不等关系与不等式(教案)
第三章不等式
课题: §3.1不等式与不等关系
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理
解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的
方法；
3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理
解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】
用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】
1.课题导入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，
三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与
小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不
等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课
1）用不等式表示不等关系
引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，
写成不等式就是：
40v
引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p
应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
2.5%2.3%fp
问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则||dAB。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提
高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等
式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为2.5(80.2)0.1xx 万元，那么不等关系
“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
2.5(80.2)200.1xx
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，
600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关
系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
5006004000;3;0;0.xyxyxy
3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
2、课本P82的练习1、2
4.课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第4、5题
【板书设计】
【授后记】
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的
方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若abacbc
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若,0abcacbc
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若,0abcacbc
2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？
证明：
1）∵(a＋c)－(b＋c)
＝a－b＞0，
∴a＋c＞b＋c
2）()()0acbcabQ，
∴acbc．
实际上，我们还有,abbcac，（证明：∵a＞b，b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得
(a－b)＋(b－c)＞0，
即a－c＞0，
∴a＞c．
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）,abbcac
（2）abacbc
（3）,0abcacbc
（4）,0abcacbc
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）,abcdacbd；
（2）0,0abcdacbd；
（3）0,,1;nnnnabnNnabab。
证明：
1）∵a＞b，
∴a＋c＞b＋
c． ①
∵c＞d，
∴b＋c＞b＋
d． ②
由①、②得 a＋c＞b＋d．
2）bdacbdbcbdcbcaccba0,0,
3）反证法）假设nnba，
则：若nnnnabababab这都与ba矛盾，
∴nnba．
[范例讲解]：
例1、已知0,0,abc求证
ccab。
证明：以为0ab，所以ab>0,10ab。
于是 11ababab，即11ba
由c<0 ，得ccab
3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（3＋2）2 ６＋26；
（2）（3－2）2 （6－1）2；
（3）251 561；
(4)当a＞b＞0时，log21a log21b
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
[补充例题]
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，
合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关
紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化
为实数运算符号问题。
解：由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
随堂练习2
1、 比较大小：
（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2
（2）2256259xxxx与
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比
较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
【板书设计】
人教A版高中数学必修课件：不等式与不等关系
推论 :
a c
b d
a
c bd (同向不等式的可加性)
性质4 : (乘法的单调性) a b,c 0 ac bc
推论1 :
(同向不等式的可乘性)
a b 0 c d 0 ac bd
推论2 : a b 0 an bn (n N*, n 2)
a b 0 n a n b(n N *, n 2)
(本小题满分10分)已知二次函数y＝f(x)图象过原点， 且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0. ∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0， 即bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
(可乘方性、可开方性)
例１:已知a>b>0,c<0,求证
c a
c b
例2.(1)如果a b 0, 那么 1 1 ab
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，
试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
变式. 已知a，b，m，n∈R＋，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 证明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm) ＝(am＋n－ambn)＋(bm＋n－anbm)＝(am－bm)(an－bn)． ∵幂函数f(x)＝xm，g(x)＝xn在x∈R＋上是增函数，由对
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案一. 教材分析《不等关系》是北师大版数学八年级下册第2.1节的内容，主要介绍不等式的概念和基本性质。
这一节内容是学生学习不等式的重要基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了有理数、方程等基础知识，对于数学符号和运算有一定的了解。
但他们对不等式的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解不等式的概念和基本性质。
2.学会用不等式表示实际问题中的不等关系。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.不等式的概念和基本性质。
2.如何用不等式表示实际问题中的不等关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生通过观察、思考、讨论和操作，自主探索不等式的概念和性质，提高学生的参与度和实践能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例和练习题3.小组讨论材料七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题中的不等关系，如身高、体重、温度等，引导学生思考如何用数学符号表示这些不等关系。
2.呈现（10分钟）介绍不等式的概念和基本性质，通过示例和讲解，让学生理解不等式的含义和运用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一些实际问题，尝试用不等式表示不等关系，并互相交流分享。
4.巩固（10分钟）针对每组的问题，选取几个进行讲解和分析，引导学生正确理解和运用不等式。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些不等式相关的应用题，提高学生解决实际问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调不等式的概念和性质，提醒学生注意运用时的细节。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关不等式的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
8.板书（课后整理）总结本节课的主要内容和知识点，方便学生复习和回顾。
教学过程每个环节所用的时间如上所示，供您参考。
高中数学：《不等关系与不等式》课件(新必修5)
课堂练习： P68/1、2
作业：P68/3
我们欣赏数学，我们需要数学 学生活动1
画出一次函数 y 2x 3 的图象
解方程 2x 3 0 解不等式 2x 3 0
学生活动2
问题（1）某博物馆的门票每位10 元，20人以上（含20人）的团体票8 折优惠，那么不足20人时，应该选 择怎样的购票策略？
特殊化： 探讨1、若有10人，购10张票花多少钱？购 20张票呢？
维生素A 维生素B
成本
（单位/kg） （单位/kg） （元/kg)
X
300
700
5
Y
500
100
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
Z
300
300
3
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品， 要使混合食品中至少含35000单位的维生素A 及40000单位的维生素B，设X，Y这两种食
物各取 kg、 kg，x 那么 y、 应满x足什y
么关系？
分析：
食物Z取多少kg?
