2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷(解析版)

黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试

数学试题

考生注意：

1．考试时间120分钟

2．全卷共三道大题，总分120分

一、选择题（每题3分，满分30分）

1．下列各运算中，计算正确的是（）

A．B．

C．D．

2．下列图标中是中心对称图形的是（）

A． B．C． D．

3．如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）

主视图左视图

A．B．C．D．

4．一组从小到大排列的数据：，，，，（为正整数），唯一的众数是，则该组数据的平均数是（）

A．B．或C．或D．或

5．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是

黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试数学试题

考生注意：

1．考试时间120分钟

2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分）

1.下列各运算中，计算正确的是（ ） A. 22422a a a ?= B. 824x x x ÷= C. 222()x y x xy y -=-+ D. ()

3

2

639x x -=-

【答案】A 【解析】 【分析】

根据单项式乘法法则、同底数除法法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项进行分析判断即可． 【详解】A ．22422a a a ?=，正确； B ．88262x x x x -==÷，故B 选项错误； C ．222()2x y x xy y -=-+，故C 选项错误； D ．()

3

26327x x -=-，故D 选项错误，

故选A ．

【点睛】本题考查了单项式的乘法、同底数幂的除法、完全平方公式等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．

2.下列图标中是中心对称图形的是（ ） A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】

根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解．

黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试数学试题

考生注意：

1．考试时间120分钟

2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分）

1.下列各运算中，计算正确的是（ ） A. 22422a a a ?= B. 824x x x ÷= C. 222()x y x xy y -=-+ D. ()

3

2

639x x -=-

【答案】A 【解析】 【分析】

根据单项式乘法法则、同底数除法法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项进行分析判断即可． 【详解】A ．22422a a a ?=，正确； B ．88262x x x x -==÷，故B 选项错误； C ．222()2x y x xy y -=-+，故C 选项错误； D ．()

3

26327x x -=-，故D 选项错误，

故选A ．

【点睛】本题考查了单项式的乘法、同底数幂的除法、完全平方公式等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．

2.下列图标中是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：B．

【点睛】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．3.如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】

这个几何体共有3层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，以及第三层的最多个数，再相加即可．

【详解】解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三层最多1个，

∴所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个）； 故选：B ．

【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 4.一组从小到大排列的数据:a ,3,4,4,6(a 为正整数),唯一的众数是4,则该组数据的平均数是( ) A. 3.6或4.2 B. 3.6或3.8

C. 3.8或4.2

D. 3.8或4.2

【答案】B 【解析】 【分析】

根据众数的定义得出正整数a 的值，再根据平均数的定义求解可得. 【详解】∵数据：a ，3，4，4，6（a 为正整数），唯一的众数是4， ∴a=1或2，

当a=1时，平均数为13446

5

++++=3.6；

当a=2时，平均数为

23446

5

++++=3.8； 故选C ．

【点睛】本题主要考查了众数与平均数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出a 的值是解题的关键.

5.已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实数k 的取值范围是（ ） A. 1

4

k <

B. 14

k ≤

C. 4k >

D. 1

4

k ≤

且0k ≠ 【答案】B 【解析】 【分析】

根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可． 【详解】解：

关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，

∴ 240,b ac =-≥

()21,21,2,a b k c k k ==-+=+

()()2

2

214120,k k k ∴-+-??+≥????

41,k ∴-≥-

1.4

k ∴≤

故选B ．

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 6.如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数k

y x

=

的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知()1,1B -，120ABC ∠=?，则k 的值是（ ）

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

【答案】C 【解析】 【分析】

根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，根据勾股定理得到OB 的长，利用三角函数得到OA 的长，求得∠AOE=∠BOF=45?，继而求得点A 的坐标，即可求解． 【详解】∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA=AD ，AC ⊥BD ， ∵∠ABC=120?， ∴∠ABO=60?， ∵点B （-1，1），

∴

=

∵tan 60AO

OB

?=

，

∴60?=， 作BF ⊥y 轴于F ，AE ⊥x 轴于E ，

∵点B （-1，1）， ∴OF=BF=1，

∴∠FOB=∠BOF=45?，

∵∠BOF+∠AOF=∠AOE+∠AOF=90?， ∴∠AOE=∠BOF=45?， ∴△AOE 为等腰直角三角形，

∵AO =

∴AE=OE=AO cos 45??==

∴点A ， ∵点A 在反比例函数k

y x

=的图象上， ∴3k xy ==， 故选：C ．

【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、解直

角三角形、等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 7.已知关于x 的分式方程422x k x x

-=--的解为正数，则x 的取值范围是（ ） A. 80k -<< B. 8k >-且2k ≠- C. 8k >- D. 4k <且2k ≠-

【答案】B 【解析】 【分析】

先解分式方程利用k 表示出x 的值，再由x 为正数求出k 的取值范围即可． 【详解】方程两边同时乘以2x -得，()420x x k --+=， 解得：83

k

x +=

． ∵x 为正数， ∴

803

k

+>，解得8k >-， ∵2x ≠， ∴

823

k

+≠，即2k ≠-， ∴k 的取值范围是8k >-且2k ≠-． 故选：B ．

【点睛】本题考查了解分式方程及不等式的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，

8.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，

48ABCD S =菱形，则OH 的长为（ ）

A.

