 的范围是()2,3--) 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= (1)求过点(1,-3)与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案:(03=+y x 或027415=--y x ) (2)证明:过点(-2,5)与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切,求a 的值. (答案:1) 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法:设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为()(,11x f x )。()(,22x f x );

高考导数压轴题型归类总结

高考导数压轴题型归类总结 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈ ⑴当1a =-时,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程; ⑵当1 2 a ≤时,讨论()f x 的单调性. 1. 已知函数221()2,()3ln .2 f x x ax g x a x b =+=+ ⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点,且在公共点处的切线相同,若0a >,试建立b 关于a 的函数关系式,并求b 的最大值; ⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数,求a 的取值范围。 2. (最值直接应用)已知函数)1ln(2 1)(2x ax x x f +--=,其中a ∈R . (Ⅰ)若2x =是)(x f 的极值点,求a 的值; (Ⅱ)求)(x f 的单调区间; (Ⅲ)若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0,求a 的取值范围. 设函数221 ()(2)ln (0)ax f x a x a x +=-+ <. (1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性; (2)当(3,2)a ∈--时,任意12,[1,3]x x ∈, 12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立,求实数m 的取值范围. 3. (最值应用,转换变量) 4. (最值应用) 已知二次函数()g x 对x R ?∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-,设 函数19 ()()ln 28 f x g x m x =+++(m R ∈,0x >). (Ⅰ)求()g x 的表达式; (Ⅱ)若x R +?∈,使()0f x ≤成立,求实数m 的取值范围;

高中数学导数题型总结

导数 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值; (2)若对于任意的[03]x ∈, ,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值围。 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数()x f '; ②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数,()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析:(1)()a x ax x x f 442 3 +--=,∴ ()423'2 --=ax x x f 。 (2)()04231'=-+=-a f ,2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或3 4 =x , 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ,275034-=??? ??f 。所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ,最 小值为()2 9 1= -f 。 答案:(1)()423'2 --=ax x x f ;(2)最大值为275034- =?? ? ??f ,最小值为()2 91=-f 。 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。 考点七:导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。(1)求a ,b ,c 的值; (2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

2019《导数》题型全归纳

2019届高三理科数学《导数》题型全归纳 学校:___________姓名:___________班级:___________ 一、导数概念 29.函数,若满足,则__________. 二、导数计算(初等函数的导数、运算法则、简单复合函数求导) 1.下列式子不正确的是( ) A. B. C. D. 2.函数的导数为() A. B. C. D. 3.已知函数,则() A. B. C. D. 33.已知函数,为的导函数,则的值为______. 34.已知,则__________. 三、导数几何意义(有关切线方程) 31.若曲线在点处的切线方程为_________. 30.若曲线在点处的切线与曲线相切,则的值是_________. 32.已知,过点作函数图像的切线,则切线方程为__________. 4.已知曲线f(x)=lnx+在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为,则a的值为()A. 1 B.﹣4 C.﹣ D.﹣1 1

5.若曲线y=在点P处的切线斜率为﹣4,则点P的坐标是() A.(,2) B.(,2)或(﹣,﹣2) C.(﹣,﹣2) D.(,﹣2) 6.若直线与曲线相切于点,则( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7.如果曲线在点处的切线垂直于直线,那么点的坐标为()A. B. C. D. 8.直线分别与曲线交于,则的最小值为() A. 3 B. 2 C. D. 四、导数应用 (一)导数应用之求函数单调区间问题 9.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为( ) A. (0,1) B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. (-∞,0)∪(1,+∞) 10.函数f(x)=2x2-ln x的单调递减区间是( ) A. B.和 C. D.和 11.的单调增区间是 A. B. C. D. 12.函数在区间上( ) A.是减函数 B.是增函数 C.有极小值 D.有极大值 13.已知函数在区间[1,2]上单调递增,则a的取值范围是

导数题型分类大全

导数题型分类(A ) 题型一:导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则 (一)导数的定义:函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数,记作)(0/ x f 或0/x x y =,即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数,此时对于每一个),(b a x ∈,都对 应着一个确定的导数)(/ x f ,从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数 )(x f y =在开区间内的导函数,简称导数,也可记作/y ,即)(/x f =/y = x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求函数)(x f y =在0x 处的导数0 / x x y =,就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值,即0 / x x y ==)(0/ x f 。 例1.函数()a x x f y ==在处的导数为A ,求 ()()t t a f t a f t 54lim +-+→。 例2.2 3 33 x y x x += =+求在点处的导数。 (二)常见基本初等函数的导数公式和运算法则 : +-∈==N n nx x C C n n ,)(; )(01''为常数; ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==; e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''== 法则1: )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2: )()()()()]()([' ''x v x u x v x u x v x u += 法则3: )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u (理)复合函数的求导:若(),()y f u u x ?==,则'()'()x y f x x ?'= 如,sin ()'x e =_______________;(sin )'x e =_____________ 公式1 / )(-=n n nx x 的特例:①=')x (______; ②=' ?? ? ??x 1_______, ③=')x (_________. 题型二:利用导数几何意义及求切线方程 导数的几何意义:函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率.因此,如果)(0x f '存在,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为______________________

高中数学函数与导数常考题型整理归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x -a . 若a ≤0,则f′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈? ?? ??0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ??1a ,+∞时,f ′(x )<0, 所以f (x )在? ????0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. 综上,知当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,f (x )在? ????0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ? ????1a =ln 1a +a ? ?? ??1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ??1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增, g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0; 当a >1时,g (a )>0. 因此,实数a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围,通常根据函数的性质得到参数的不等式,再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式,则可以直接解不等式得参数的取值范围;若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时,如求解ln a +a -1<0,则需要构造函数来解.