食物X、Y、Z分别含维生素A、维生素B各多 少单位?
限制条件是什么？
学生讨论解决：（只要求列出式子）
食物Z有 (100 x y) kg
300x 500y 300(100 x y) 35000 700x 100 y 300(100 x y) 40000
探讨1、若以每本2元发行，销售收入为多少 万元？
探讨2、若以每本2.2元发行，发行量为多少？ 销售收入为多少万元？ 探讨3、若以每本3元发行，发行量为多 少 ？销售收入为多少万元？
探讨4、若以每本提高 x元发行，发行量
为多少？销售收入为多少万元？
学生活动4
问题（3）下表给出了X、Y、Z三种食物的 维生素的含量及成本：
第1讲 不等关系与不等式 课件(共63张PPT)
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是 否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析 答案
角度 2 作商法 例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析 答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.
不等式教案
不等式教案不等式教案第1篇（一）复习提问：三角形的三边关系？（二）列一元一次不等式组问题：现有两根木条a和b，a长10cm，b长3cm.如果要再找一根木条c，用这三根木条钉成一个三角形木框，那么对木条c的长度有什么要求？注：这个问题是本节的引入问题，三角形木框的形状不唯一确定，只要能成为三角形即可.探究：用三根长度分别为14cm，9cm，6cm的木条c1，c2，c3分别试试，其中哪根木条能与木条a和b一起钉成三角形木框？可以发现，当木条a和b的长度确定后，木条c太长或太短，都不能与a和b一起钉成三角形.由于“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，设木条c长xcm，则x必须同时满足不等式x10＋3①和x10－3②注：木条c必须同时满足两个条件，即ca＋b，ca－b.类似于方程组，把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组记作注：这里并未正式给一元一次不等式组下定义，只是说这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.实际上，两个或更多的一元一次不等式组合起来，都组成一个一元一次不等式组.（三）一元一次不等式组的解集类比方程组的解，怎样确定不等式组中x的可取值的范围呢？不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中x可以取值的范围.注：这里还未正式出现不等式组的解集的概念，但已点出各不等式的解集的公共部分即不等式组中未知数的可取值范围.由不等式①解得x13.由不等式②解得x7.从图9.3—2容易看出，x可以取值的范围为713.注：利用数轴可以直观形象地认识公共部分.这个公共部分是两端有界的开区间.这就是说，当木条c比7cm长并且比13cm短时，它能与木条a和b一起钉成三角形木框.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.解不等式组就是求它的解集.注：这里正式给出不等式组的解集以及解不等式组的定义13.注：利用数轴可以直观形象地认识公共部分.这个公共部分是两端有界的开区间.这就是说，当木条c比7cm长并且比13cm 短时，它能与木条a和b一起钉成三角形木框.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.解不等式组就是求它的解集.注：这里正式给出不等式组的解集以及解不等式组的定义。
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
3.1不等式与不等关系(第二课时)
则2x+3y=(m+n)x+(m-n)y
5 m+n = 2 m = 2 即 m − n = 3 得 n = − 1 2 5 1 ∴2x+3y= (x+y)+(- )(x-y) 2 2
待定系数法
Q −1 ≤ x + y ≤ 2, 2 ≤ x − y ≤ 4 5 5 ∴− ≤ (x+y) ≤ 5 2 2 1 -2 ≤ - (x-y) ≤ -1 2 9 5 1 ∴− ≤ (x+y)+(- )(x-y) ≤ 4 2 2 2
复习回顾 1.了解不等式（组）的实际背景，会用 了解不等式（ 了解不等式 的实际背景， 不等式表示不等关系。 不等式表示不等关系。 2. 掌握大小比较的原理，学会大小比较 掌握大小比较的原理， 的方法。 的方法。
作差法的步骤
作差 变形 定号 结论
3.1
不等关系与不等式(第二课时) 不等关系与不等式(第二课时)
e e 已知：a > b > 0, c < d < 0, e < 0 求证： > a−c b−d 解： e e e(Q− d< − e<a0 c) e[(b − a ) + (c − d )] b c )d ( − − = = a−c b−d (a c )( − d ) (a − c)(b − d ) ∴−− c> b − d> 0
题型四. 题型四.利用不等式的性质求取值范围 a 例4 已知1 < a < 4, 2 < b < 8, 试求a - b与 的取值范围 b
解：Q 2 < b < 8
jiang_不等关系与不等式_ppt
理论迁移
例3
已知
12<a<60,15<b<36，求
a－b
及a的取值范围． b
解 ∵15<b<36， ∴－36<－b<－15. ∴12－36<a－b<60－15， ∴－24<a－b<45. 又316<1b<115，∴1326<ab<6105，∴13<ab<4.
