2、综合法和分析法证明不等式
证明不等式的八种方法
1 Math Part 比较法
证明：
∴a-1≥1，b-1≥1
ab-a-b =a(b-1)-b
∴(a-1)(b-1)≥1 例题：已知a≥2，b≥即2，(a求-1)证(b：-1)a-b1≥≥a0+b
6 Math Part 构造法
函数构造法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 要证明的不等式为： ab≥a+b 移项得 ab-a-b≥0 即(b-1)a-b≥0 构造函数 f(x)=(b-1)x-b (x≥2)
f(x)是关于x的一次函数 其中一次项系数b-1>0 ∴f(x)为定义域上的增函数 ∴对于任意的x∈[2,+∞)都有 f(x)≥f(2)=(b-1)×2-b=b-2≥0 ∴(b-1)a-b≥0 所以原命题成立 证毕
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有： 对基 栖于本 西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式 等所、 式有均 、x值 切i与不 比x等雪j同式夫号、不
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b
高中数学 第9课时 不等式的证明方式 综合法与分析法教案
第09课时 不等式的证明方式之二：综合法与分析法目的要求：重点难点：教学进程：一、引入：综合法和分析法是数学中经常使用的两种直接证明方式，也是不等式证明中的大体方式。
由于二者在证明思路上存在着明显的互逆性，那个地址将其放在一路加以熟悉、学习，以便于对照研究两种思路方式的特点。
所谓综合法，即从已知条件动身，依照不等式的性质或已知的不等式，慢慢推导出要证的不等式。
而分析法，那么是由结果开始，倒过来寻觅缘故，直至缘故成为明显的或在已知中。
前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。
打一个例如：张三在山里迷了路，救援人员从驻地动身，慢慢寻觅，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。
以前取得的结论，能够作为证明的依照。
专门的，AB B A 222≥+是常常要用到的一个重要不等式。
二、典型例题：例一、b a ,都是正数。
求证：.2≥+a b b a 证明：由重要不等式AB B A 222≥+可得本例的证明是综合法。
例二、设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+ 证法一 分析法要证2233ab b a b a +≥+成立.只需证)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+成立， 又因0>+b a ，只需证ab b ab a ≥+-22成立， 又需证0222≥+-b ab a 成立， 即需证0)(2≥-b a 成立.而0)(2>-b a 显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法两边同时加上ab 得)()(m b a m a b +>+两边同时除以正数)(m b b +得（1）。
读一读：若是用Q P ⇒或P Q ⇐表示命题P 能够推出命题Q （命题Q 能够由命题P 推出），那么采纳分析法的证法一确实是 （1）).4()3()2(⇐⇐⇐而采纳综合法的证法二确实是 ).1()2()3()4(⇒⇒⇒若是命题P 能够推出命题Q ，命题Q 也能够推出命题P ，即同时有P Q Q P ⇒⇒,，那么咱们就说命题P 与命题Q 等价，并记为.Q P ⇔在例2中，由于m b m b +,,都是正数，事实上例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，若是水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
高考数学证明不等式的基本方法
知识网络
要点归纳
题型研修
知识网络
要点归纳
题型研修
1.比较法证明不等式 作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据 是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件. 证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判 断结果的符号.
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要点归纳
题型研修
2.综合法证明不等式 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理 的基本理论.证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个 重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先 考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不 等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中 “当且仅当……时，取等号”的题型研修
例 1 若 x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0.求证：b＋a cx2＋c＋b a
y2＋a＋c bz2≥2(xy＋yz＋zx).
证明 ∵b＋a cx2＋c＋b ay2＋a＋c bz2－2(xy＋yz＋zx)
＝bax2＋aby2－2xy＋bcy2＋bcz2－2yz＋acz2＋acx2－2zx＝
∴0＜ （n＋1）n22＋ ＋11＋ ＋（ n n＋1）＜1，即CCn＋n1＜1，
从而有 Cn＋1＜Cn.
知识网络
要点归纳
题型研修
跟踪演练 2 若 a，b，m，n 都为正实数，且 m＋n＝1， 试证： ma＋nb≥m a＋n b. 证明 ∵a，b，m，n 均为正数，且 m＋n＝1， ∴( ma＋nb)2－(m a＋n b)2 ＝ma＋nb－m2a－n2b－2mn ab ＝m(1－m)a＋n(1－n)b－2mn ab ＝mn( a－ b)2≥0，又 ma＋nb＞0，m a＋n b＞0， ∴ ma＋nb≥m a＋n b.
知识网络
第2讲不等式的基本方法-综合法与分析法课件人教新课标
∴3x2＋3y2＞2xy成立.