高考理科数学导数题型归纳定稿版

高考理科数学导数题型 归纳 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' x f 得到两个根;’ 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)

第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数 m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=- - (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 - 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立,

导数常见题型与解题方法总结

导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)('=x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 第三种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元)。 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数, 4323()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x <

高考导数题型分析及解题方法

高考导数题型分析及解题方法 本知识单元考查题型与方法: ※※与切线相关问题(一设切点,二求导数=斜率=21 21 y y x x --,三代切点入切线、曲线联立方程求解); ※※其它问题(一求导数,二解)('x f =0的根—若含字母分类讨论,三列3行n 列的表判单调区间和极值。结合以上所得解题。) 特别强调:恒成立问题转化为求新函数的最值。导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造,一对多涉及到求和转化。 关注几点: 恒成立:(1)定义域任意x 有()f x >k,则min ()f x >常数k ; (2)定义域任意x 有()f x 恒成立,则min ()-()0,f x g x >【】 (2)若对定义域内任意x 有()()f x g x <:恒成立,则max ()-()0f x g x <【】 " 能成立:(1)分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数()()f x g x 和,对任意的1[,],x a b ∈存在 2[,],x c d ∈使得12()()f x g x <,则max max ()()f x g x < (2)分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数()()f x g x 和,对任意的1[,],x a b ∈存在2[,],x c d ∈使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x > 一、考纲解读 考查知识题型:导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值;证明不等式、求参数范围等 二、热点题型分析 题型一:利用导数研究函数的极值、最值。 1. 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2.已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值,则常数c = 6 ; 》 3.函数3 31x x y -+=有极小值 -1 ,极大值 3

最新高考导数问题常见题型总结

高考有关导数问题解题方法总结 一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一:利用导数研究函数的极值、最值。 1. 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2.已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值,则常数c = 6 ; 3.函数3 31x x y -+=有极小值 -1 ,极大值 3 题型二:利用导数几何意义求切线方程 1.曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2.若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ,则P 点的坐标为 (1,0) 3.若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为 430x y --= 4.求下列直线的方程: (1)曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线; (2)曲线2 x y =过点P(3,5)的切线; 解:(1) 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=-上,在曲线点-x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即, (2)显然点P (3,5)不在曲线上,所以可设切点为),(00y x A ,则2 00x y =①又函数的导数为x y 2/=, 所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===,又切线过),(00y x A 、P(3,5)点,所以有 3 5 2000--= x y x ②,由①②联立方程组得,??????====25 5 110 000y x y x 或,即切点为(1,1)时,切线斜率为 ; 2201==x k ;当切点为(5,25)时,切线斜率为10202==x k ;所以所求的切线有两条,方程分 别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即, 或 题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值 1.已知函数 ))1(,1()(,)(2 3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1

2007年高考数学试题分类详解函数与导数

2007年高考数学试题分类详解函数与导数 1、(全国1文理8)设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为 1 2 ,则a = A B .2 C . D .4 解.设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之分别为 log 2,log 1a a a a =,它们的差为 12,∴ 1 log 22 a =,a =4,选D 。 2、(全国1文理9)()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x , ()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的 A .充要条件 B .充分而不必要的条件 C .必要而不充分的条件 D .既不充分也不必要的条件 解.()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,若“()f x ,()g x 均为偶函数”,则“()h x 为偶函数”,而反之若“()h x 为偶函数”,则“()f x ,()g x 不一定均为偶函数”,所以“()f x ,()g x 均为偶函数”,是“()h x 为偶函数”是充分而不必要的条件,选B 。 3、(山东文理6)给出下列三个等式:()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=,, ()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++= -.下列函数中不满足其中任何一个等式的是( ) A .()3x f x = B .()sin f x x = C .2()log f x x = D .()tan f x x = 【答案】:B 【分析】:依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=, C 满足()()()f xy f x f y =+,而 D 满足()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++=-, B 不满足其中任何一个等式. 4、(山东文11)设函数3 y x =与2 12x y -?? = ? ?? 的图象的交点为00()x y ,, 则0x 所在的区间是( ) A .(01), B .(12), C .(23), D .(34),

高考数学导数题型归纳(-好)

导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法: 1分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问 题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令f '(x) 0得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值 ——用分离变量时要特别注意是否需分类讨论( >0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数y f (x)在区间D 上的导数为f (x), f (x)在区间D 上的导数为g(x),若在区间D 上,g(x) 0恒成立,则称函数y f (x)在区间D 上为“凸函数”,已知实数 m 是常数, (2)若对满足 m 2的任何一个实数 m ,函数f (x)在区间a,b 上都为“凸函数”,求b 解法二:分离变量法: 当x 0时,g(x) x 2 mx 3 3 0恒成立, 则 g(x) x 2 mx 3 0在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值 g(0) 0 3 0 g(3) 0 9 3m 3 0 入手:等价于g max (x) f(x) x 4 mx 3 3x 1 2 12 6 2 (1 )若y f (x)在区间 0,3上为“凸函数” ,求m 的取值范围; 4 x 解:由函数f(x) 12 2 g (x) x mx 3 3 mx 6 牛得f (x) 2 mx 3x 2 a 的最大

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