∴－24<a－b<45，1<a<4. 3b
减少 x 2.5 0.2万本
0.1
数学应用
1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售 量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价 设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低 于20万元呢？
解：设每本杂志价格为x元，根据题意，
得
x(8 x 2.5 0.2) 20
那么ac bc.
(乘法法则)
自主学习 课本73~74页内容
(5)如果a b, c d, 那么a c b d. (同向不等式相加) (推论)如果a b, c d, 那么a c b d.
(6)如果a b 0, c d 0, 那么ac bd. (乘法法则)
分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根.
根据题意，应有如下的不等关系：
⑴解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm；
⑵截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍；
⑶解得两钟钢管的数量都不能为负。
500x 600 y ≤ 4000
由以上不等关系，可得不等式组： 3x ≥ y
第七章第1讲不等关系与不等式
第1讲 不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b <0⇔a <b (a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b<1⇔a <b (a ∈R ，b >0).2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； (5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0n ∈N *，n ≥2)．1．不等式中的倒数性质(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ；(2)a <0<b ⇒1a <1b；(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd；(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.2．指数分解性质若a >0，b >0，m 、n ∈N *，则a m ＋n ＋b m ＋n ≥a m bn ＋a n b m .1．(必修5 P 74例1改编)若a <b <0，则下列不等式不成立的是( )A.1a －b >1aB.1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2 解析：选A.由a <b <0，可用特殊值法，取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立．2．(必修5 P 75B 组T 1(2)改编)设A ＝(x －3)2，B ＝(x －2)(x －4)，则A 与B 的大小为( ) A ．A ≥B B ．A >B C ．A ≤B D ．A <B解析：选B.A －B ＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1>0， ∴A >B .故选B.3．(必修5 P 74练习T 3(1)改编)若a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．ac 2>bc 2B.c 2a <c 2bC ．ac 2≥bc 2D.c 2a ≤c 2b解析：选C.当c ＝0时，A 、B 错误；当a >0，b <0时，D 错误，故选C.4．(必修5 P 75B 组T 1(4)改编)若x 2＋y 2≤2(x ＋y －1)，则x ，y 满足的条件是( ) A ．x 、y ∈R B ．x ≥1且y ≥1 C ．x ≤1且y ≤1 D ．x ＝1且y ＝1解析：选D.∵x 2＋y 2－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋1 ＝(x －1)2＋(y －1)2≥0，当且仅当x ＝1且y ＝1时，取等号， 即x 2＋y 2≥2(x ＋y －1)． 又∵x 2＋y 2≤2(x ＋y －1)， ∴x 2＋y 2＝2(x ＋y －1)． ∴x ＝1且y ＝1，故选D.5．(必修5 P 75A组T 2(2)改编)求证2＋3>3.证明：∵(2＋3)2－32＝26－4＝24－16>0， ∴2＋3>3.用不等式(组)表示不等关系某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．[解] 设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y ，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .体积、面积、长度、重量、时间等均为非负实数．某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元，90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.利用不等式的性质判断不等关系若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d <b c C.a c >b d D.a c <b d [解析] 法一：因为c <d <0，所以－c >－d >0，所以1－d >1－c>0.又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以a d <bc .故选B.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒cd >0 c <d <0⇒c cd <dcd<0⇒1d <1c<0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d >－1c >0 a >b >0⇒－a d >－b c ⇒a d <b c .法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，bd＝－1，排除选项C ，D ； 又∵－32<－23，排除A.故选B.[答案] B判断多个不等式是否成立的常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．1．若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C.因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2，显然②④不成立，排除A 、B 、D.2．