第50讲 二项式定理-新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

第50讲二项式定理一、考情分析1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.二、知识梳理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N+)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n ＋…＝2n－1.[微点提醒](a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn .三、 经典例题考点一 通项公式及其应用多维探究角度1 求二项展开式中的特定项【例1－1】 (1)(x 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是( )A.5B.－10C.－32D.－42(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________. 解析 (1)由于⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的通项为C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－r·(－2)r＝C r 5·(－2)r ·x r －52，故(x 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5＝－42. (2)二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－12kx 10－2k3 . 由题意10－2k3∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N .令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2， －638，45256x －2. 答案 (1)D (2)454x 2，－638，45256x －2规律方法 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可. 角度2 求二项展开式中特定项的系数【例1－2】 (1)(多项式是积．的形式)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( ) A.15B.20C.30D.35(2)(多项式是和．的形式)已知(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中含x 3的系数为－2，则a 等于( ) A.2 3 B.2 C.－2 D.－1(3)(三项展开式问题)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10B.20C.30D.60解析 (1)因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中含x 2的项为 1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4，因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.(2)(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中x 3的系数为C 33a 3＋C 35(－1)3＝a 3－10＝－2，则a 3＝8，解得a ＝2.(3)法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积.∴x 5y 2可从其中5个因式中，两个取因式中x 2，剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，因此x 5y 2的系数为C 25C 13C 22＝30.答案 (1)C (2)B (3)C规律方法 1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解.2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.考点二 二项式系数与各项的系数问题【例2】 (1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. (2)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.解析 (1)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. (2)令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1. 答案 (1)3 (2)1或－3规律方法 1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.2.若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. 考点三 二项式系数的性质 多维探究角度1 二项式系数的最值问题【例3－1】 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( ) A.3 B.5 C.6 D.7解析 根据⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝(3)20－r ·C r 20·x 20－4r3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0，3，6，9，12，15，18，∴x 的指数是整数的项共有7项. 答案 D角度2 项的系数的最值问题【例3－2】 已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n的展开式中，二项式系数最大的项为______，系数的绝对值最大的项为________.解析 由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，故2n ＝32，解得n ＝5.由二项式系数的性质知，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T 6＝C 510(2x )5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064. 设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k C k 10·210－k ·x 10－2k ， 令⎩⎨⎧C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎨⎧C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即⎩⎨⎧11－k ≥2k ，2（k ＋1）≥10－k ，解得83≤k ≤113. ∵k ∈Z ，∴k ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项， T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4. 答案 －8 064 －15 360x 4规律方法 1.二项式系数最大项的确定方法：当n 为偶数时，展开式中第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n n2；当n 为奇数时，展开式中第n ＋12项和第n ＋32项的二项式系数最大，最大值为C nn －12或C nn ＋12.2.二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得.[方法技巧]1.二项式定理及通项的应用(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.(2)运用二项式定理一定要牢记通项T k ＋1＝C k n an －k b k，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.(3)在通项T k ＋1＝C k n an －k b k (n ∈N +)中，要注意有n ∈N +，k ∈N ，k ≤n ，即k ＝0，1，2，…，n . 2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.四、 课时作业1．（2020·福建省福州第一中学开学考试）在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为（ ）A ．40B ．40-C ．80D ．