证明(中位线)

例题：如图所示，将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △DBE 的直角顶点B 重合，M 、N 、P 分别是AD 、AC 、DE 边的中点，且A 、B 、D 在同一直线上，试说明MP 与MN 的关系。

拓展1：如图所示，等腰Rt △DBE 绕点B 旋转至如图所示位置，

其它条件不变，上述结论是否依然成立？

拓展二

拓展2:如图所示，将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △DBE 的锐角顶点B 重合，M 、N 、P 分别是AD 、CB 、BE 边的中点，且A 、M 、D 在同一直线上，试说明MP 与MN 的关系。

拓展3:如图所示，将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △DBE 的锐角顶点B 重合，F 是CE 的中点，连接AF 、DF ，试说明AF 、DF 的关系。

拓展3

拓展4

拓展4:如图所示，将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △DBE 的锐角顶点B 重合，M 是CE 的中点，MN ⊥AD ，试说明MN 与AD 的关系。

N A D E P

D M

P B E D

C A

P A D

E F

B E

D N

拓展5：如图所示，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，∠BAC=∠DAE ，M 是BD 的中点，求证：MC=ME

拓展5

例题：在Rt △ABC 中，∠A=90°，点D 是BC 的中点，∠MDN=90°，求证：

222MN CN BM =+

拓展1：如图所示，将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △DBE ，M 为CE 边的中点，且

C 、B 、E 在同一直线上，

试说明AM 与DM 的关系。

拓展1 拓展2

拓展2：如图所示，将等腰Rt △DBE 旋转至如图位置，C 、B 、D 共线，A 、B 、E 在同一直线上，试说明线段AM 与DM 的关系。

拓展3 拓展4

B C D

A D

A B

D A C

B M E

D A C M E

拓展3：如图所示，将等腰Rt △DBE 旋转至如图位置，M 仍为CE 中点，试判断线段AM 与DM 的关系，并证明。

拓展4：如图所示，将等腰Rt △ABC 与等腰Rt △BDE 按图放置，M 为CE 中点，试判断线段AM 与DM 的关系，并证明。

拓展5：

（1）已知，如图，正方形ABCD 和正方形CGFE ，B 、C 、E 在同一直线上，M 是AE 的中点，求证：DM=MG ，DM ⊥MG

（2）已知，如图，正方形ABCD 和正方形CGFE ，M 是AF

的中点，求证：DM=MG ，DM

⊥MG

拓展6：

（1）已知，正方形ABDE 与正方形ACGF 中，M 为BC 的中点，直线AM 交EF 于点N ，求证：AM ⊥EF ，AM=1/2EF

拓

（2）若将上图中正方形ACGF 旋转至下图位置，其它条件不变，结论是否发生变化？说明理由。

（3）若将（1）中正方形ACGF 旋转至图（3）位置，

其它条件不变，结论是否发生变化？说明理由。

A D

B E C

M G

F N A C

G F

M E D B F

E C

G M D A B A B C

E F G M D A E

M N

（4）若将正方形ABDE 与正方形ACGE

改为等腰直角三角形AEB 与等腰直角三角形ACF ，旋转至如图位置，M 仍为BC 中点，试判断线段AM 与EF 相等吗？请证明。

拓展7：（2009东营）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作

EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；

（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

N M

图①

图②

图③

（2008盐城）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．

解答下列问题：

如果AB=AC ，∠BAC=90o．

①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为，数量关系为．

②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB ≠AC

，∠BAC ≠90o，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）三、角平分线问题

1、如图，已知AD 是等腰直角三角形ABC 的底角平分线，∠C=90°，

求证：AB=AC+CD

2、已知E 是正方形ABCD 边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=∠FAE 。求证：AF=AD+CF

3、如图,BD 平分∠MBN ,A ，C 分别为BM ,BN 上的点,且BC >BA ,E 为BD 上的一点,AE =CE ,求证 ∠BAE +∠BCE =180°

