(完整版)随机过程题库1

随机过程综合练习题

一、填空题(每空3 分)

第一章

1．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g(t)，则

X1 X2 X n 的特征函数是。

2．E E(X Y) 。

3．X 的特征函数为g(t)，Y aX b，则Y的特征函数为。

4．条件期望E(X Y)是的函数，(是or不是)随机变量。

5．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g i(t)，则

X1 X 2 X n 的特征函数是。

6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。

第二章

7．宽平稳过程是指协方差函数只与有关。

8．在独立重复试验中，若每次试验时事件 A 发生的概率为p(0 p 1)，以X(n)记进行到n次试验为止 A 发生的次数，则｛X(n),n 0,1,2, ｝是过程。9．正交增量过程满足的条件是。10．正交增量过程的协方差函数C X (s,t) 。

第三章

11．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为；

方差函数为。

12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1， 2 ，3且均为泊松过程，它

们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。

13．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0的齐次泊松过程，

( t)n e n! 14．

15．240000 16．复合；17．

71 4

P X(t s) X(s) n

14．设{X(t), t ≥0} 是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n的数学期望

15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均 2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000 元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额。16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t) 相互独立，则在[0 ，t]内到达汽车总站的乘客总数是(复合or 非齐次)泊松过程．

17．设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过 3 人的概率是．

第四章

18．无限制随机游动各状态的周期是。

19．非周期正常返状态称为。

20．设有独立重复试验序列{X n,n 1}。以X n 1记第n次试验时事件A发生，且n

Y n X k,n 1，则{Y n,n 1}是链。

答案

一、填空题

4．Y;是5．g i(t) ；6．等价

7．时间差；8．独立增量过程；

9．E X(t2) X(t1) X(t4)X(t3)02

10．X2 (min{ s,t})

11．t; t ；12．f (t)1e

f (t)

( 1 2

3)e

(

1 2 3

t 0 0t00 t 0

n 0,1,

P{X n 1} p ，以X n 0 记第n 次试验时事件 A 不发生，且P{ X n 0} 1p ，若有

1．g n (t)；

2．EX ；3．e ibt g(at)

13．

二、

判断题

（

每题 2 分）

第

一

章

1．g i(t) (i1,2,

n）是特征函数，g i （t ）不是特征函数。

（

）

2．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。（）

3．任意随机变量均存在特征函数。（）

4．g i（t）（i 1,2, n）是特征函数，g i （t ）是特征函数。（）

5．设X1,X 2,X 3,X 4 是零均值的四维高斯分布随机变量，则有

E（X1X2X3X4） E（X1X2）E（X3X4）+E（X1X3）E（X2X4）+E（X1X4）E（X2X3）（

）

第二章

6．严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。（）

7．独立增量过程是马尔科夫过程。（）

8．维纳过程是平稳独立增量过程。（）

第三章

9．非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。（）

第四章

10．有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。（）

11．有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。（）

12．有限马尔科夫链，若有状态k 使lim p i（k n）0 ，则状态k 即为正常返的。（）

13．设i S ，若存在正整数n，使得p i（i n） 0, p i（i n 1） 0,则i非周期。（）14．有限状态空间马氏链必存在常返状态。（）

15．i 是正常返周期的充要条件是lim p i（i n ）不存在。（）

16．平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。（）

17．有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（）

18．i 是正常返周期的充要条件是lim p i（i n ）存在。（）

18．2；19．遍历状态；20．齐次马尔科夫链；

7．(10 分)—(中)设 {Z(t) X Yt, t } ，若已知二维随机变量 (X,Y)的协

19．若 i j ，则有 d i d j ( )

20．不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态． ( )

