2004年7月新教材高中毕业会考数...(389K)
2004年云南省高中(中专)招生统一考试数学试卷(含答案)
云南省2004年高中（中专）招生统一考试数学试题一、填空题(每小题3分,共1 8分)1． 71-的相反数是 ．2．把a 2-b 2+a-b 分解因式结果为 ．3．如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB 、CD 于点E ．F ，FH 平分∠EFD ，若∠1=110°，则∠24．在扇形面积公式S=21 lR 中，已知S 、l ，且S≠0，则R= 5．已知一次函数y=kx+b 的图象经过点(1．3)、(-2，一3)，则这个一次函数的解析式为6．延长线段AB 到点c ，使BC=31AB ，D 为AC 的中点，且DC=6cm ，则AB 的长是 cm ． 二、选择题(每小题只有一个正确选项．每小题4分，共32分)7．下列计算正确的是 ( )A ．43169±= B ．(-5)0=-1 C ．2 +32 =42 D ． (一x)2·x 6=一x 8 8．银原予的直径为0．0003微米，用科学记数法可表示为 ( )A ．3×l04微米B ．3×10-4微米C ．3×l0-3微米D ．0．3×10-3微米9．函数y=352-x 中，自变量x 的取值范围是 ( ) A ．x>53 B ．x≥53 C ．x≠-53 D ．x≠53 l 0．已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长为( )A ．1 2B ．1 7C ．1 7或1 9D ．1 911．用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=O ，则方程可变形为 ( )A ．(x-4)2=9B ．(x+4)2=9C ．(x-8)2=16 D.(x+8)2=571 2．已知：如图，在△ABC 中、DE∥BC，AD/DB=1/3，则DE/BC ( )A ．1/2B ．1/3C ．1/4 D.1/51 3．已知：如图，∠CAB=∠DBA ，AC=BD ，则下列结论中不正确的是( )A ．BC=ADB ．CO=ODC ．∠C=∠DD ．∠AOB=∠C+∠D14．已知点P(a ，b)是平面直角坐标系中第二象限的点，则化简|a-b|+|b-a|的结果是( )A ．-2a+2bB ．2aC ．2a-2 bD ．0三、解答题(本大题共7个小题，共70分)l 5．(6分)解不等式组⎩⎨⎧>+≥465x 42)-3(x -x ． 1 6．(7分)已知：关于x 的一元二次方程x 2+(2k-1)x+k 2=0有两个不相等的实数根，且方程的两根之和比两根之积小7，求k 的值．1 7．(6分)某中学初三年级共有学生350名，为了解这些学生在一次考试中的数学成绩状况，随机抽取了20名学生的试卷进行分析，这20名学生的数学成绩(单位：分)分别为：87，85，68，72，58，100，93，97，96，83，51，84，92，62，83，79，74，72，65，79．[注：这份试卷满分为1 00分，60分(含60分)以上者为合格](1)求这20名学生的平均成绩；(2)试估计该校初三年级此次数学考试的合格率为多少?合格人数约为多少?18．(本小题共15分，其中(1)小题5分；(2)小题4分；(3)小题6分)花圃设计、公式证明与问题解决(1)现需要将形如△ABC 的空地(如图l 所示)平均分成面积相等的4块，然后在上面分别种上红、黄、蓝、紫4种不同颜色的花(要求分出的同一块地种相同颜色的花)．请设计出一种平分办法，并在划分出的空地上标出红、黄、蓝、紫字样，分别表示所种不同颜色的花，简要说明你的设计方案．(2)已知：如图2，在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．求证：S △ABC =21absinC=21bcsinA=21casinB ． (3)已知：如图3所示，在等边△ABC 中，边BC=10厘米，点P 1、P 2分别从B 、A 同时出发，以1厘米／秒的速度沿线段BA 、AC 移动．问：当移动时间t 为何值时△AP 1P 2的面积最大? 并求出最大面积S 的值．19．(14分)水是重要的资源，节约用水是每个公民应尽的职责．我省某地为加强城市用水管理，增强居民节约用水意识，缓解用水紧张状况，决定在一段时间内将每户居民每月的用水基数(15立方米)进行下调，超过部分的自来水水费将加价收费．具体规定如下：每户居民每月实际用水量不超过10立方米的，按现行水价收费，即每立方米收费1．80元(含污水处理费)；用水量1l 至l 5立方米的部分加价50％；16至20立方米的部分加价100％；21立方米以上的部分加价150％．(说明：统计每月用水量时只取整数部分，小数部分留作下月统问：(1)水价调整后污水处理价格每立方米是——元；(2)在表中标有①、②、③的横线上填上所缺的数字，使表完整；(3)小王家水价调整前平均每月水费为25．20元，调整后第一个月的水费为22．90元．求小王家水价调整后每一个月用水量为多少立方米．20．(10分)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，C点的坐标是(4，0)．(1)写出A、B两点的坐标；(2)若E是线段BC上一点，且∠AEB=60°，沿AE折叠正方形ABCO，折叠后B点落在平面内F点处．请画出F点并求出它的坐标；(3)若E是直线BC上任意一点，问是否存在这样的E点使正方形ABCO沿AE折叠后，B点恰好落在x轴上的某一点P处?若存在，请写出此时P点和E点的坐标．若不存在，请说明理由．21．(12分)已知：如图，⊙O1的半径r l=6，⊙O2的半径r2=2，且两圆外切，AB和AC是两圆的外公切线，点B、C、D、E分别是切点．(1)求∠BAC的度数；(2)在线段O2A上存在以点O3为圆心、半径为r3的圆．若⊙O3与⊙O2相外切且AB、AC是它们的外公切线，则称⊙O3为点O3圆．请求出点O3圆的半径r3；(3)同上，设在线段O3A上的点O4圆的半径为r4，线段O4A上的点O5圆的半径为r5，…，线段O n—1A上的点O n圆的半径为r n，求r n(用含n的代数式表示r n)．云南省2004年高中（中专）招生统一考试数学试题答案一、1．1/7 2．(a-b)(a+b+1) 3．35° 4．2S/l 5．y=2x+l 6．9二、7．C 8．B 9．D 10．C 1 1．B 1 2．C l 3．D 14．A三、l5． 原不等式组的解集为-6<x≤<1l6．解：∵ △=(2k -1)2-4k 2>0 即-4k+1>0∴ k<1/4 ∵ -(2k-1)=k 2-7∴ k 2+2 k-8=0得k 1=-4，k 2=2(舍去)∴ k=-4为所求的值l7．解：(1)20名学生的平均成绩：79(分)(2)样本的合格率=90％∴该校初三年级此次数学考试的合格率约为90％合格人数约为：350 x 90％=315(人)l8．(1)解：如图，分别取△ABC 三边的中点D 、E 、F ，连结DE 、EF 、FD则S △ADF =S △DBE =S △DEF =S △FEC各块空地所种花如图所示(说明：本题解法、答案不唯一，请参照给分)(2)证明：过A 作AD⊥BC 于D则AD=bsin C．．．S △ABC =21BC ·AD ∴S △ABC =21ab sin c 同理可证：S △ABC =21 acsinB S △ABC =21bc sinA ∴s △AB C =21ab sin c=21 bcsinA=21sinB (3)解：经过t 秒P l 、P 2位置如图所示， △AP l P 2的面积为：．s△AP 1P 2=21AP 1·AP 2sinA=21(10一t)·t·sin60°=一43(t 2一10t) =一43 (t-5)2+4325 (0<t<0) ∴ 当t=5秒时．△AP 1P 2的面积最大且S=4325平方厘米1 9．解：(1)0．50(2)①1．80②3．10③3．25(3) ∵调整后．10立方米水费为18元，l 5立方米水费为30．25元，而调整后小王家第一个月水费为22．90元∴ 小王家水价调整后第一个月用水超过10立方米，但少于15立方米∵超过10立方米的用水量为(22．90一l 8)÷2．45=2(立方米)∴ 小王家水价调整后第一个月用水量为l 2立方米答：小王家水价调整后第一个月用水量为12立方米20．解：(1)A、B两点的坐标分别为A(0，4)、B(4．4)(2)以AE为对称轴作B点的对称点F，则点F为所要画的点连结AF、EF，过F作FM⊥x轴、FH⊥y轴，垂足分别为M、H在Rt△AHF中，AF=AB=4，∠HAF=30°∴HF=AF·sin30°=2AH=AF·cos30°=23∴ OH==4—23∴ F点的坐标为(2，4—23 )(3)存在当E点与C点重合时，正方形沿AE折叠后B点落在x轴上，且B点与O点重合．∴ 此时折叠后B点对应点P的坐标为P(0，0)，E点坐标为(4，O)21．解：(1)连结BO1、EO2，过O2作O2F⊥O1B，垂足为F。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷Ⅲ.文)
web试卷生成系统谢谢使用一、填空题（每空？分，共？分）1、函数的定义域是.2、用平面α截半径为R的球，如果球心到平面α的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为.二、选择题（每空？分，共？分）3、函数的最小正周期是A. B.C. D.4、设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则A.B. =C.D.5、函数的定义域为A. B. C. D.6、设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率A. B. C. D.7、不等式的解集为A. B. C. D.8、在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为A.B. C.D.9、设函数，则使得的自变量的取值范围为A. B.C. D.10、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有A.12种B.24种C.36种D.48种三、计算题（每空？分，共？分）11、解方程12、某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。
当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？13、设椭圆的两个焦点是与，且椭圆上存在点P，使得直线PF2与直线PF2垂直.（1）求实数m的取值范围；（2）设L是相应于焦点F2的准线，直线PF2与L相交于点Q. 若，求直线PF2的方程.14、如图，直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB ＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.15、已知数列的前项和满足.（Ⅰ）写出数列的前三项；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数，有 .参考答案一、填空题1、2、二、选择题3、C4、B5、A6、C7、D8、B9、A10、C三、计算题11、解：（无解）.所以12、解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m ，则蔬菜的种植面积所以当答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.13、解：（1）由题设有设点P的坐标为（），由，得，化简得①将①与联立，解得由所以m的取值范围是.（2）准线L的方程为设点Q的坐标为，则②将代入②，化简得由题设，得，无解. 将代入②，化简得由题设，得解得m=2.从而得到PF2的方程14、本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=.∵CB=CA1=,∴△CBA1为等腰三角形，又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B.∵A1C1=1,C1B1=,∴A1B1=，又BB1＝1，∴A1B＝2.∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，∴CD =A1B=1,CD=CC1.又DM =AC1=,DM=C1M,∴△CDM≌△CC1M, ∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM. （Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG∥CD，FG =CD.∴FG =,FG⊥BD.由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D，知BD=B1D =A1B=1，所以△BB1D是边长为1的正三角形，于是B1G⊥BD,B1G =∴∠B1GF是所求二面角的平面角.又B1F2=B1B2+BF2=1+（）2=∴cos B1GF ==.即所求二面角的大小为π－arccos解法二：如图，以C为原点建立坐标系.（Ⅱ）B （,0,0）,B1（,1,0）,A1（0,1,1）,D （,,）,M （,1,0）,=（,,）,=（,－1,－1）,=（0,,－）,则・=0,・=0,∴CD⊥A1B,CD⊥DM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则G（,,）,=（－,,）, =（－,－,）,∴・=0.∴BD⊥B1G. 又CD⊥BD，∴与的夹角θ等于所求二面角的平面角. cosθ==－.所以所求二面角的大小等于π－arccos.15、（Ⅰ）解：由由由（Ⅱ）解：当时，有……所以经验证a1也满足上式，所以（Ⅲ）证明：由通项公式得当且n为奇数时，当为偶数时，当为奇数时，所以对任意整数m>4，有。
2004年高考数学试题(全国4理)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅳ理科数学（必修+选修Ⅱ）第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k nP k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂= （ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．函数)(2R x e y x ∈=的反函数为（ ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．)1)31(2ii +-=（ ）A ．i +3B ．i --3C ．i -3D ．i +-3 5．不等式03)2(<-+x x x 的解集为（ ）A ．}30,2|{<<-<x x x 或B ．}3,22|{><<-x x x 或C ．}0,2|{>-<x x x 或D ．}3,0|{<<x x x 或6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．220 7．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n ；B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //；D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π其中R 表示球的半径8．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心 到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+12．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b夹角的余弦值等于 .15．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）C已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值. 19．（本小题满分12分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. 21．（本小题满分12分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦点距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知函数0)(),sin (cos )(='+=-x f x x e x f x将满足的所有正数x 从小到大排成数列}.{n x（Ⅰ）证明数列{}{n x f }为等比数列；（Ⅱ）记n S 是数列{}{n n x f x }的前n 项和，求.lim 21nS S S nn +++∞→2004年高考试题全国卷4理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21-15．4316．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时41cos ,0cos sin -=≠+ααα，所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小 值以及综合运算能力.满分12分. 解：,2111)(x x x f -+=' 令,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去 当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加； 当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f图2Cy图1在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512, 所以ξ的概率分布为根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ， 所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--= 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23知AD=43，AB=8，得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x ex x e x x e x f xx x ----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x ex解出n n x ,π=为整数，从而,3,2,1,==n n x n π .)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n所以数列)}({n x f 是公比π--=eq 的等比数列，且首项.)(1q x f =（Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++= ),21(1-+++=n nqq q π),11()21(),2(122n nnn n n n n nq qq q nq qq q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππ 而).11(1n nn nq qq q q S ----=πnS S S n+++ 21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q qnq q q q n q q q q n q q q nq q q n q qq q n q q qn nnn n n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππ因为0lim .1||=<=∞→-n n q eq π，所以.)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n。
