1.3.1 二项式定理
1.3.1 二项式定理 课件(人教A选修2-3)
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)x2＋2
1
10
x
的展开式的第
5
项为
T5＝C410·(x2)6·21 x4＝C410·124·x12· 1x4＝1805x10.
(2)设第 k＋1 项为常数项，
则
Tk
＋
1
＝
C
k 10
2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n}) 叫做二项式系数． (3)展开式中的 Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1 ， 它表示展开式的第 k＋1 项．
(4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式 (1＋x)n＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn.
()
A．10
B．－10
C．40
D．－40
解析：二项式(2x2－1x)5 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr5(2x2)5
－r(－1x)r＝Cr5·25－r×(－1)rx10－3r，当 r＝3 时，含有 x，其系数
为 C35·22×(－1)3＝－40. 答案：D
4．已知二项式x2＋21 x10. (1)求展开式中的第 5 项；
＋C44·( 1x)4 ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
法二：(3 x＋ 1x)4＝3x＋ x2 14 ＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2 ＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
1.3.1二项式定理(一)
1 由9-r- r 0得r 6. 2 6 1 96 6 T7 C9 ( ) 3 2268 3
练习
x 3 9 ) 的展开式的中间两项 求 ( 3 x
x 9 4 3 4 3 T5 T41 C ( ) ( ) 42 x 3 x
4 9
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数
1 2求 x 的展开式中x 3的系数. x
9
解 (Байду номын сангаас) (1+2x)7的展开式的第4项是
T3+1=C7317-3(2x)3
=35×23×x3
=280x3
例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项
1 2求 x 的展开式中x 3的系数. x
解: (x+a)12的展开式有13项,倒数第4 项是它的第10项
T91 C x
9 12 9 9 12
a 220 x a .
3 9
练习
x 3 求 的展开式常数项 x 3
r 9 1 9 r r 2
9
x 9r 3 r r 1 9r r 解: Tr 1 C ( ) ( ) C9 ( ) 3 x 3 3 x
今 日 我 以 三 中 为 荣
1.3.1二项式定理（一）
明日三中以我为荣
展开下面式子 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3 =a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
【志鸿优化设计】2015版高中数学(人教)选修2-3课件：1.3.1二项式定理
1.3.1 二项式定理
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
例 1 求 3 ������ +
1 4 的展开式. ������
思路分析:直接利用二项式定理处理是基本的方法.但考虑到处理 起来比较复杂,因此可以考虑将原式变形后再展开. 解法一: 3 ������ +
(1)这个公式叫做二项式定理. (2)展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n 的二项式的展开式,展开 式中一共有 n+1 项. (3)二项式系数:各项的系数C������ ������ (k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数. 2.二项展开式的通项
n-k k (a+b)n 展开式中第 k+1 项 Tk+1=C������ ������ a b (k∈{0,1,2,…,n})叫做二项展
2
3
1 ������
+
������
=81x
12 +108x+54+ + ������
解法二: 3 ������ +
1.3.1 二项式定理
目标导航 预习导引
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
1.二项式定理
n-k k * 0 n 1 n-1 ������ n (a+b)n=C������ a +C������ a b+…+C������ ������ a b +…+C������ b (n∈N )
二项式定理(讲课用)
2
2016年新课标14
(2x x)5 展开式中 x3 的系数是________．
2016年山东高考
若(ax2 1 )5的展式中x5 的系数是-80，则实数a=____.