A B C D E

F 第28题图图甲图乙 F

B A F E D

C B A 图丙

B C D E F A B C N D E M A

4、如图, DC ∥AB , M 为BC 的中点, AM 平分∠DAB ，且AD=AB+CD, 求证：DM 平分∠ADC

5、在△ABC 中,AD 是△ABC 的角平分线，E 、F 分别是AB 、AC 上一点，并且有∠EDF+∠EAF=180°,试判断DE 和DF 的大小关系并说明理由。

A B D C M

三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

三角形中位线定理的证明及其教学说明以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师一、三角形中位线定理的几种证明方法法1：如图所示，延长中位线DE 至F ，使，连结CF ，则，有AD FC ，所以FC BD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DF BC 。因为，所以DE BC 2 1．法2：如图所示，过C 作交DE 的延长线于F ，则，有FC AD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。因为，所以DE BC 2 1．法3：如图所示，延长DE 至F ，使，连接CF 、DC 、AF ，则四边形 ADCF 为平行四边形，有AD CF ，所以FC BD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。因为，所以DE BC 2 1．

法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ???，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DE BC 21。法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？ A C 图⑴： ⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗? C 图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

三角形中位线定理_练习题

三角形的中位线定理 1．三角形中位线的定义： 2．三角形中位线定理的证明：如图，在△ABC 中，D 、E 是AB 和AC 的中点，求证：DE ∥BC ，DE=2 1 BC ．方法一：方法二： 3．归纳：（1）几何语言：（2）条中位线，对全等，个平行四边形（3）面积 4．拓展：如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，求证： DE= 2 1 BC ．【巩固练习】 1．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ． 2．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF= 1 2 BD ． 3．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形． 4．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ． 5．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．

求证：四边形DEFG 是平行四边形． 6．已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ． 7．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点．求证：△EFG 是等腰三角形。 8．如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点．求证：四边形EGFH 是平行四边形； 9．如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形． 10．已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线，求证：DE 与AF 互相平分 11．如图所示，在四边形ABCD 中，DC∥AB，以AD ，AC 为边作□ACED ，延长DC?交EB 于．求证：EF=FB ．(多种方法)

三角形中位线证明平行

三角形中位线证明线面平行使用条件及运用方式一、学习目标： 1、理解线面平行证明的基本定理，通过一组线线平行证明出题目需要的线面平行 2、重点：根据题目给出的中点条件，构造三角形的中位线得出线线平行 3、难点：中位线对应的三角形的构造二、学习过程： 1、基本概念及定义线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行如图：即???????a l a l //αα?l ∥α 由上定理可知，证明线面平行，终归到底是线线平行的证明，而高考中的考查重点及难点就在于如何在平面上找到与该直线平行的直线，由不同题目提供的不同条件，我们需要使用不同的方法，其中一种方法就是构造三角形中位线，使定理中的l 和a 刚好成为三角形的一条边和与之平行的中位线三角形中位线运用运用条件：存在一条直线（设为l 0）同时与直线l 和平面α有交点，设为A 、B ，E 在直线l 上，并且A 为BE 中点图（1）图（2）解法：C 为l 上任意一点，连结CE 交平面α于点D ，如图（2）易证D 为CE 中点，所以由???中点为中点为CE D BE A 得AD ∥BC 从而证出BC ∥平面α

在具体题目中，以上的大部分点为题目中的已知点，而直线CE和D点则通常是我们需要作出的辅助线和辅助点 2、例题讲解例题：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E是PD的中点. 证明：PB∥平面AEC；解析：在题目的具体运用上，我们可以先在找出平面AEC中是否存在某条线段的中点，易知可找出E为PD中点，并且可以发现我们需要证明的直线PB与PD 交于P点，此时可尝试以PB和PD构造出一个三角形，以此为思考的切入点连结BD与AC交于点O，连结EO ∵在矩形ABCD中，O为BD中点，且已知E为PD中点 ∴PB∥OE又∵OE?面AEC ∴PB∥面AEC 3、随堂训练（1）如图，四边形CDEF为矩形，M为EA 的中点，求证：AC∥平面MDF 证：设EC与DF交于点N，连结MN，