1
1
∴(x2＋y22) ＞(x3明不等式 例 3 设 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1，求证 a＋1＋ b＋1≤ 6. 证明 要证 a＋1＋ b＋1≤ 6，
只需证( a＋1＋ b＋1)2≤6，
即证(a＋b)＋2＋2 ab＋a＋b＋1≤6.
A.1a＜1b
B.a＋1b＞b＋1a
√C.b＋1a＞a＋1b
D.ba＜ba＋ ＋11
解析 ∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴aab＜abb＜0，即1b＜1a＜0.
∴a＋1b＜b＋1a.
1234
解析 答案
2.已知函数 f(x)＝12x，a＞0，b＞0，a≠b，A＝f a＋2 b，B＝f( ab)，C＝ 2ab
第二讲 证明不等式的基本方法
二 综合法与分析法
学习目标 1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点. 2.掌握综合法、分析法证明不等式的方法和步骤. 3.会用综合法、分析法证明一些不等式.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 综合法与分析法
思考1 在“推理与证明”中，学习过分析法、综合法，请回顾分析法、 综合法的基本特征. 答案 分析法是逆推证法或执果索因法，综合法是顺推证法或由因导 果法.
Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 得到一个明显成立的条件
题型探究
类型一 综合法证明不等式 例 1 已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1， 求证：a＋1a2＋b＋1b2≥225.
证明
反思与感悟 综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系， 为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系. 合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.
不等式证明几种方法
同理： ,
以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例五、已知a+b+c> 0，ab+bc+ca> 0，abc> 0，求证：a,b,c> 0
证：设a< 0,∵abc> 0,∴bc< 0
又由a+b+c> 0,则b+c=a> 0
∴ab+bc+ca=a(b+c) +bc< 0与题设矛盾
8．若x,y> 0，且x+y>2，则 和 中至少有一个小于2
一、裂项放缩
例1.(1)求 的值; (2)求证: .
解析:(1)因为 ,所以
(2)因为 ,所以
奇巧积累
:(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 பைடு நூலகம்则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形为 ，截面积为 。所以本题只需证明 。
证明：设截面的周长为 ，则截面是圆的水管的截面面积为 ，截面是正方形的水管的截面面积为 。只需证明： 。
为了证明上式成立，只需证明 。
例3、已知a，b，m都是正数，并且 求证： （1）
证法一要证（1），只需证 （2）
要证（2），只需证 （3）
要证（3），只需证 （4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
高中数学证明不等式的基本方法
a=b=c
时,等
号成立.即三个正数的算术平均 不小于 它们的几何平均.
(2)基本不等式的推广 对于 n 个正数 a1,a2,…,an,它们的算术平均 不小于它们的几何平均,即
a1 a2 n an
≥
n
a1a2
an ,当且仅当
a1=a2=…=an
时,等号成立.
对点自测
1.要证明 29 + 31 >2 5 ,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 (
.
解析:由
1 1 < <0 可得 b<a<0, a b
从而①不正确,②③正确;
a2 a 2 2ab b 2 (a b)2 对于④, -(2a-b)= = <0, b b b
即④正确.
答案:②③④
5.已知三个互不相等的正数 a,b,c 满足 abc=1.试证明:
a + b+ c<
1 1 1 + + . a b c
第 2节
证明不等式的基本方法
最新考纲
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分 析法
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2
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善
知识梳理
1.比较法
a 1 b
把散落的知识连起来
方法
作差法
原理
a-b>0⇔a>b
a 1 b
作商法
⇔a>b(a>0,b>0)
2.综合法与分析法 (1)综合法:从 已知条件 出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一 系列的 推理 、论证而得出命题成立.
作差比较法. (2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商
证明不等式的基本方法
恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”； 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常 数，求函数的最值”； 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”；
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，
即a的取值范围是________． [答案] a≤10
[点评与警示] 论证过程中，执果索因与由因导果总是不
断变化，交替出现．尤其综合题推理较盲目时，利用分析法从
要证的问题入手，逐步推求，再用综合法逐步完善，最后找到 起始条件为止．
(人教版选修 4—5 第 30 页第 1 题)已知 a， b， c∈(0,1)， 1 求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不同时大于4.