下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则 a >bC ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则 a －c >b －d解析：选C.A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B ：当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，B 错误；∵a c 2<bc2，∴c ≠0，又c 2>0， ∴a <b ，C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C. 3．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.(a －b )·a 2<0， 则必有a －b <0，即a <b ； 而a <b 时，(a －b )·a 2≤0不能推出(a －b )·a 2<0， 所以“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件．两个数的大小比较已知a >0，b >0，求证a 2b ＋b 2a≥a ＋b .[证明] ∵a 2b ＋b2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )ab ＝(a －b )(a 2－b 2)ab＝(a －b )2(a ＋b )ab.又∵a >0，b >0，∴(a －b )2(a ＋b )ab≥0，故a 2b ＋b 2a≥a ＋b .(1)两个数的大小比较的常用方法——作差法，其步骤为： ①作差；②变形；③判号；④结论． (2)比较大小常用结论：a 2≥0，(a －b )2≥0，|a |≥0，a ≥0；(3)直接比较两个数的大小较困难时，可比较其等价转化式．1．设a >b >0，m >0.试比较b a 与b ＋ma ＋m的大小．解：∵b a －b ＋m a ＋m ＝(b －a )m a (a ＋m )，a >b >0，m >0.∴a (a ＋m )>0，(b －a )m <0. ∴(b －a )m a (a ＋m )<0，即b a －b ＋m a ＋m <0，∴b a <b ＋m a ＋m .2．已知a ≠1，且a ∈R ，试比较11－a与1＋a 的大小．解：∵11－a －(1＋a )＝a 21－a，①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a .②当a <1且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a >1＋a .③当a >1时，a 21－a <0，∴11－a<1＋a .一、选择题1．(必修5 P 74练习T 3改编)若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D.由于1a <1b<0，不妨令a ＝－1，b ＝－2，可得a 2<b 2，A 正确；ab ＝2，b 2＝4，B 正确； a ＋b ＝－3<0，C 正确；|a |＋|b |＝3，|a ＋b |＝3，|a |＋|b |＝|a ＋b |， D 不正确．2．(必修5 P 75B 组T 1(1)改编)设m ＝(x ＋2)(x ＋3)，n ＝2x 2＋5x ＋9，则m 与n 的大小关系为( )A ．m >nB ．m <nC ．m ≥nD ．m ≤n 解析：选B.m －n ＝x 2＋5x ＋6－(2x 2＋5x ＋9) ＝－x 2－3<0，∴m <n .故选B.3．(必修5 P 75A 组T 3改编)当x ≥－1时，设A ＝1＋x ，B ＝1＋x2，则 A 、B 的大小关系为( )A ．A ≥B B ．A >BC ．A ≤BD ．A <B解析：选C.∵x ≥－1.∴1＋x ≥0,1＋x2>0.∴A 2－B 2＝(1＋x )2－⎝⎛⎭⎫1＋x 22 ＝1＋x －⎝⎛⎭⎫1＋x ＋x 24＝－x 24≤0.∴A 2≤B 2，由于A ≥0，B ≥0，∴A ≤B ，故选C. 二、填空题4．(必修5 P 74练习T 3(2)改编)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)． ∵a 1<a 2，b 1<b 2，∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0. 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 15．(必修5 P 75B 组T 1(3)改编)已知实数x ，y 满足条件－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的最大值与最小值的和为________．解析：设z ＝2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )＝(a ＋b )x ＋(a －b )y ，∴a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得a ＝－12，b ＝52.由－1≤x ＋y ≤4,2≤x －y ≤3，可得－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152，3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，即2x －3y ∈[3,8]．∴z ＝2x －3y 的最大值与最小值之和为11. 答案：11 三、解答题6．(必修5 P 75A 组T 2(2)改编)设a >0，求证：a ＋a ＋3<a ＋1＋a ＋2.证明：∵a >0，∴()a ＋a ＋32－()a ＋1＋a ＋22 ＝2a ＋3＋2a 2＋3a －(2a ＋3＋2a 2＋3a ＋2)＝2(a 2＋3a －a 2＋3a ＋2)， 因为0<a 2＋3a <a 2＋3a ＋2， 则有a 2＋3a <a 2＋3a ＋2.∴(a ＋a ＋3)2<(a ＋1＋a ＋2)2， 即a ＋a ＋3<a ＋1＋a ＋2.一、选择题1．设a 、b 、c ∈R ，且a >b ，则( )A ．ac >bcB.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3[导学号03350479] 解析：选D.A 项，c ≤0时，由a >b 不能得到ac >bc ，故不正确； B 项，当a >0，b <0(如a ＝1，b ＝－2)时，由a >b 不能得到1a <1b，故不正确；C 项，由a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )及a >b 可知当a ＋b <0时(如a ＝－2，b ＝－3或a ＝2，b ＝－3)不能得到a 2>b 2，故不正确；D 项，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·[(a ＋b 2)2＋34b 2]，因为(a ＋b 2)2＋34b 2 >0，所以可由a >b 知a 3－b 3>0，即a 3>b 3，故正确．2．若x ＋y >0，a <0，ax >0，且m ＝y －x ，则( ) A ．m >0 B ．m <0 C ．m ≥0 D ．m ≤0[导学号03350480] 解析：选A.由a <0，ax >0，得x <0，又x ＋y >0，所以y >0，故y －x >0.故选A.3．