高等数学上知识点汇总

高等数学上 目录：第一章P1-P3

第二章P3-P6

第三章P6-P15

第四章P15-P20

第五章P20-P24

第六章P25-P27

课题组成员：高国恒、雷锦、徐礼锋、秦明鑫、李轲、王冠宇、应蕾、曾通

第一章 函数（基本概念）

1、 集合：具有某种共同属性的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素。

2、 集合的表示方法：列举法、描述法（常用）。

3、 集合的运算：并集A∪B={x∣x A 或x B}、交集A∩B={x∣x A 且x B}、差集A-B={x∣x A 且x

B}。

4、 常见数集：N-自然数集、Z-整数集、Q-有理数集、R-实数集、

C-复数集。

5、 邻域：δ>0，∣x-a ∣<δ,表示点a 的去心δ邻域。

一、 函数的概念

1、 映射：X、Y 是非空集合，若存在法则f ，使对于X 中的

每一个元素x，在Y

中有唯一的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，即y=)(x f 。映射三要素：定义域、值域、对应法则。

2、 几类重要映射：满射，单射，一一映射。

3、 函数的概念：若映射中的对应法则为数数对应，则f 为从X 到R 的函数(y R)。 涉及题目：判断函数是否为同一函数。

4、 函数的表示方法：解析法（常用），列表法、图形法。

5、 几个特殊的分段函数：符号函数y=sgnx 、取整函数

y=[x]、最值函数

y=max{F(x),G(x)},y=min{F(x),G(x)}。

6、 函数的几点特性：①有界性， ②单调性， ③奇偶性：奇函数)(x f =−)-(x f 偶函数

)(x f =)-(x f ， ④周期性。

二、 初等函数

1、 反函数：若函数f :X →)(x f 为单射，则存在新映射1

f ：)(x f →X,使任意y )(x f ，）（1

y f =x，其

中)(x f =y，称此映射1

f

为f 的反函数。

2、 反函数的性质：①y=)(x f 的单调性与其反函数的单调性一致。② y=)(x f 与其反函数的图形关于直线y=x 对称。

3、 五类基本初等函数：幂函数y=x u

(u 0),指数函数y=a x

（a>0,a≠0）,对数函数x y a

log

（a>0,a≠1）,

三角函数，反三角函数。

A∪B

A∩B

A

B

A-B

4、 常见的三角函数公式:

平方公式

1cos sin 22 x x x x 22sec tan 1 x x 22csc cot 1 降幂公式

22cos 1cos 2x

x

2

2cos 1sin 2x

x

5、 复合函数：设①f X

u f(u),y ;② g X x x g u ),(,则g X x x g f y )],([称为由

①②确定的复合函数。

6、 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合所得的函数。（一般来说：分段函数、隐函数是非初等函数，不能从参数方程中消去t 解出y 的参数方程也是非初等函数。）

7、 双曲函数与反双曲函数：双曲正弦2

x

x e e shx

,双曲余弦2

x

x e e chx

，双曲正切

x x

x x e e e e thx ，双曲余切x

x x

x e

e e e cthx 。相关等式见书(p23).。 第二章、导数与极限

一、导数的定义

1、导数的定义：设函数)(x f y

在点0x 的某邻域内有定义，若0

0)()(lim

x x x f x f x x x y

x x 0

lim 存在，

则称函数)(x f y

在点0x 处可导，称此极限为)(x f y 在点0x 处的导数。（导数是差商的极限，反

映函数的变化率）

二、数列的极限

1、有界数列与无界数列：若存在常数M>0，对任意的正整数n 都有∣x∣≤M，则称数列{x n }为有界数列，

否则为无界数列。

2、数列的单调性：若对任意正整数n 都有X N ≤X N+1则称数列{X n }为单调增加数列，若对任意正整数n 都有X N ≥X N+1则称数列{X n }为单调减少数列。

3、数列极限的定义：若对任意给定的正数ε，存在正整数N，使当n>N 时，必有∣a n -L∣<ε,则称L 是数列{a n }的极限。也称数列收敛，否则称数列发散。

4、收敛数列的性质：极限唯一性，有界性，保号性（L>0,无穷远处的a n 也大于0）。

5、子数列的三个等价命题：

①数列{a n }收敛于L。 ②数列{a n }的任一子列{a nk }都收敛于L。 ③子列{a 2n }和{a 2n-1}都收敛于L。

三、函数的极限

1、函数极限的定义：设函数)(x f 在

0x 的某个去心邻域内有点远，A 是一个常数，若

A x f x x )(时，有0当,0,00，则称当0x x 时，)(x f 以A 为

极限，记作A x f x x )(lim

。

2、单侧极限：左极限：A x f x f x x )(lim )0-(0

，右极限：A x f x f x x )(lim )0(0

。 3、左右极限与极限的关系)(lim

x f x x )(lim 0

x f x x

=)(lim 0

x f x x

=A（题目类型：证明极限是否存在）

4、函数极限的性质：唯一性（如果极限)(lim

x f x x 存在，那么极限值是唯一的）

，局部有界性（若极限)(lim 0

x f x x 存在，那么)(x f 在0x 的某个去心邻域内有界）

，局部保序性（如果，，且A>B，则在0x 的某个去心邻域内有)(x f >)(x g ），局部保号性（如果A x f x x )(lim 0

且A>0，则在0x 的某个去心邻域内使得

函数)(x f 在此邻域内与A 保持同号）。

四、无穷大与无穷小

1、无穷小：若0)(lim

x f x x 则称函数)(x f 是0x x 时的无穷小。

2、无穷小的运算性质：①有限个无穷小的和是无穷小。 ②有界函数（常数，有限个无穷小）与无穷小的乘

积是无穷小。 3、无穷大：设函数)(x f y

在点0x 的某邻域内有定义，如果对任意正数M，都存在正数δ>0，使当0<

∣x-x 0∣<δ时必有∣)(x f ∣>M 称函数)(x f 为0x x 时的无穷大，记作 )(lim 0

x f x x 。

（ )(lim

x f x x 不表示)(x f 的极限存在，仅仅表示一种趋势）

4、函数为无穷大则必定无界。

5、无穷大与无穷小的关系：在x 的某趋限过程中，①若)(x f 是无穷大，则

）

（1

x f 是无穷小。②若)(x f 是

无穷小，且)(x f 不等于0，则

）

（1

x f 是无穷大。

6、无穷大的运算性质：①有界量加无穷大还是无穷大。②无界量乘无穷大是无穷大。③有界量乘无穷大未必是无穷大。

五、极限的运算法则

1、极限的四则运算法则：设A x f x x )(lim

，B x g x x )(lim 0

，则