澳门(新版)2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷
澳门（新版）2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题椭圆与双曲线焦点相同，、分别为左焦点和右焦点，椭圆与双曲线在第一象限交点为，且，则当这两条曲线的离心率之积为时，双曲线的渐近线斜率是A．B．C．D．第(2)题函数的图像大致为（）A．B．C．D．第(3)题口袋中共有2个白球2个黑球，从中随机取出两个球，则两个球颜色不同的概率为（）A．B．C．D．第(4)题设集合，则（）A．B．C．D．第(5)题班级举行知识竞猜闯关活动，设置了三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有的可能答对问题，的可能答对问题，的可能答对问题．记答题者连续答对两题的概率为，要使得最大，他应该先回答（）A．问题B．问题C．问题和都可以D．问题第(6)题函数的反函数（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则的子集个数为（）A．1B．2C．4D．8第(8)题已知集合，，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在的展开式中（）A．二项式系数之和为B．第项的系数最大C．所有项系数之和为D．不含常数项第(2)题以下条件能够判断平面与平面平行的是（）A．平面内有两条直线与平面平行B．两不同平面，平行于同一个平面C．平面内的任意一条直线与平面无公共点D．夹在平面与平面间的两条平行线段相等第(3)题十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记.下列说法正确的是（）A．M的值与Р点在椭圆上的位置有关B．M的值与Р点在椭圆上的位置无关C．M的值越大，椭圆的离心率越大D．M的值越大，椭圆的离心率越小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．第(2)题将指定的6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公室分配2人，则恰好甲､乙两人打扫同一个办公室的概率为______.第(3)题已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，线段与圆相切于该线段的中点，且的面积为2.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，且，求的面积．第(2)题已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．（I）求的解析式及单调递减区间；（II）是否存在常数，使得对于定义域内的任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．第(3)题设函数.已知曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求函数的极值点；（3）若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.第(4)题国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局比赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与比赛，A的胜率分别为；B与比赛，B的胜率分别；C与D比赛，C的胜率为．任意两局比赛之间均相互独立．（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．第(5)题“熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量对应取值的概率为，其单位为bit的熵为，且．（当，规定．）(1)若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为，正面向上的次数为，分别比较与时对应的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；(2)若拋掷一枚质地均匀的硬币次，设表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，其单位为bit的联合熵记为，且．（ⅰ）当时，求的值；（ⅱ）求证：．。
2004年上海市中等学校高中阶段招生文化考试数学试卷
G图1E2004年上海市中等学校高中阶段招生文化考试数学试卷(满分120分，考试时间120分钟)一、 填空题：（本大题共14题，每题2分，共28分） 1．计算：(2)(2)__________a b a b -+=．2．不等式组230320x x -<⎧⎨+>⎩的整数解是______________．3．函数y =__________________． 41x =-的根是________________． 5．用换元法解22114x x x x +++=，可设1y x x=+，则原方程可化为关于y 的方程是______________．6．一个射箭运动员连续射靶5次，所得的环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为__________． 7．已知0a b <<，则点A (,)a b b -在第________象限． 8．正六边形是轴对称图形，它有_______条对称轴．9．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD=1，BD ＝2，:ADE ABC S S ∆∆=__________．10．在△ABC 中，∠A ＝90°，设∠B ＝θ，AC ＝b ，则AB ＝______(用b 和θ的三角比表示)． 11．某山路坡面坡度i =沿此山路向上前进200米,升高了__________米． 12．在△ABC 中，点G 是重心，若BC 边上的高为6，则点G 到BC 的距离为______________．13．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆的半径等于__________． 14．如图1，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG ，EF 交AD 与点H ，那么DH 的长为___________． 二、 多项选择题：(本大题共4题，每题3分，共12分)【每题列出的四个答案中，至少有一个是正确的，把所有正确答案的代号填入括号内，错选或不选得0分，否则每漏选一个扣一分，直至扣完为止】15．下列运算，计算结果正确的是（ ）（A ）437a a a =；（B ）632a a a ÷=；（C ）325()a a =；（D ）333()a b a b =．16．如图2，在△ABC 中，AB=AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ， 那么在下列三角形中，与相似的三角形是（ ）（A ） △DBE ； （B ） △ADE ； （C ） △ABD ； （D ） △BDC ． 17．下列命题中，正确的是…………………………（ ） （A ）一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外； （B ）一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线；（C ）两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条公切线；（D ）圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点． 18．在函数(0)ky k x=>的图像上有三点111(,)A x y 、222(,)A x y 、333(,)A x y ，已知1230x x x <<<，则下列各式中，正确的是…………………………（ ）（A ） 130y y <<；（B ） 310y y <<；（C ） 213y y y <<；（D ） 312y y y <<． 