答案、判断题

X (t )的一维分布函数 F (x,1/ 2)和F(x,1)， X(t)的二维分布函数 F (x 1,x 2;1/ 2,1) 。

X(t) A Bt,t 0 ，其中 A 与 B 是相互独立的随机

变量，均服从标准正态分布，求 X (t )的一维和二维分布。

第二章

4．( 10分)—(易)设随机过程 X(t)=Vt+b ，t ∈(0,+ ∞), b 为常数， V 服从正态分布 N(0， 1)的

随机变量，求 X(t) 的均值函数和相关函数。

5．( 10分)—(易)已知随机过程 X(t)的均值函数 m x (t)和协方差函数 B x (t 1, t 2)，g(t)为普通函

数，令 Y(t)= X(t)+ g(t) ，求随机过程 Y(t)的均值函数和协方差函数。

6．(10 分)—(中)设 { X(t),t T }是实正交增量过程， T [0, ), X(0) 0, 是一服

从标准正态分布的随机变量，若对任一 t 0, X(t) 都与相互独立，求

Y(t) X(t) , t [0, )的协方差函数。

1．× 2．√ 3．√ 4． √ 5．√

6．√ 7．√ 8．√

9． ×

10．√ 11．√ 12．√ 13．√ 14．√ 15．√

16．√

17．×

18．×

19．√

20．√

三、大题

第一章

1．(10 分) —(易)设 X ~ B(n,p) ，求 X 的特征函数，并利用其求

EX 。

X(t)

cos t, 出现正面

2t, 出现反面

出现正面和反面的概率相等，求 3．( 10 分)—(易)设有随机过程

—(中)利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过

程，

2．(10 分)

8．（10 分）—（难）设有随机过程 {X （t ）,t T}和常数 a ，试以 X （t ）的相关函数表示随

机过程 Y （t ） X （t a ） X （t ）, t T 的相关函数。

第三章

9．（ 10 分）—（易）某商店每日 8 时开始营业，从 8 时到 11 时平均顾客到达率线性增

加．在 8 时顾客平均到达率为 5 人/时，11 时到达率达到最高峰 20 人/时，从 11 时到 13 时，平均顾客到达率维持不变，为 20 人/时，从 13时到 17时，顾客到达率线性下降，到 17 时顾客到达率为 12 人 /时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在

8：

30— 9：30 间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少? 10．（ 15 分）—（难）设到达某商店的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的

概率为 p ，且与其它顾客是否购买商品无关，求（ 0， t ）内无人购买商品的概率。

11．（15分）—（难）设 X 1（t ）和 X 2 （t ）是分别具有参数 1和 2的相互独立的泊松过程，证

明： Y （t ）是具有参数 1 2的泊松过程。

12．（10分）—（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有 2 户定居．即

2 。如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为 1/6，一户三人的概率为 1/3，一

户两人的概率为 1/3，一户一人的概率为 1/6 ，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。

13．（ 10分）—（难）在时间 t 内向电话总机呼叫 k 次的概率为 p t （k ） e , k 0,1,2, ，

其中 0 为常数．如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间 2t 内呼叫 n 次的概率 P 2t （n ）

14．（ 10 分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有 30 人到达，

求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过 2 min

15．（15 分）—（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为 10000个．每

个流星能以陨石落于地面的概率为 0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数 W 的 EW 、varW 和 P{W ≥2} ．

16．（ 10 分）—（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程．设率为 0.2，求 2min 内有多于一辆车通过的概率。

方差矩阵为

，求 Z （t ）的协方差函数。

1min 内没有车辆通过的概

17．（10 分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30 人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于 4 min

18．（15 分）—（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为 6 的泊松过程，订阅1年、2 年

