指数分布与几何分布的条件可加性
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Ｐ（ ＝ｋ ＝Ｐ ， Ｘ ） ｑ ． １２， ， ， ＜Ｐ ＜ １ｑ ： １一Ｐ， ｉ ｝＝ ， ３ … ０ ，
则 称 服从参 数 为 Ｐ的几 何分 布 ， 为 ～Ｇ ｏｐ ． 记 ｅ（ ）
２ 主 要 结 论
假设 ， … ， 是连 续 型随机 变量 ， ｘ， 因为 Ｐ（ ＝Ｘ Ｘ ＝… ＝Ｘ ）＝０ 所 以无法 用条 件概率 直接计 ，
算 ｆ Ｘ ＋ ＋… 十 ｌ ＝Ｘ （ ２ Ｘ ≤ Ｘ ２＝… ＝Ｘ ）那么一个很 自然的想法是 ： ，
将 ｅ ｘ ２＋… ＋Ｘ （ ｌ＋ ≤ ｚＸ ｌ＝Ｘ ｌ ２＝ … ＝Ｘ ）看 成 当 一０时 ， （ ｌ＋ ２＋ … ＋ ，≤ ｅｘ Ｉ 。 Ｘ ≤ … ≤Ｘ ≤Ｘ ＋ 的极限， ≤ ２ ） 即 Ｐ Ｘ ＋ ＋… ＋ ｌ ＝ ２＝… ＝ ）＝ （Ｉ Ｘ ≤ Ｊ Ｘ
２ １
Baidu Nhomakorabea
ｎ （ ｌ＋ ２＋ … ＋Ｘ ≤ ｚｆ ｌ≤ Ｘ２≤ … ≤ Ｘ ≤ Ｘ１＋ ・
—’ ｕ
本文将证明如下 ２ 个相似命题 ：
命题 １ 置 一ｅ ｐ Ａ ） ｉ＝１ ２ … ， ， ， ２ … ， 相互 独立 ， ｘ（ ， ， ， ｒ Ｘ ， ｔ 则
分布 的分布 理论 ．
１ 预 备知 识
定义 １ 如 果 随机变量 的密度 函数 为
ｌ ） 』ｅｘ Ａ＞ ， ： Ａ－， （ Ａ ＞ ０
．
ｔ ， ≤ ０， Ｏ
则称 服从参 数为 Ａ的指数 分布 ， 记为 —ｅｐ Ａ） ｘ（ ．
定义 ２ 如果 随机 变量 的分布律 为
ｄ ） （
Ｆ（）＝ｆ ｆ（，）ｙ＋ ． ｄｘ ） ）一 － ｃ ）ｔ ） ｘ戈Ｙｄ ／ ，（ ）ｄ（ ／ ，（）Ｃ（ ． （ （
ｃ ） （
一 ｌ ＋ ｔ ｌ ｘ 十８ ｒ ＋ Ｘｊ
弓理２ 设ｇ（ ｆ Ａ＋ｘ（ ｌ＋ ｄ Ａ＋ｘ（ ｋ ２ｄ … Ｊ Ａ ｘ Ｉ ＾ ，） ｅ 一Ａ＋ １ ｘ ｌ ｅ 一Ａ＋ ＋ ｘ ２ ｅｐ １ｐ ） ＋ｆ ２ｐ ２ ） ＋
Ｘ ＋ｌ ｋ ｎ— Ｉ
（ ）ｘ， ［ （ ， ） 在 ＝ ＋ 一Ａ ｄ 若— 占 ］ 处等于０ 则 ［ （ ，） 在 ＝ ＋ 处等于０ ｉ ， ， ］ ， ＝０
第３ ０ ２ １ 卷３月１ ０ ２年 第 期
ＮＡＴＵＲＡＬ Ｓ 海 南 大 ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＩ 版 ＣＩ ＥＮＣＥ 学 学 报 自 然 科 学 Ｊ ＮＡＮ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ
Ｖ １ ０Ｎ ． ０． ｏ １ ３
Ｍａ ０１ Ｌ２ ２
文 章 编 号 ：０４—１２ （０ ２ ０ ０ ２ ０ １０ ７ ９ ２ １ ） １— ０ ０— ６
± ± Ｘ：２ …：ｎ Ａ＋２ …＋ ） 垄±： ， Ｘ： Ｘ ｐ Ａ＋ Ａ． Ｊ ｅ（
命 题 ２ 置 ～Ｇ ０ ｐ ） ｌ ， ， 相互 独立 ， 。Ｃ ， ， 是正 整数 ， ｅ （ ， ， … ２ Ｃ ，２… Ｃ 则
盟
３ 结论 的证 明
ｌ ｃ … Ｃ Ｇｔ垂１ ＿ ｅ一 （ ｃ ｔ ｎ ｏ － （ ｎ
指 数 分 布 与 几 何 分 布 的 条 件 可 加 性
何 朝 兵
（ 阳师 范学 院 数学与统计学 院， 安 河南 安 阳 ４５ ０ ） ５ ００ 摘 要： 首先证明 了独立指数分布随机变量之和 的一 个条件分 布是指数 分布 ， 然后证 明了独立 几何分 布随
机变量 的一个线性组合 的一个条件分布是几何分布．