三角形中位线定理的证明

备课偶得—— 三角形中位线定理的再证明王贵林皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。已知：如图1，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：D E ∥BC 且证法一、（构造法）如图2，延长DE 到F ，使EF=DE ，连结AF 、CF 、 DC ∵E 为AC 中点 ∴AE=CE ∵EF=DE ∴四边形ADCF 为平行四边形 ∴CF AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴BD CF ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴DE=EF ∴DE ∥BC 且证法二、（构造法）如图3，过CF 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F ，则 ∠A=∠ACF ∵E 为AC 中点 ∴AE=CF ∴△AD E ≌△CFE （ASA ） ∴CF=AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴CF=BD ∵CF ∥BD ∴CF BD ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴△ADE ≌△CFE ∴DE=EF ∴D E ∥BC 且证法三、（同一法）如图4，过D 作D E ′∥BC ，交AC 于E ′，过E ′作E ′F ∥AB ，交BC 于F ，则 ∠B=∠ADE ′=∠E ′FC ，∠AE ′D=∠C 四边形DBFE ′是平行四边形 ∴E ′F=BD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴E ′F=AD ∴△ADE ′≌△E ′FC （AAS ） ∴AE ′=CE ′即E ′为AC 中点 ∵E 为AC 中点 ∴E 与E ′重合即DE ∥BC ，△ADE ≌△EFC ，四边形DBFE 为平行四边形 ∴DE=CF DE=BF 即 ∴DE ∥BC 且图1 B C A D E 图2 B C A D E F 图3 B C A D E F C 图4 B A D E F E ′ 图5 B C A D E 1 2 DE BC =1 2 DE BC =1 2DE BC =12 DE BC =1 2DE BC =

三角形中位线中的常见辅助线

三角形中位线中的常见辅助线 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。方法二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。其他位置的也要能看出

C E D B A 常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点; ②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．典型例题【例1】已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证： 2AC AE =．举一反三 1. 如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证： 2AB DE =．

三角形中位线定理证明

三角形中位线定理证明性质1中位线平行于第三边性质2等于第三边的一半 1定理 2证明 3逆定理 1定理三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。[1] 三角形的中位线 2证明如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证DE平行于BC且等于BC/2 方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。 ∵CG∥AD ∴∠A=∠ACG ∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号） ∴△ADE≌△CGE （A.S.A) ∴AD=CG(全等三角形对应边相等) ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG 又∵BD∥CG ∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DG∥BC且DG=BC ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立. 方法二：相似法： ∵D是AB中点 ∴AD：AB=1：2 ∵E是AC中点 ∴AE：AC=1:2 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC ∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2

∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴BC=2DE,BC∥DE 方法三：坐标法：设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2 另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2）这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2 最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半方法4：延长DE到点G，使EG=DE，连接CG ∵点E是AC中点 ∴AE=CE ∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE ∴△ADE≌△CGE (S.A.S) ∴AD=CG、∠G=∠ADE ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG ∵点D在边AB上 ∴DB∥CG ∴BCGD是平行四边形 ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立[2] 方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3] ∴DE//BC且DE=BC/2 3逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。证明：∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2 ∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2 三角形的中位线证明：取AC中点E'，连接DE'，则有 AD=BD，AE'=CE' ∴DE'是三角形ABC的中位线 ∴DE'∥BC 又∵DE∥BC

中位线定理证明题

中位线定理证明题 1、如图，若CD AB //，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且a AB =，b CD =，求EF 的长 2、已知矩形ABCD 中，cm AB 15=，cm BC 8=，E 、 F 、 G 、 H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求四边形EFGH 的周长和面积 3、如图，已知四边形ABCD 中，BC AD //，若DAB ∠的角平分线AE 交CD 于E ，连结BE ，且BE 平分ABC ∠，求证：BC AD AB += 4、如图，在ABC ?中，C B ∠=∠2，BC AD ⊥，垂足为D ，M 是BC 的中点，cm AB 10=，求MD 的长 5、如图，D 、E 、F 分别是ABC ?三边的中点，G 是AE 的中点， BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，求BE PQ :的值 6、如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥， AC DE //，交AB 于E ，若5=AB ，求DE 的长 7、连接凸四边形一组对边中点的线段等于另一组对边和的一半，问这个凸四边形是什么四边形试证明你的结论