或3年的概率分别为1／2、l／3和1／6，且相互独立．设订一年时，可得1元手续费；订

两年时，可得 2 元手续费；订三年时，可得 3 元手续费. 以X（t）记在[0，t]内得到的总手续费，求EX（t）与var X（t）

19．（10分）—（易）设顾客到达商场的速率为2个／min，求（1）在5 min内到达顾客数

的平均值；（2）在5min 内到达顾客数的方差；（3）在5min 内至少有一个顾客到达的概率．

20．（10 分）—（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均 2.5 年需要维修一次，

后 5 年平均 2 年需维修一次，求在使用期限内只维修过 1 次的概率．

21．（15 分）—（难）设X（t）和Y（t）（t ≥0）是强度分别为X 和Y 的泊松过程，证明：在X（t）的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y（t）恰好有k 个事件发生的概率为

p。

X Y X Y

第四章

22．（10 分）—（中）已知随机游动的转移概率矩阵为

0.5 0.5 0

P 0 0.5 0.5

0.5 0 0.5

求三步转移概率矩阵P（3）及当初始分布为

P{X 0 1} P{X0 2} 0, P{X 0 3} 1

时，经三步转移后处于状态 3 的概率。

23．（15 分）—（难）将 2 个红球 4 个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放

3 个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中（甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中），以X（n）表示经过n次交换后甲盒中红球数，则{X（n），n≥0}为齐次马尔可夫链，求（1）一步转移概率矩阵；（ 2 ）证明：{X（n），n≥0}是遍历链；（3）求l n im P ij（n）, j 0,1,2 。

24．（10 分）—（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：

0.80.10.1

P T (0) (0.4,0.2,0.4)P 0.10.70.2

0.20.20.6

求下一、二个月的销售状态分布。

25．（ 15 分）—

（难）设马尔可夫链的状态空间

I ＝{1， 2，?，

7} ，转移概率矩阵为

0.4 0.2 0.1

0 0.1 0.1 0.1

0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1

0 0.6 0.4 0 0 0

0 0.4 0 0.6 0 0

0 0.2 0.5 0.3

0 0

0 0 0 0 0.3 0.7

0 0.8 0.2

求状态的分类及各常返闭集的平稳分

布。

26．（15分）—（难）设河流每天的 BOD （生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间

I={1 ， 2，3，4} 是按 BOD 浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵（以一

天为单位）为

27．（ 10

分）—

（易）设马尔可夫链的状态空间

I ＝{0，

1，2， 3} ，转移概率矩阵为 1/2 1/2

0 0

1/2 1/2 0

1/4 1/4 1/4 1/ 4

求状态空间的分解。

28．（ 15

分）—

（难）

设马尔可夫链的状态空间为

I ＝

｛1 ，2，3，4}．转移概率矩阵为

1 0 0 0

0 0

1/3 2/3 0 0

1/4 1 / 4 0 1/2

讨论 lim p i (1n ) n

29．（ 10 分）—（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为

1/ 2 1/ 2 0 P 1/ 2 0 1/ 2 0 1/ 2 1/ 2

0.5 0.4 0.1

0.2 0.5 0.2 0.1 0.1 0.2 0.6 0.1 0 0.2 0.4 0.4

若 BOD 浓度为高，则称河流处于污染状态。

（3）河流再次达到污染的平均时间。（1）证明该链是遍历链；（2）求该链的平稳分布；

求其平稳分布。

30．（15 分）—（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p，乙胜的概率是q，和局的概率为r，且p+q+r=1 ．设每局比赛胜者记 1 分，负者记一1分．和局记零分。当有一人获得2分时比赛结束．以X n表示比赛至n 局时甲获得的分数，则{X n,n 1}是齐次马尔可夫链．

（1）写出状态空间I；（2）求出二步转移概率矩阵；

（3）求甲已获 1 分时，再赛两局可以结束比赛的概率．

31．（10 分）—（中）（天气预报问题）设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关．又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为，规