论 以及 经济 学等 领域 都具有 极其 重要 的地位 ． 数 分 布 和几 何分 布 有许 多 相 似 的性 质 ， 指 可参 看 文 献 『 １一 ｌ ］ 因此 ， 讨这 ２个分 布 的性质是 一个 有意 义 的研 究方 向 ， 有 重要 的理 论 价值 和 实用 价值 ， 且会 使 ０． 探 具 而 这 ２个 分布 在可靠 性数 学等 应用概 率模 型 中的应用 更加 广泛 ． 所周 知 ， 独立 的指 数分 布 随机 变量 的 众 ２个 和不 服从指 数分 布 ， 如果添 加特定 的条件 ， 立 指 数分 布 随机 变 量 的 和服 从 指 数分 布 吗？对 于 几 何 分 布 独 也 有类 似 的情况 ． 于这个 问题 ， 很 少有文 献报 道． 这个 问题 的解决 将会 丰富 和完 善 指数 分布 和 几何 对 却 但
， ｌ ｊ
引理 １“ 设 ，） ｘｘｙ 在 Ｒ＝［ ，］×［ ，］ 【 ｙ ， （ ，） ｆ 。ｂ Ｐ ｑ 上连续 ，（ ）ｄ 为定义在 ［ ，］ ｃ ，（ ） ｎ６ 上其值含于
［ ，］ Ｐｑ 内的可微函数， 数 ｒ ｘ 则函 （）＝ ｆ
ｃ Ｊ
， ｄ 在［ ，］ Ｙ ｙ 口ｂ 上可微， ） 且
关键词 ： 指数分布 ； 几何分布 ； 相互独立 ； 条件分布 ； 可加性
中 图 分 类 号 ：Ｏ ２ １３ １ ． 文 献 标 志 码 ：Ａ
指数分 布不但 在 电子元 器件 方面得 到 了普遍使 用 ， 而且 可靠 性 工程 和排 队论 的丰 富实 践 又使 人 们加
深 了对 指数 分布性 质 的认识 ． 几何 分 布 已经 应 用于 越 来越 多 的领 域 ， 别 是 在信 息 工 程 、 特 电子 工 程 、 制 控
收 稿 日期 ： ０ １ ９— ６ ２ １ —０ ２
基金项 目：河南省教育厅 自然科 学基金资助项 目（０ ９ １００ ） ２ ０ Ｂ １０ ３ 作者简介 ：何朝兵 （９ ５一） 男 ， １７ ， 河南周 口人 ， 阳师范学院数学与统计学院讲 帅 ， 安 硕士
第 １期
何朝兵 ： 数分 布与几何 分布的条件可加性 指
则 称 服从参 数 为 Ｐ的几 何分 布 ， 为 ～Ｇ ｏｐ ． 记 ｅ（ ）
２ 主 要 结 论
假设 ， … ， 是连 续 型随机 变量 ， ｘ， 因为 Ｐ（ ＝Ｘ Ｘ ＝… ＝Ｘ ）＝０ 所 以无法 用条 件概率 直接计 ，
算 ｆ Ｘ ＋ ＋… 十 ｌ ＝Ｘ （ ２ Ｘ ≤ Ｘ ２＝… ＝Ｘ ）那么一个很 自然的想法是 ： ，
将 ｅ ｘ ２＋… ＋Ｘ （ ｌ＋ ≤ ｚＸ ｌ＝Ｘ ｌ ２＝ … ＝Ｘ ）看 成 当 一０时 ， （ ｌ＋ ２＋ … ＋ ，≤ ｅｘ Ｉ 。 Ｘ ≤ … ≤Ｘ ≤Ｘ ＋ 的极限， ≤ ２ ） 即 Ｐ Ｘ ＋ ＋… ＋ ｌ ＝ ２＝… ＝ ）＝ （Ｉ Ｘ ≤ Ｊ Ｘ
２ １
Baidu Nhomakorabea
ｎ （ ｌ＋ ２＋ … ＋Ｘ ≤ ｚｆ ｌ≤ Ｘ２≤ … ≤ Ｘ ≤ Ｘ１＋ ・
—’ ｕ
本文将证明如下 ２ 个相似命题 ：
命题 １ 置 一ｅ ｐ Ａ ） ｉ＝１ ２ … ， ， ， ２ … ， 相互 独立 ， ｘ（ ， ， ， ｒ Ｘ ， ｔ 则
分布 的分布 理论 ．
１ 预 备知 识
定义 １ 如 果 随机变量 的密度 函数 为
ｌ ） 』ｅｘ Ａ＞ ， ： Ａ－， （ Ａ ＞ ０
．
ｔ ， ≤ ０， Ｏ
则称 服从参 数为 Ａ的指数 分布 ， 记为 —ｅｐ Ａ） ｘ（ ．
定义 ２ 如果 随机 变量 的分布律 为
ｄ ） （
Ｆ（）＝ｆ ｆ（，）ｙ＋ ． ｄｘ ） ）一 － ｃ ）ｔ ） ｘ戈Ｙｄ ／ ，（ ）ｄ（ ／ ，（）Ｃ（ ． （ （
ｃ ） （
一 ｌ ＋ ｔ ｌ ｘ 十８ ｒ ＋ Ｘｊ
弓理２ 设ｇ（ ｆ Ａ＋ｘ（ ｌ＋ ｄ Ａ＋ｘ（ ｋ ２ｄ … Ｊ Ａ ｘ Ｉ ＾ ，） ｅ 一Ａ＋ １ ｘ ｌ ｅ 一Ａ＋ ＋ ｘ ２ ｅｐ １ｐ ） ＋ｆ ２ｐ ２ ） ＋