8、分别以ABC ?的边AC 和BC 为一边，在ABC ?外作正方形ACDE 和 CBFG ，点P 是EF 的中点，如图，求证：点P 到边AB 的距离是AB 的一半 9、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，?=∠30B ， ?=∠60C ，E 、M 、F 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，已知7=BC ，3=MN ，求EF 的值 10、如图，已知梯形ABCD 中，BC AD //，?=∠=∠90ADC DCB ，E 为AB 中点，求证：DE CE = 11、如图，已知梯形ABCD 中，CD AB //，?=∠=∠90D DAB ，ACB ?是等边三角形，梯形中位线m EF 4 3 = ，求梯形的下底AB 的长 12、如图，梯形ABCD 的面积是12，求此梯形四边的中点组成的四边形EFGH 的面积 13、如图，已知A 为DE 的中点，设DBC ?、ABC ?、EBC ?的面积分别为1S 、 2S 、3S ，求1S 、2S 、3S 之间的关系 14、如图，在ABC ?中，?=∠120BAC ，以AB 、AC 为向形外作等边三角形ABD 和ACE ，M 为AD 中点，N 为AE 中点，P 为BC 中点，试求MPN ∠的度数

《三角形中位线定理》

课题：三角形中位线定理科目：数学教学对象：八年级课时：§18.1平行四边形第4课时提供者：大城县第四中学毕宝清一、教学目标 1.知识与技能：理解三角形中位线的概念；探索并掌握三角形中位线定理；能正确应用三角形中位线定理解决问题。 2.过程与方法：经历探索三角形中位线定理的过程，感受数学转化思想。 3.情感态度与价值观：培养学生大胆猜想、合理论证、归纳结论的科学精神。二、教学重点、难点 1．重点：探究三角形中位线定理并应用，应用三角形中位线定理解决有关问题。2．难点：三角形中位线定理的证明。三、教具准备多媒体、三角形纸片四、教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图一、情境设置导入新课蚕丝吐尽春未老，烛泪成灰秋更稠。春播桃李三千圃，秋来硕果满神州。为感恩教师，七年级六班召开主题班会，班长要求每个同学把手中的三角形原料裁成四面完全相同的彩旗装扮教室，应该怎么裁剪呢？教师引导学生观察图片，思考问题后出示课题. 教育学生懂得感恩，从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．

环节教学内容师生活动设计意图二、动手操作观察发现探究一：三角形中位线的概念活动一：请同学们按要求画图：（1）画一个任意的△ABC；（2）取AB、AC的中点D、E；（3）连接DE 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。问题1：一个三角形有几条中位线？请学生画出三角形中所有中位线。问题2：三角形的中位线和三角形的中线有何异同？教师引导学生在练习本上作图，实践操作后分析线段DE 的特征，独立思考并总结归纳出三角形中位线的定义. 教师用红笔标出定义的关键词：“线段中点”、“线段” 让学生在作图过程中充分感知三角形中位线并加深印象。通过学生实践操作把握概念的本质，有利于学生今后更加准确运用。三、探究性质定理深化认知探究二：三角形的中位线定理问题3：如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有什么关系？通过拼图活动寻求辅助线做法。（1）把三角形纸片沿中位线DE裁开。（2）变换△ADE的位置，想办法去构造一条线段等于2DE，（3）画出变换后的图形，并把 △ADE移动后的对应的位置用虚线画出来。（4）请仔细观察哪条线段是 DE的2倍。（5）我们只要证明哪两条线段相等就可以。（6）辅助线做法该怎么写？（7）请构思并书写证明过程。教师引导学生从2个方面探究两条线段之间的关系。学生独立思考寻求方法探究结论，小组讨论交流并根据探究结果猜想三角形的中位线定理。教师板书证明过程，并用展台展示其他证明方法。调动已有知识经验，结合学生实践操作感知思考、交流合作探究三角形中位线的定理。通过学生亲自拼图操作，进一步探究辅助线做法，并为定理的证明作好准备工作经历这个探究的过程让学生意识到讨论、合作是学生完成学习任务的一种手段，而交流则促进学生智慧成果共享。

(完整版)人教版八年级下三角形中位线定理

知识点回顾（笔记）证一证如图，在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 边的中点. 1 .2 DE BC DE BC =求证：∥，证法1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ， ∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ， ∴CF_____BD ,CF_____BD ， ∴四边形BCFD 是____________ ∴DF_____BC ,DF_______BC ， 12 DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ． ∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ．（全等） ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC. 12DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC.