x 2014年新课标13 (x y)(x y)8的展式中 x2 y7 的系为________．
知识方面： 思想方法：
艾萨克·牛顿（1643—1727,英国）被誉为人类 历史上最伟大的科学家之一,不仅是伟大的物理学家、 天文学家,而且还是伟大的数学家。1664年，年仅22 岁的牛顿。在数学方面就有了第一项创造性成果， 就是发现了二项式定理，又称牛顿二项式定理。
二项式定理就是研究 (a b)n 是如何展开的。
探究1：a b2 (a+b)(a+b)=a2+2ab+b2 探究2：a b3 (a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3
探究3：a b4 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
问题1：展开式中各项是如何得到的？
（项的结构特点）
问题2：展开式各项的系数是如何确定的？
（项的系数特点）
(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)
C
0
4
a4
C
1
4
a3b
C
2
(n∈N*)
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 Cnkankbk Cnnbn
(n∈N*)
上述公式叫做二项式定理
问题5：二项式定理的公式有什么特征：
1.3.1二项式定理
1．(2017·河北省“五校联盟”质量检测)在二项式(1－2x)n 的展开
式中，偶数项的二项式系数之和为 128，则展开式的中间项的
系数为
()
A．－960
B．960
C．1 120
D．1 680
解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为 128，所以
在(1－2x)n 的展开式中，二项式系数之和为 256，即 2n＝256，
D．12
解析：由于 51＝52－1，
(52－1)2 016＝C02 016522 016－C12 016522 015＋…－C22 001156521＋1， 又由于 13 整除 52，
所以只需 13 整除 1＋a，
0≤a<13，a∈Z，
所以 a＝12.
答案：D
二项式定理
洛阳市第八中学 乔石冰
高考三大热点
1、通项运用型 2、系数配对型 3、系数求和型
三种解题方法 1、常规问题通项 分析法 2、系数配对分配 规律法 3、系数和差型赋 值法
什么是二项式定理？
2．二项式系数的性质
[小题体验] 1．(教材习题改编)已知 a>0， ax－x6 展开式的常数项为 15，则
n＝8，则(1－2x)8 的展开式的中间项为第 5 项，且 T5＝C48(－ 2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为 1 120，故选 C.
答案：C
考点三 二项展开式的应用
[典例引领]
设 a∈Z，且 0≤a<13，若 512 016＋a 能被 13 整除，则 a＝( )
A．0
B．1
C．11
常见的命题角度有： (1)求展开式中的某一项； (2)求展开式中的项的系数或二项式系数； (3)由已知条件求 n 的值或参数的值．
1.3.1二项式定理课件-高二数学人教A版选修2-3
2 x
6
的展开式的常数项是
240
2.
1
1 x
10的展开式中含
1 x3 项的系数是
120
五、课堂小结
思想共鸣 经验共享
你
1.二项式定理
学
到
了
a b n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn n N *
什
么
2.二项展开式的通项
Tk1 Cnk ankbk，k 0,1, 2,…, n
C
0 3
a
3
C
1a
3
2b
C 32ab 2
C
3 3
b
3
思想共鸣 经验共享
请同学们类比 (a+b)2 ，(a+b)3的展开式的特
征及方法，你能直接写出 (a+b)4 的展开式
吗？
第 二
（ （ a a+ b ) b4 ） = 2( a + Cb ) 20( a a+ 2 b ) ( Ca + 21ab （ b) a + Cb 2) 2b2
恰有1个括号取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个括号取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+b2
对(a+b)3展开式的分析：
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
项的形式： a 3 a 2b ab2 b3
探
（a b）3= C 4 0 Ca 4 30+ aC 3 4 1 a 3 Cb + 31aC 24 2 ba 2 b 2 C+ 3C 2a4 3 a bb 23 + C C4 4 3b 3b4 3
二项式定理
1. 能从特殊到一般理解二项式定理；2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）； “项的系数”、“项的二项式系数”等概念2931复习1： 积()()n n b b b a a a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++2121 展开后，共有 项.复习2：在n=1,2,3时，写出 n b a )(+的展开式.1)(b a += ,2)(b a += ,3)(b a += ， ①1)(b a +展开式中项数为 ，每项的次数为 ；②2)(b a +展开式中项数为 ，每项的次数为 ， a 的次数规律是 ，b 的次数规律是 .③3)(b a +展开式中项数为 ，每项的次数为 ，a 的次数规律是 ，b 的次数规律是 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一： 二项式定理问题1： 猜测 n b a )(+展开式中共有多少项？分别有哪些项？各项系数分别是什么？新知：++⋅⋅⋅++=+--r r n r n n n n n n b a C b a C a C b a 110)( n n n b C +⋅⋅⋅（*∈N n ）上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做n b a )(+的展开式，其中r n C （r ＝0，1，2，…，n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用符号 表示，即通项为展开式的第 项.试试：写出=+6)2(x ，⑴ 展开式共有 项，⑵ 展开式的通项公式是 ；⑶ 展开式中第4项的二项式系数是 ，第四项系数是 .反思：n b a )(+的展开式中，二项式系数与项系数相同吗？※ 典型例题例1 用二项式定理展开下列各式：461变式：写出 4)11(x+的展开式.例2 ⑴ 求6)21(x +展开式的第4项，并求第4项系数和它的二项式系数；⑵ 求9)1(x x -展开式中3x 的系数.变式：求9)33(xx + 展开式中的常数项和中间项.