三、（本大题共4题，每题7分，共28分） 19-20．关于x 的一元二次方程2(31)210mx m x m --+-=，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根．21．如图3，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC ＝45°，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交AB 、BC 于点F 、E ．若AD=2，BC ＝8，求：（1）BE 的长； （2）∠CDE 的正切值．22．某区从参加数学质量检测的8000名学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得表一；随后汇总成样本数据，得到部分结果，如表二．请根据表一、表二所示的信息回答下列问题：（1）样本中，学生的数学成绩的平均分数约为_________分（结果精确到0.1分）； （2）样本中,数学成绩在[)84,96分数段的频数________，等第为A 的人数占抽样学生总数的百分比为_________，中位数所在的分数段为______________；（3）估计这8000名学生成绩的平均分数约为__________分（结果精确到0.1分）． 四、（本大题共4题，每题10分，共40分） 23．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，二次函数)4()5(2+--+=k x k x y 的图像交x 轴于A )0,(1x 、B )0,(2x ，且8)1)(1(21-=++x x ．（1）求二次函数的解析式； （2）将上述二次函数的图像沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图像与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积．图424．如图４，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝21AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：25．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固．由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天．为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？A B C图526．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB=AC=22，⊙A 的半径为1，如图5所示．若点O 在BC 上运动（与点B 、C 不重合），设BO ＝x ，△AOC 的面积为y （1）求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）以点O 为圆心，BO 长为半径作⊙O ，求当⊙O 与⊙A 相切时，△AOC 的面积．如图6，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点的坐标为(1，0)，点B 在x 轴上，且在点A 的右侧，AB=OA ，过点A 和B 作x 轴的垂线，分别交二次函数2x y =的图像于点C 和D ，直线OC 交BD 于点M ，直线CD 交y 轴于点H ，记点C 、D 的的横坐标分别为C x 、D x ，点H 的纵坐标为H y ．五、（本大题只有1题，满分12分，（1）小题满分6分，（2）（3）小题满分均为3分）27．数学课上，老师出示图6和下面框中的条件．同学发现两个结论：①3:2:A BM C ＝梯形S S CMD ∆ ②数值相等关系：H D C y x x -=∙ （1）请你验证结论①和结论②成立；（2）请你研究：如果上述框中的条件“A 的坐标(1，0)”改为“A 的坐标(t ，0) (t>0)”，其他条件不变，结论①是否仍成立？（请说明理由）（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A 的坐标(1，0)”改为“A 的坐标(t ，0) (t>0)”，又将条件“2x y =”改为“)0(2>=a ax y ”， 其他条件不变，那么C x 、D x 与H y 有怎样的数值关系？写出结果并说明由）1MO DCBA y。
2004年河南省高级中等学校招生统一考试数学试卷(含课改区)
2004年河南省高级中等学校招生统一考试数学试卷一、选择题：(共6小题，每小题3分，满分18分) 1．sin 30°的值等于( ) A ．1 B ．23C ．22 D ．212．方程x 2－2x ＝0的解是( )A 、0B 、2C 、0，－2D 、0，23．如图，从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中，从A 地到B 地有两条水路、两条陆路，从B 地到C 地有3条陆路可供选择，走空中，从A 地不经B 地直接到C 地，则从A 地到C 地可供选择的方案有( )A ．20种B ．8种C ．5种D ．13种4．把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是( )A ．B ．C ．D ．5．如图是三个反比例函数x k y 1=，x k y 2=，xky 3=在x 轴上方的图象，由此观察得到k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A ．k 1＞k 2＞k 3B ．k 3＞k 2＞k 1C ．k 2＞k 3＞k 1D ．k 3＞k 1＞k 26．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB 为( ) A ．2b a +米 B ．2ba -米 C ．b 米 D ．a 米二、填空题：(共11小题，每小题2分，满分22分) 7．－|－2|＝ ． 8．函数12-+=x x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 9．如果两圆半径恰好是方程x 2－6x ＋1＝0的两个根，圆心距d ＝2，则两圆的公切线的条数是 ．10．如果点P (2，k )在直线y ＝2x ＋2上，那么点P 到x 轴的距离为 ． 11．到一个三角形三条边所在直线等距离的点有 个．12．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，E 为BC 的中点，F 在AB 上，且BF ＝2AF ，则四边形AFEC 的面积为 ．13．若|a －b ＋1|与42++b a 互为相反数，则(a ＋b )2004＝ ．14．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接AB 1、AC 、B 1C ，则△AB 1C 的形状是 ．15．观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，…由此可判断7100的个位数字是 ．16．如图，直线l 是四边形ABCD 的对称轴，若AB ＝CD ，有下面的结论：①AB //CD ；②AC⊥BD ；③AO ＝OC ；④AB ⊥BC ．其中正确的结论有 ．17．小王同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约为米．三、（每小题6分，共18分）18．一次函数y＝x＋b，与x轴、y轴的交点分别为A、B，若△OAB的周长为2＋2(O为坐标原点)，求b的值．19．如图，AB为半圆O的直径，在AB的同侧作AC、BD切半圆O于A、B，CD切半圆O 于E．请分别写出两个角相等、两条边相等、两个三角形全等、两个三角形相似等四个正确的结论．20．已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab＝0与x2－abx＋(a＋b)＝0有没有公共根．请说明理由．四、（本大题共两小题，每小题7分，共14分）21．如图，边长为3的正△ABC中，M、N分别位于AC、BC上，且AM＝1，BN＝2．过C、M、N三点的圆交△ABC的一条对称轴于另一点O．求证：点O是正△ABC的中心．22．某水果店一周内甲、乙两种水果每天销售情况统计如下(单位：千克)：(1)(2)甲、乙两种水果哪个销售更稳定？五、(本题满分9分)23．如图，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是(0，2)，一次函数y＝x＋t的图象l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图形面积为S(阴影部分)．(1)当t何值时，S＝3；(2)在平面直角坐标系下，画出S与t的函数图象．六、(本题满分10分)24．如图，∠BAC＝90°，AC＝AB，直线l与以AB为直径的圆相切于点B，点E是圆上异于A、B的任意一点．直线AE与l相交于点D．(1)如果AD＝10，BD＝6，求DE的长；(2)连接CE，过E作CE的垂线交直线AB于F．当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上(写出结果，不要求证明)．无论点E如何变化，总有BD＝BF．请你就上述三种情况任选一种说明理由．七、(本题满分9分)25．某市近年来经济发展速度很快，根据统计：该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币，1995年为10.4亿元人民币，2000年为12.9亿元人民币．经论证，上述数据适合一个二次函数关系．请你根据这个函数关系，预测2005年该市国内生产总值将达到多少？。