类型1 三角形中位线的定理及运用例1如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长. 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．类型2中位线辅助线的构造例3如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 例4. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求证：CD= CE。

(中位线定理)

教材单元分析教材人教版单元内容三角形中位线定理课本页码第页至第页年级初二教师 1.本单元教材的作用与地位：三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。 2.教学指导思想：本课以探究活动层层深入，环环紧扣，让同学们自己猜想归纳定理，并用自己的方法证明自己的猜想，这体现了“学生为主体”的课堂要求，让同学们充分的参与课堂教学中来，与以往的“满堂灌”教学方法有着本质的不同，不仅凝炼了教学环节，更让学生亲历了知识的生成过程，有效突破了教学的重点和难点。 3.教学目标： 1）知识目标：理解三角形中位线的定义；掌握三角形中位线定理及其应用。 2）能力目标：通过小组活动，提高了同学们的动手能力与合作交流能力；通过对三角形中位线定理的猜想及证明，提高了同学们提出问题，分析问题及解决问题的能力。 3）情感目标：让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。 4.教材的重点、难点与关键：重点：理解并应用三角形中位线定理。难点：三角形中位线定理的运用。 5.教学方法和手段的设计：采用了“引导探究”式的教学模式，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程。 6.关于思想教育、行为习惯的培养及学习方法指导的设计：本节课在实验操作的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，让学生掌握实验与观察、分析与比较、讨论与释疑、概括与归纳、巩固与提高等科学的学习方法；学会举一反三，灵活转换的学习方法，学会运用化归思想去解决问题。

三角形中位线定理及逆定理的证明教学教材

定理三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。[1] 三角形的中位线 2证明如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证DE平行于BC且等于BC/2 方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。 ∵CG∥AD ∴∠A=∠ACG ∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号） ∴△ADE≌△CGE （A.S.A) ∴AD=CG(全等三角形对应边相等) ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG

又∵BD∥CG ∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DG∥BC且DG=BC ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立. 方法二：相似法： ∵D是AB中点 ∴AD：AB=1：2 ∵E是AC中点 ∴AE：AC=1:2 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC ∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴BC=2DE,BC∥DE 方法三：坐标法：设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2 另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2）这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2 最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半方法四：

延长DE到点G，使EG=DE，连接CG ∵点E是AC中点 ∴AE=CE ∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE ∴△ADE≌△CGE (S.A.S) ∴AD=CG、∠G=∠ADE ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG ∵点D在边AB上 ∴DB∥CG ∴BCGD是平行四边形 ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立[2] 方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3] ∴DE//BC且DE=BC/2 3逆定理

三角形中位线定理知识讲解

三角形中位线定理【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 【要点梳理】要点一、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的1 4 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】类型一、三角形的中位线 1、（2016?北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．

中位线定理证明

三角形中位线与梯形中位线一、知识点梳理 1、三角形中位线定义;每个三角形有3条中位线 2、梯形中位线定义;每个梯形有且只有1条中位线二、定理证明知识点1：三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。（数量关系与位置关系（2）定理的证明如图，已知点D、E分别是AB、AC的中点。求证：DE∥BC,且DE=1／2BC. 知识点2：梯形中位线定理（1）定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。（2）定理的证明如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AE=EB,DF=FC,求证：EF∥BC,EF=1／2(BC+AD) 三、典型例题分析题型1 三角形的中位线例1如图在四边形ABCD中，AC=BD,且M、N分别为AD、CB的中点，AC、BD交于点O，MN交BD于点E,交AC于F。求证：OE=OF