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[导学号03350481] 解析：选A.由a －b >0得a >b ≥0， 则a 2>b 2⇒a 2－b 2>0；由a 2－b 2>0得a 2>b 2，可得a >b ≥0或a <b ≤0等，所以“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的充分不必要条件，故选A.4．已知a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB ．a ＋1a >b ＋1bC.b a >b ＋1a ＋1 D ．b －1b >a －1a[导学号03350482] 解析：选A.取a ＝2，b ＝12，排除B ；取a ＝2，b ＝1，排除D ；⎝⎛⎭⎫a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1a ＝(a －b )＋⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a －b )＋a －b ab ＝(a －b )(ab ＋1)ab，因为a >b >0，所以a －b >0，ab >0，ab ＋1>0，故(a －b )(ab ＋1)ab >0，即a ＋1b >b ＋1a，所以A 正确；b a －b ＋1a ＋1＝b (a ＋1)－a (b ＋1)a (a ＋1)＝b －a a (a ＋1)<0，C 错误，故选A. 5．对于实数a ，b ，c ，d ，若a >b ，c >d ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a －c >b －d B ．a －d >b －cC ．ac >bd D.a d <bc[导学号03350483] 解析：选B.由不等式的性质可知，两个同向不等式不能作差，如3>2,1>－5，但3－1＝2，而2－(－5)＝7，显然2>7不成立，故A 错误；由c >d 得，－d >－c ，又a >b ，故根据不等式的性质可得，a －d >b －c ，故B 正确；因为a ，b ，c ，d 的符号不确定，所以两个同向不等式不能相乘，如1>－2，－1>－3，而1×(－1)＝－1，－2×(－3)＝6，显然－1>6不成立，故C 错误；2>1，－1>－2，而2－2＝－1，1－1＝－1，显然a d <bc 不成立，故D 错误，故选B.6．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b <a b ＋c <bc ＋a，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a[导学号03350484] 解析：选A.由c a ＋b <a b ＋c <b c ＋a ，可得c a ＋b ＋1<a b ＋c ＋1<bc ＋a＋1，即a ＋b ＋c a ＋b <a ＋b ＋c b ＋c <a ＋b ＋c c ＋a ，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b >b ＋c >c ＋a . 由a ＋b >b ＋c 可得a >c ； 由b ＋c >c ＋a 可得b >a ， 于是有c <a <b .故选A.7．设M ＝a ＋1＋a ，N ＝a ＋2＋a －2，则M 与N 的大小关系为( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N[导学号03350485] 解析：选A.M 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，N 2＝2a ＋2a 2－4，又a ≥2，显然M 2>N 2，故M >N .8．甲、乙两人同时从A 地到B 地，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步．如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到B 地 B ．乙先到B 地C ．两人同时到B 地D ．谁先到B 地无法确定[导学号03350486] 解析：选B.设甲从A 地到B 地所用时间为t 1，乙从A 地到B 地所用时间为t 2，步行速度为a ，跑步速度为b ，A 地到B 地的距离为s ，则t 1＝s 2a ＋s2b ＝s (a ＋b )2ab，t 2＝2s a ＋b ，所以t 1－t 2＝s (a ＋b )2ab －2sa ＋b ＝s (a －b )22ab (a ＋b )>0，故t 1>t 2，即乙先到B 地，故选B.9．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[导学号03350487] 解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，y ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2≥4，y 2≥4，则x 2＋y 2≥8，满足x 2＋y 2≥4；取x ＝－2，y ＝0，满足x 2＋y 2≥4， 但－2<2且0<2，故“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件，故选A.10．已知a ，b ，c 是任意的实数，且a >b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．(a ＋c )4>(b ＋c )4 B ．ac <bcC ．lg|b ＋c |<lg|a ＋c |D ．(a ＋c )13>(b ＋c )13[导学号03350488] 解析：选D.当a >b ，a ＋c 与b ＋c 为负数，即0>a ＋c >b ＋c 时， 得0<－(a ＋c )<－(b ＋c )．∴0<[－(a ＋c )]4<[－(b ＋c )]4，A 不恒成立； 当c ＝0时，ac ＝bc ，B 不恒成立； 当a >b 时，a ＋c >b ＋c ， 但若a ＋c ，b ＋c 均为负数，则|a ＋c |<|b ＋c |，即lg|a ＋c |<lg|b ＋c |，C 不恒成立，故选D. 二、填空题11．a ，b ∈R ，a <b 和1a <1b同时成立的条件是________．[导学号03350489] 解析：若ab <0，由a <b 两边同除以ab 得，1b >1a ，即1a <1b；若ab >0，则1a >1b .∴a <b 和1a <1b同时成立的条件是a <0<b .答案：a <0<b12．设a >b ，有下列不等式①a c 2>b c 2；②1a <1b；③|a |>|b |；④a |c |≥b |c |，则一定成立的有________．(填正确序号)[导学号03350490] 解析：对于①，1c2>0，故①成立；对于②，a >0，b <0时不成立；对于③，取a ＝1，b ＝－2时不成立； 对于④，|c |≥0，故④成立． 答案：①④13．设a >b >0，m ≠－a ，则b ＋m a ＋m >ba时，m 满足的条件是________．