定有雨天气为状态0 ，无雨天气为状态l 。因此问题是两个状态的马尔可夫链．设

0.7, 0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率．

32．（10分）—（中）设{X n,n 1} 是一个马尔可夫链，其状态空间I={a ，b，c}，转移概率矩阵为

2）P{X n 2 c| X n b}

矩阵为

1/3 1/3

0 1/2

试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。

答案

三、大题

1．解：引入随机变量X i 1,2

q p

itX i it 0it 1 it

i （t） Ee itX i eq e p pe

n ????????????（ 1 分）

q ??????????（ 3 分）

33．（15 分）—（难）设马尔可夫链{X n ,n0} 的状态空

间I＝{1 ，2，?，6} ，转移概率

求（1）P{X1 b,X2 c, X3

1/21/41/4

P2/301/3

3/52/50

a, X 6 c, X 7b| X0 c}

1000

0001

0010 0 1/3 0 0

0000

0 0 0 1/ 2

a, X 4 c, X 5

3．解：对于任意固定的 t ∈ T ， X(t) 是正态随机变量，

故

(0) iEX

10 分)

2．解：依题意知硬币出现正反面的概率均为 1/2

P X(12) 1

??????????( 3 分)

1 P X(1)

2 2

??????????( 5 分)

or x 1 1and 1 x 2 2 1

x 1 1and x 2 2

X X i ~ B(n,p) i1

4 分)

it ( X i )

(t) Ee

itX

Ee i 1

Ee itX i

(pe

6 分) i1

P X( ) 2 0, X(1) 1 1 P X( )

0, X(1) 2

1 P X( )

2 1, X(1)

1 P X ( )

2 1,

1 X (1)

2 4

t=1/2 ，t=1 时的联合分布列为

8 分)

EX i (0) i (pe it q)n t0

it n 1 it

i n(pe q) pe i t 0 np

11 F( ; x) x 0 其分布函数

为

0 x1 22

1 x 1

同理，当 t=1

时Ｘ (1)的分布列

为

P X(1)

x 1 其分布函数

为

1 F(1; x) 1

2 1

1 x2

x 2

x 1 0 or x 2 1 1

F( ,1; x 1,x 2) 1/ 4 0 x 1 1 and 1 x 2 2 1/ 2 0 x 1 1 and x 2 2

10 分)

1) 当 t=1/2 时， X (1/2)的分布列为 P X(1) 0 2

2) 由于在不同时刻投币是相互独立的，故在

故联合分布函数为

10 分)

E[ X(t)] E(A) E(B)t 0 D[X(t)] D(A) D(B)t 2 1 t 2

所以 X (t )服从正态分布 N(0,1 t 2)

?????????? (3 分)

其次任意固定的 t 1,t 2 T, X (t 1) A Bt 1, X(t 2) A Bt 2

则依 n 维正态随机向量的性质， X(t 1), X(t 2) 服从二维正态分布，且

E[X (t 1)] E[X(t 2)] 0 D[X(t 1)] 1 t 12

D[X (t 2)] 1 t 22

E V 2t 1t 2 V (t 1 t 2)b b 2 t 1t 2 b 2 ??????( 10分) 5．解： m Y (t) EY(t)

E[X(t) g(t)] m X (t) g(t)

??????????????????( 4 分) B Y (t 1,t 2) R Y (t 1,t 2)

m Y (t 1)m Y (t 2)

EY (t 1)Y(t 2) m Y (t 1)m Y (t 2)

E[X(t 1) g(t 1)][ X(t 2) g(t 2)] [m X (t 1) g(t 1)][m X (t 2) g(t 2)] R X (t 1,t 2) m X (t 1)m X (t 2) B X

(t 1,t 2)

6．解：因为 {X(t),t T} 是实正交增量过程，故 E[X(t)] 0

8 分)

所以二维分布是数学期望向量为 (0， 1 t 12 0)，协方差为 1 t1

1 t 1t 2

4．解： X (t) Vt

b ，V ~N (0,1)，故 X(t) 服从正态分

布，

E X (t)

E Vt b tEV bb D X (t)

D Vt b

t 2 DV

t 2

t 1t 22

的二维正态分布。 t

10 分)

4 分)