例2如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，G、H分别是对角线AC、BD的中点，求证：EF与GH互相平分。题型2 梯形的中位线例 3 如图，已知MN是梯形ABCD的中位线，AC、BD与MN交于点F、E，AD=30cm,BC=40cm.求EF的长。例4填空：（1）顺次连接四边形各边中点所得图形是。（2）顺次连接平行四边形四边形各边中点所得图形是。（3）顺次连接矩形各边中点所得图形是。（4）顺次连接菱形各边中点所得图形是。（5）顺次连接正方形形各边中点所得图形是。（6）顺次连接梯形各边中点所得图形是。（7）顺次连接直角梯形各边中点所得图形是。（8）顺次连接四边形各边中点所得图形是。

《三角形中位线定理》教案

4.5三角形中位线定理【教案背景】 1、面向学生：初二学生 2、课时：1课时 3、学科：数学 4、学生准备：提前预习本节课的内容，2张三角形纸，剪刀. 【教材分析】 1、教材的地位和作用：本节教材是浙江教育出版社的八年级数学下册第四章第五节的内容。三角形中位线既是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形性质等知识内容的应用和深化，同时为进一步学习等腰三角形的中位线打下基础，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了归纳、类比、转化等化归思想，它是数学解题的重要思想方法，对拓展学生的思维有着积极的意义。 2、教学目标（一）知识目标（1）理解三角形中位线的概念（2）会证明三角形的中位线定理（3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题；（二）过程与方法目标进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力。体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。（三）情感目标通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。 3.重点与难点重点：理解并应用三角形中位线定理。难点：三角形中位线定理的证明和运用。【教学方法】学生在前面的数学学习中具有了一定的合作学习的经验，为了让学生进一步经历、猜测、证明的过程，我采取：启发式教学，在课堂教学，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地参与教学全过程。

【教学过程】本节课分为五个环节：设景激趣，引入新课概念学习，感悟新知拼图活动，探索定理巩固练习，强化新知小结归纳，作业布置（一）设景激趣，导入新课动手实践探索（请您做一做：让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板） 1、找出三边的中点 2、连接6点中的任意两点 3、找找哪些线是你已经学过的，哪些是未曾学过的设计意图：在本环节，让学生经过动手操作，学生会发现有3条是已经学过的中线，有3条是没有学过的。最终给出三角形中位线的定义。也引出了本节课的课题：三角形的中位线。这样做，既让学生得出三角形中位线的概念又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线（二）概念学习，感悟新知三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线如图，DE、EF、DF是三角形的3条中位线。跟踪训练： ①如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的； ②如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的。设计意图：学以致用，为了及时的使学生加深三角形中位线的概念印象，为后面的探究打下基础，设立了以上两道简单的抢答题，让学生学会及时的从图中找出信息。（三）拼图活动、探索定理 C B A F E D C B E D

小议三角形中位线定理的几种证明方法

小议三角形中位线定理的几种证明方法杨之全 [来源：本站 | 时间:2009-01-17 | 文章点击：35| 评论:0条| 字体：大中小] 三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，对进一步学习三角形有关知识非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到，也为下一节梯形的中位线定理的证明作好充分的理论上的准备。对这一定理的证明有多种方法，现介绍几种。之所以要介绍这几种方法，是因为：第一，证明定理是帮助学生掌握知识体系的重要环节；第二，这个定理的证明综合运用了前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形、中心对称等重要知识，又提示了某些辅助线的添置方法；第三，证题时，强化了思维过程的教学，培养了求异思维，有益于开发学生的智力。同时，启发学生用不同的方法来证明三角形中位线定理，还可以培养学生发散性思维。下面就介绍三角形中位线定理的几种证明方法：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。已知：如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点求证：⑴DE∥BC⑵DE=BC 证明方法1：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=BDAE=CE∴==