2004年高考数学真题
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。
1．(1－i)2·i=（ ）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．22．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f x xx f 则若（ ）A ．bB ．－bC ．b 1D ．－b 13．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ） A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1)5．73)12(x x -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误的是 （ ）A ．( I A)∪B=IB ．( I A)∪( I B)=IC ．A ∩( I B)=φD ．( I A)∪( I B)= I B7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径A ．23B ．3C ．27D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21]B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH的表面积为T ，则S T等于 （ ）A ．91B ．94C ．41D ．3111．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）A ．12513B ．12516C ．12518D ．1251912．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（ ）A ．3－21B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1, n=1, a n =,n ≥2.16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数x xx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y a x 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且.125PBPA=求a的值.22．（本小题满分14分）已知数列1}{1=aan中，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3, a5；（II）求{ a n}的通项公式.2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④三、解答题 17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：x x xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x xx所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41.18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：ξ0 1 2 3 4P 0.09 0.3 0.37 0.2 0.04所以E ξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（II ）当,02,02,02>-<>+>x a x ax x a 或解得由时由.02,022<<-<+x a ax x 解得所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a 2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a 2,由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a 2.所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a 2）内为增函数，在区间（－a 2，+∞）内为减函数.20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ， ∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60° 由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23.（II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG .又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA BC PB GA 于是有所以θ的夹角BCGA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角，于是,772||||cos -=⋅⋅=BC GA BCGA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π .解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC.∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG .又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°.在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23.在Rt △PEG 中，EG=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG =23,又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan 23.21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a aa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A .125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0, a 3=a 2+31=3. a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k , 所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, ……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1],于是a 2k+1=.1)1(21231--++k ka 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nn n a。
2004年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]
2004年全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k n P k(1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合=⋂<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},4|{22 （ ）A ．{2|-<x x }B ．{3|>x x }C ．{21|<<-x x }D ． {32|<<x x }2．=-+-+→542lim 22x x x x n x （ ）A ．21B ．1C ．52 D ．41 3．设复数ωω++-=1,2321则i =（ ）A ．ω-B ．2ωC ．ω1-D ．21ω 4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（ ）A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π 6．函数x e y -=的图象（ ）A ．与x e y =的图象关于y 轴对称B ．与x e y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与x e y -=的图象关于坐标原点对称7．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则 球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 8．