第六节 空间向量及其运算-高考状元之路

第六节 空间向量及其运算

预习设计 基础备考

知识梳理

1．空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有 和 的量叫做空间向量．

(2)相等向量：方向 且模 的向量．

(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在直线互相 或重合的向量．

(4)共面向量： 的向量．

2．空间向量中有关定理及其推论

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量b a b b a //),0(,=/的充要条件是

推论：如图所示，点P 在l 上的充要条件是：,ta OA OP +=

①

其中a 叫做直线l 的方向向量，,R t ∈在l 上取,a =则①可化为= 或.)1(t t +-=

(2)共面向量定理的向量表达式为： P= ，其中b a R y x ,,,∈为不共线向量，推论的表达式为y x MP +=或对空间一点0有= 或z y x ++=其中

(3)空间向量基本定理.

如果三个不共面向量a ，b ，c ，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组},,,{z y x 使得,zc yb xa p ++= 把},,{c b a 叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念，

①两向量的夹角．

已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点0，作,a =,b =则 叫做向量a 与b 的夹角，记作 其范围是 ，若,2),(π

=b a 则称a 与b 记作a ⊥b.

②两向量的数量积．

已知空间两个非零向量a ，b ，则 叫做向量a ，b 的数量积，记作 ，即=⋅b a

(2)空间向量数量积的运算律.

①结合律：=⋅)(b a λ

②交换律：=⋅⋅b a

③分配律：=+⋅)(c b a

4．空间向量坐标表示及应用

(1)数量积的坐标运算，

若),,,(),,,(321321b b b b a a a a ==

则=⋅b a

(2)共线与垂直的坐标表示．

设),,,(),,,(321321b b b b a a a a ==

则⇔b a // ⇔ ⇔⊥b a |0⇔=

（a ，b 均为非零向量）．

(3)模、夹角和距离公式．

设),,,(),,,(

321321b b b b a a a a ==则=⋅=a a a ||

=⋅>=<

|

|||,cos h a b a b a 若),,,(),,,(

222111c b a B c b a A 则==||d AB

典题热身

1．下列命题中是真命题的是 ( )

A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B ．若|,|||b a =则a,b 的长度相等且方向相同或相反

C ．若向量C

D AB ,满足|,|||CD AB >且与同向，则>

D ．若两个非零向量与满足,0=+则//

答案：D

2．向量),2,6,4(),4,0,2(),1,3,2(--==--=c b a 下列结论正确的是( )

c a c a A ⊥,//. c a b a B ⊥,//. b a c a c ⊥,//. D ．以上都不对

答案：C

3．已知正方体1111D C B A ABCD -中，点E 为上底面11C A 的中心，若,1y x ++=则x 、y 的值分别为 ( )

1,1.==y x A 21,1.=

=y x B 21,21.==y x C 1,2

1.==y x D 答案：C

4．有下列4个命题： ①若,yb xa p +=则p 与a 、b 共面；

②若p 与a 、b 共面，则;yb xa p += ③若,y x +=则P 、M 、A 、B 共面；

④若P 、M 、A 、B 共面，则.y x +=其中真命题的个数是( )

1.A

2.B

3.C

4.D

答案：B

5．(2011．安徽高考)在空间直角坐标系中，已知点,0,1(A ),1,3,1(),2-B 点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是

答案：)0,1,0(-

课堂设计 方法备考

题型一 空间向量的线性运算

【例1】如图，在长方体-ABCD 1111D C B A 中，O 为AC 的中点．

(1)化简：;2

1211AD AB O A -- (2)设E 是棱1DD 上的点，且=,321DD 若,1AA z AD y AB x EO ++=试求z y x 、、的值，

题型二 共线、共面向量定理的应用

【例2】（2011．上饶调研）已知、

E H G

F 、、分别是空间四边形ABCD 的边DA CD BC AB 、、、 的中点，

(1)求证：H G F E h 、、四点共面；

(2)求证：BD//平面;EFGH

(3)设M 是EG 和FH 的交点，

求证：对空间任一点0，有).(4

1OM +++=

题型三 空间向量的模、夹角及数量积

【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点．

(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD;

(2)求MN 的长；

(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．

题型四 空间向量的坐标表示及其运算

【例4】 (2011.长治调研)已知△ABC 的顶点⋅B A ),.1,1,1(),4,2,3(),2,2,2(c 试求

(1)△ABC 的重心坐标；

(2)△ABC 的面积；

(3)△ABC 的AB 边上的高，

技法巧点

1．用已知向量表示未知向量的方法

(1)用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．

(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．

2．点共线问题

证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A 、B 、C 三点共线，即证明AC AB 与共线．

3．点共面问题

点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P 、A 、B 、C 四点共面，只要能证明,y x += 或对空间任一点O ，有pc y PB x OP OA ++=或OC z OB y OA x OP ++=)1(=++z y x 即可,以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件．

4．空间向量的数量积运算

(1)当题目条件有垂直关系时，转化为数量积为零进行应用

(2)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据2||a a =转化为向量的数量积求解．

(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似，只是多出一个坐标，与平面向量的坐标运算作一些对比，可以比较容易地掌握空间向量的坐标运算问题.

失误防范

1．利用坐标运算解决立体几何问题，降低了推理难度，可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的代数运算也容易导致出错．因此，在解决问题时，可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套．

2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点问距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零．

3．空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的分解．