∵∠DAE=∠BAC∴△ADE～△ABC∴∠ADE=∠ABC== ∴DE∥BCDE=BC[小结]利用相似三角形的判定和性质，有时会收到异想不到的效果。证明方法2：延长DE至F，使EF=DE，连接CF ∵AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF ∴△ADE≌△CEF ∴AD=CF，∠ADE=∠CFE，∵AD=BD，∴CF=BD ∵∠ADE=∠CFE∴AB∥CF∴CF=BD，CF∥BD ∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF=BC，DF∥BC ∵DE=EF=DF,∴DE=BC，DE∥BC[小结]用延长相等线段的方法构造全等三角形，利用全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质。证明方法3：（同第二种方法的图）过点C作CF∥AB，与DE的延长线相交于点F ∵CF∥AB，∴∠ADE=∠CFE∵∠AED=∠CEF，AE=CE， ∴△ADE≌△CFE（AAS），∴CF=AD∵AD=BD，∴CF=BD，∵CF∥BD，∴四边形BCFD是平行四边形（以下证法与方法2相同）[小结]作平行线的方法构造全等三角形，利用全等三角形、平行四边形的判定和性质。证明方法4 过点E 作EG∥AB，交BC于G ∵EG∥AB，∴△CEG～ △CAB，∴===∵=，∴EG=BD，∵EG∥BD，∴四边形BGED是平行四边形∴DE=BG=BC，DE∥BC

三角形中位线公开课教案

课题名称：18.1.2三角形的中位线备课时间：4.8 授课时间：4.10 教研组审签：教学目标：教学札记知识与技能通过画图，亲身体验三角形中位线的概念以及与三角形中线的区别,掌握三角形中位线定理,通过三角形中位线定理的证明,渗透数学学习中的转化思想,培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力，并能应用所学的知识解决问题。过程与方法在观察、操作、推理、归纳的探索中，进一步培养学生的数学说理能力与习惯。情感态度与价值观通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。教学重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线定理解决问题。教学难点：证明三角形中位线定理如何添加辅助线是本节的教学难点。授课类型：新授课教法与学法设计：自主学习，合作交流，精讲点拨，练习巩固媒体设计：多媒体课件课时安排：1课时教学内容及学法指导一、情境导入问题：A、B两点被池塘隔开,如何测量A、B两点距离呢？为什么? 二、探究新知探究（一）三角形的中位线的定义 1、什么是三角形的中位线？（通过演示，引导学生归纳三角形的中位线的定义） 2、动手画一画，剪一剪（1）、画出△ABC中所有的中位线。（2）、沿着对角线可以把这个三角形剪成几个小三角形，它们全等吗？探究（二）三角形的中位线定理 1、观察猜想中位线和第三边有什么关系。 2、归纳命题三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

3、验证命题利用量角器和尺子在三角形纸片上验证上面的命题。( 4、证明命题。（先自学，后交流）（1)根据图形写出已知、求证。（2)自学课本48页证明过程。（3)不懂的地方小组交流。（4)小组派代表讲解如何证明。（5)教师点拨。 5、归纳三角形中位线定理，并用符号语言表述。 6、练习：（见课件）三、精讲点拨例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？ 1、让生自学例题，合作完成证明（1)让生口述解题思路（2）随机提问说说这一步用到和知识点。 2、展示学生解题过程，并引导生纠正不足。 3、教师板演，规范解题过程。 4、从例1中你能得到什么结论？顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形四、解决问题（见课件）让生解决情境引入的问题五、回顾拓展（见课件）六、小结七、作业布置：八、板书设计：教后心得及反思 A B C D E F H G

(完整版)三角形中位线中的常见辅助线

三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。方法二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点; ②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．

北师大版初二数学下册三角形中位线的证明

教学反思：本节课的教学分析：三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线是三角形重要的性质定理，它是已学过的平行线、相似三角形等知识内容的应用和深化，也为今后进一步学习其他相关的几何知识奠定基础，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到，同时它也是学习下一节梯形中位线的基础。这个定理既得到线段之间的位置关系，又得到线段之间的数量关系，所以在教学设计中，一定要重视学生的探究发现过程，让学生既能从操作上认识，也能进行严格的逻辑证明。教学设计中成功的地方有：一.教学过程。教师与学生在互动中有机结合，教学过程是教师的教和学生的学所组成的一种双边活动的过程。首先，在学习三角形中位线的概念时，教师很好的引导学生作图，通过作图，巩固了对中位线的理解，三角形中位线和三角形中线易混淆，让学生作一比较，利于培养学生严谨细致的学习习惯。其次，在学习三角形中位线性质时，先由直观的方法感知DE与BC的位置关系与数量关系，再用说理的方式来证这一关系，既满足了学生探求新知的欲望，获得成功的体验，又刺激学生进行更深入的探索。参与式教学特别注重发挥学生的主体性，让学生充分参与教学活动。总之,参与式教学中，学生必须动脑、动手、动口、动笔，全身心投入学习，真正把学生的学习主动性、求知积极性充分调动和激发起来，学生真正成为学习的主人。二.用精彩的问题设置吸引学生 “思维总是从提出问题开始的”，课堂提问是启发学生积极思维的重要手段，教师要善于运用富有吸引力的提问激发学生的兴趣。女口：我在讲解三角形中位线