小结：对有关二项式展开式中特殊项及其系数问题，一般都采用通项公式解决.※ 动手试试练1. ⑴ 求()632b a +展开式中的第3项系数和二项式系数.练2. ⑴ 求9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项； ⑵ 若()12n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求n 及()12n x +展开式中含3x的项．三、总结提升※ 学习小结1. 注意二项式定理中二项展开式的特征.2. 区别二项式系数，项的系数，掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项的方法.※ 知识拓展问：7)32(c b a ++的展开式中232c b a 项的系数是多少？※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. ()112a b +的展开式中第3项的二项式系数为第3项系数为 ；2. 10)1(-x 展开式的第6项系数是（ ）(A) 610C (B) 610C - (C) 510C (D)510C - 3. 在()612x -的展开式中，含3x 项的系数是 ；4. 在5的展开式中，其常数项是 ； 5. ()12x a +的展开式中倒数第4项是 .1. 求102332b a -展开式中第8项；2. 求64⎛-⎭的展开式中的常数项.3.求15)21(x -展开式的前4项；4.（04年全国卷）81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中5x 的系数是 .学习过程 一、课前准备 3235 复习1：写出二项式定理的公式：⑴ 公式中r n C 叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项.⑵ 在n b a )(+展开式中，共有 项，各项次数都为 ，a 的次数规律是 ，b 的次数规律是 ，各项系数分别是 .复习2：求102⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：杨辉三角问题1：在n b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？ ()1b a +()2b a +()3b a +()4b a +()5b a +()6b a +新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是探究任务二 二项式系数的性质问题2：设函数()r n C r f =，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n ＝6为例）新知2：二项式系数的性质⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是2n r =.试试：① 在(a ＋b)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )A 第２项B 第３项C 第４项D 第５项② 若()n b a +的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n ＝ .反思：为什么二项式系数有对称性？⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .当n 是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；当n 是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.试试：7)(b a +的各二项式系数的最大值是⑶ 各二项式系数的和：在n b a )(+展开式中，若1==b a ，则可得到 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 10 即 =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n r n n n C C C C 21※ 典型例题例1求()1012x +的展开式中系数最大的项．变式：在二项式(x-1)11的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.小结：在n b a )(+展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.例2 证明：在n b a )(+展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.变式：⑴ 化简:1111511311111C C C C +⋅⋅⋅+++ ;⑵ 求和：n n n n n n C C C C 2222210+⋅⋅⋅+++.小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法.※ 动手试试：练1 ① 在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大的是第 ____ 项为 ；② 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 . （用符号表示即可）练2. 若()772210721x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，则=+⋅⋅⋅++721a a a ，=+++7531a a a a ,=+++6420a a a a .三、总结提升※ 学习小结 1. 二项式系数的三个性质2. 数学方法 ： 赋值法和递推法※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.在12x ⎛ ⎝的展开式中，系数最大的项是第 项；2. 在()991x -的展开式中，二项式系数最大的是第 项，项系数最小的项是第 项；3. 计算109182910101033331C C C -+--+L =4. 若()929012912x a a x a x a x -=++++L ，则 129a a a +++L ＝ ；5. 化简：=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++11110110n n n n n n n n C C C C C C⎪⎩⎪⎨⎧各二项式系数的和增减性与最大值对称性二项式练习探究任务一：整除性问题，余数问题问题：2008101除以100的余数是多少？新知：整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。
二项式定理
求x的取值范围．
解析： 1 x＜－10 －1≤x≤0 4
C 1－2x＞C 0 5 5 1 由题意可得 C5 －2x≥C52－2x2
⇒
1 1 ⇒－4≤x＜－10.