80-【答案】D【解析】因为5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1r +项为()()()()552531552112r r r r rr r r r T C x x C x ----+=-=-，令532r -=，则1r =，所以5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为()()4151280C -=-.2．（2020·北京期末）63x⎛⎝展开式中各项系数之和为（ ）A ．62B ．63C ．64D ．1【答案】A【解析】解：令1x =，得63x⎛ ⎝展开式中各项系数之和为()66312-=.3．（2020·广西南宁三中高三其他（理））二项式5的展开式中常数项为（ ）A ．5B ．10C ．-20D ．40【答案】D【解析】解：二项式展开式的通项公式为10556155(2)rrr r r r r T C C x--+⎛==- ⎝， 令10506r-=，则2r ，所以展开式中的常数项为225(2)40C -=，4．（2020·五华·云南师大附中高三月考（理））5(x -的展开式中，第4项的系数为（ ） A ．80- B ．80 C ．40 D ．40-【答案】A【解析】解：732324315(80T T C x x +==-=-，5．（2020·北京高三开学考试）在62x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．60B ．30C ．20D ．15【答案】A【解析】因为62x ⎫⎪⎭展开式的第1r +项为6632216622r r r r r r r r T C x x C x ---+=⋅⋅⋅=⋅⋅，令630r -=，则2r ，所以常数项为2236260T C =⋅=.6．（2020·河南高三月考（理））在6(2)(1)x x -+展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．220B ．-220C ．100D ．-100【答案】D【解析】解:由题意知，含4x 的项有两部分，即33342466C 2()C 2()x x x -⋅+-， 所以含4x 的项的系数是334266C 2C 2100-+=-.7．（2020·湖南高三月考）设常数a R ∈.若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为－15，则a =（ ） A ．－2 B ．2C ．3D ．－3【答案】D【解析】52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为()5215rr r r a T C x x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭1035r r r a C x-=⋅⋅，0,1,2,3,4,5r =. 令1037r -=，得1r =，所以展开式中7x 项的系数为1515a C ⋅=-，解得3a =-.8．（2020·广西南宁·高三月考（理））()()3112x x -+展开式中2x 项的系数为（ ） A ．5 B ．6 C ．-6 D ．-4【答案】B【解析】分解()()()()333112=1212x x x x x -++-+， 求这两部分的2x 项的系数和，2x 项为()()()2212331226C x x C x x ⨯+-⨯=.9．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））在二项式6(1)x -的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）A ．15-B ．20-C ．15D ．20【答案】B【解析】由616()(1)r r rr T C x -+=-知3r =,所以3x 的系数为336(1)20C -=-，10．（2020·河南南阳·高二期末（理））在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含4x 的项的系数是 A ．-15 B ．85C ．-120D ．274【答案】A【解析】()()()()()12345x x x x x -----的展开式中，含4x 项为五个括号中四个取x 还有一个括号取常数相乘得到， 故含4x 的项的系数为(1)(2)(3)(4)(5)15.-+-+-+-+-=-11．（2020·四川成都·月考（理））已知二项式13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为512，函数()r n f r C =，[)0,r n ∈且r N ∈，则函数()f r 取最大值时r 的取值为（ ）A ．4B ．5C ．4或5D ．6【答案】C【解析】因为二项式13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为512，令1x =，得()3125129nn n -==⇒= 所以()9rf r C =，二项式展开式有10项，则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大， 所以当4r =或5时，()f r 最大，12．（2020·北京二模）在（x ﹣2）5的展开式中，x 2的系数为（ ） A ．﹣40 B ．40 C ．﹣80 D ．80【答案】C【解析】在（x ﹣2）5的展开式中，含x 2的项为()32225280C x x =--⋅，故x 2的系数为：﹣80．13．（2020·云南昆明一中月考（理））在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是（ ）A ．20-B ．15-C ．20D ．30【答案】A【解析】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令363r -=.则3r =，故3x 的系数是()336120r T C =-=-，14．（2020·广东月考）在()62x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，34x y 的系数是（ ） A ．20 B ．152C ．5-D ．252-【答案】D 【解析】()()()66622x x y x y x y y x y ⎛⎫-+=+-+⎪⎝⎭，()6x y +的展开式的通项是616r r rr T C x y -+=，令62r -=，则4r =，则()6x y +的展开式中24x y 的系数为4615C =，令6r 3-=，则3r =，则()6x y +的展开式中33x y 的系数为3620C =，故()62x y x y ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式中34x y 的系数是251522102⨯-=-.15．（2020·广东月考）()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-【答案】B【解析】由题意()()()()3331111x x x x x -+=+-+，()31x +的通项公式为31331r rr r r r T C x C x -+=⋅⋅=⋅，令3r =，则3331rC C ==； 令2r，则2333r C C ==；所以()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为132-=-.16．（2020·广东月考）已知二项式212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是（ ） A ．-84 B ．-14C ．14D ．84【答案】A【解析】因为二项式的系数之和等于128， 所以2128n =，解得7n =，所以二项式展开式的通项公式为2771431771=(2)()2(1)r rr r r r r r T C x C x x---+-=-， 令1431r -=-，解得=5r ， 所以展开式中含1x项的系数为52572(1)84C -=-， 17．（2020·山东济南外国语学校高三月考）二项式*(1)()n x n +∈N 的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ）A ．8B ．6C ．5D ．10【答案】C【解析】由二项式*(1)()n x n +∈N 的展开式的通项1r n r r n T C x -+=得：令3n r -= ，得3r n =-，则3310r n n n n C C C -=== ，所以(1)(2)60n n n --=，解得5n =，18．（2020·广西柳州·高三二模（理））6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．2-D ．23-【答案】B【解析】6(1)x +展开式的通项公式为16r r r T C x +=，分别令2,3x x ==，可求得 2x 的系数为2615C =，3x 的系数为3620C =，故6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为1201510a ⨯-=-，解得2a =．