的时候，大胆的提出把三角形沿中位线DE剪一刀，再动手操作拼一拼得到平行四边形，从而得到三角形中位线结论的另一证明方法。总之，“参与式数学教学活动设计”是一门能让学生与老师互动的课程，也是一门改变了传统的老师教学生学方式的新形课程，在以后的教学中药大力提倡。教学设计中需要改进优化的地方：在学生画出△ ABC勺三条中位线DE EF，DF后，应该设计一道开放性问题，让学生探讨，发挥小组合作的力量，看还能得出那些结论？ 1. 分成的四个小三角形全等，四个小三角形与大三角形ABC相似； 2. 图形中有三个平行四边形，且面积相等； 3. 图形中有三个梯形且面积相等，若△ ABC为直角三角形，则为3个全等的矩形； 4. 四个小三角形的周长与大三角形ABC的周长比为1:2 ; 5. 四个小三角形的面积与大三角形ABC的面积比为1:4 ; 6. 中位线与第三边的中线互相平分。这样设计经典性的问题，能够让学生加深对本节课所学知识的理解，还能巩固复习所学旧知识，将新旧知识融为一体，达到知识系统化、专题化，学生解题时就具有灵活性、可操作性，让孩子们对每一类问题形成解题的技能，总结提升解题的方法，。正如杜郎口中学的徐利老师所说，我们把学生最该处理的问题，进行重点的剖析挖掘，争取让孩子们通过这一个题的分析与挖掘，达到会做这一类题举行反三处理旁通。

三角形中位线定理

【学习目标】 1．知识技能利用平行四边形的性质和判定证明出三角形的中位线定理，并会用定理进行计算或证明． 2．数学思考通过猜想、验证、推理、交流等数学活动，发展我们的动手操作能力、合情推理能力以及应用数学能力． 3．解决问题通过三角形中位线定理的探索过程，丰富我们从事数学活动的经验与体验，感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性． 4．情感态度（1）在观察、分析过程中发展我们主动探索、质疑和独立思考的习惯．（2）经历合作探究的过程，培养我们合作交流意识和探索精神．【学习重难点】 1．教学重点：理解和掌握三角形中位线定理，并能熟练运用． 2．教学难点：利用平行四边形的性质与判定证明三角形的中位线定理，以及复杂图形中通过作辅助线应用三角形中位线定理．课前延伸各人准备一张三角形纸片，记作△ABC，分别取AB、AC边中点D、E，用直尺分别测量DE、BC的长，比较DE、BC的大小关系，

并猜想DE、BC之间存在怎样的数量关系．还能借助量角器测量有关角的大小，并猜想出DE、BC之间的位置关系吗？课内探究一．上面猜想进行理论证明．已知：D、E分别平分AB、AC，求证：_______________________ 二．总结归纳．三角形的中位线定义：三角形的中位线定理：三．三角形的中位线和中线区别：三角形中位线定理的符号语言：四．随堂练习、巩固深化 1．D、E分别平分AB、AC，若BC=10cm，则DE=______；若DE= cm，则BC=______． 2．已知中，，且 cm，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则的周长是_________cm． 3．如图，内有一点P，EF是的中位线，MN是的中位线，求证：四边形MNFE是平行四边形． 4．判断任意一个四边形各边中点连接所形成四边形的形状，并证明你的结论．已知：E、F、G、H分别为四边形ABCD中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形． 5．实际应用：想知道一池塘边缘宽度AB，且AB不可直接测量，怎么办？提醒：