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 9．已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O ′和A ′，则λ=''A O e ，其中λ= （ ）A ．511 B ．511-C ．2D ．－2 10．函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．)23,2(ππB ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 （ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521 的数共有 （ ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为14．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥,12,,0y x y x x则y x z 23+=的最大值是 .15．设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （Ⅰ）求证：B A tan 2tan =；（Ⅱ）设AB=3，求AB 边上的高. 18．（本小题满分12分） 已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支.求：（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； （Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. 19．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为S n ，已知).3,2,1(2,111 =+==+n S nn a a n n 证明： （Ⅰ）数列}{nS n是等比数列； （Ⅱ）.41n n a S =+ 20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M.（Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
教育最新2004年普通高等学校招生全国统一考试文科(广西卷)数学
2004年普通高等学校招生全国统一考试(广西卷)数学（文史类）（老课程）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 参考公式：三角函数的和差化积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-= 一、选择题 （1）设集合(){}22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈，(){}2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈，则集合M N 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（2）函数sin2xy =的最小正周期是（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π(3) 记函数13xy -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ ）A ． 2B ． 2-C ． 3D ． 1-等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ） A ． 81B ． 120C ．168D ． 192(5) 圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（ ）A ．20x -= B ．40x -= C ．40x +=D ．20x +=(6) 61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ）A ． 15B ． 15-C ． 20D ． 20-正棱台、圆台的侧面积公式 l c c S )(21+'=台侧其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 斜高或母线长台体的体积公式 334R V π=球其中R 表示球的半径(7) 设复数z 的幅角的主值为23π2z =（ ）A ． 2--B ． 2i -C ． 2+D ． 2i (8) 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ）A ． 5B ．C ．D ． 54(9) 不等式113x <+<的解集为（ ） A ． ()0,2 B ． ()()2,02,4- C ． ()4,0- D ． ()()4,20,2--(10) 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ．3D ．(11) 在ABC 中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（ ）A ．B ．． 32D ．(12) 4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ） A ． 12 种 B ． 24 种 C 36 种 D ． 48 种 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. (13) 函数)1(log 21-=x y 的定义域是 .(14) 用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R，那么截得小圆的面积与球 的表面积的比值为 . (15) 函数)(cos 21sin R x x x y ∈-=的最大值为 . (16) 设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分12分） 解方程.012242=--+x x(18) （本小题满分12分） 已知α为锐角，且αααααα2cos 2sin sin cos 2sin ,21tan -=求的值.(19) （本上题满分12分）设数列}{n a 是公差不为零的等差数列，S n 是数列}{n a 的前n 项和，且,9221S S =244S S =，求数列}{n a 的通项公式.20．（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧 内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。
2004年高考--数学(全国二)
2004年高考试题全国卷Ⅱ理科数学（必修＋选修Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21 （B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2 （C ）ω1-（D ）21ω（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 （D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36（8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条 （9）已知平面上直线l 的方向向量)53,54(-=e，点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe ，其中λ＝ （A ）511 （B ）－511 （C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为ξ0 1 2 P（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ．（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ．（16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱，其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高． （18）(本小题满分12分)已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A 、B 两组，每组4个．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率． （19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n （n ＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分) 给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(Ⅰ)设l 的斜率为1，求与夹角的大小；(Ⅱ)设＝AF λ，若λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围． (22)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ，g (x )＝x ln x ．