[导学号03350491] 解析：由b ＋m a ＋m >b a 得(a －b )m a (a ＋m )>0，因为a >b >0，所以mm ＋a>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ m >0m ＋a >0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋a <0， ∴m >0或m <－a .即m 满足的条件是m >0或m <－a . 答案：m >0或m <－a14．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．[导学号03350492] 解析：由－12<a <0，不妨取a ＝－14，这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45.由此猜测：C >A >B >D .C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122＋341＋a.∵1＋a >0，－a >0，⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34>0， ∴C >A .∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0，∴A >B .B －D ＝1－a 2－11－a＝a (a 2－a －1)1－a ＝a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －122－541－a .∵－12<a <0，∴1－a >0.又∵⎝⎛⎭⎫a －122－54<⎝⎛⎭⎫－12－122－54<0，∴B >D . 综上所述，C >A >B >D . 答案：C >A >B >D 三、解答题15．已知12<a <60,15<b <36，求a －b ，ab的取值范围．[导学号03350493] 解：因为15<b <36，所以－36<－b <－15. 又12<a <60，所以12－36<a －b <60－15，所以－24<a －b <45，即a －b 的取值范围是(－24,45)．因为136<1b <115，所以1236<a b <6015，所以13<a b <4，即ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4. 16．已知f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，试比较 f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22与12[f (x 1)＋f (x 2)]的大小．[导学号03350494] 解：∵f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，∴f ⎝⎛⎫x 1＋x 22－12[f (x 1)＋f (x 2)] ＝a x 1＋x 22－12(ax 1＋ax 2)＝－12[(a x 12)2＋(a x 22)2－2a x 1＋x 22]＝－12⎝⎛⎭⎫a x 12－a x 222≤0，即f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－12[f (x 1)＋f (x 2)]≤0. 当且仅当a x 12－a x 22＝0时，即x 1＝x 2时，取“＝”．所以f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]．。
高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 3 平均值不等式教学案 5数学教学案
§3平均值不等式[对应学生用书P12][自主学习]1．定理1对任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”号． 2．定理2(两个正数的平均值不等式) 对任意两个正数a ，b ，有a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”号．我们称a ＋b2为正数a 与b 的算术平均值，ab 为正数a 与b 的几何平均值；因此定理2又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．3．定理3对任意三个正数a ，b ，c ，有a 3＋b 3＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号． 4．定理4(三个正数的平均值不等式) 对任意三个正数a ，b ，c ，有a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号．这个定理可以叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值． 5．定理2,4的推广一般地，对n 个正数a 1，a 2，…，a n (n ≥2)，数值a 1＋a 2＋…＋a n n，na 1a 2…a n ，分别称为这n 个正数的算术平均值与几何平均值．且有：a 1＋a 2＋…＋a n n≥ na 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，取“＝”号，即n 个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．[合作探究]1．如何利用求差法证明定理2? 提示：因为a ＋b2－ab ＝a －b22≥0，所以a ＋b2≥ab .2．由定理1与定理2能得到以下结论吗？(1)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(2)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．提示：可以．3．利用定理2,4求最值需满足什么条件？ 提示：“一正二定三相等”．[对应学生用书P13]用平均值不等式证明不等式[例1] (1)444222222(2)设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .[思路点拨] 本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力．解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明．[精解详析] (1)a 4＋b 4≥2a 2b 2， 同理a 4＋c 4≥2a 2c 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2， 将以上三个不等式相加得：a 4＋b 4＋a 4＋c 4＋b 4＋c 4≥2a 2b 2＋2a 2c 2＋2b 2c 2，即：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋a 2c 2＋b 2c 2. (2)∵当a ＞0，b ＞0时，a ＋b ≥2ab ， ∴bc a ＋acb≥2 bc a ·acb＝2c . 同理：bc a ＋ab c≥2bc a ·abc＝2b ， ac b ＋ab c ≥2ac b ·abc＝2a . 