4 B. 8 C. D. 6

【答案】A

【解析】 【分析】

根据菱形面积=对角线积的一半可求BD ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AO=CO=6，BO=DO ，S 菱形ABCD = 2

AC BD

?=48， ∴BD=8，

∵DH ⊥AB ，BO=DO=4， ∴OH=

1

2

BD=4． 故选：A ．

【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．

9.在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A 、B 、C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A. 12种 B. 15种

C. 16种

D. 14种

【答案】D 【解析】 【分析】

设购买A 、B 、C 三种奖品分别为,,x y z 个，根据题意列方程得102030200x y z ++=，化简后根据,,x y z 均为正整数，结合C 种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可． 【详解】解：设购买A 、B 、C 三种奖品分别为,,x y z 个， 根据题意列方程得102030200x y z ++=， 即2320x y z ++=， 由题意得,,x y z 均为正整数． ①当z =1时，217x y +=

∴172

y

x -=

， ∴y 分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x 为正整数； ②当z =2时，214x y += ∴142

y

x -=

， ∴y 可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x 为正整数； 综上所述：共有8+6=14种购买方案． 故选：D

【点睛】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键． 10.如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=?，点F 在

射线AM 上，且AF =，

CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论：①45ECF ∠=?；

②AEG ?的周长为12a ?

+

??

；③222BE DG EG +=；④EAF ?的面积的最大值是21

8a ；⑤当13BE a =时，G 是线段AD 的中点．其中正确的结论是（ ）

A. ①②③

B. ②④⑤

C. ①③④

D. ①④⑤

【答案】D 【解析】 【分析】

如图1中，在BC 上截取BH=BE ，连接EH ．证明△FAE ≌△EHC （SAS ），即可判断①正确；如图2中，延长AD 到H ，使得DH=BE ，则△CBE ≌△CDH （SAS ），再证明△GCE ≌△GCH （SAS ），即可判断②③

错误；设BE=x ，则AE=a-x ，，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可判断④正确；设AG=y ，利用前面所证EG=GH ，在Rt △AEG 中，利用勾股定理求得1

2

y a ，即可判断⑤正确． 【详解】如图1中，在BC 上截取BH=BE ，连接EH ．

∵BE=BH ，∠EBH=90°， ∴EH=2BE ，

∵BE ， ∴AF=EH ，

∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°， ∴∠FAE=∠EHC=135°， ∵BA=BC ，BE=BH ， ∴AE=HC ，

∴△FAE ≌△EHC （SAS ）， ∴EF=EC ，∠AEF=∠ECH ， ∵∠ECH+∠CEB=90°， ∴∠AEF+∠CEB=90°， ∴∠FEC=90°，

∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确， 如图2中，延长AD 到H ，使得DH=BE ，

则△CBE ≌△CDH （SAS ）， ∴∠ECB=∠DCH ， ∴∠ECH=∠BCD=90°， ∴∠ECG=∠GCH=45°， ∵CG=CG ，CE=CH ， ∴△GCE ≌△GCH （SAS ）， ∴EG=GH ，

∵GH=DG+DH ，DH=BE ， ∴EG=BE+DG ，故③错误，

∴△AEG 的周长=AE+EG+AG=AE+AH= AE +AD+DH =AE +AD+EB =AB+AD=2a ，故②错误，

设BE=x ，则AE=a x -，，

∴S △AEF =()2

22111111222228a x x x ax x a a ??-=-+=--+

???， ∵1

02

-

<， ∴当12x a =时，，△AEF 的面积的最大值为2

18

a ，故④正确；

如图3，延长AD 到H ，使得DH=BE ，

同理：EG=GH ， ∵13

BE a =

，则23AE a =，

设AG=y ，则DG=a y -， ∴EG=GH =14

33

a y a a y -+

=-， 在Rt △AEG 中，222AE AG EG +=，

即22

22433a y a y ????+=- ? ?????

，

解得：1

2

y a =， ∴当1

3

BE a =

时，G 是线段AD 的中点，故⑤正确； 综上，①④⑤正确， 故选：D ．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数最值的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

二、填空题（每题3分，满分30分）

11.5G 信号的传播速度为300000000m/s ，将300000000用科学记数法表示为__________． 【答案】8310? 【解析】 【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】300000000的小数点向左移动8位得到3，

所以300000000用科学记数法表示为3×108，

故答案为3×108．

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

y=x的取值范围是．

12.函数

【答案】x＞2

【解析】

【分析】

根据分式有意义和二次根式有意义的条件求解.