(1)求函数f (x )的最大值；(2)设0＜a ＜b ，证明：0＜g (a )＋g (b )－2g (2ba +)＜(b －a )ln2．2004年高考试题全国卷2 理科数学（必修＋选修Ⅱ）答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 17．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan = 设AB 上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB=3得CD=2+6 故AB 边上的高为2+618．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率72482523=C C C (II)解：A 组中至少有两支弱队的概率21481533482523=+C C C C C C 19．（I ）证： 由a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)， 知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S ,∴21212=S S又a n+1=S n+1-S n (n=1,2,3，…),则S n+1-S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n , 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nSn }是首项为1，公比为2的等比数列 （II ）解：由（I ）知，)2(14111≥-∙=+-+n n Sn S n n ，于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n 2≥)又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=2， ∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形， 又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ，BA'C'∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3， 又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ， 因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ， 则FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1， 所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23， ∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23.∴cos ∠B 1GF=2123223)21()23(222121221=∙∙-+=∙-+FGG B F B FG G B 即所求二面角的大小为π解法二：如图以C 为原点建立坐标系(I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21), M(22,1,0),=CD (22,21,21),=B A 1(2,-1,-1), =DM (0,21,-21),,0,01=∙=∙DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线， 所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G ),41,41,423(=(-22,21,21)，=G B 1),41,43,42(--∴01=∙G B BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴与G B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角，cos .3311-==θ 所以所求二面角的大小为π21．解：（I ）C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1. 将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，OB OA ∙=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3. 41]16)(4[||||21212122222121=+++=+∙+=∙x x x x x x y x y x OB OAcos<OB OA ,.41413-= 所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413. 解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1(3) 联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1)当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ4≤直线l 在y 轴上截距的变化范围是]34,43[]43,34[ --22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'f (x)=111-+x.令'f (x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, 'f (x)>0,当x>0时,'f (x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g(2b a +)=alna+blnb-(a+b)ln 2b a +=a ba bb b a a +++2ln 2ln . 由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x ≠0)，由题设0<a<b,得021,02<-<->-bba a ab ,因此a a b a a b b a a 2)21l n (2ln-->-+-=+,bba b b a b a b 2)21ln(2ln -->-+-=+. 所以a b a b b b a a +++2ln 2ln >-022=---ba ab .又,22b b a b a a +<+ a b a b b b a a +++2ln 2ln <a .2ln )(2ln )(2ln 2ln a b ba b a b b a b b b b a -<+-=+++ 综上0<g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,1ln )('+=x x g ,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(2xa +),则.2ln ln )]'2([2)(')('xa x x a g x g x F +==+-=当0<x<a 时,0)('<x F 因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a 时,0)('>x F 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g(2ba +).设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则).ln(ln 2ln 2ln ln )('x a x xa x x G +-=-+-=当x>0时,0)('<x G ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.。
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新教材高中毕业会考数学模拟试题(二) 一、选择题(本大题共30个小题，每小题1.5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） 1．把―411表示成2kπ＋θ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是 (A)―43 (B)―4 (C)45 (D)43 2．设集合A＝R,，集合B＝R，则从集合A到集合B的映射f只可能是 (A) xy＝|x| (B) xy＝x (C) xy＝2x (D) xy＝log2(x2＋1) 3．不等式2≥|3－x|的解集是 (A){x|x≤1或x≥5} (B){x|1≤x≤5} (C){x|―5≤x≤―1} (D){x|―1≤x≤5} 4．sin2＝53，则cosα＝ (A)―257 (B)257 (C)53 (D)54 5．若不等式的x2＋ax＋b＞0的解集为{x|x＜―1或x＞2}，则a＋b＝ (A)3 (B)1 (C)―1 (D)―3 6．设非空集合A、B、C，若“a∈A”的充要条件是“a∈B且a∈C”，则“a∈B”是“a∈A”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 7．有下列四个命题 (1)“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题。 (2)“面积相等的三角形全等”的否命题 。 (3)“若m≤1，则x2―2x＋m＝0有实根”的逆否命题。 (4)“若A∩B＝B，则AB”的逆否命题。 其中真命题的是 (A) (1)(2) (B) (2) (3) (C) (1) (2) (3) (D) (3) (4) 8．已知直线a、b和平面、，下列命题中正确的是 (A)aa∥ (B)aa (C)baba∥ (D)aba∥b 9．若loga2＜logb2＜0，则 (A)0＜a＜b＜1 (B)0＜b＜a＜1 (C)a＞b＞1 (D)b＞a＞1