将以上三个不等式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a＋ac b＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，∴bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c . 平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点．但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致．若将本例(1)中a ，b ，c ∈R ，变为a ，b ，c ∈R ＋， 求证：a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca . 证明：∵a ，b ，c 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca . 由上面三式相加可得(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .1．已知实数a ，b ，c ，d 满足a >b >c >d ，求证： 1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d . 证明：因为a >b >c >d ， 所以a －b >0，b －c >0，c －d >0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d [(a －b )＋(b －c )＋(c －d )]≥331a －b ·1b －c ·1c －d×33a －b b －c c －d ＝9.即1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 利用平均值不等式求最值[例2] (1)已知x >0，y >0，且x ＋y＝1，求x ＋y 的最小值．(2)求函数y ＝x 2(1－5x )⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤15的最大值．[思路点拨] 本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的能力．解答此题(1)可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用平均值不等式求得和的最小值；而解答题(2)需要将两项积x 2(1－5x )改变成三项积52x ·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x ，再对它使用平均值不等式，即可获得所求．[精解详析] (1)法一：∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16.当且仅当y x＝9x y，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 法二：由1x ＋9y＝1得(x －1)(y －9)＝9(定值)，可知x >1，y >9，而x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2x －1y －9＋10＝16.所以当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. (2)y ＝52x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x ＝52x ·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x ， ∵0≤x ≤15，∴25－2x ≥0.∴y ≤52⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－2x 33＝4675. 当且仅当x ＝x ＝25－2x ，即x ＝215时，y max ＝4675.利用平均值不等式求最值，一般按以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取“－1”变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．切记利用平均值不等式求最值时的三个条件：“一正二定三相等”必须同时满足，函数方可取得最值，否则不可以．2．(新课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 3．已知x ∈R ＋，求函数y ＝x 2·(1－x )的最大值． 解：y ＝x 2(1－x )＝x ·x (1－x ) ＝x ·x ·(2－2x )×12≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2－2x 33＝12×827＝427. 当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时取等号．此时，y max ＝427.本课时平均值不等式是高考的一个非常重要的考点，在高考和模拟中考查其在求最值方面的应用，有时亦以解答题的形式考查其在证明不等式方面的应用，考查学生利用不等式的性质等知识分析、解决问题的能力．[考题印证]1．(浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C ．5D ．6[命题立意]本题考查利用平均值不等式求最小值，考查了分析、解决问题的能力．[自主尝试] ∵x ＋3y ＝5xy ， ∴1y ＋3x＝5，∵x >0，y >0，∴(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝3x y＋12yx＋9＋4≥23xy·12yx＋13＝25，∴5(3x ＋4y )≥25，∴3x ＋4y ≥5，当且仅当x ＝2y 时取等号． ∴3x ＋4y 的最小值是5. [答案] C2．(新课标卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1. 证明：(1) ab ＋bc ＋ca ≤13；(2) a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.[命题立意]本题主要考查重要不等式、均值不等式的应用以及整体代换的思想、考查考生转化与化归思想和逻辑思维能力．[自主尝试](1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13，当且仅当“a ＝b ＝c ”时等号成立．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，当且仅当“a 2＝b 2＝c 2”时等号成立．故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即 a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.[对应学生用书P15]一、选择题1．设0＜a ＜b ，a ＋b ＝1，则下列不等式正确的是( ) A ．b ＜2ab ＜ a 2＋b 2＜a 2＋b 2B ．2ab ＜b ＜a 2＋b 2＜ a 2＋b 2C ．2ab ＜a 2＋b 2＜b ＜ a 2＋b 2D ．