Ｘ ＋ｌ ｋ ｎ— Ｉ
（ ）ｘ， ［ （ ， ） 在 ＝ ＋ 一Ａ ｄ 若— 占 ］ 处等于０ 则 ［ （ ，） 在 ＝ ＋ 处等于０ ｉ ， ， ］ ， ＝０
第３ ０ ２ １ 卷３月１ ０ ２年 第 期
ＮＡＴＵＲＡＬ Ｓ 海 南 大 ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＩ 版 ＣＩ ＥＮＣＥ 学 学 报 自 然 科 学 Ｊ ＮＡＮ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ
Ｖ １ ０Ｎ ． ０． ｏ １ ３
Ｍａ ０１ Ｌ２ ２
文 章 编 号 ：０４—１２ （０ ２ ０ ０ ２ ０ １０ ７ ９ ２ １ ） １— ０ ０— ６
± ± Ｘ：２ …：ｎ Ａ＋２ …＋ ） 垄±： ， Ｘ： Ｘ ｐ Ａ＋ Ａ． Ｊ ｅ（
命 题 ２ 置 ～Ｇ ０ ｐ ） ｌ ， ， 相互 独立 ， 。Ｃ ， ， 是正 整数 ， ｅ （ ， ， … ２ Ｃ ，２… Ｃ 则
盟
３ 结论 的证 明
ｌ ｃ … Ｃ Ｇｔ垂１ ＿ ｅ一 （ ｃ ｔ ｎ ｏ － （ ｎ
指 数 分 布 与 几 何 分 布 的 条 件 可 加 性
何 朝 兵
（ 阳师 范学 院 数学与统计学 院， 安 河南 安 阳 ４５ ０ ） ５ ００ 摘 要： 首先证明 了独立指数分布随机变量之和 的一 个条件分 布是指数 分布 ， 然后证 明了独立 几何分 布随
机变量 的一个线性组合 的一个条件分布是几何分布．
论 以及 经济 学等 领域 都具有 极其 重要 的地位 ． 数 分 布 和几 何分 布 有许 多 相 似 的性 质 ， 指 可参 看 文 献 『 １一 ｌ ］ 因此 ， 讨这 ２个分 布 的性质是 一个 有意 义 的研 究方 向 ， 有 重要 的理 论 价值 和 实用 价值 ， 且会 使 ０． 探 具 而 这 ２个 分布 在可靠 性数 学等 应用概 率模 型 中的应用 更加 广泛 ． 所周 知 ， 独立 的指 数分 布 随机 变量 的 众 ２个 和不 服从指 数分 布 ， 如果添 加特定 的条件 ， 立 指 数分 布 随机 变 量 的 和服 从 指 数分 布 吗？对 于 几 何 分 布 独 也 有类 似 的情况 ． 于这个 问题 ， 很 少有文 献报 道． 这个 问题 的解决 将会 丰富 和完 善 指数 分布 和 几何 对 却 但
， ｌ ｊ
引理 １“ 设 ，） ｘｘｙ 在 Ｒ＝［ ，］×［ ，］ 【 ｙ ， （ ，） ｆ 。ｂ Ｐ ｑ 上连续 ，（ ）ｄ 为定义在 ［ ，］ ｃ ，（ ） ｎ６ 上其值含于
［ ，］ Ｐｑ 内的可微函数， 数 ｒ ｘ 则函 （）＝ ｆ
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关键词 ： 指数分布 ； 几何分布 ； 相互独立 ； 条件分布 ； 可加性
中 图 分 类 号 ：Ｏ ２ １３ １ ． 文 献 标 志 码 ：Ａ
指数分 布不但 在 电子元 器件 方面得 到 了普遍使 用 ， 而且 可靠 性 工程 和排 队论 的丰 富实 践 又使 人 们加
深 了对 指数 分布性 质 的认识 ． 几何 分 布 已经 应 用于 越 来越 多 的领 域 ， 别 是 在信 息 工 程 、 特 电子 工 程 、 制 控
收 稿 日期 ： ０ １ ９— ６ ２ １ —０ ２
基金项 目：河南省教育厅 自然科 学基金资助项 目（０ ９ １００ ） ２ ０ Ｂ １０ ３ 作者简介 ：何朝兵 （９ ５一） 男 ， １７ ， 河南周 口人 ， 阳师范学院数学与统计学院讲 帅 ， 安 硕士
第 １期
何朝兵 ： 数分 布与几何 分布的条件可加性 指