19．（2020·山东潍坊·高三月考）612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ） A ．160- B ．160 C ．80 D ．80-【答案】A【解析】612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()()66621662112r r r r r r rr r T C x x C x ----+=⋅⋅-⋅=-⋅⋅⋅，令620r -=，可得3r =，故612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为368160C -⋅=-.20．（2020·重庆高二月考）2321(2)x x+-展开式中的常数项为（ ） A ．20 B ．20-C ．12-D ．8-【答案】B【解析】由题意3622112x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 二项展开式的通项为()66216611,0,1,2,,6rr rrr rr T C xC x r x --+⎛⎫=-=-=⋯ ⎪⎝⎭， 令3r =得常数项为()3346120T C =-=-．21．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考）522x ⎫⎪⎭-展开式中的常数项是______．（用数字作答） 【答案】10-【解析】解：可得522x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为()()55225215522kkkk k kk T C x C x--+=-=-，令1k =，则常数项为()11115210T C +=⋅-=-．22．（2020·湖南郴州·月考）已知(2)n x y +展开式的二项式系数和为64，则其展开式中含42x y 项的系数是__________. 【答案】60【解析】解：由于()na b +的展开式的二项式系数之和为0122n n n n n n C C C C +++=，所以264n =，解得6n =，所以()6616622kk k k k k kk T C x y C x y --+==，故令2k =，即可得22424242216241560T C x y x y x y +==⨯=.23．（2020·宝山·上海交大附中高三月考）在921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项为______. 【答案】84.【解析】二项式921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为99319921rr r r r r C T x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令930r -=，解得3r =，所以921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项为39=84C .24．（2020·陕西西安·高新一中高三期末（理））已知()72701271...mx a a x a x a x -=++++，若435a =，则实数m ＝________. 【答案】±1【解析】因为()72701271...mx a a x a x a x -=++++的通项公式()17rrr T C mx +=-，0,1,2,...,7r = 故令4r =得()44445735T C mx m x =-=，故443535a m ==，1m ∴=±.25．（2021·湖南湘潭·高三月考（理））在6(2)x -的展开式中，含4x 项的系数为_________． 【答案】60【解析】6(2)x -的展开式的通项公式：()6162rr r r T C x -+=-，令64r -=，解得2r ，所以含4x 项的系数为()226260C -=.26．（2020·湖南雨花·雅礼中学高三月考）若62x x ⎛- ⎝⎭的展开式的常数项为6，则a =_________. 【答案】4【解析】解：∵6x ⎛- ⎝⎭展开式的通项公式为：6263166C ((C r r r r r rr r T x x x ---+=⋅⋅⋅=⋅⋅，令630r -=，可得2r ，∴展开式的常数项为226(C 60⋅=，解得4a =.27．（2018·广东高二期末（理））在1)nx的展开式中，各项系数的和为p ，二项式系数之和为q ，且q是p 与48-的等差中项，则正整数n 的值为___________. 【答案】3【解析】1)nx-的展开式20121)n n n a a x xa x a x =++++令二项式中的1x =得到展开式中的各项系数的和为4n p =，又各项二项式系数的和012nnn n n C C C C q ++++=，为2n q =，根据题意得248q p =-即44822n n -=⨯， 解得28n =或26n =- (负值舍)，故3n =.28．（2020·江西高二期末（理））在13nx ⎫⎪⎭（*n N ∈）的展开式中所有二项式系数之和为256.（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项.【解析】解：（1）*31()3nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数之和为2256n =，8n ∴=，故展开式的通项公式为8431813rr r r T C x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令8403r-=，求得2r ，故展开式中的常数项为2812899C =． （2）由于8n =，故当4r =时，二项式系数最大，故二项式系数最大的项为48843358170381T C xx --⎛⎫== ⎪⎝⎭． 29．（2020·福建三明一中高二月考）已知二项式12nx ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭()n *∈N 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.（1）求12nx ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项；（2）在 (1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )2n + 的展开式中，求3x 项的系数.(结果用数字作答) 【解析】解：所有奇数项的二项式系数之和为128，21282n∴=，解得8n =. （1）81)2x+的第1r +项为 8488318811()()2rr r r r rr T C C x x ---+==，令8403r-=，得2r ，则常数项为238617216T C =⋅=；（2）23410(1)(1)(1)(1)++(1)x x x x x ++++++++展开式中3x 的系数为：33343334104410C C C C C C +++=+++4335510C C C =+++411330C ==.30．（2020·辽宁高二期末）在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为74，③各项系数之和为144，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由.设二项式33nx ⎫⎪⎭，若其展开式中，______，是否存在整数k ，使得k T 是展开式中的常数项？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.【解析】若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，即7n C 最大，由二项式系数的性质可得，14n =； 若选填条件③，即各项系数之和为144，则1444n =，即14n =；二项式1433x ⎫⎪⎭展开式的通项：12171511121414333k k kk k k k T C Cxx ------⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭.由2170k -=，得3k =.即存在整数3k =，使得k T 是展开式中的常数项； 若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为74， 则1714242n -==，∴15n =.二项式1533x ⎫⎪⎭展开式的通项：12271611215153133k k kk k k k T C Cxx ------⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭.由2270k -=，得227k Z =∉. 即不存在整数k ，使得k T 是展开式中的常数项.。