2ab ＜a 2＋b 2＜ a 2＋b 2＜b 解析：∵0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1， ∴0＜a ＜b ＜1，∴a 2＋b 2＞2ab ，b ＞a 2＋b 2，且 a 2＋b 2＞b . 故2ab ＜a 2＋b 2＜b ＜ a 2＋b 2. 答案：C2．设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件 解析：当a ＝b ＝c ＝2时，有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，所以必要性不成立；当abc ＝1时，1a＋1b＋1c＝bc ＋ac ＋ababc＝bc ＋ac ＋ab ，a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋b ＋c ＋a ＋c2≥ab ＋bc ＋ac ，所以充分性成立，故“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件．答案：A3．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112解析：∵2xy ＝x ·(2y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，∴8＝x ＋2y ＋2xy ≤x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0. 又x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ≥4.当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号，即x ＋2y 的最小值是4. 答案：B4．对于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式1sin 2x ＋p cos 2x ≥16恒成立，则正数p 的取值范围为( ) A ．(－∞，－9] B ．(－9,9] C ．(－∞，9]D ．[9，＋∞)解析：令t ＝sin 2x ，则cos 2x ＝1－t .又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴t ∈(0,1)．不等式1sin 2x ＋p cos 2x ≥16可化为p ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋16t ≤17－21t·16t ＝9，当1t ＝16t ，即t ＝14时取等号， 因此原不等式恒成立，只需p ≥9. 答案：D 二、填空题5．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是________．解析：原式＝x 2＋14x 2＋y 2＋14y 2＋x y ＋y x .∵x ＞0，y ＞0，∴原式≥2·12＋2·12＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22时，等号成立． 答案：46．已知a ，b ∈R ＋，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥________. 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c＝3＋bc a 2＋ac b 2＋ab c 2＋a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab≥3＋6 6bc a 2·ac b 2·ab c 2·a 2bc ·b 2ca ·c 2ab＝9. 答案：97．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为________．解析：∵f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)， ∴a >0.∴c －1a ＝0.∴c ＝1a.∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a 2＋a ＋1a 2＋1a≥2a 2·1a2＋2a ·1a＝4， 当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号． 答案：48．x ，y >0，x ＋y ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y，因为x ，y >0，且x ＋y ＝1⇒xy ≤14.(当且仅当x ＝y ＝12时取等号)以xy 为整体，xy ＋1xy 在(0，14]上单调递减，故xy ＝14，⎝ ⎛⎭⎪⎫xy ＋1xy min ＝174，当且仅当x ＝y ＝12时取得，对y x ＋xy ≥2y x ·x y ＝2，当且仅当x ＝y ＝12时取得，故⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为254. 答案：254三、解答题9．设a ，b ，x ，y ∈R ，且有a 2＋b 2＝3，x 2＋y 2＝6，求ax ＋by 的最大值． 解：∵a 2y 2＋b 2x 2≥2aybx ， ∴(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)≥(ax ＋by )2， 当且仅当ay ＝bx 时取等号． ∴ax ＋by ≤3×6＝32，当且仅当ax ＝by 且a 2＋b 2＝3且x 2＋y 2＝6时，等号成立． 10．(江苏高考)已知x >0，y >0， 证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . 解：因为x >0，y >0， 所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0， 1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .11．x ，y ，a ，b 均为正实数，x ，y 为变数，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解：∵x ＋y >0，a >0，b >0且a x ＋b y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋by＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2 bx y ·ayx＝a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.当且仅当bx y ＝ayx时取等号， 此时(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18. 即a ＋b ＋2ab ＝18. 又a ＋b ＝10，联立⎩⎨⎧ a ＋b ＋2ab ＝18，a ＋b ＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8，b ＝2.。