不等关系与不等式(教案)

第三章不等式

课题: §3.1不等式与不等关系

第1课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；

2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；

3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

【教学重点】

用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

【教学难点】

用不等式（组）正确表示出不等关系。

【教学过程】

1.课题导入

在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。

2.讲授新课

1）用不等式表示不等关系

引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：

40v ≤

引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示

2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩

问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1

x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式

2.5(80.2)200.1

x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。根据题意，应有如下的不等关系：

（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;

（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；

（3）截得两种钢管的数量都不能为负。

要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩

3.随堂练习

1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。

2、课本P82的练习1、2

4.课时小结

用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

5.评价设计

课本P83习题3.1[A 组]第4、5题

【板书设计】

【授后记】

第2课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；

2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；

3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.

【教学重点】

掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；

【教学难点】

利用不等式的性质证明简单的不等式。

【教学过程】

1.课题导入

在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；

即若a b a c b c >⇒±>±

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；

即若,0a b c ac bc >>⇒>

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若,0a b c ac bc ><⇒<

2.讲授新课

1、不等式的基本性质：

师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？

证明：

1）∵(a＋c)－(b ＋c)

＝a －b ＞0，

∴a＋c ＞b ＋c

2）()()0a c b c a b +-+=->Q ，

∴a c b c +>+．

实际上，我们还有,a b b c a c >>⇒>，（证明：∵a＞b ，b ＞c ，

∴a－b ＞0，b －c ＞0．

根据两个正数的和仍是正数，得

(a －b)＋(b －c)＞0，

即a －c ＞0，

∴a＞c ．

于是，我们就得到了不等式的基本性质：

（1）,a b b c a c >>⇒>

（2）a b a c b c >⇒+>+

（3）,0a b c ac bc >>⇒>

（4）,0a b c ac bc ><⇒<

2、探索研究

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：

（1）,a b c d a c b d >>⇒+>+；

（2）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；

（3

）0,,1n n a b n N n a b >>∈>⇒>>

证明：

1）∵a＞b ，

∴a＋c ＞b ＋

c ．

① ∵c＞d ，

∴b＋c ＞b ＋

d ．

② 由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ．

2）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫

>⇒>>>⇒>>0,0,

3）反证法）假设n n b a ≤，

则：若a b

a b <⇒<=⇒=这都与b a >矛盾， ∴n n b a >．

[范例讲解]：

例1、已知0,0,a b c >><求证 c

c

a b >。

证明：以为0a b >>，所以ab>0,1

0ab >。

于是 1

1a b ab ab ⨯>⨯，即11

b a

>

由c<0 ，得c c

a b >

3.随堂练习1

1、课本P82的练习3

2、在以下各题的横线处适当的不等号：

(1)（3＋2）2 ６＋26；