10．若a＝0.88.0，b＝0.89.0，c＝1.28.0，则a、b、c的大小关系是 (A)a＞b＞c (B)c＞b＞a (C)c＞a＞b (D)a＞c＞b 11．定义在R上的奇函数f(x)是减函数，设a＋b≤0，给出下列不等式：(1)f(a)f(―a)≤0 (2)f(b)f(―b)≥0 (3)f(a)＋f(b)≤f(―a)＋f(―b) (4)f(a) ＋f(b)≥f(―a)＋f(―b) 其中成立的是 (A) (1)(3) (B) (2)(3) (C) (1)(4) (D) (2)(4) 12．若指数函数y＝f(x)的反函数的图象经过（2，―1），则此指数函数是
(A)y＝(21)x (B)y＝2x (C)y＝3x (D)y＝(31)x
13．函数y＝sin(2x＋3)在区间[0，π]内的一个单调递减区间是 (A) [0,125] (B) [12,32] (C) [125,1211] (D) [6,2] 14．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t),那么 (A) f(2)＜f(1)＜f(4) (B) f(1)＜f(2)＜f(4) (C) f(2)＜f(4)＜f(1) (D) f(4)＜f(2)＜f(1)
15．函数y＝―2sin2x―3cos2x＋1的最小正周期与最大值分别是
(A)π，7＋1 (B)2，7＋1 (C)π，3 (D)π，8 16．如果直线2x―y＋a＝0和直线x―21y＋b＝0平行，则 (A) a＝0，b＝1 (B) a＝2b (C) a＝0，b＝0 (D) a≠2b 17．△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况 (A)有一解 (B)有二解 (C)无解 (D)有解但解数不定 18．要保持直线y＝kx―1始终与线段y＝1(―1≤x≤1)相交，那么实数k的取值范围是 (A) [—2，2] (B) (—2，2)
(C)2,∪,2 (D)2,∪,2
19．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2—4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称,那么 (A) D＝E (B) D＝F (C) E＝F (D) D＝E＝F
20．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则 (A)a⊥b (B)a∥b (C) (a+b)⊥(a―b) (D)a与b的夹角为α＋β 21．若{an}为等差数列，且a2＋a5＋a8＝39，则a1＋a2＋„＋a9的值为 (A)117 (B)114 (C)111 (D)108
22．若正数等比数列{an}的公比q≠1，且a3、a5、a6成等差数列，则6453aaaa＝
(A)215 (B)215 (C)21 (D)1 23．若a＜b＜0，则下列结论中正确的是 (A)不等式a1＞b1和||1a＞||1b均不能成立。
(B)不等式ba1＞a1和||1a＞||1b均不能成立。 (C)不等式ba1＞a1和(a＋b1)2＞(b＋a1)2均不能成立。 (D)不等式||1a＞||1b和(a＋b1)2＞(b＋a1)2均不能成立。 24．双曲线2mx2―my2＝2的一条准线是y＝1，则m为 (A)―31 (B)―34 (C)31 (D)55 25．假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽5件，其中至少有2件是次品的抽法有 (A)C23C2197种 (B)C23C3197＋C33C2197种
(C)C5200―C5197种 (D)C5200―C13C4197种
26．已知双曲线22ax―22by＝1(a＞0，b＞0)与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标 为(0，b)，且AB⊥BF，则双曲线的离心率为
(A)231 (B)251 (C)462 (D) 452 27．由(3x＋32)100展开式所得的x的多项式中系数为有理数的共有 (A)50项 (B)17项 (C) 16项 (D) 15项 28．点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边上的中点，则当点P沿A—B—C—M运 动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积为y的函数y＝f(x)的表达式为
(A)y＝0.5(01)0.5(12)2.5(22.5)xxxxx (B)y＝0.5(01)0.250.75(12)0.51.25(22.5)xxxxxx
(C)y＝0.5(02)2.5(22.5)xxxx (D)y＝2(1.25)0.5x(02.5)x 29．计算机是将信息换成二位制进行处理的二进制，即“逢二进一”。如(1101)2表示二进位制，将 它转换成十进制形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数162111转换 成十进制形式是 (A)217―2 (B)216―2 (C)216―1 (D)215―1 30．已知奇函数f(x)在[―1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则 (A) f(cosα)＞f(cosβ) (B) f(sinα)＞f(sinβ) (C) f(sinα)＞f(cosβ) (D) f(sinα)＜f(cosβ) 二、填空题（本大题共10小题，每小题1分，共10分。请把答案填在题中的横线上。）
31．lg25＋lg2lg50＋(lg2)2＝ 。
32．设A＝{x | |x―a|＜2}，B＝{x |212xx＜1}，若AB，则a的取值范围是 。 33．已知点（1，3）按向量a平移后得点(4，1)，那么(2，1)按向量a平移后所得点的坐标为 。 34．函数y=log31(5―4x―x2)的单调递增区间为 。
35．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2―2x，则x＜0时，f(x)＝ 。 36．若三点P1、P2和P在一条直线上，点P1和P2在直角坐标系坐标分别为(0，―6)和(3，0)， 且P点分21PP的比为―21，则P点坐标为 。 37．有红、黄、蓝三种颜色旗各3面，在每种颜色的3面旗上分别标上号码1、2和3，现任取出 3面，它们的颜色与号码不相同的概率为 。 38．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则 球的表面积是 。
39．商店某种货物的进价下降了8％，但销售价没变，于是这种货物的销售利润(进价进价销售价) ×100％由原来的r％增加到(r＋10)％，那么r＝ 。 40．设计一条单向行驶的公路隧道，需保证装有集装箱的汽车能够通过，隧道的横断面由抛物线 和矩形ABCD的三边组成，隧道的总高为5米，矩形的一边BC长为2米，装有集装箱的汽 车高为4米，宽为3米，那么如果不考虑其他因素，隧道的底部宽度AB应至少设计为 米（精确到0.1米）。 三、解答题（本大题共10小题，共45分。解答应写出文字说明和演算步骤。） 41．(本小题共3分) 已知直角三角形ABC的内切圆O的半径为r，AD是斜边BC上的高，连接OA。 (1)设∠OAD＝x，将AD表示为自变量x的函数； (2)求AD长的最大值。 42．(本小题共3分) 解不等式xalog4＞logax―1（0＜a＜1） 43．(本小题共4分) 已知α、β为锐角，tanα＝71，sinβ＝1010，求α＋2β的值。 44．(本小题共4分) 北京某公司计划今年内同时出售新型的电子琴和洗衣机，由于这种产品的市场需求量非常大， 供不应求，因此该公司要根据实际情况（资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得利润 达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳力（工资），通过调查得到关于两 种产品有关数据如下表：
试问：怎样确定两种货的月供应量才能使总利润最大？最大利润是多少？ 45．(本小题共5分) 在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝4，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°。
(1)求点B到面AB1C的距离； (2)求直线B1B与面AB1C所成角的正切值； (3)求以AB1C与AB1B为半平面的二面角的正切值。
资金 单位产品所需资金（百元） 月资金供应量 电子琴 洗衣机
成本 30 20 300 劳动力（工资） 5 10 110 单位利润 6 8