【详解】解：根据题意得，x﹣2＞0，

解得x＞2．

故答案为x＞2．

【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

13.如图，Rt ABC

?中，B D

?和Rt EDF

∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件

___________，使Rt ABC

?全等．

?和Rt EDF

【答案】AB ED =（BC DF =或AC EF =或AE CF =等） 【解析】 【分析】

由题意得Rt ABC 和Rt EDF 中，B D ∠=∠，故要添加条件需得到一组边相等即可． 【详解】解：∵ABC 和EDF 均为直角三角形， ∴=90A DEF ∠∠=?, 又∵B D ∠=∠，

故要使得Rt ABC 和Rt EDF 全等，

只需添加条件AB ED =（BC DF =或AC EF =或AE CF =等）即可． 故答案

：AB ED =（BC DF =或AC EF =或AE CF =等）

【点睛】本题考查了全等的判定，根据题意得到两个三角形有两组角分别相等，故只要添加一组对应边相等即可．

14.一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为______． 【答案】25

【解析】 【分析】

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图如图所示：

∵共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于6的有8种结果，

∴两次摸出的小球的标号之和大于6的概率为：82205

=； 故答案为：

25

． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15.若关于x 的一元一次不等式组10

20

x x a ->??-

【答案】68a <≤ 【解析】 【分析】

先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可． 【详解】解：1020x x a ->??

-

②

解不等式①得：x>1， 解不等式②得：x<

2

a ， ∴不等式组的解集是1＜x ＜

2

a ， ∵x 的一元一次不等式组有2个整数解， ∴x 只能取2和3， ∴342

a

<

≤， 解得：68a <≤ 故答案为：68a <≤．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a 的取值范围．

16.如图，AD 是ABC ?的外接圆

O 的直径，若40BAD ∠=?，则ACB =∠______?．

【答案】50

【解析】

【分析】

连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=50°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．

【详解】连接BD，如图，

∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴∠D=90°-∠BAD=90°-40°=50°，

∴∠ACB=∠D=50°．

故答案为：50．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

17.小明在手工制作课上，用面积为2

，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥

150cm

的底面半径为______cm．

【答案】10

【解析】

【分析】

根据扇形的面积公式与圆的周长公式，即可求解． 【详解】由1

=

2

S lR 扇形得：扇形的弧长=21501520ππ?÷=（厘米）， 圆锥的底面半径=20210ππ÷÷=（厘米）． 故答案是：10．

【点睛】本题主要考查圆锥的底面半径，掌握圆锥的侧面扇形弧长等于底面周长，是解题的关键． 18.如图，在边长为4的正方形ABCD 中将ABD ?沿射线BD 平移，得到EGF ?，连接EC 、GC ．求

EC GC +的最小值为______．

【答案】【解析】 【分析】

将△ABC 沿射线CA 平移到△AB ′C ′的位置，连接C ′E 、AE 、DE ，证出四边形ABGE 和四边形EGCD 均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C ′E=CE ，CG=DE ，可得EC+GC=C ′E+ED ，当点C ′、E 、D 在同一直线时，C ′E+ED 最小，由勾股定理求出C ′D 的值即为EC+GC 的最小值．

【详解】如图，将△ABC 沿射线CA 平移到△AB ′C ′的位置，连接C ′E 、AE 、DE ，

∵AB ∥GE ∥DC 且AB=GE=DC ，

∴四边形ABGE 和四边形EGCD 均为平行四边形， ∴AE ∥BG ，CG=DE ， ∴AE ⊥CC ′，

由作图易得，点C 与点C ′关于AE 对称，C ′E=CE ， 又∵CG=DE ， ∴EC+GC=C ′E+ED ，

当点C ′、E 、D 在同一直线时，C ′E+ED 最小， 此时，在Rt △C ′D ′E 中，

C ′B ′=4，B ′D=4+4=8， C ′

=， 即EC+GC

的最小值为

故答案为：

【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解．

19.在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且3

5

BE a =，连接AE ，将ABE ?沿AE 折叠．若点B

对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为______．

或5

【解析】 【分析】

分两种情况：点B '落在AD 上和CD 上，首先求出a 的值，再根据勾股定理求出抓痕的长即可． 【详解】分两种情况：

（1）当点B '落在AD 上时，如图1，

的

∵四边形ABCD 是矩形，

90BAD B ∴∠=∠=?，

∵将ABE △沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上，

1

452

BAE B AE BAD '∴∠=∠=∠=?，

AB BE ∴=， 3

15

a ∴=， ∴3

=15

BE a =

在Rt △ABE 中，AB=1，BE=1，

∴

=

（2）当点B '落在CD 上，如图2，

∵四边形ABCD 是矩形，

90BAD B C D ∴∠=∠=∠=∠=?，AD BC a ==，

∵将ABE △沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上，

90B AB E '∴∠=∠=?，1AB AB '==，35

EB EB a '

==，

DB '∴==，