[证明]
(反证法)假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 都大于 ①
1 1 (1－b)c· (1－c)a>64 4，则(1－a)b· 1 即[a(1－a)· b(1－b)· c(1－c)]>64
a＋1－a 2 1 而 0<a(1－a)≤[ ]＝ ， 2 4
1 1 0<b(1－b)≤ ，0<c(1－c)≤ 4 4 1 ∴[a(1－a)][b(1－b)][c(1－c)]≤ 与①矛盾 64 1 ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不同时大于 . 4
) B．a2＞b2 1a 1b D．(2) ＜(2)
1 2 ．若 a ＞ b ＞ 1 ， P ＝ lga· lgb ， Q ＝ (lga ＋ lgb) ， R ＝ 2 a＋b lg( )，则( 2 A．R＜P＜Q C．Q＜P＜R
[解析]
) B．P＜Q＜R
D．P＜R＜Q 1 ∵lga＞lgb＞0，∴ (lga＋lgb)＞ lga· lgb，即 Q 2
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.2 分析法课堂导学三点剖析一，利用分析法证明不等式【例1】 (1)设a>b 〉0，求证：333b a b a ->-。
（2)已知0〈α〈π,证明2sin2α≤cot 2α，并指出等号成立的条件。
证明：（1）要证333b a b a ->-,∵a>b〉0，有3b a ->0， ∴需证（3b a -）3>(33b a -）3,展开得a —b 〉a —323b a +b ab -323， 即证明)(3333b a ab -〉0, 也就是证33b a ->0,在题设条件下这一不等式显然成立，∴原不等式成立.（2)要证2sin2α≤cot 2α,由0<α<π知sinα〉0，只需证2sinα·sin2α≤1+cosα,即证明4sin 2αcosα-（1+cosα）≤0,也就是证（1+cosα)[4（1—cosα）cosα-1］≤0，而1+cosα>0，于是只要证-4cos 2α+4cosα—1≤0,即—（2cosα—1）2≤0,就是(2cosα-1)2≥0,这是显然的。
∴2sin2α≤cot 2α,等号在2cosα=1,α=3π时取得。
各个击破类题演练1若a ，b,c 三数均大于1，且ab=10，求证:log a c+log b c≥4lgc.证明:由于a>1，b 〉1，要证log a c+log b c≥4lgc,需证b ca clg lg lg lg +≥4lgc,而lgc>0, 因此只要证b a lg 1lg 1+≥4,即证b a b a lg lg lg lg +≥4。
∵ab=10,有lga+lgb=1，于是只需证lga·lgb≤41, 而lga·lgb≤(2lg lg b a +)2=41。
∴不等式log a c+log b c≥4lgc 成立.变式提升1已知a>0,b 1—a 1>1，求证：ba ->+111。
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南化一中高三数学第一轮复习讲义55 第六章《不等式》
1
§6.2综合法和分析法证明不等式
【复习目标】
1． 熟悉证明不等式的综合法、分析法，并能应用其证明不等式；
2． 理解分析法的实质是“执果索因”；注意用分析法证明不等式的表述格式；
3． 对于较复杂的不等式，能综合使用各种方法给予证明。
【重点难点】
综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，因此我们经常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述。
分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”。
要注意分析法的表述格式。
【课前预习】
1. “a>1”是“11<a
”的 （ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条
2.
3)a ≥
3. 证明a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac.
4. 设a,b,c ∈R +,则三个数b a 1+，c b 1+，a
c 1+的值，则 （ ） A. 都大于2 B. 至少有一个不大于2 C. 都小于2 D. 至少有一个不小于2
【典型例题】
例1 （1）已知,x y R +
∈，且21x y +=
，求证：113x y
+≥+ （2）设a,b,c 都是正数，求证：c b a a c c b b a ++≥++.
第55课：§6.2综合法和分析法证明不等式 《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写 - - 2 例2 已知a>0，b>0，2c>a+b. 求证：c －ab c -2<a<c+ab c -2.
例3 若21)(x x f +=，a ≠b. 求证b a b f a f -<-)()(.
【巩固练习】
1. 设23-=a ,56-=b ,67-=c , 则a,b,c 大小顺序是
（ ） A ．a>b>c B ．b>c>a C ．c>a>b D ．a>c>b
2. 设0<a<b,a+b=1,在下列不等式中正确的是
（ ） A ．b<2ab<22b a +<a 2+b 2 B ．2ab<b<a 2+b 2<22b a +
C ．2ab<a 2+b 2<22b a +<b
D ．2ab<a 2+b 2<b<22b a +
3. a>b>1,P=b a lg lg ,Q=)lg (lg 21
b a +,R=)2lg(b
a +
（ ） A ．R<P<Q B ．P<Q<R C ．Q<P<R D ．P<R<Q
【本课小结】
【课后作业】
1． 已知：a,b,c 为正实数.求证：bc
ac ab
a b c a b c ++≥++.
2． 设x>0,y>0,证明：31
332122)()(y x y x +>+.
3． 已知a ＞0,b ＞0,且a 2+22
b =1,求证：a 21b +≤42
3.
4． 若x 、y 是正实数,x+y=1，求证：（1+x 1）(1+y 1
)≥9.。