.
1 1 所以x的取值范围是x－4≤x＜－10
化简：Cn0(x＋1)n－Cn1(x＋1)n－1＋…＋(－1)kCnk(x＋ 1)n－k＋…＋(－1)nCnn.
由题目可获取以下主要信息： ①展开式是关于x＋1的单项式； ②x＋1的指数最高次为n，依次递减至0，且每项的指数等于 对应的组合数的下标与上标的差．
解答本题可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二
项式定理求解．
[解题过程]
原式＝Cn0(x＋1)n＋Cn1(x＋1)n－1·(－1)＋Cn2(x
a 1 5 x＋ 2x－ 的展开式中各项系 x x
数的和为2，则该展开式中常数项为( A．－40 C．20 B．－20 D．40
)
解析： 令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1.
1 1 5 1 5 因此 x＋x 2x－x 展开式中的常数项即为 2x－x 展开 1 5 1 式中 x 的系数与x的系数的和. 2x－x 展开式的通项为Tr＋1＝
＋1)n－2·(－1)2＋…＋Cnk(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋Cnn·(－1)n
＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
[题后感悟] 本题是二项式定理的逆用，需要熟悉二项展开
式的每个单项式的结构，若对公式还不很熟悉，可先把x＋1换元 为a，再分析结构形式，则变得简单些．
2.(1)设n为自然数，化简Cn0·2n－Cn1·2n－1＋…＋(－1)k·Cnk·2n－k＋…＋ (－1)n·Cnn. (2)设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，它等于( A．(x－2)4 B．(x－1)4 )
二项式定理
4、通项： Tk +1 = Cnk a n − k b k（k=0,1,…n） （注意该通项是第k+1项，而不是第k项！）
在二项式定理中，令a=1,b=x，则可得到：
(1 + x) = C + C x + …C x + … + C x
n 0 n 1 n k n k n n n
n 1 n 2 n n −1 n−2 2
b +…+ C
n −1 n
ab
n −1
+b
n
又因为a 的系数均为1 又因为 n，bn的系数均为1，而1 =
C =C
0 n
n n
因此上述展开式的系数均可用组合数 表示，于是得到： 表示，于是得到：
பைடு நூலகம்
二项式定理： 二项式定理：
( a + b) = C
n
0 n
a + C a b + …C a
n n
例2、《三维设计》例1（2） 练习：《三维设计》题组训练（2） 方法技巧小结： 逆向运用二项式定理进行化简时，应注 n 意观察式子的结构，看 (a + b) 中的a，b分 别对应题目中的什么，此外要特别注意首尾 是否存在“缺项”和“变项”。
k n n−k k
你能归纳出二项式定理的结构特征吗？ 你能归纳出二项式定理的结构特征吗？ n
( a + b) = C
0 n
a + C a b + …C a
n 1 n k n
n −1 1
n−k
b +…
k
n n + Cn −1ab n −1 + Cn b n
人教版高中数学选修2-3教案：1.3.1二项式定理
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。