第2课时 用综合法分析法证明不等式

第2课时用综合法、分析法证明不等式

要点·疑点·考点

课前热身

能力·思维·方法

延伸·拓展

误解分析

要点·疑点·考点

1.不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻找使之成立的充分条件.综合法是把整个不等式看成一个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、运算，导出欲证的不等式.

2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，

因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法

表述.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”.要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的

不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.

()22

752

<-+-≥x x x x a 3.若恒成立.则常数a 的取值范围是_________.1.当a ＞1，0＜b ＜1时，log a b+log b a 的取值范围是______________.

课前热身

(-∞，-2]3-≥a 2.设，则函数的最小值是____，

此时x=_______.21≥x 128-x x y +=2925

4.设a 、b 、c ∈R+，则三个数的值( )

(A)都大于2 (B)至少有一个不大于2

(C)都小于2 (D)至少有一个不小于2

a

c c b b a 111+++，，D 5.设a ＞b ＞c 且a+b+c =0，求证：

(1)b 2-ac ＞0；

(2)√b 2-ac ＜√3a .

能力·思维·方法

1.已知a ，b ，c 都是正数，且a ≠b ，a 3-b 3=a 2-b 2，求

证：1＜a+b ＜3

4【解题回顾】本题证明a+b ＞1采用了综合法，而证明a+b ＜是采用了分析法.在证题时，从已知条件出发，实行降幂变换，证出了a+b ＞1；而从结论出

发，实行升幂变换，导出a+b ＜．这是两种不同的思维程序.

3434

【解题回顾】(1)先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法.

(2)注意条件中1的代换与使用.

2.(1)设a ，b ，c 都是正数，求证：

(2)已知a 、b 、c ∈R +，且a+b+c =1.求证：c b a c

ab b ca a bc ++≥++6111≥++c

c -b b -a a -

3.证明：若f(x)＝√1+x2，a≠b，则|f(a)-f(b)|＜|a-b|.【解题回顾】利用|a|2＝a2(a∈R)是证有关绝对值问题的好方法，证一就是利用这一方法，证二采用的是有理化分子，证三、证四是将数量关系的问题转化为图形的性质问题，充分地考察数学问题的几何背景，常可使问题得以简化.

【解题回顾】有趣的是，这个双边不等式，我们能够同时进行证明.

4.已知a ＞b ＞0，求证：()

()b b -a ab b a a b -a 8282

2<-+<

延伸·拓展

【解题回顾】原不等式从左边到右边的变化是消去a 1、a 2，因此设法产生a 1+a 2是变形的目标.

5.设a 1，a 2∈R +，a 1+a 2＝1，λ1，λ2∈R +，求证：

()()212

21221122114λλλλλa λa a λa λ+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++

误解分析

1.不等式中所含字母较多，分不清它们的关系是出错的主要原因.

2.把握不住证题方向，会导致证题出现混乱.